Formulaire de mathématiques

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1 NOM : Prénom : Classe : Formulaire de mathématiques Ce formulaire contient l essentiel de la matière de 3 ème ainsi que des synthèses de 4 ème. Complète-le, prends-le avec toi au cours et au remédiations ; conserve-le jusqu en fin de rhéto. nnees-y des synthèses de 5 ème et 6 ème. 1 ère partie : Rappels de 3 ème LGÈRE : Factorisation Factoriser un polynôme, c est transformer une somme (+) ou une différence (-) en un produit ( ) 1. Mise en évidence : à effectuer quand chaque terme possède un ou plusieurs facteurs identiques Eemples : a) Cette epression contient 3 termes Cette epression contient facteurs b) y 3 4y 13 y 3 4y y 4y 1 3 y 4y 1 3 5y 1. Formules des produits remarquables trinômes carrés parfaits a ab b a b a ab b a b différence de deu carrés aussi appelée formule des binômes conjugués.. a b a b a b Remarques importantes : Ne pas confondre a b a b. a b et a b a b. a b Une somme de deu carrés a b ne se factorise pas. a b a b et a b a b Eemples : 1) ) Formulaire de mathématiques Page 1

2 3. Méthode de Horner : à effectuer si aucune méthode de factorisation ne fonctionne. (En 4 ème, on étudiera une méthode avec ρ pour les polynômes de degré deu.) Méthode 1) On recherche un diviseur du terme indépendant qui est racine du polynôme (notons-le a dans la méthode) c est-à-dire tel que P(a) = 0. ) Dans un tableau, on écrit à gauche le nombre a trouvé au point 1) et sur une première ligne les coefficients du polynôme ordonné et éventuellement complété. 3) On complète le tableau en descendant le premier coefficient, en multipliant chaque nombre trouvé à la dernière ligne par a, et en additionnant par colonne. 3 Eemple : Factoriser P ( ) 5 3 1) Div. t.i. = {1,-1,3,-3} ) P(1) = ne convient pas. P(-1) = 0-1 convient comme a ) On obtient successivement ) On peut inscrire la factorisation trouvée : Polynôme de départ = (-a).(polynôme dont les coefficients se trouvent à la dernière ligne du tableau d Horner) 4) Formulaire de mathématiques Page

3 Équation Résoudre une équation, c est déterminer la (ou les) valeur(s) de l inconnue pour laquelle (lesquelles) l équation est vraie (c est-à-dire correcte). Équation de degré 1 : rassembler tous les termes en dans un même membre et tous les termes indépendants de dans l autre. Deu équations sont dites équivalentes si elles ont la (les) même(s) solution(s). Le symbole d équivalence est le symbole suivant :, lu «si et seulement si». Eemple : S 3 Équation de degré supérieur à 1 : Mettre tout dans un même membre. Factoriser l équation afin d obtenir une équation produit. Il s agit d une équation dont l un des membres est un produit et l autre membre est nul. Utiliser la propriété suivante : «Si un produit est nul alors au moins l un de ses facteurs est nul», séparer en petites équations du premier degré et revenir au cas précédent. Inéquation Eemple : ou 30 3 Propriété 1 : Si on ajoute un même réel au deu membres d une inégalité, on obtient une inégalité de même sens. Propriété : Si on multiplie les deu membres d une inégalité par un même réel strictement positif, on obtient une inégalité de même sens. Propriété 3 :Si on multiplie les deu membres d une inégalité par un même réel strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire S ; 3 Eemple : S 0,3 Formulaire de mathématiques Page 3

4 Fractions algébriques Conditions d eistence (CE) : Pour qu une fraction algébrique eiste (=calculable), il faut que son dénominateur soit différent de zéro. 5 Eemples : 1) CE : ) CE : Simplification de fractions : Simplifier une fraction algébrique, c est diviser le numérateur et le dénominateur par leurs facteurs communs (supposés non nuls). Pour simplifier une fraction algébrique : Factoriser le numérateur et le dénominateur Énoncer les CE Diviser le numérateur et le dénominateur par leurs facteurs communs en remplaçant chacun d eu par Eemples : a) CE : b) CE : Réduire des fractions au même dénominateur : Factoriser les dénominateurs (on simplifie si possible voir point précédent) Chercher le dénominateur commun. Il s agit du PPCM des dénominateurs. Multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par les facteurs qui permettent d obtenir le dénominateur commun. Eemple : et y 5 5y et y y 5. y On factorise les déno : Déno commun : y y Réduction au même déno :..5. y 5 et 5. y. y 5. y. y Formulaire de mathématiques Page 4

5 dditionner ou soustraire deu fractions (après les avoir simplifiées) : Réduire au même dénominateur ( voir point précédent) dditionner ou soustraire les numérateurs en conservant les dénominateurs Simplifier, si possible, la réponse Eemple : CE : Multiplier deu fractions : Multiplier les numérateurs et dénominateurs entre eu Simplifier, si possible, la réponse Eemple : CE : et 0 4 Diviser deu fractions : multiplier la première par l inverse de la seconde Eemple : 6 3. CE : 0 et Formulaire de mathématiques Page 5

