Arithmétique. Divisibilité dans Z. 1) Diviseurs et multiples

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1 Arithmétique I Divisibilité dans Z 1) Diviseurs et multiples Exercice 1 : trouver tous les diviseurs des nombres 20, 36, 80, 120, 150, 157, 185, 230, 700, 1440 et 2048 Exercice 2 : un nombre entier est dit parfait si il est égal à la somme de ses diviseurs excepté lui-même. 1. Donner la liste des diviseurs de 6, 28 et Ces nombres sont-ils parfaits? Exercice 3 : deux entiers positifs m et n sont dits amicaux, si la somme des diviseurs de m autres que m) est égale à n et simultanément la somme des diviseurs de n autres que n) est égale à m. Les plus petits nombres amicaux sont 220 et Décomposer en produit de nombres premiers 220 et Vérifier que 220 et 284 sont amicaux. Exercice 4 : répondre par vrai ou faux en justifiant les réponses. 1. Si un entier est divisible par 49 et par 35 alors cet entier est divisible par = Si un nombre est divisible par 3 alors il est divisible par Si a divise b et c, alors a divise b c. 4. La somme de deux diviseurs d un entier est encore un diviseur de cet entier. e) Le produit de deux entiers pairs est pair. 5. Le produit de deux entiers impairs est impair. Exercice 5 : démontrer que, pour tout entier n, si n 2 est pair alors n est pair. Exercice 6 : dans chacun des cas suivants, déterminer les) chiffres) a, b, c sachant que : 1. 23a4 est divisible par a4 est divisible par 3 mais pas par b5c est divisible par 3 et par 5. Exercice 7 : soit le nombre A = Combien possède-t-il de diviseurs? Exercice 8 : démontrer par récurrence que, pour tout n N, nn + 1)2n + 1) est divisible par 6. Exercice 9 : 1. a) Sous quelle forme s écrit un nombre pair? b) Sous quelle forme s écrit un nombre impair? c) Montrer que le carré d un nombre pair est un nombre pair. d) Montrer que le carré d un nombre impair est un nombre impair. 2. a) Développer et réduire l expression n + 1) 2 n 2. Exercice 10 : b) En déduire que tout nombre impair peut s écrire comme la différence de deux carrés. c) Appliquer cette propriété aux nombres 13 et et 666 sont-ils divisibles par 37? 2. Plus généralement, montrer qu un nombre s écrivant aaa est divisible par 37. Exercice 11 : est-il divisible par 7, 11 et 13? 2. Plus généralement, montrer qu un nombre s écrivant abcabc est divisible par 7, 11 et 13. 1

2 Exercice 12 : les longueurs des côtés d un triangle rectangle sont des nombres entiers. On note a la longueur d un côté de l angle droit. Trouver les longueurs des deux autres côtés dans chaque cas : 1. a = 2 2. a = 3 3. a = 5 4. a = 9 5. a = a = p où p est un nombre premier autre que 2. Exercice 13 : dans chaque cas, déterminer tous les couples d entiers naturels x et y vérifiant la relation. 1. x + 4)y 1) = x 2 2x y = x 2 = y Exercice 14 : on considère l équation x y 5x 5y 7 = 0 où x et y sont des entiers naturels. 1. Montrer que cette équation équivaut à x 5)y 5) = Résoudre alors l équation. Exercice 15 : déterminer tous les entiers relatifs n tels que n 3) divise n + 5). Exercice 16 : k étant un entier naturel, on pose a = 9k + 2 et b = 12k + 1. Quels peuvent être les diviseurs positifs communs à a et b? Exercice 17 : d et n sont des entiers naturels, d Démontrer que si d divise 9n + 2 et 7n 3, alors d divise Quelles sont les valeurs possibles pour d? Exercice 18 : dans chaque cas, déterminer les entiers naturels n vérifiant la relation. 1. n 2 + n = n 2 + 2n = 35 Exercice 19 : dans chaque cas, déterminer les entiers relatifs n vérifiant la relation. 1. n + 4 divise 3n n + 1 divise 3n 4 3. n + 3 divise n + 10 Exercice 20 : montrer que pour tout entier relatif a, 6 divise aa 2 1). Exercice 21 : n est un naturel. Démontrer que quel que soit n, 3n 4 +5n+1 est impair et en déduire que ce nombre n est jamais divisible par nn + 1). Exercice 22 : en utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n, 7 n 2 n est un multiple de 5. Exercice 23 : sur le catalogue d une entreprise de vente par correspondance, la référence de chaque article est constituée d un nombre à cinq chiffres x y ztu le premier de ces chiffres x étant différent de zéro), suivi d une lettre majuscule choisie entre A et N, à l exception de la lettre I. À cette lettre majuscule est associé un nombre appelé "clé" selon le tableau suivant : Lettre A B C D E F G H J K L M N Clé A des fins de contrôle, on impose, pour chaque référence, que la somme du nombre à cinq chiffres et de la clé obtenue grâce au tableau, soit un nombre divisible par Les deux références suivantes vérifient-elles la condition précédente? Justifier M A 2. On veut retrouver la lettre d une référence dont il ne reste que le nombre à cinq chiffres Déterminer la lettre manquante. 2

