Polynômes de Tchebychev

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1 Polyômes de Tchebychev Pafoutïi Lvovitch Tchebychev, mathématicie russe, est é à Borovsk e 8 et mort à Sait-Pétersbourg e 894. ) Défiitio et existece a) Polyômes de Tchebychev de ère espèce : T. Soit u etier aturel. Il existe u et u seul polyôme oté T tel que θ R, T (cosθ) = cos(θ). Uicité. T est détermié sur [,] qui est ifii et doc uiquemet détermié. Existece. Soiet u etier aturel et θ u réel. et le polyôme ( ) cos(θ) = Re(e iθ ) = Re((cosθ+i siθ) ) = Re C k (cosθ) k (i siθ) k E(/) = E(/) ( ) p C p (cosθ) p (siθ) p = ( ) p C p X p ( X ) p coviet. N, T = E(/) E(/) ( ) p C p X p ( X ) p. b) Polyômes de Tchebychev de ème espèce : U. Soit u etier aturel o ul. Il existe u et u seul polyôme oté U tel que θ R, siθ U (cosθ) = si(θ). Uicité. U est détermié sur ],[ qui est ifii et doc uiquemet détermié. Existece. Soiet u etier aturel et θ u réel. ( ) si(θ) = Im(e iθ ) = Im((cosθ+i siθ) ) = Im C k (cosθ) k (i siθ) k = et le polyôme E(( )/) E(( )/) ( ) p C p+ ( ) p C p+ E(( )/) (cosθ) (p+) (siθ) p+ = siθ X p ( X ) p coviet. N, U = E(( )/) ( ) p C p (cosθ) p ( cos θ) p ( ) p C p+ ( ) p C p+ X p ( X ) p. (cosθ) p ( cos θ) p ) Relatio etre T et U Soit u etier aturel o ul. Pour tout réel θ, o a T (cosθ) = cos(θ). E dérivat cette relatio, pour tout réel θ o obtiet siθt (cosθ) = si(θ), http :// c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

2 ou ecore ( ) θ R, siθ T (cosθ) = si(θ). Par uicité de U, o a doc N, U = T. 3) Relatio de récurrece Pour tout réel θ et tout etier aturel, o a ce qui fourit ecore ou efi cos(θ)+cos((+)θ) = cosθcos((+)θ), θ R, T (cosθ)+t + (cosθ) = cosθt + (cosθ). x [,], T (x)+t + (x) = xt + (x). Aisi, les polyômes T +T + et XT + coïcidet e ue ifiité de valeurs et sot doc égaux. N, T + XT + +T = 0. 4) Premières expressios de T et U A partir de la relatio de récurrece ou à partir de l expressio de T du )a) ou ecore e calculat directemet cos(θ), cos(3θ),..., o obtiet : T 0 =, T = X, T = X, T 3 = 4X 3 3X, T 4 = 8X 4 8X + et T 5 = 6X 5 0X 3 +5X. De même, à partir de l égalité U = T, o obtiet 5) Graphes des premiers T U =, U = X, U 3 = 4X, U 4 = 8X 3 6X et U 5 = 6X 4 X +. T 0 T T T 3 http :// c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

