Mémo de cours n 4. Intégrales

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Hélène Goudreau
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1 Mémo de cours n 4 Intégrles v.0 4. Primitive 4.. Définition Si l fonction f (x) est l dérivée de l fonction F(x), c est à dire que f (x) = df(x) dx, lors nous ppelons l fonction F une primitive de f. On indique cette propriété de F(x) insi : F(x) = f (x) dx (4/) On note ussi souvent F (x) = f (x). Il peut exister un nombre infini de fonctions primitives d une fonction f. Une condition suffisnte pour qu une fonction dmette une primitive est qu elle soit continue Recherche prtique d une primitive On peut trouver un grnd nombre de primitives en inversnt les méthodes de dérivtion. Un tbleu de dérivées sert donc, lu en sens inverse, de tbleu de primitives. Si une primitive de f (x) est F(x), lors toutes les utres primitives de f (x) sont de l forme F(x) + k où k est ppelée constnte d intégrtion. Certines fonctions sont trop complexes pour que l on puisse trouver isément leur primitive.

2 Primitive de f F f Dérivée de F k 0 x x n nx n n+ xn+ x n e x e x ln(x) x sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) tn(x) + tn 2 (x) = cos 2 (x) Tble 4. Tbleu de dérivées/primitives. 4.2 Intégrle 4.2. Définition On ppelle intégrle de à b de l fonction f (x) le nombre F(b) F(). b f (x) dx = F(b) F() (4/2) Ce nombre ne dépend ps de l fonction primitive choisie (puisque les constntes s nnulent dns l soustrction) Clcul d ires L vleur b f (x) dx représente l ire du domine sous l courbe représentnt f (x) en fonction de x. Cette ire peut prendre des vleurs négtives, pr exemple lorsque f (x) < 0 ou lorsque > b. Ses unités sont celles du produit f (x) x. 2

Figure 4. L intégrle de x = à x = b de l fonction f (x) est égle à l ire sous l courbe représentnt f (x) en fonction de x. [Dessin CC-by W : KSmrq] 4.2.

3 Figure 4. L intégrle de x = à x = b de l fonction f (x) est égle à l ire sous l courbe représentnt f (x) en fonction de x. [Dessin CC-by W : KSmrq] Somme de Riemnn Bernhrd Riemnn propose d pproximer le clcul de l ire sous l courbe f (x) en l divisnt en n sections. Il mesure l surfce de chque section en considérnt qu elle est un rectngle de huteur f (x i ) et de lrgeur (x i+ x i ). L somme S de l ire de chcun de ces termes, lorsque x = et x n = b, est donc une pproximtion de l ire sous l courbe : S = n f (x i )(x i+ x i ) (4/3) i= On peut interpréter cette distnce (x i+ x i ) comme étnt un intervlle de lrgeur x : S = n f (x i ) x (4/4) i= Selon Riemnn, lorsque le nombre n d intervlles est infiniment grnd (c est à dire lorsque chque intervlle x devient infiniment petit), l somme S tend vers l intégrle de à b de f : lim S = lim S = n x 0 b f (x) dx (4/5) 3

Figure 4.2 Représenttion grphique de l ire S clculée vec n = 4 (à guche) et n = 6 (à droite) intervlles. Plus le nombre d intervlles est grnd, et plus l erreur commise est fible.

4 Figure 4.2 Représenttion grphique de l ire S clculée vec n = 4 (à guche) et n = 6 (à droite) intervlles. Plus le nombre d intervlles est grnd, et plus l erreur commise est fible. On montre que certines fonctions ne sont ps intégrbles de cette fçon. Henri Lebesgue propose une méthode lterntive, un peu plus lourde, dont nous n urons toutefois ps besoin dns ce cours Vleur moyenne d une fonction À prtir de l définition de Riemnn on trouve que si l intervlle (b ) n est divisé qu en une seule section de lrgeur x = b, lors l somme S permet de clculer l vleur moyenne f m de l fonction sur l intervlle : f m = b b f (x) dx (4/6) 4.3 Utilité en physique L notion d intégrle est extrêmement utile en physique cr elle permet de tenir compte de l vrition des prmètres pendnt une évolution. Pr exemple, un ressort stocke de plus en plus d énergie u fur et à mesure qu il est comprimé. L énergie totle emmgsinée sur un intervlle donné est égle à l somme de l énergie emmgsinée sur un nombre infini de petits intervlles de distnce x. Sur chque intervlle, on effectué sur le ressort un trvil égl à l distnce x multipliée pr l force T(x). Ainsi, l énergie totle emmgsinée de x à x b est égle à E = lim x 0 T(x i ) x = xb x T(x) dx (4/7) Il suffit lors de connître l fonction T(x) (c est à dire le comportement du ressort) pour pouvoir quntifier l énergie emmgsinée entre deux points rbitrires. 4

5 D une fçon générle, à chque fois que nous urons ffire à une vrition d un prmètre, plutôt que d utiliser l vleur "moyenne" de ce prmètre sur notre évolution, nous urons recours à une intégrle, c est à dire à l somme intégrle d un ensemble d évolutions infiniment petites, pendnt lesquelles ce prmètre grde à chque fois une vleur constnte. 5

6 Bureu d études n 4 4. Drgster miniture à ir comprimé Un groupe d étudints met u point un drgster miniture motorisé pr un réservoir d ir comprimé. Le réservoir limente une petite turbine à ir connectée mécniquement ux roues. Au fur et à mesure que le drgster vnce, le réservoir se vide, et l force trnsmise ux roues diminue. On obtient insi une reltion de type : F = 5 0, 04x 2 (4/8) où F est l force trnsmise ux roues (N), et x est l distnce prcourue depuis le déprt (m). Le drgster une msse (supposée constnte) de.5 kg. Il est relâché à l immobile et effectue une course de 5 m. Nous négligeons tous les frottements lors de l course.. Exprimez l vrition de l énergie cinétique du drgster entre deux points rbitrires le long de l piste. 2. Exprimez s vitesse en fonction de l distnce, et insi l vitesse tteinte lorsqu il frnchit l ligne d rrivée. Figure 4.3 Bolide miniture mis u point pr le groupe étudint. Le réservoir d ir comprimé se vide u fur et à mesure que l énergie est trnsmise ux roues. 6

7 Pour pimenter l course, les étudints décident d utiliser une surfce ondulée. L huteur h de l surfce est mesurée en fonction de l distnce x : h = 3 sin(x) (4/9) où h est l huteur pr rpport u point de mesure (m), et x est l distnce prcourue depuis le déprt (m), utilisé en rdins dns l éqution 4/9. On dmet que le drgster mintient un contct vec l piste pendnt toute l course.. Exprimez (à nouveu) l vrition de l énergie cinétique du drgster entre deux points rbitrires le long de l piste. 2. Quelle est cette fois s vitesse à l ligne d rrivée? 7

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