BACCALAUREAT BLANC 2016 LYCEE DAGUIN

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1 BACCALAUREAT BLANC 2016 LYCEE DAGUIN MATHEMATIQUES SERIE S Durée de l épreuve : 4 heures Indiquer sur la copie «Spécialité Maths» ou «Non spécialité Maths» Le sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6. L emploi des calculatrices est autorisé. Le candidat doit traiter quatre exercices : les trois premiers exercices sont communs à toutes les spécialités, le quatrième est à traiter par les élèves n ayant pas suivi la spécialité mathématique, le cinquième est à traiter par les élèves ayant suivi la spécialité mathématique. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. 1

2 Exercice 1 (5 points) Une piste est divisée en cases numérotées comme indiqué ci-dessous Une puce est située sur la case 0, puis elle se déplace sur la piste, en effectuant des sauts d une case vers la gauche ou de deux cases vers la droite. On suppose que ces deux types de sauts sont équiprobables. La puce fait n sauts indépendants, n est un entier naturel. La succession de ces n sauts est appelée «trajet de n sauts». Partie A 1 ) a) La puce a effectué quatre sauts, les trois premiers vers la gauche et le quatrième vers la droite. Donner la case d arrivée de la puce. b) La puce a effectué trois sauts. Quelles sont les cases d arrivée possibles? On pourra s aider d un arbre. 2 ) L algorithme ci-dessous a pour objectif de simuler un trajet de n sauts, la valeur de n étant choisie par l utilisateur. Variables : Entrée : Traitement : Sortie : n nombre de sauts x numéro de case i, s entiers Entrer n Affecter à x la valeur 0 Pour i allant de 1 à n Faire Affecter à s une valeur choisie au hasard parmi 1 et 2 Si s = 1 Alors x prend la valeur x 1 Sinon x prend la valeur Fin Si Fin du Pour Afficher x a) Quel est le rôle de la variable s? b) Recopier et compléter la ligne «Sinon x prend la valeur» de façon à ce que l algorithme affiche la case d arrivée de la puce. c) Dans cette question, n = 4. Recopier et compléter le tableau ci-dessous pour les valeurs de s proposées. Préciser la case d arrivée de la puce après cette simulation. i s x Tapez une équation ici. Tapez une équation ici Case d arrivée :

3 Partie B On note X n la variable aléatoire qui indique le numéro de la case occupée par la puce après n sauts, n entier naturel non nul. 1 ) Quelles sont les valeurs prises par X 1? Déterminer la loi de probabilité de X 1, et en déduire son espérance E(X 1 ). 2 ) On appelle Y n la variable aléatoire qui compte le nombre de sauts à droite durant un trajet de n sauts. a) Justifier que Y n suit une loi binomiale de paramètres n et p = 1 2. En déduire son espérance E(Y n ) en fonction de n. b) Calculer les probabilités P(Y 6 = 4) et P(Y 6 2). On donnera des valeurs approchées à 10 4 près. 3 ) a) Justifier que X 6 = 3Y 6 6. Quelles sont les valeurs prises par X 6? b) Calculer l espérance E(X 6 ). Interpréter ce résultat. c) Calculer P(X 6 = 3). d) Quelle est la probabilité que la puce revienne à son point de départ après un trajet de 6 sauts? Exercice 2 (4,5 points) Partie A Soit P le polynôme de degré 4 défini sur C par P(z) = z 4 2z 3 + 9z 2 8z ) Soit α un nombre complexe quelconque. a) Démontrer que P( α ) = P(α). b) En déduire que si α est une racine de P, alors α est aussi une racine de P. 2 ) Calculer P(2i) et en déduire deux solutions de l équation P(z) = 0. 3 ) Un logiciel de calcul formel a fourni le résultat suivant : a) Résoudre dans C l équation z 2 2z + 5 = 0. b) En déduire l ensemble des racines du polynôme P(z). Partie B Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O; u, v ). On prendra 2 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d affixes respectives z A = 1 + 2i ; z B = 1 2i ; z J = 2i et z K = z J. 1 ) Placer les points A, B, J et K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l exercice. 2 ) Soit L le symétrique du point B par rapport au point K. Montrer que l affixe du point L est z L = 1 2i. 3 ) Calculer z K z A et z L z J et en déduire la nature du quadrilatère AJLK. 3