3 2) Division euclidienne Exercice 24 : effectuer la division euclidienne de 431 par -17 puis de -121 par -9. Exercice 25 : trouver tous les entiers qui divisés par 5 donnent un quotient égal à 3 fois le reste. Exercice 26 : soient n et p deux entiers naturels. Répondre par vrai ou faux en justifiant. 1. Si n a pour reste 2 dans la division euclidienne par 7 alors 2n a pour reste 14 dans la division euclidienne par Si 5 divise np alors 5 divise n et 5 divise p. 3. Si le reste dans la division euclidienne de n par p est 3 alors le reste dans la division euclidienne de n 2 par p est 9. Exercice 27 : a et b sont deux entiers, lorsqu on divise a par b le reste est 8 et lorsqu on divise 2a par b le reste est 5. Déterminer b. Exercice 28 : on divise un entier naturel n par 152, puis par 147. Les quotients sont égaux et les restes respectifs sont 13 et 98. Quel est cet entier naturel n? Exercice 29 : écrire la division euclidienne de par 17. Exercice 30 : si on divise 4373 et 826 par un même nombre positif b, on obtient 8 et 7 pour reste. Déterminer b. Exercice 31 : 1. Quand on le divise par 6, le reste est 5, mais quand on le divise par 7, le reste est 3 et le quotient reste inchangé. Quel est ce nombre? 2. Le reste de la division euclidienne de l entier naturel a par 45 est 9. Quel est le reste de la division euclidienne de a par 15? par 9? par 5? par 3? 3. Dans la division euclidienne de 394 par l entier naturel non nul b, le quotient est 17 et le reste r. Quelles sont les valeurs possibles pour b et r? 4. Dans une division euclidienne, on augmente le dividende de 36 et le diviseur de 3 ; le quotient et le reste sont alors inchangés. Quelle est la valeur du quotient? Exercice 32 : la différence entre deux naturels est 538. Si l on divise l un par l autre le quotient est 13 et le reste 34. Quels sont ces deux entiers naturels? Exercice 33 : trouver les entiers naturels n qui divisés par 4 donne un quotient égal au reste. Exercice 34 : trouver un naturel qui, divisé par 23, donne pour reste 1 et, divisé par 17, donne le même quotient et pour reste 13. Exercice 35 : le quotient d un entier relatif x par 3 est 7. Quels sont les restes possibles? En déduire quelles sont les valeurs de x possibles. Exercice 36 : si l on divise un entier a par 18, le reste est 13. Quel est le reste de la division de a par 6? Exercice 37 : si l on divise un entier A par 6, le reste est 4. Quels sont les restes possibles de la division de A par 18? Exercice 38 : la division euclidienne de a par b donne a = 625b De quels naturels peut-on augmenter à la fois a et b sans changer de quotient? Exercice 39 : le code ISBN International Standard Book Number) est un nombre à 9 chiffres abcde f g hi suivi d une clé K. Pour déterminer la clé, on calcule le nombre N = 10a + 9b + 8c + 7d + 6e + 5f + 4g + 3h + 2i puis le reste R de la division euclidienne de N par 11. Si R = 0, alors K = 0 ; si R = 1, alors on remplace K par la lettre X, sinon K = 11 R. 1. Calculer la clé des codes , et Vérifier que le code est erroné. 3. Proposer un algorithme permettant de déterminer la clé à partir de la donnée des 9 chiffres a, b,... et i. 3