3 6) Degré, coefficiet domiat ère solutio. Soit N. O rappelle que T = E(/) ( ) p C p X p ( X ) p. Puisque pour tout etier aturel p 0,E( ), o a p+p =, T est u polyôme de degré iférieur ou égal à. De plus, le coefficiet de X das T vaut C 0 +C +C = ((C0 +C +C +C )+(C 0 C +C C )) = ((+) +( ) ) = ( +0) (( ) = 0 car ) =. ème solutio. Motros par récurrece que N, deg(t ) = et dom(t ) =. O a déjà deg(t ) =, deg(t ) =, dom(t ) = = et dom(t ) = =. Le résultat est doc vrai pour = et =. Soit. Supposos que deg(t ) =, deg(t + ) = +, dom(t ) = et dom(t + ) = alors et Le résultat est démotré par récurrece. Par dérivatio, o obtiet 7) Parité Pour tout aturel, T a la parité de. E effet, T ( X) = E(/) O peut aussi écrire pour tout réel θ : deg(t + ) = deg(xt + T ) = deg(xt + ) = ++ = +, dom(t + ) = dom(xt + ) = = +. T 0 = et N, deg(t ) = et N, dom(t ) =. N, deg(u ) = et N, dom(u ) =. ( ) p C p ( X) p ( ( X) ) p = ( ) E(/) ( ) p C p X p ( X ) p = ( ) T. T ( cosθ) = T (cos(θ+π)) = cos(θ+π) = ( ) cos(θ) = ( ) T (cosθ), et doc, pour tout réel x de [,], T ( x) = ( ) T (x). Puisque [,] est ifii, les polyômes T ( X) et ( ) T sot égaux. O peut ecore utiliser la relatio de récurrece du 3). Tout d abord, T 0 ( X) = ( ) 0 T 0 et T ( X) = ( ) T. Esuite, si pour 0 T ( X) = ( ) T et T + ( X) = ( ) + T + alors T + ( X) = ( X)T + ( X) T ( X) = ( ) + XT + ( ) T = ( ) + (XT + T ) = ( ) + T +. Par dérivatio, o obtiet ecore : Pour tout aturel, T a la parité de. pour tout aturel o ul, U a la parité cotraire de. http :// 3 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

4 8) T (), T ( ), T (0) (=coefficiet costat) Soit N. T () = T (cos0) = cos( 0) =. T ( ) = ( ) T () = ( ). T + est impair et doc T + (0) = 0. Puis T (0) = T (cos π ) = cos(π) = ( ). E résumé N, T () =, N, T ( ) = ( ), N, T + (0) = 0 et T (0) = ( ) ou ecore T (0) = cos( π ). 9) Equatio différetielle vérifiée par T. Coefficiets de T a) Equatio différetielle vérifiée par T. Pour trouver les coefficiets de T, o cherche d abord ue équatio différetielle liéaire dot T est solutio. Soit N. E dérivat l égalité T (cosθ) = cos(θ), o obtiet : puis e redérivat ou ecore, Aisi, puisque [,] est ifii, θ R, siθt (cosθ) = si(θ), θ R, cosθt (cosθ)+si θt (cosθ) = cos(θ) = T (cosθ), x [,], xt (x)+( x )T (x) = T (x). N, ( X )T XT + T = 0 (E). b) Coefficiets de T. Soit. Puisque T est de degré et a la parité de, o peut poser T = 0 k a k X k. Reportos alors cette écriture de T, das le premier membre de l équatio (E). ( X )T XT + T = ( X ) ( k)( k )a k X k X 0 k + a k X k 0 k = ( k)( k )a k X k 0 k ( k)a k X k + a k X k 0 k 0 k 0 k = ( (k+)+)( (k+)+)a k X (k+) 0 k + ( ( k)( k ) ( k)+ )a k X k 0 k ( k)a k X k ( k)( k )a k X k 0 k = ( k+)( k+)a k X k + (4k 4k )a k X k k = k 0 k [( k+)( k+)a k +4k( k)a k ]X k. http :// 4 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