4 Exercice 3 (5,5 points) Partie A : Étude d une fonction Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x (e x + 1 x 1). 2 1 ) Déterminer les limites de la fonction f en et en +. 2 ) Pour tout réel x, calculer f (x), puis vérifier que f (x) = (e x 1)(1 x). 3 ) Etudier le signe de f (x) sur R, puis en déduire le tableau de variation de la fonction f. 4 ) En déduire que pour tout x de ] ; 1,5], f(x) 0. Partie B : Étude d une suite Soit a un réel fixé de ] ; 1,5]. Le but de cette partie est d étudier la suite (u n ) définie par : u 0 = a et, pour tout entier naturel n, u n+1 = u n e u n u n 2. On admet que, pour tout entier naturel n, u n 1,5. 1 ) En remarquant que, pour tout entier naturel n, u n+1 u n = f(u n ), démontrer que la suite (u n ) est décroissante. 2 ) Dans cette question, on suppose que 0 a < 1, 5. a) Démontrer par récurrence, que, pour tout entier naturel n, u n 0. b) Déduire des questions précédentes que la suite (u n ) est convergente. 3 ) Dans cette question, on suppose que a < 0. La suite (u n ) étant décroissante, la question 1 ) permet d affirmer que, pour tout entier naturel n, u n a. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a u n+1 u n f(a). b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a u n a + n f(a). (On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.) c) En déduire la limite de la suite (u n ). 4

5 Exercice 4 (5 points) Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Vous indiquerez sur votre copie la proposition exacte en justifiant votre choix (soit en expliquant pourquoi la proposition choisie est exacte, soit en expliquant pourquoi les deux autres propositions sont fausses ). Une réponse exacte justifiée de la situation 1 rapporte 1 point. Une réponse exacte justifiée de la situation 2 ou 3 rapporte 0,75 point. Une mauvaise réponse ne sera pas pénalisée. Situation 1 : A et B sont deux événements indépendants. De plus, P(A) = 0,3 et P(B) = 0,6. a) P(A B) est égal à : 0,18 0,12 0,42 b) P(A B) est égal à : 0,90 0,58 0,72 Situation 2 : Soit une suite (u n ) définie par u 0 = 4 et pour tout n de N, u n+1 = u n 4 u n 3. On admet que pour tout entier naturel n, u n 2 et on pose v n = 1 u n 2. a) On peut dire que : (v n ) est convergente. (v n ) est géométrique. (v n ) est arithmétique. b) On peut dire que : (u n ) est convergente. (u n ) est géométrique. (u n ) est arithmétique. Situation 3 : On considère dans le plan complexe le repère orthonormé (O; u, v) et cinq points A, B, C, D et E d affixes respectives z A = 1 + 3i, z B = (1 + 3)i, z C = 1 + i, z D = i et z E = 1 + i. a) On peut dire que : BED est équilatéral. BCD est équilatéral. BCE est équilatéral. b) On peut dire que : Les droites (BE) et (AD) sont parallèles. Il existe un cercle passant par les points A, B, C et D. z C z E R 5

6 Exercice 5 (5 points) Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité. Pour tout entier naturel n, on définit : u n = ( ) n. 1 ) Montrer que l on peut écrire les premiers termes de la suite (u n ) sous la forme : u 0 = a 0 + b 0 2, u 1 = a 1 + b 1 2 et u 2 = a 2 + b 2 2 où pour j {0; 1; 2}, les nombres a j et b j sont des entiers à déterminer. 2 ) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, il existe deux entiers naturels a n et b n tels que u n = a n + b n 2. 3 ) On admet pour la suite du problème que : pour tout entier naturel n, a n+1 = 3a n + 4b n et b n+1 = 2a n + 3b n. On veut écrire un algorithme dont l entrée est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et dont la sortie est constituée des deux valeurs a n et b n. Un élève propose l algorithme suivant : Entrée : n entier naturel supérieur ou égal à 2. Traitement : a prend la valeur 3 b prend la valeur 2 Pour j allant de 1 à c prend la valeur a a prend la valeur b prend la valeur Fin du pour Sortie : Afficher a et b Recopier et compléter cet algorithme pour qu il réponde à l objectif annoncé. 4 ) Pour tout entier naturel n, on pose X n = ( a n b n ). Déterminer la matrice carrée d ordre 2 notée A telle que pour tout entier naturel n, X n+1 = AX n. Dans la suite, on admettra que pour tout entier naturel n, X n = A n X 0. 5 ) On considère la matrice P = ( ). a) Montrer que la matrice P est inversible de matrice inverse P 1 = 1 ( ). b) Calculer la matrice D = P 1 AP et vérifier qu elle est diagonale. On écrit D = ( α 0 ) avec α et β deux réels. 0 β c) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, A n = PD n P 1. d) Calculer A n en fonction de α et β et de l entier naturel n non nul. 6 ) a) Montrer pour tout entier naturel n non nul, a n = 1 2 [αn + β n ] b) En déduire que pour tout entier naturel n non nul, ( ) n + (3 2 2) n est un entier naturel. 6