4 3) Congruence Exercice 40 : 1. Les nombres -13 et -8 sont-ils congrus modulo 5? 2. Les nombres 7 et 8 sont-ils congrus modulo 5? Exercice 41 : les règles d un jeu sont les suivantes, un joueur A propose un nombre entier entre 1 et 4, le joueur B ajoute à ce nombre 1, 2, 3 ou 4 et à tour de rôle, les joueurs A et B ajoutent 1, 2, 3 ou 4 au nombre obtenu. Le 1er qui arrive à 87 a gagné. 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 87 par Comment le joueur A peut-il s y prendre pour gagner à coup sûr? Exercice 42 : à quel entier naturel inférieur à 27 le nombre 523 est-il congru modulo 27? Exercice 43 : 1. Dresser la table de multiplication modulo Déterminer un entier n tel que 52n congru à 1 modulo 7. Exercice 44 : 1. Montrer que 7 4 1[5]. 2. En déduire que le reste de la division euclidienne de et par 5. Exercice 45 : 1. Déterminer le reste de la division de par Déterminer le reste de la division de par Déterminer le reste de la division euclidienne de par 7. Exercice 46 : 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par Déterminer le reste de la division euclidienne de par Quel est le chiffre des unités de ? Exercice 47 : déterminer les restes dans la division euclidienne par 7 des nombres , 100, et Exercice 48 : 1. À quel entier naturel inférieur à 11 le nombre est-il congru modulo 11? 2. Les nombres et sont-ils congrus modulo 7? Exercice 49 : sans utiliser la calculatrice, déterminer le reste dans les divisions euclidiennes suivantes. 1. de par 7 ; 2. de par 3 ; 3. de 7202 par 5. Exercice 50 : on note abcd = 1000a +100b +10c +d l écriture d un nombre en base dix) dont les chiffres sont a, b, c et d. Par exemple, 5432 = Déterminer le reste de la division euclidienne de 100 par 11, puis de 1000 par Montrer que si un nombre entier n vérifie n 10[11] alors on peut aussi écrire n 1[11]. 3. En déduire que abcd est divisible par 11 si, et seulement si, a + b c + d est divisible par 11. Exercice 51 : 1. Donner l écriture de en base Donner l écriture décimale en base 10) de AD Donner l écriture de en base Donner l écriture de en base Donner l écriture de en base 2. 4

5 Exercice 52 : on note 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, A, B, les chiffres de l écriture d un nombre en base 12. Par exemple B A7 12 = = a) Soit N 1 le nombre s écrivant en base 12 N 1 = B1A 12. Déterminer l écriture de N 1 en base 10. b) Soit N 2 le nombre s écrivant en base 10 N 2 = Déterminer l écriture de N 2 en base 12. Dans toute la suite, un entier naturel N s écrira de manière générale en base 12 par N = a n...a 1 a a) Démontrer que N a 0 [3]. En déduire un critère de divisibilité par 3 d un nombre en base 12. b) À l aide de son écriture en base 12, déterminer si N 2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base a) Démontrer que N a n a 1 + a 0 [11]. En déduire un critère de divisibilité par 11 d un nombre en base 12. b) À l aide de son écriture en base 12, déterminer si N 1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base Un nombre N s écrit x4y 12. Déterminer les valeurs de x et y pour lesquelles N est divisible par 33. Déterminer alors les nombres N possibles avec leurs écritures en base 10. Exercice 53 : le R.I.B. Relevé d Identité Bancaire) est un nombre N constitué de gauche à droite de la façon suivante : Code de la banque Code du guichet Numéro du compte Clé 5 chiffres 5 chiffres 11 chiffres 2 chiffres Pour calculer la clé de contrôle d un RIB, on considère le nombre a formé par les 21 premiers chiffres ; on calcule le reste r de la division euclidienne de N = 100 a par 97 ; la clé RIB est 97 r. Calculer à l aide de la calculatrice la clé du RIB suivant l écriture décimale de N comportant "trop de chiffres" pour la calculatrice, on pourra se demander comment les congruences peuvent nous aider à mener ce calcul) : Exercice 54 : 1. Déterminer les entiers x tels que 6 + x 5[3]. 2. Déterminer les entiers x tels que 3x 5[4]. Code de la banque Code du guichet Numéro du compte Clé ? Exercice 55 : montrer que n N, 3 n+3 4 4n+2 est divisible par 11. Exercice 56 : 1. Donner suivant les valeurs de l entier naturel n, les restes de la division euclidienne de 2n par 5. On pourra éventuellement donner le résultat par un tableau). 2. En déduire alors le reste de la division euclidienne par 5 de Exercice 57 : montrer que 4 4 3[11] puis en déduire que n N, 4 4n+2 3 n+3 est divisible par 11. Exercice 58 : dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance j le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance m, le rang du mois dans l année. Par exemple, pour une personne née le 14 mai, alors j = 14 et m = 5. Partie A : lors d une représentation, un magicien demande aux spectateurs d effectuer le programme de calcul suivant : "Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire." Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : "Votre anniversaire tombe le 1er août!". 1. Vérifier que pour une personne née le 1er août, le programme de calcul donne effectivement le nombre a) Pour un spectateur donné, on note z le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul. Exprimer z en fonction de j et de m et démontrer que z m[12]. b) Retrouver alors la date de l anniversaire d un spectateur ayant obtenu le nombre 455. Partie B : lors d une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est j et le numéro du mois de naissance est m, le magicien demande de calculer le nombre z défini par z = 12j + 31m. On considère alors l algorithme ci-contre : Variables : j, m, z entiers Traitement : Pour m allant de 1 à... faire : Pour j allant de 1 à... faire : 12j + 31m z Si... alors : Affiche 1. Compléter cet algorithme afin qu il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que 12j + 31m = Quel est alors la date d anniversaire correspondante? Exercice 59 : 1. Aujourd hui c est lundi, quel jour serons-nous dans 130 jours? 2. Le 13 avril est un vendredi. Pourquoi le 13 juillet est-il aussi un vendredi? 5

6 Exercice 60 : pour chaque valeur de a donnée, trouver un relatif x tel que a x[9] et 4 x < a = a = a = a = a = a = 32 Exercice 61 : démontrer que pour tout naturel k, 54k 1 est divisible par 13. Exercice 62 : trouver les restes de la division euclidienne par 7 des nombres et Exercice 63 : trouver les restes de la division euclidienne par 11 des nombres suivants ; ) 19 Exercice 64 : vérifier que 2 4 1[17] et 6 2 2[17]. Quel est le reste de la division par 17 des nombres et ? Exercice 65 : résoudre dans Z les systèmes suivants. 1. { x 2 [5] x > 0 2. { x [7] 100 x < 125 Exercice 66 : le nombre n désigne un entier naturel. 1. Démontrer que n 2 + 5n + 4 et n 2 + 3n + 2 sont divisible par n Déterminer l ensemble de valeurs de n pour lesquelles 3n n + 19 est divisible par n En déduire que, quel que soit n, 3n n + 19 n est pas divisible par n 2 + 3n + 2. Exercice 67 : démontrer que pour tout entier naturel n, 5 2n 14 n est divisible par 11. Exercice 68 : 1. Démontrer que pour tout entier n, n 2 est congru soit à 0, soit à 1, soit à 4, modulo Résoudre alors dans Z l équation n + 3) 2 1 0[8]. Exercice 69 : 1. Quels sont les restes possibles de la division de 3 n par 11? 2. En déduire les entier n pour lesquels 3n + 7 est divisible par 11. Exercice 70 : déterminer les entiers n tels que 2 n 1 est divisible par 9. Exercice 71 : x est un entier relatif. 1. Déterminer les restes de la division euclidienne de x 3 par 9 selon les valeurs de x. 2. En déduire que pour tout relatif x : x 3 0[9] équivaut à x 0[3] ; x 3 1[9] équivaut à x 1[3] ; x 3 8[9] équivaut à x 2[3]. 3. x, y, z sont des relatifs tels que x 3 + y 3 + z 3 est divisible par 9. Exercice 72 : Démontrer que l un des nombres x, y, z est divisible par Déterminer l ensemble des entiers relatifs x tels que le nombre n = x 2 + x 2 est divisible par Déterminer l ensemble des entiers relatifs x tels que le nombre n = x 2 + x 2 est divisible par k est un relatif. Vérifier que si x = k ou x = k alors n = x 2 + x 2 est divisible par 42. 6

7 Exercice 73 : 1. a) Déterminer suivant les valeurs de l entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de 7 n. b) Démontrer alors que [9]. 2. a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n on a 10 n 1[9]. b) On désigne par N un entier naturel et on appelle S la somme de ses chiffres. Démontrer que N S[9]. c) En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par On suppose que A = ; on désigne par B la somme des chiffres de A, C la somme des chiffres de B, D la somme des chiffres de C. a) Démontrer que A D[9]. b) Sachant que 2005 < 10000, démontrer que A s écrit en numération décimale avec au plus 8020 chiffres. En déduire que B c) Démontrer que C 45. d) En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15. e) Démontrer que D = 7. Exercice 74 : on considère l algorithme ci-dessous. Variables : Initialisation : Traitement : A et N sont des entiers naturels Saisir A N prend la valeur 1 Tant que N A Si A ) A N E = 0 alors Afficher N et A N N N prend la valeur N Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12? 