5 Par suite, ( X )T XT + T = 0 k N, ( k ( k+)( k+)a k +4k( k)a k = 0). E teat compte de a 0 = dom(t ) =, pour k, o a alors a k = ( k+)( k+) 4k( k) ce qui reste vrai pour k = 0. ( k+3)( k+4) 4(k )( k+)... ( ) 4 ( ) a 0 = ( )k ( k+) ( k+) ( k+3) ( k+4)... ( ) 4 k k (k )... ( ) ( )... ( k) = ( ) k k!/( k)! k! ( )!/( k )! = ( )k k ( k)! kk!( k)! = ( ) k k k Ck k. N, T = 0 k 0) Racies de T et factorisatio de T Soiet θ R et N. ( ) k k k Ck k X k. cos(θ) = 0 θ π +πz θ π + π Z. Pour k 0,, posos alors θ k = π + kπ puis x k = cosθ k. O a d ue part 0 < π = θ 0 < θ <... < θ = π π < π, et doc, par stricte décroissace de la foctio x cosx sur [0,π], > x 0 > x >... > x >. E particulier, les ombres x k, 0 k, sot deux à deux disticts. Mais d autre part, pour k 0,, T (cosθ k ) = cos(θ k ) = 0. et les ombres x k, 0 k sot racies deux à deux distictes du polyôme T qui est de de degré. Ce sot doc toutes les racies de T, toutes réelles simples et das ],[. E teat compte de dom(t ) =, o a motré que ) N, T a racies réelles deux à deux distictes, toutes das ],[. ( ( π ) N, T = X cos + kπ )). ) Diverses expressios de T et U a) Pour x das [,]. Soit N. Soiet x [,] puis θ = Arccosx. O a alors θ [0,π] et cosθ = x. L égalité T (cosθ) = cos(θ) s écrit ecore : De même, l égalité siθu (cosθ) = si(θ) s écrit ecore : N, x [,], T (x) = cos( Arccosx). N, x ],[, U (x) = si( Arccosx). x b) Pour x. Motros par récurrece que, pour tout etier aturel et tout réel θ, o a T (chθ) = ch(θ). C est clair pour = 0 et =. Soit 0. Supposos que T (chθ) = ch(θ) et que T + (chθ) = ch((+)θ). O e déduit que T + (chθ) = (chθ)t + (chθ) T (chθ) = (chθ)(ch(+)θ) ch(θ) = ch((+)θ) ch(θ)+ch(θ) = ch((+)θ). http :// 5 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

6 O a motré par récurrece que N, θ R, T (chθ) = ch(θ). E dérivat, o obtiet shθ T (chθ) = sh(θ) et, e teat compte de T = U, o obtiet N, θ R, (shθ)u (chθ) = sh(θ). Soiet alors x u réel supérieur ou égal à puis θ = argchx = l(x+ x ). T (x) = T (chθ) = ch(θ) = ( ) e l(x+ x ) +e l(x+ x ) = ((x+ x )+(x+ x ) ) = ( (x+ x )+(x x ) ) (car (x+ x )(x x ) = ). x [,+ [, T (x) = Par parité, o peut obteir les valeurs de T pour x. E dérivat, o obtiet pour x > : U (x) = T (x) = ((+ = x ( (x+ x ) (x x ) ). N, x ],+ [, U (x) = x ((x+ x )+(x x ) ). ) x x )(x+ x ) x +( x )(x x ) c) Pour z complexe o ul. L égalité T (cosθ) = cos(θ), valable pour tout réel θ, s écrit ecore ( ) T (eiθ +e iθ ) = (eiθ +e iθ ), ((x+ x ) (x x ) ). ou ecore, pour tout ombre complexe z de module, ( T (z+ ) z ) = ( z + ) z. ( Par suite, les polyômes X T (X + ) X ) et (X +) coïcidet e ue ifiité de valeurs et sot doc égaux. O e déduit que ( z C, T (z+ ) z ) = (z + z ). ) Extrema de T et U sur [,] a) Extrema de T D après )a), pour tout réel θ et tout etier aturel, T (chθ) = ch(θ). Ceci motre que pour x réel élémet de ],+ [ et etier aturel o ul, o a T (x) >. Par parité de T, o a doc x R, N, ( x > T (x) > ). Mais puisque pour tout θ R et tout etier aturel o ul T (cosθ) = cos(θ), o a aussi x R, N, ( x T (x) ). http :// 6 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