6 GÉOMÉTRIE Théorème de Pythagore Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deu autres côtés. C C a b c Eemple : Si 4 et C 1 alors C C C 160 On choisit le signe + car il s agit d une longueur. C TRIGONOMÉTRIE Nombres trigonométriques dans le triangle rectangle (ci-dessus) : Le sinus d un angle aigu d un triangle rectangle est le rapport entre les longueurs du côté opposé à cet angle et de l hypoténuse. Le cosinus d un angle aigu d un triangle rectangle est le rapport entre les longueurs du côté adjacent à cet angle et de l hypoténuse. La tangente d un angle aigu d un triangle rectangle est le rapport entre les longueurs du côté opposé et du côté adjacent à cet angle. Moyen mnémotechnique : SOH CH TO Eemples : Déterminer la valeur de dans les triangles suivants : 4) sin ˆ b a sin ˆ c C a cos ˆ c a cos ˆ b C a tg ˆ b c tg ˆ c C b 1) sin 6 47.sin 6 41,5 cm 47 ) cos 7 10.cos 7 37, 08 m ) tg 43 67,56 mm tg ) sin 47, 79 cm (taper «SHIFT sin» à la calculatrice) 7 Formulaire de mathématiques Page 6

7 ème partie : Synthèses de la matière de 4 ème LGÈRE : Chapitre 1 : équation de degré : a²+b+c=0 = EQUTION a²+b+c = 0 FCTORISTION de a²+b+c Méthode somme-produit Si l équation a²+b+c = 0 possède deu solutions notées 1 et alors la somme S et le produit P des solutions valent : S = P = Formulaire de mathématiques Page 7

8 Chapitre : Inéquations autres que du premier degré (non immédiates) Obligation de dresser un tableau de signe (TS) On ne peut construire un tableau de signe que lorsqu on a un produit ou un quotient dans le membre de gauche en veillant à avoir 0 dans le membre de droite. De plus, seules les règles de signes ci-dessous sont à utiliser et on ne peut pas mettre d autres types d epressions mathématiques dans un TS On ne supprime jamais un dénominateur dans une inéquation. Règles des signes : D un nombre :. D une epression du premier degré :.... a+b -b/a a+b -b/a D une epression du deuième degré :... 1 a²+b+c 1 a²+b+c a²+b+c 1 a²+b+c 1 a²+b+c a²+b+c D une puissance d une epression du premier ou deuième degré : si la puissance est paire :..... si la puissance est impaire :..... Formulaire de mathématiques Page 8

9 Chapitre 3 : Fonctions - Pour déterminer le domaine d une fonction de manière analytique, il faut regarder les CE : - Pour déterminer les racines d une fonction de manière analytique, il faut - Pour déterminer la parité d une fonction, il faut Chapitre 4 : fonctions usuelles et manipulations f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = Formulaire de mathématiques Page 9

10 Manipulations Chapitre 5 : Parabole (fonction du deuième degré) Le graphique d une fonction du ème degré f ( ) a b c avec a 0 est la parabole d équation y a b c. concavité : vers le haut (convee) si. vers le bas (concave) si. Intersection(s) avec l ae : si. : intersections,0 1 et,0 avec 1, si.. : une seule intersection :,0 1 avec 1 si... : pas d intersection Intersection avec l ae y : ae de symétrie : S sommet : Calcul de points supplémentaires Eemple ci-contre : graphique de la fonction f ( ) 3 Formulaire de mathématiques Page 10

11 TRIGONOMÉTRIE : Chapitre 1 : nombres et cercle trigonométriques cotan α o o Sinus : sur le cercle trigonométrique, le sinus d un angle (noté sin ) est Cosinus : sur le cercle trigonométrique, le cosinus d un angle (noté cos ) est sin α α cos α tan α o Formules de base : sin cos sin cos tg CE : cotg CE : o Signes des nombres trigonométriques o Valeurs particulières : Degré Sin Cos Tg Cotg Formulaire de mathématiques Page 11

12 Chapitre : Triangles quelconques : Relation des sinus :.. Relation des cosinus = théorème d l Kashi ire du triangle :... GÉOMÉTRIE : Chapitre 1 : Vecteurs Soient, y,, y, C, y et, C C D y quatre points D D o Milieu du segment [] :... o Composante du vecteur :.. o Norme du vecteur noté =... o Centre de gravité du triangle C :. o Trois points, et C sont alignés si et seulement si C o Le quadrilatère CD est un parallélogramme si et seulement si D C Chapitre 3 : distance et cercle Formulaire de mathématiques Page 1

13 o Distance entre deu points, y et, y :.. o Équation du cercle de centre et de rayon r :. Chapitre : droites o Équation cartésienne : d y m p epression du premier degré. d y y C o Représentation graphique : y m p Le coefficient de correspond au coefficient angulaire (= pente) de la droite. Le terme indépendant correspond à l ordonnée à l origine de la droite (= intersection avec l ae y). Eemples +1 - ½ +1 + y 3 Pente positive : fonction croissante 1 y 4 pente négative : fonction décroissante Données Coefficient angulaire Illustration Equation sous forme : d y m p C = Equation sous forme : d a by c 0 points :, y, y et ngle : C = C = C = Droite parallèle à l ae des d // O Droite parallèle à l ae des y d // Oy Droite d parallèle à une autre droite d : d// d ' Formulaire de mathématiques Page 13

14 Droite d perpendiculaire à une autre droite d : d d' Formulaire de mathématiques Page 14