2. Que donne cet algorithme dans le cas général? Exercice 75 : on considère l équation F ) : 11x 2 7y 2 = 5, où x et y sont des entiers relatifs. 1. Démontrer que si le couple x; y) est solution de F ), alors x 2 2y 2 [5]. 2. Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants : Modulo 5, x est congru à Modulo 5, x 2 est congru à Modulo 5, y est congru à Modulo 5, 2y 2 est congru à Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x 2 et de 2y 2 par 5? 3. En déduire que si le couple x; y) est solution de F ), alors x et y sont des multiples de 5. Exercice 76 : pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose An) = n Etudier la parité de l entier An). 2. Montrer que, quel que soit l entier n, An) n est pas un multiple de Montrer que, pour tout entier d diviseur de An), n 8 1[d]. Exercice 77 : on considère l équation notée E) : 3x 2 + 7y 2 = 10 2n où x et y sont des entiers relatifs. 1. Montrer que 100 2[7] et démontrer que si x; y) est solution de E) alors 3x 2 2 n [7]. 2. Reproduire et compléter le tableau suivant : Reste de la division euclidienne de x par Reste de la division euclidienne de 3x 2 par 7 3. Démontrer que 2 n est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7. En déduire que l équation E) n admet pas de solution. 7

8 { Exercice 78 : on considère la suite u n ) d entiers naturels définie par u 0 = 14 u n+1 = 5u n 6 1. Calculer u 1, u 2, u 3 et u 4. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de u n? 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, u n+2 u n [4]. 3. En déduire que pour tout entier naturel k, u 2k 2[4] et u 2k+1 0[4]. 4. a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2u n = 5 n b) En déduire que, pour tout entier naturel n, 2u n?28[100]. 5. Déterminer les deux derniers chiffres de l écriture décimale de u n suivant les valeurs de n. Exercice 79 : soit a et b deux entiers naturels non nuls ; on appelle "réseau" associé aux entiers a et b l ensemble des points du plan, muni d un repère orthogonal, dont les coordonnées x; y) sont des entiers vérifiant les conditions 0 x a et 0 y b. On note R a,b ce réseau. Représenter sur trois graphiques les points Mx; y) du réseau R 8,8 vérifiant : 1. x 2[3] et y 1[3] ; 2. x + y 1[3] ; 3. x y[3]. 4) In english... Exercice 80 : Divisibility criterias. Explain the way to check if an integer is a multiple of 3? of 5? of 9? of 11? Exercice 81 : what are the lasts digits of , 7 25, 7 100!, ) 2016 and of ) 2016? Exercice 82 : 1. Calculate the remainder in the division of by Calculate the remainder in the division of by 8 3. Show that n 2 1[8] for all n Z odd. 4. Let a,b Z. Show that a 2 + b 2 can be divided by 7 if and only if a and b can. Exercice 83 : solve the following systems of equations. 1. n 2[3] and n 1[5] 2. 2x 3[5] and 3x 2[4] II Au cœur de l arithmétique 1) PGCD Exercice 84 : utiliser l algorithme d Euclide pour trouver le pgcd des couples de nombres suivants. 144 et et et et 9185 Exercice 85 : les couples d entiers suivants sont-ils premiers entre eux? 4847 et et 813 Exercice 86 : déterminer tous les entiers naturels n inférieurs à 200 tels que n 324 = 12. Exercice 87 : si on divise 4294 et 3521 par un même entier positif, on obtient respectivement 10 et 11 comme reste. Quel est cet entier? Exercice 88 : résoudre dans N 2 les systèmes suivants. On posera d = x y et m = x y et on donnera la réponse sous forme d un tableau. 1. { x y = 1512 x y = { x y = 300 x y = 60 Exercice 89 : déterminer tous les couples a, b) dans N dont m = a b et d = a b vérifient la relation 8m = 105d Exercice 90 : n est un entier relatif quelconque. On pose A = n 1 et B = n 2 3n