7 Soiet alors x u réel de [, ] et θ = Arccos x. O e déduit ecore T (x) = cos(θ) = θ πz θ π Z k Z/ x cos kπ k 0, / x cos kπ. L équatio T (x) = admet, das R, exactemet( + ) solutios, toutes das [,], à savoir kπ les + réels x k = cos, k 0,. b) Extrema de U Tout d abord o ote que Motros le résultat par récurrece. Soit θ R. C est clair pour =. Soit. Si si(θ) siθ alors N, Max x [,] T (x) =. N, θ R, si(θ) siθ. si((+)θ) = si(θ)cosθ+cos(θ)siθ si(θ) cosθ + cos(θ) siθ si(θ) + siθ siθ + siθ = (+) siθ, ce qui démotre par récurrece l iégalité proposée. Par suite, pour etier aturel o ul et θ o das πz, U (cosθ) = valable pour x = ou x = par cotiuité) : si(θ) siθ ou ecore (l iégalité restat N, x [,], U (x). Soit. E repreat le raisoemet par récurrece ci-dessus, si o a si(θ) = si θ alors toutes les iégalités écrites sot des égalités et o a écessairemet si(θ) = si(( )θ) cosθ + cos(( )θ) siθ = si(( )θ) + siθ = siθ. Ceci impose si(( )θ) = 0 car si si(( )θ) 0 alors θ / πz, puis cosθ < et o a pas l égalité. E résumé, si θ / πz, U (cosθ) = si(θ) siθ <. Maiteat, quad θ ted vers 0 ou vers π das l égalité U (cosθ) = si(θ) siθ, o obtiet U () = U ( ) =. Fialemet N, Max x [,] U (x) =. Pour, l équatio U (x) = admet das [,] exactemet deux solutios à savoir et. 3) T est le polyôme uitaire de degré réalisat la meilleure approximatio uiforme de la foctio ulle sur [,]. Soit N. Soit t = T et P u polyôme uitaire de degré. Il s agit de motrer que où P = Max x [,] P(x). Supposos par l absurde que P < = t. t = P. http :// 7 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

8 ( ) kπ Cosidéros les ombres x k = cos, 0 k. Alors t (x 0 ) = > P(x 0) puis t (x ) = < P(x ) puis t (x ) = > P(x )... Aisi, le polyôme t P chage de sige das chacu des itervalles ]x k,x k+ [, 0 k et admet doc au mois racies deux à deux distictes. Mais ce polyôme est de degré iférieur ou égal à car P et t sot uitaires de degré. Doc t P est ul cce qui cotredit P < t. Fialemet, pour tout polyôme P uitaire de degré, P = T Motros de plus que t est l uique polyôme uitaire P de degré vérifiat P =. Soit doc P u polyôme uitaire de degré tel que P = de Lagrage de Q e les + réels x k = cos L Q = ( kπ puis Q = t P. Soit L Q le polyôme d iterpolatio ), 0 k. O rappelle que Q(x k ) λ k (X x i ) où λ k =. j k (xk x j ) Par hypothèse, x [,], P(x) et comme t (x k ) = ( )k, o e déduit que D autre part, ( ) k j k(x k x j ) 0 et doc j k k 0,, ( ) k Q(x k ) 0.. k 0,, λ k 0. Maiteat, Q et L Q sot deux polyômes de degré au plus qui coïcidet e les ( +) réels deux à deux disticts x k, 0 k. O a doc L Q = Q et e particulier, deg(l Q ) = deg(q). Le coefficiet de X das L Q est doc ul. Ceci fourit λ k = 0. Fialemet, les λ k sot des réels positifs de somme ulle et ils sot doc tous uls. O e déduit que Q = 0 et doc P = t. pour tout polyôme P, uitaire de degré, P = T avec égalité si et seulemet si P = T. 4) Série etière associée à T et U Soit z = re iθ, r R +, θ R u ombre complexe tel que r <. + Le développemet z = z valable quad z < fourit + r e iθ = et par idetificatio des parties réelles et imagiaires, o obtiet : ce qui s écrit ecore r ],[, θ R,, + re iθ = re iθ r cosθ+ir siθ ( re iθ )( re iθ = ) r cosθ+r, r cos(θ) = r cosθ + r cosθ+r et r si(θ) = r siθ r cosθ+r. http :// 8 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

