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1 Représentations graphiques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2010/2011 Table des matières 1 Courbe représentative d une fonction Lecture d image Sens de variation, extremums Équations et inéquations Équation de droites Coefficient directeur, ordonnée à l origine Interpolation linéaire Table des figures 1 Recherche graphique d image Un tableau de variations Résolution graphique d équations Résolution graphique d inéquations Une droite non parallèle à l axe des ordonnées Détermination graphique d une équation de droite Interpolation linéaire Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 COURBE REPRÉSENTATIVE D UNE FONCTION Activité : Activité 1 1 de la feuille polycopiée. 1 Courbe représentative d une fonction 1.1 Lecture d image Définition : La courbe représentative d une fonction f est l ensemble des points de coordonnées (x ; y), où : l abscisse x est dans l ensemble de définition de f l ordonnée y = f (x) est l image de x par f Détermination graphique de l image de a : On se reportera à la figure 1. On place a sur l axe des abscisses, et on lit l ordonnée du point de la courbe correspondant. Elle est notée f (a). Figure 1 Recherche graphique d image Exemple : Dans l activité 1 L ensemble de définition de la fonction f est [6 ; 22] L image de 8 est 3 (ce qui se note f (8) = 3) f (14) = Sens de variation, extremums On dit que la fonction f est croissante si : plus les abscisses x augmentent, plus les ordonnées f (x) augmentent (c est-à-dire que sa courbe représentative «monte»). On dit que la fonction f est décroissante si : plus les abscisses x augmentent, plus les ordonnées f (x) diminuent (c est-à-dire que sa courbe représentative «descend»). Exemple : Dans l activité 1 La température est décroissante sur [6 ; 8] et sur [17 ; 22] La température est croissante sur [8 ; 17]. Le maximum est 6, atteint pour t = 17 Le minimum est 3, atteint pour t = 8. On peut résumer tout ceci dans un tableau appelé tableau de variations (voit figure 2). 1. Températures. 2

3 1 COURBE REPRÉSENTATIVE D UNE FONCTION 1.3 Équations et inéquations Figure 2 Un tableau de variations 1.3 Résolution graphique d équations et d inéquations Méthode 1 : Résolution graphique d équation de la forme f (x) = k On trace la droite D k la droite d équation y = k (parallèle à l axe des abscisses). Les solutions de l équation f (x) = k sont les abscisses des points d intersection entre D k et la courbe représentant la fonction f. Exemple 1 : On reprend la courbe de l activité 1. Chercher les heures auxquelles la température est de 2 C revient à résoudre l équation f (t) = 2. On trace sur le graphique la droite d équation y = 2 (voir figure 3). Les solutions sont : t = 6, t = 9 et t = 22. Figure 3 Résolution graphique d équations La température est donc de 2 C à 6 heures, 9 heures et 22 heures. On peut noter S = {6 ; 9 ; 22} Chercher les heures auxquelles la température est de 7 C revient à résoudre l équation f (t) = 7. On trace sur le graphique la droite d équation y = 7 (voir figure 3). Il n y a pas de solution. La température n est donc jamais de 7 C. On peut noter S =. Méthode 2 : Résolution graphique d inéquation de la forme f (x) k On trace la droite D k la droite d équation y = k (parallèle à l axe des abscisses). Les solutions de l inéquation f (x) k sont les abscisses des points de la courbe représentant f situés au-dessous de D k. 3

4 2 ÉQUATION DE DROITES Exemple 2 : On reprend la courbe de l activité 1. Chercher les heures auxquelles la température est inférieure à 5 C revient à résoudre l inéquation f (t) 5. On trace sur le graphique la droite d équation y = 5 (voir figure 4). Les solutions sont : t [6 ; 14] et t [18, 5 ; 22]. On peut noter S = [6 ; 14] [18, 5 ; 22]. Figure 4 Résolution graphique d inéquations La température est donc inférieure à 5 C de 6 heures à 14 heures et de 18 heures 30 à 22 heures. Remarque : On peut résoudre de façon analogue les inéquations de la forme : f (x) <k : abscisses des points de C situés strictement au-dessous de D k ; f (x) k : abscisses des points de C situés au-dessus de D k ; f (x) >k : abscisses des points de C situés strictement au-dessus de D k. Exercices : 16 page 27 ; 17 page 28 et 41, 42, 43 page 32 2 Sujet 3 page 41 3 [Déclic] 2 Équation de droites Activité : Activité 2 4 de la feuille polycopiée. 2.1 Coefficient directeur, ordonnée à l origine Définition : Toute droite non parallèle à l axe des ordonnées (voir figure ) admet une équation de la forme y = mx + p. Le coefficient m est appelé coefficient directeur. Le coefficient p est appelé ordonnée à l origine. Remarques : Le nombre p est appelé ordonnée à l origine car il correspond à la valeur de y lorsque x = 0. c est l ordonnée du point d intersection entre la droite et l axe des ordonnées.[déclic] Le coefficient directeur de la droite (AB) est : Il représente l accroissement moyen. 2. Généralités sur les fonctions. 3. Type BAC. 4. Équation de droites. m = y B y A différence des ordonnées = x B x A différence des abscisses = y x 4

5 2 ÉQUATION DE DROITES 2.1 Coefficient directeur, ordonnée à l origine Figure 5 Une droite non parallèle à l axe des ordonnées Détermination graphique de m et p : (voir figure 6) L ordonnée à l origine p est l ordonnée du point d intersection entre la droite et l axe des ordonnées. Pour déterminer graphiquement le coefficient directeur : on part d un point de la droite (ici A) ; on avance de x unités (horizontalement) et on monte de y unités (verticalement) pour se trouver sur un autre point de la droite (ici B). Le coefficient directeur est alors : m = y différence des ordonnées = x différence des abscisses Figure 6 Détermination graphique d une équation de droite Exercices : 18, 19, 20 page 28 et 44 page 43 5 [Déclic] Module : TD 3 page 24 6 [Déclic] Exercices : 31, 32 page 30 7 [Déclic] 5. Équations de droites. 6. Courbe et nuages de points Utilisation d un tableur 7. Utilisation d un tableur. 5

6 2.2 Interpolation linéaire RÉFÉRENCES 2.2 Interpolation linéaire Méthode : Interpolation linéaire (voir figure 7) On suppose une croissance linéaire entre deux dates x 0 et x 1. Les valeurs passent alors de V 0 à V 1. On veut déterminer une valeur intermédiaire V à la date x. On calcule l accroissement moyen : On a : V = m = V 1 V 0 x 1 x 0 }{{} m (x x 0 ) + V }{{}}{{} 0 accroissement moyen temps écoulé depuis le départ valeur de départ Figure 7 Interpolation linéaire Exercices : 21, 22 page 28 et 45 page 41 8 Sujet 1 page 39 9 [Déclic] Références [Déclic] Déclic, 1 re L, Mathématiques-Informatique (édition 2003) 4, 5, 6 8. Interpolation linéaire. 9. Type BAC. 6

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