CI8 Les systèmes automatiques asservis

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1 Problématique : Les exigences du cahier des charges sont-elles vérifiées? Contexte Etude du lan horizontal réglable (PHR) de l airbus A340 On s intéresse à l asservissement en osition angulaire du moteur électrique au système de commande du lan horizontal réglable (PHR) d un airbus A340 dont on donne une descrition fonctionnelle ainsi qu un extrait du cahier des charges Le PHR est réglé à l aide des gouvernes de rofondeur. On eut montrer que our une vitesse donnée, il est ossible, ar réglage du PHR, de réduire la oussée des réacteurs et donc d économiser du carburant. Afin de réondre aux exigences de fiabilité qui stiulent, en articulier, que le PHR doit ouvoir fonctionner durant 0 9 FH (Fly Hour) sans subir de défaillance, un certain nombre de comosants de la chaine de commande du PHR sont doublés ou trilés suivant les cas. D autre art, toujours as soucis de sécurité, le PHR eut être commandé : - Soit automatiquement ar ordinateur de bord qui détermine, à artir des aramètres du vol, la valeur otimale de l angle β que doivent rendre les gouvernes de rofondeur. - Soit manuellement ar le ilote à artir d un volant de commande situé dans le oste de ilotage et ce, en cas de défaillance de la commande automatique du PHR. La figure ci-dessous résente le schéma de rincie de la chaîne d énergie à artir de la génération de la commande ar le calculateur ou le ilote jusqu au PHR. Denis Guérin Crédits : concours CCP / Denis Defauchy /7 TSI Eiffel Dijon

2 Le calculateur génère une tension de commande qui va alimenter le moteur électrique qui est asservi en osition angulaire our ermettre de générer l angle de consigne initial. Cet angle est adaté à l aide du réducteur. L angle de sortie du réducteur ermet de commander les deux distributeurs roortionnels, qui vont délivrer un débit de fluide hydraulique our alimenter les deux moteurs hydrauliques. Ces deux moteurs hydrauliques transforment l énergie hydraulique en énergie mécanique de rotation. Les deux mouvements de rotation ainsi générés sont additionnés à l aide du différentiel our créer un seul mouvement de rotation à sa sortir. La sortie du différentiel est reliée au réducteur 6 qui va adater l énergie mécanique de uissance our actionner la vis 4. La vis 4 est reliée à la gouverne de rofondeur et ermet de commander son angle. L angle de rotation de la vis 4 est caté à l aide du réducteur 7 qui va l adater afin d être comarée à la rotation de commande des distributeurs à l aide du train éicycloïdal, qui joue ici le rôle d un comarateur. Questions Q Justifier la résence de deux moteurs hydrauliques. En cas de anne de l un des moteurs hydrauliques, le second rend le relais et ermet d imoser toute la uissance disonible La boucle d asservissement en osition angulaire du moteur électrique a our entrée une tension de consigne u e (t) générée ar le calculateur. Cette tension est comarée à la tension u r (t), image de l angle θ r (t), délivrée ar un cateur otentiométrique. L écart ε (t) est ensuite corrigé et amlifié ar un bloc correcteur amlificateur qui fournit la tension u(t) aux bornes du moteur électrique. L angle de rotation θ m (t) en sortie du moteur est réduit ar un réducteur 2 our donner la rotation θ r (t) mesurée ar le cateur. D autre art, l angle θ m (t), est réduit ar un réducteur our fournir un angle de rotation en sortie θ P (t), sortie de cet asservissement. Q2 Construire le schéma bloc fonctionnel de cet asservissement. ε () Correcteur Amlificateur Moteur R θ P () U r () Potentiomètre θ r () R 2 Le moteur électrique est un moteur à courant continu. On rocède à une identification du moteur en le soumettant à un échelon de tension U 5 V, afin de déterminer ar un modèle de comortement sa fonction de transfert. On obtient la réonse indicielle ω m (t) donnée ci-dessous. Q3 Identifier la réonse en justifiant le modèle retenu et la/les technique(s) utilisée(s) our déterminer les aramètres. Le système est du remier ordre : Tangente à l origine : τ 0,009 H() 63% de la valeur finale : 0, τ 0,0 Gain : K τ KU 250 K 250 U Denis Guérin Crédits : concours CCP / Denis Defauchy 2/7 TSI Eiffel Dijon

3 Pour valider le modèle exérimental, on eut utiliser les équations du moteur à courant continu : () u(t) e(t) Ri(t) (2) e(t) k e ω m (t) (3) c m (t) J e dω m (t) dt (4) c m (t) k a i(t) Résistance de l induit R Ω Inertie équivalente ramenée sur l arbre moteur J e kg. m 2 Constante de force contre électromotrice k e 0,02 V/(rad. s ) Constante de coule k a 0,02 Nm. A Q4 Déterminer la fonction de transfert M() du moteur électrique et montrer qu elle eut se mettre sous la forme d un intégrateur multiliée ar une fonction de transfert d un remier ordre de gain statique k m et de constante de tems τ m. () E() RI(t) (2) E() k e Ω m () (3) C m () J e Ω m () (4) C m () k a I() E() R I() C m () k a J e Ω m () k e Ω m () M() Ω m () k a RJ e k ak e RJ e Q5 Donner les exressions littérales de k m et τ m. Q6 k a RJ e k a k e ke RJ e kake k m M() ( τ m ) k m τ k m RJ e e k a k e Alication numérique : calculer k m et τ m en récisant les unités. k m k e 0,02 50 rad. s. V τ m RJ e k a k e 0,02 0,02 0,0s Les fonctions de transfert de différents éléments sont récisés : - Correcteur Amlificateur : Gain K - Cateur otentiométrique : Gain K 2 - Réducteur : Gain R k e RJ e k a k e Denis Guérin Crédits : concours CCP / Denis Defauchy 3/7 TSI Eiffel Dijon