9 1. a) Démontrer que le pgcd de A et de B est égal au pgcd de A et de 4. b) Déterminer, selon les valeurs de l entier n, le pgcd de A et de B. 2. Pour quelles valeurs de l entier relatif n, avec n 1, le nombre n2 3n + 6 n 1 2) Théorème de Bézout est-il un entier relatif? Exercice 91 : montrer que 59 et 27 sont premiers entre eux puis déterminer un couple x, y) tel que 59x + 27y = 1. Exercice 92 : montrer que 2n + 1 et 3n + 2 sont premiers entre eux n N. 3) Théorème de Gauss III Nombres premiers Exercice 93 : soit p un nombre premier et p Démontrer que p 2 1 est divisible par Démontrer que p 2 1 est divisible par En déduire que p 2 1 est divisible par 24. Exercice 94 : p > 3 est un nombre premier. 1. Quels sont les restes possibles dans la division de p par 12? 2. Prouver que p est divisible par 12. Exercice 95 : le produit de deux entiers naturels a et b a < b) est On note d leur pgcd. 1. a) Pourquoi d 2 divise-t-il ? b) Pourquoi d = 2 α 3 β avec 0 α 1 et 0 β 2? 2. On sait de plus que a et b ont six diviseurs communs et a est un multiple de 5. a) Démontrer que d = 18. b) En déduire a et b. Exercice 96 : α et β sont deux naturels et n = 2 α 3 β. Le nombre de diviseurs de n 2 est le triple du nombre de diviseurs de n. 1. Prouver que α 1)β 1) = En déduire n Exercice 97 : Triplets pythagoriciens Soit p un nombre premier donné. On se propose d étudier l existence de couples x; y) d entiers naturels strictement positifs vérifiant l équation E) : x 2 + y 2 = p On pose p = 2. Montrer que l équation E) est sans solution. 2. On suppose désormais que p > 2 et que le couple x; y) est solution de l équation E). Le but des questions suivantes est de prouver que x et y sont premiers entre eux. a) Montrer que x et y sont de parités différentes. b) Montrer que x et y ne sont pas divisible par p. c) En déduire que x et y sont premiers entre eux. 3. On suppose maintenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c est à dire que p = u 2 +v 2 où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs. a) Vérifier que le couple u 2 v 2,2uv ) est solution de E). b) Donner une solution de l équation E) lorsque que p = 5 puis lorsque p = On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l équation E) est impossible lorsque p n est pas la somme de deux carrés. Démontrer que les équations x 2 +y 2 = 9 et x 2 +y 2 = 49 n admettent pas de solutions en entiers strictement positifs. 9

10 5. Etudier et programmer l algorithme suivant. Variables : N, U, V, I entiers L1, L2, L3, L4, L5 listes Initialisation : Effacer listes L1, L2, L3, L4, L5 Lire N I = 1 Traitement : pour U de 2 à N faire si EU /2) = U /2 alors V = 1 sinon V = 2 fin tant que V < U faire si pgcdu,v ) = 1 alors ajouter U à L1 ajouter V à L2 ajouter U 2 V 2 à L3 ajouter 2UV à L4 ajouter U 2 +V 2 à L5 I = I + 1 V = V + 2 sinon V = V + 2 fin fin fin Sorties : Afficher L1, L2, L3, L4, L5 IV Sujets de Bac Exercice 98 : les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante Partie A : pour deux entiers naturels non nuls a et b, on note r a, b) le reste dans la division euclidienne de a par b. On considère l algorithme suivant : Variables : c est un entier naturel a et b sont des entiers naturels non nuls Entrées : Demander a Demander b Traitement : Affecter à c le nombre r a, b) Tant que c 0 Affecter à a le nombre b Affecter à b la valeur de c Affecter à c le nombre r a, b) Fin Tant que Sortie : Afficher b 1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 26 et b = 9 en indiquant les valeurs de a, b et c à chaque étape. 2. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls a et b. Le modifier pour qu il indique si deux entiers naturels non nuls a et b sont premiers entre eux ou non. Partie B : à chaque lettre de l alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape 1 : on choisit deux entiers naturels p et q compris entre 0 et 25. Étape 2 : à la lettre que l on veut coder, on associe l entier x correspondant dans le tableau ci-dessus. 10

11 Étape 3 : on calcule l entier x défini par les relations x px + q [26] et 0 x 25. Étape 4 : à l entier x, on associe la lettre correspondante dans le tableau. 1. Dans cette question, on choisit p = 9 et q = 2. a) Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J. b) Citer le théorème qui permet d affirmer l existence de deux entiers relatifs u et v tels que 9u+26v = 1. Donner sans justifier un couple u, v) qui convient. c) Démontrer que x 9x + 2 [26] équivaut à x 3x + 20 [26]. d) Décoder la lettre R. 2. Dans cette question, on choisit q = 2 et p est inconnu. On sait que J est codé par D. Déterminer la valeur de p on admettra que p est unique). 3. Dans cette question, on choisit p = 13 et q = 2. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage? Exercice 99 : les nombres de la forme 2 n 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne. 1. On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que PGCDb ; c) = 1. Prouver, à l aide du théorème de Gauss, que : si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a. 2. On considère le nombre de Mersenne Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous ) ) ) ,6 Il affirme que 3 divise ) et 4 divise ) et 12 ne divise pas ). a) En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1.? b) Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas ). c) En remarquant que 2 1 [3], montrer que, en réalité, 3 ne divise pas d) Calculer la somme S = ) ) ) 10. e) En déduire que 7 divise On considère le nombre de Mersenne Est-il premier? Justifier. 4. On donne l algorithme suivant où MODN, k) représente le reste de la division euclidienne de N par k. Variables : n entier naturel supérieur ou égal à 3 k entier naturel supérieur ou égal à 2 Initialisation : Demander à l utilisateur la valeur de n. Affecter à k la valeur 2. Traitement : Tant que MOD2 n 1, k) 0 et k 2 n 1 Affecter à k la valeur k + 1 Fin de Tant que. Sortie : Afficher k. Si k > 2 n 1 Afficher «CAS 1» Sinon Afficher «CAS 2» Fin de Si a) Qu affiche cet algorithme si on saisit n = 33? Et si on saisit n = 7? b) Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié? Que représente alors le nombre k affiché pour le nombre de Mersenne étudié? c) Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié? 11

12 Exercice 100 : dans cet exercice, on s intéresse aux triplets d entiers naturels non nuls x, y, z) tels que x 2 + y 2 = z 2. Ces triplets seront nommés «triplets pythagoriciens» en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé «TP». Ainsi 3, 4, 5) est un TP car = = 25 = 5 2. Partie A : généralités 1. Démontrer que, si x, y, z) est un TP, et p un entier naturel non nul, alors le triplet px, py, pz) est lui aussi un TP. 2. Démontrer que, si x, y, z) est un TP, alors les entiers naturels x, y et z ne peuvent pas être tous les trois impairs. 3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul n peut s écrire d une façon unique sous la forme du produit d une puissance de 2 par un entier impair n = 2 α k où α est un entier naturel éventuellement nul) et k un entier naturel impair. L écriture n = 2 α k est nommée décomposition de n. Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 : 9 = 2 0 9, 120 = a) Donner la décomposition de l entier 192. b) Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont x = 2 α k et z = 2 β m. Écrire la décomposition des entiers naturels 2x 2 et z 2. c) En examinant l exposant de 2 dans la décomposition de 2x 2 et dans celle de z 2, montrer qu il n existe pas de couple d entiers naturels non nuls x, z) tels que 2x 2 = z 2. On admet que la question A - 3. permet d établir que les trois entiers naturels x, y et z sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels x, y jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP x, y, z), les trois entiers naturels x, y et z seront rangés dans l ordre suivant x < y < z. Partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l entier Décomposer en produit de facteurs premiers l entier 2015 puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme x, y, 2015). 2. On admet que, pour tout entier naturel n, 2n + 1) 2 + 2n 2 + 2n ) 2 = 2n 2 + 2n + 1 ) 2. Déterminer un TP de la forme 2015, y, z). 3. a) En remarquant que = , déterminer un couple d entiers naturels non nuls x, z) tels que : z 2 x 2 = 403 2, avec x < 403. b) En déduire un TP de la forme x, 2015, z). Exercice 101 : pour tout couple d entiers relatifs non nuls a, b), on note pgcda, b) le plus grand diviseur commun de a et b. Le plan est muni d un repère O, ı, j ). 1. Exemple. Soit 1 la droite d équation y = 5 4 x 2 3. a) Montrer que si x, y) est un couple d entiers relatifs alors l entier 15x 12y est divisible par 3. b) Existe-il au moins un point de la droite 1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs? Justifier. 