9 + r ],[, θ R,, r T (cosθ) = r cosθ + r cosθ+r et siθ r U (siθ) = r siθ r cosθ+r, ou efi t ],[, x [,],, + t T (x) = t cosθ + t cosθ+t et (Pour t fixé das ],[ et x {,}, le plus simple est de vérifier directemet O obtiet aussi + + O peut procéder autremet. U calcul formel fourit t U (x) = + t t cosθ+t. t U (x) = ( ) tx t T (x) = tx+t t + = tx+t. t tx+t ). xt + T (x)t = + = = = t (+ + (T (x)+t + (x))t + = t T (x)t + + T (x)t )+ + = = + = = T (x)t xt, T + (x)t + puis (t xt+) + ( T (x)t = xt t et doc (t xt+) + + = = T (x)t ) = t. Réciproquemet, à x réel fixé, la fractio ratioelle e série etière. Si o pose, pour x réel fixé, l égalité (t xt+) + t + tx+t = t admet doc pas zéro pour pôle et est doc développable tx+t a (x)t pour t das ] R,R[, a (x)t = t valable pour t ] R,R[ fourit + a (x)t x + = a (x)t + + = a (x)t = t. Par suite, a 0 (x) =, a (x) = x = T (x), a (x) = 4x = T (x) et pour 3, a (x) xa (x)+a (x) = 0. Par récurrece, il est alors clair que pour tout réel x, a 0 (x) = et que, a (x) = T (x). Maiteat, si x, les pôles de la fractio ratioelle sot de module et o sait que le rayo de covergece de la série est. Si x >, les pôles sot x x et x+ x avec 0 < x x < x+ x et das ce cas, le rayo, qui est le miimum des modules des pôles, est R = x x. Si x <, les pôles sot ecore x x et x+ x avec x x < x+ x < 0 et das ce cas, le rayo est R = x x. E résumé, si x >, la série a u rayo de covergece égal à x x. http :// 9 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

10 5) Orthogoalité des polyômes T a) U produit scalaire sur R[X]. Soit ϕ : R[X] R[X] R. Motros que ϕ est u produit scalaire sur R[X]. (P,Q) P(t)Q(t) π dt t Tout d abord, si P et Q sot deux polyômes, la foctio t P(t)Q(t) t itégrable sur ],[. De plus, quad t ted vers, P(t)Q(t) ( = O t O est cotiue sur ],[ et doc localemet ) et quad t ted vers, P(t)Q(t) = t t ( ) (que ou soiet ou o racies de P ou Q) et doc la foctio t P(t)Q(t) est itégrable sur ],[. +t t Aisi, pour tous polyômes P et Q, ϕ(p,q) existe das R. La biliéarité, la symétrie et la positivité de ϕ sot claires. Soit efi P R[X]. ϕ(p,p) = 0 P (t) t dt = 0 t ],[, P (t) = 0 (foctio cotiue, positive, d itégrale ulle sur ],[) P = 0 (polyôme ayat ue ifiité de racies). ϕ : R[X] R[X] (P,Q) b) Orthogoalité des polyômes T. π R est u produit scalaire sur R[X]. P(t)Q(t) dt t Soiet et m deux etiers aturels. E posat t = cosθ pour θ [0,π], o a dt = siθdθ ou ecore dθ = dt t car siθ 0 pour θ [0,π]. O obtiet T T m = π = π = π 0 π π Aisi, si m, ϕ(t,t m ) = 0, si = m 0, ϕ(t,t m ) = si = m = 0, ϕ(t,t m ) =. 0 T (t)t m (t) t dt T (cosθ)t m (cosθ) ( dθ) cos(θ)cos(mθ) dθ = π Fialemet, puisque d autre part N, deg(t ) =, o a motré que : π 0 (cos((+m)θ)+cos(( m)θ)) dθ ( T 0 ) (T ) N est ue base orthoormée de l espace préhilbertie (R[X], ) où (P,Q) (R[X]), P Q = π P(t)Q(t) t dt. 6) Itervetio des polyômes de Tchebychev das l iterpolatio de Lagrage C est l u des itérêts pricipaux des polyômes de Tchebychev. Rappelos ue expressio de l erreur commise das l iterpolatio de Lagrage. Si f est ue foctio de classe C + sur [a,b], si x 0 <... < x sot + réels deux à deux disticts de [a,b] et si L f est le polyôme d iterpolatio de Lagrage e x 0,..., x alors, pour tout réel x de [a,b], il existe u réel c das ]a,b[ tel que f(x) L f (x) = N(x) f(+) (c) (+)! où N(x) = (x x k ), http :// 0 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

11 et e particulier f (+) (c) sup f(x) L f (x) sup N(x) sup. x [a,b] x [a,b] t [a,b] (+)! O se place sur [a,b] = [,]. Pour miimiser l erreur commise das l iterpolatio de Lagrage, il s agit de choisir N de sorte que N(x) soit le plus petit possible. N est u polyôme uitaire de degré + et le 3) motre que sup x [a,b] sup N(x) est miimum pour N = x [,] T +. http :// c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.