4 - Réducteur 2 : Gain R 2 Q7 Montrer que le schéma bloc eut se mettre sous la forme : K M() R θ P () Le raort de transmission du réducteur est R 50. ε () K M() R θ P () U r () K 2 θ r () R 2 ε () K M() R θ P () U r () K M() K M() θ P ( K M() R Q8 K M() K M() K M() K M() Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte T(), la mettre sous la forme T() K et en déduire l exression du gain de boucle. Aelons θ c l angle de consigne entrant dans le comarateur. BO (τ m ) θ c () K M() R θ P () T() θ m() K M() K k m ( τ m ) ( τ m ) K k m Q9 Déterminer la fonction de transfert F() θ P (). Montrer qu elle eut se mettre sous la forme d un système du second ordre. On notera K BF le gain statique, z le coefficient d amortissement et ω 0 la ulsation rore. F() θ P() R R θ c () R K M() K M() R K M() K M() Denis Guérin Crédits : concours CCP / Denis Defauchy 4/7 TSI Eiffel Dijon

5 F() CORRIGE AIRBUS A340 R K k m K k m τ m 2 k m R K ( τ F() m ) k K K 2 R m 2 ( τ m ) R τ m 2 K BF 2z ω 0 ω Q0 Donner l exression littérale de K BF en fonction de R, R 2 et K 2, de z et ω 0 en fonction de et τ m. K BF R ω 0 τ m z 2 ω 0 2 τ m Q Déterminer la valeur du gain de boucle de telle sorte que la réonse θ P à une entrée en tension u e de tye échelon soit la lus raide ossible sans toutefois roduire de déassement. Il faut : z 2 τ m 4 τ m 25 s 4τ m 4 0,0 Q2 Déterminer l erreur statique du système. Le système est-il récis? Conclure vis-à-vis du cahier des charges. On souhaite connaître l écart entre la consigne en angle θ c () et l angle obtenu. On s intéresse donc à la boucle d asservissement suivante: θ c () T() FTBO T() ( τ m ) La FTBO ossède un intégrateur (classe ), l écart statique est donc nul. Le système est récis et réond aux exigences du cahier des charges qui imose un écart statique nul. Remarque : θ c () T() T() ( τ m ) K BO ( τ m ) On tend donc bien au final vers l entrée car le gain statique vaut. ( τ m ) τ m K 2 BO Q3 Déterminer le tems de réonse à 5% du système et conclure vis-à-vis du cahier des charges. Denis Guérin Crédits : concours CCP / Denis Defauchy 5/7 TSI Eiffel Dijon

6 z t r 5% ω 0 5 ω τ m 0,0 Le cahier des charges est resecté. t r 5% 5 5 0, s < 0,2 s ω 0 50 On admet que la longueur utile de la vis est l 0,6 m. Le as de vis est v 0 mm. Q4 Déterminer le nombre de tours N v que va faire la vis. N v l 0,6 60 tours v 0,0 La vis est entraînée en rotation ar un réducteur dont le raort de réduction vaut θ P θ v 5. Q5 Déterminer le nombre de tours N P que va faire l arbre d entrée du réducteur 52. θ P θ v 5 N P N v 5 N P 60 2 tours 5 Q6 En déduire le nombre de tours N m que va faire l arbre du moteur. R N P N m 50 N m 50N P tours Denis Guérin Crédits : concours CCP / Denis Defauchy 6/7 TSI Eiffel Dijon

7 Le cateur de osition de gain K 2 de la boucle d asservissement du moteur électrique est un cateur otentiométrique 0 tours dont la tension de sortie varie de -2 à 2 V. Q7 En suosant que l on utilise le cateur sur toute sa lage (0 tours), déterminer le raort de réduction R 2 du réducteur reliant la sortie du moteur à l entrée du otentiomètre. Il faut faire corresondre 800 tours à 0 tours. R Q8 Déterminer le gain K 2 du cateur otentiométrique. A 0 tours il associe 24 V. Le gain vaut : K ,4 V. tour 2,4 0,382 V. rad 2π Q9 En déduire le gain K du régulateur connaissant la valeur de fixée question. 25 k m 0,382 K k m ,6 (sans unité) 0,764 K Dans le cas d une entrée de tye rame u e (t) tu(t), le cahier des charges stiule que l erreur de traînage doit être nulle. Q20 Déterminer l erreur de traînage et conclure vis-à-vis du cahier des charges. θ c () T() T() ( τ m ) La classe de la FTBO vaut, on a donc à l aide du tableau sur la récision : ε v 25 0,04 On ne resecte donc as le cahier des charges en termes d ecart de traînage, il devrait être nul. Si on ne connaît as le tableau ar cœur, on redémontre cet écart : θ c () T() θ c () T() θ c () 2 ε 2() 2 (τm) τ m ε v lim() lim 0 0 K lim BO 0 τ m 2 τ m Denis Guérin Crédits : concours CCP / Denis Defauchy 7/7 TSI Eiffel Dijon