2. Généralisation : on considère désormais une droite d équation E) : y = m n x p où m,n, p et q sont des entiers q relatifs non nuls tels que pgcdm, n) = pgcdp, q) = 1. Ainsi, les coefficients de l équation E) sont des fractions irréductibles et on dit que est une droite rationnelle. Le but de l exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m,n, p et q pour qu une droite rationnelle comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs. On suppose ici que la droite comporte un point de coordonnées ) x 0, y 0 où x0 et y 0 sont des entiers relatifs. a) En remarquant que le nombre ny 0 mx 0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np. b) En déduire que q divise n. 3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple x 0, y 0 ) d entiers relatifs tels que y0 = m n x 0 p q. a) On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qr u mv = 1. b) En déduire qu il existe un couple x 0, y 0 ) d entiers relatifs tels que y0 = m n x 0 p q. 4. Soit la droite d équation y = 3 8 x 7. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers 4 relatifs? Justifier. 5. On donne l algorithme suivant : 12

13 Variables : M, N,P,Q : entiers relatifs non nuls, tels que pgcdm, N ) = pgcdp, Q) = 1 X : entier naturel Entrées : Saisir les valeurs de M, N,P,Q Traitement et sorties : Si Q divise N alors X prend la valeur 0 M Tant que N X P ) n est pas entier Q et MN X PQ ) n est pas entier faire X prend la valeur X + 1 Fin tant que Si M N X P est entier alors Q Sinon Afficher X, M N X P Q Afficher X, M N X P Q Fin Si Sinon Afficher «Pas de solution» Fin Si a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N,P,Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcdm, N ) = pgcdp, Q) = 1. b) Que permet-il d obtenir? Exercice 102 : le but de cet exercice est d étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en 1929 par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée d une matrice ) A, connue uniquement de l émetteur 5 2 et du destinataire. Dans tout l exercice, on note A la matrice définie par : A =. 7 7 Partie A : Chiffrement de Hill Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres : Etape 1 Etape 2 On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des étapes suivantes. On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers x 1 et x 2 tous deux compris entre 0 et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau suivant : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z ) ) x1 y1 Etape 3 On transforme la matrice X = en la matrice Y = vérifiant Y = AX. x 2 y ) 2 ) y1 r1 Etape 4 On transforme la matrice Y = en la matrice R =, où r 1 est le reste de la division euclidienne de y 1 par y 2 26 et r 2 celui de la division euclidienne de y 2 par 26. Etape 5 On associe aux entiers r 1 et r 2 les deux lettres correspondantes du tableau de l étape 2. Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres. Question : utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot «HILL». r 2 13

14 Partie B : Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement 1. Soit a un entier relatif premier avec 26. Démontrer qu il existe un entier relatif u tel que u a 1 modulo On considère l algorithme suivant : VARIABLES : a,u, et r sont des nombres a est naturel et premier avec 26) TRAITEMENT : Lire a u prend la valeur 0, et r prend la valeur 0 Tant que r 1 u prend la valeur u + 1 r prend la valeur du reste de la division euclidienne de u a par 26 Fin du Tant que SORTIE Afficher u On entre la valeur a = 21 dans cet algorithme. a) Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu à l arrêt de l algorithme. u r b) En déduire que modulo 26. ) ) On rappelle que A est la matrice A = et on note I la matrice : I = a) Calculer la matrice 12A A 2. b) En déduire la matrice B telle que B A = 21I. c) Démontrer que si AX = Y, alors 21X = BY. Partie C : Déchiffrement ) x1 On veut déchiffrer le mot VLUP. On note X = la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc x ) 2 ) y1 5 2 de deux lettres avant chiffrement, et Y = la matrice définie par l égalité : Y = AX = X. Si r y et r 2 sont les restes respectifs ) de y 1 et y 2 dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux lettres après chiffrement est associé à la matrice r1 R =. r 2 { 21x1 = 7y 1 2y 2 1. Démontrer que : 21x 2 = 7y 1 + 5y 2 { x1 9r r 2 modulo En utilisant la question B.2., établir que : x 2 17r r 2 modulo 26 ) ) Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices et