Chapitre 5 : agrandissement, réduction ; sections de solides

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1 Chapitre 5 : agrandissement, réduction ; sections de solides I. Rappels et sections de solides 1/ Parallélépipède rectangle Description/Figure Un parallélépipède ou un pavé droit est solide de l'espace formé de rectangles. Il y a six faces : les rectangles ABCD, EFGH... Il y a huit sommets : A, B Il y a douze arêtes : [ AB], [ AE ] Remarque Le cube est un parallélépipède particulier : ses faces sont des carrés. Sections d'un pavé droit Par un plan parallèle à une face... On obtient un rectangle identique à la face de référence (face verte à droite) Par un plan passant par les diagonales de deux faces opposées

2 Dans ce cas, on obtient encore un rectangle. Exemple d'application Calcule CF EFG est rectangle en E car EFGH est une face d'un parallélépipède rectangle. On peut appliquer le Théorème de Pythagore. CF 2 =CE 2 EF 2 CF 2 =1, CF 2 =2,25 4 CF 2 =6,25 CF= 6,25 CF=2,5 cm Calcule l'aire de la section CFGA est un rectangle, donc : A CFGA =CA CF= 2,5=7,5 cm 2 Calcule le volume du parallélépipède ABDCHGFE V =AB AH AC=2 1,5 =9 cm Rappel Pour calculer le volume d'un parallélépipède rectangle, il suffit de multiplier les trois dimensions : V =l L h. Rappel 1 litre correspond à 1 dm

3 2/ Cylindre de révolution (5 ème ) Description/Figure Un cylindre de révolution est composé de deux disques parallèles appelés bases. L'axe qui passe par les centres des bases est un axe de symétrie. Section par plan parallèle aux bases On obtient une forme identique aux bases, c'est à dire un disque de même rayon. Section par un plan parallèle à l'axe On obtient un rectangle. Rappels Circonférence d'un cercle de rayon r : 2 r en cm ou en m Aire d'un disque de rayon r : r 2 en cm 2 ou en m 2, (la partie décimale est infinie!) A retenir Volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h : V = r 2 h en cm ou m

4 / Prisme droit (5 ème ) Description/Définition Un prisme est composé de deux bases parallèles en forme de polygone. Rappel : cosinus Le cosinus permet de faire le lien entre des longueurs et une mesure d'angle, dans un triangle rectangle. Configuration : «Triangle rectangle» Le triangle NHY rectangle en N. Dire ce que l'on utilise «Cosinus» On applique le cosinus. On donne une formule «cosinus=(côté adj)/(hypo) cos YHN = NH YH On remplace cos 65 = 4 YH cos 65 = 4 YH 1 cos 65 HY =4 1 HY = 4 1 cos 65 HY 9,5 cm

5 Section par un plan parallèle aux bases On obtient une figure identique aux bases du prisme : ici, c'est un triangle. Volume d'un prisme Il faut multiplier l'aire de la base par la hauteur... Exemples On considère un prisme à base carré (c'est un parallélépipède). Le carré a pour côté cm et la hauteur est 10 cm. V = 10=90 cm Prisme avec une base en forme de triangle rectangle. 5 cm V = V =10 10 V =100 cm 10 cm 4 cm 4/ Pyramide et cône de révolution (4 ème ) Description/définition (pyramide) Une pyramide est composée d'une base à forme polygonale (triangle, carré, rectangle, pentagone...) et d'un sommet. S S est le sommet, ABCD est la base. Il y a quatre faces latérales : triangles La hauteur de cette pyramide est la droite ou le segment qui relie le sommet à la base, de façon perpendiculaire. A D C B

6 Section Section d'une pyramide par un plan parallèles à la base. On obtient une figure de même nature que la base en format réduit. Ici, on obtient un quadrilatère plus petit. Calcul du volume d'une pyramide aire base hauteur V = Exemple Calcule le volume de la pyramide du Louvre : 21,64 mètres de haut sur une base carrée de 5,42 mètres de largeur. V = 5,42 5,42 21,64 V 9049, m Calcule le volume de la pyramide de Khéops : hauteur initiale 146,58 m, base 20,5 mètres. V = 20,52 146,58 V ,445 m Combien de pyramide du Louvre dans la pyramide de Khéops? ,445 On fait le quotient des deux volumes : 9049, ,5. On peut mettre plus de 286 fois la pyramide du Louvre dans celle de Khéops. 5/ Cône Description Un cône est composé d'un disque, appelé la base, et d'un sommet (ici le point S ) La hauteur est la droite (ou le segment) passant par le sommet et perpendiculaire à la base. On ne considère que les cônes de révolution, c'est à dire des cônes où la hauteur est l'axe de symétrie.

7 Section par un plan parallèle à la base On obtient un disque, réduction de la base. Volume d'un cône V = r2 h, r est le rayon du disque et h est la hauteur. L'unité est en cm, m... II. Agrandissement, réduction 1/ Activités Activité 1 R S T G 4,5 9 F 6,75 H On appelle k le nombre qui fait le lien entre les longueurs du triangle RST et celles de FGH. On considère que k est un nombre qui multiplie. 6 k=4,5 donc k= 4,5 6 =0,75 Vérifions pour les autres longueurs : 12 k =12 0,75=9 9 k =9 0,75=6,75 A retenir Pour une réduction, les longueurs sont multipliées par un nombre compris entre 0 et 1. Ce nombre est appelé coefficient de réduction. On le note k.

8 Activité 2 (à l'oral) Le dessin 2 est-il un agrandissement du dessin 1? Si oui, précise le rapport d'agrandissement. Si non, explique pourquoi. Dessin 2 Dessin 1 / / / / On observe que : c'est un agrandissement de rapport k= ; les aires sont multipliées par 9, c'est à dire k 2 ; les volumes sont multipliés par 27, c'est à dire k. A retenir Dans un agrandissement, les longueurs sont multipliées par un nombre plus grand que 1. On le note k et il s'appelle coefficient d'agrandissement. Les aires multipliées par k 2 et les volumes par k. Exemple 1 4,5 4 Le rectangle de droite est un agrandissement de celui de gauche. Calcule le coefficient : k=4 donc k= 4. En déduire la longueur du grand rectangle : 4,5 k=4,5 4 =6 cm Calcule les deux aires : petit rectangle : 4,5=1,5 cm 2 grand rectangle : 4 6=24 cm 2 Par quoi il faut multiplier 1,5 pour obtenir 24? On multiplie par k 2 : 1,5 k 2 =1,5 4 2 =24 (ça marche)

9 Pour jeudi 20 janvier Réviser le devoir commun de la semaine prochaine!!!!