Mathématiques. Parcours. IUT 1 re année. GEII GIMP GMP Informatique Mesures physiques Réseaux et Télécom
|
|
- Camille Laframboise
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Parcours IUT Thierry Alhalel Florent Arnal Laurent Chancogne Mathématiques IUT 1 re année GEII GIMP GMP Informatique Mesures physiques Réseaux et Télécom L essentiel du cours Exercices avec corrigés détaillés
2
3 Table des matières Chapitre 1. Notions de base Généralités sur les fonctions Domaine de définition Propriétés graphiques d une fonction Parité d une fonction Périodicité Courbes de fonctions liées à une fonction donnée Trigonométrie Les nombres complexes Introduction Généralités Forme trigonométrique Forme exponentielle Résolution d équations Nombres complexes et géométrie Fonctions usuelles Limites de fonctions Limites à droite et à gauche Limites des fonctions usuelles Opérations sur les limites Théorèmes de comparaison Asymptotes à une courbe Continuité et dérivation Dérivation Continuité Généralités sur le calcul intégral Définition de l intégrale de Riemann Primitives et intégrales... 40
4 VI Table des matières Propriétés de l intégrale Applications de l intégrale : valeurs moyenne et efficace Intégration par parties Suites numériques Généralités Suites arithmétiques et géométriques Variations Suites majorées, minorées Convergence Exercices pour s entraîner Exercices de trigonométrie Exercices sur les complexes Exercices sur les fonctions Exercices d intégration Exercices sur les suites Chapitre. Analyse Fonctions réciproques Généralités Fonctions monotones Représentation graphique dans un repère orthonormé Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques Méthodes de calcul intégral Changement de variable Cas de certaines fractions rationnelles Notion d intégrale généralisée Intégrale d une fonction bornée sur un intervalle non borné Intégrale d une fonction non bornée sur un intervalle borné Suites récurrentes linéaires numériques Suites récurrentes linéaires d ordre Suites récurrentes linéaires d ordre Développements limités Théorèmes de Rolle et des accroissements finis Formules de Taylor Développements limités DL en un réel non nul. Développements asymptotiques Applications Exercices... 96
5 Table des matières VII.6 Résolution d équations différentielles du 1 er ordre Qu est-ce qu une équation différentielle? Comment la résoudre? Présence et absence des conditions initiales Où trouve-t-on des équations différentielles? Équations différentielles du 1 er ordre à variables séparables Équations différentielles linéaires du 1 er ordre avec second membre simple Équations différentielles linéaires du 1 er ordre et méthode de Lagrange Résolution d équations différentielles du e ordre Généralités sur les équations differentielles linéaires du second ordre Où trouve-t-on des équations du second ordre? Équations différentielles linéaires du nd ordre à coefficients constants sans second membre Solution particulière de l équation avec second membre Chapitre 3. Algèbre linéaire Dunod La photocopie non autorisée est un délit. 3.1 Matrices et calcul matriciel Définition et interprétation des matrices Utilité d une matrice Opérations simples sur les matrices Multiplication de matrices entre elles Quelques propriétés des opérations sur les matrices Matrice transposée Matrices carrées (n, n) Matrices carrées inversibles Système linéaire d équations-algorithme du pivot de Gauss Position du problème Écriture matricielle du système Algorithme ou méthode du pivot de Gauss Déterminants de matrices carrées Calcul pour des matrices carrées n = et n = Propriétés générales des déterminants Cas des matrices carrées n > 3 : mineurs et cofacteurs Application aux systèmes linéaires à n équations et n inconnues Espaces vectoriels Introduction... 15
6 VIII Table des matières 3.4. Définitions et exemples Sous-espaces vectoriels Familles libres et liées Combinaisons linéaires et familles génératrices Familles libres, bases et dimension Représentation matricielle de l espace vectoriel n Exercices Applications linéaires Introduction Image et noyau d une application linéaire Matrices et applications linéaires Injections, surjections, bijection Applications linéaires et changement de base Exercices Polynômes et fractions rationnelles Polynômes Fractions rationnelles Chapitre 4. Mathématiques et solution logicielle Utilisation d un logiciel de calcul formel : Maxima Présentation de Maxima Généralités Exemples de calculs effectués par Maxima Résolution approchée d équations non linéaires Méthodes itératives Méthode de Newton (ou méthode de la tangente) Comparaison avec la méthode de la dichotomie Algorithme d Euler Mise en jambes et principe de l algorithme Algorithme d Euler Sensibilité de la méthode d Euler Programmer Euler avec MAXIMA... 1
7 Notions de base 1 Objectifs Rappeler certaines notions, vues en Terminale S, dont une bonne maîtrise est indispensable pour aborder sereinement les chapitres suivants Rappeler les notions fondamentales de l analyse Revoir les connaissances de base sur l algèbre des nombres complexes et le plan complexe Conseils Apprenez les formules rappelées dans ce chapitre Entraînez-vous sur des exercices 1.1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Les fonctions seront utilisées fréquemment, notamment pour modéliser des phénomènes continus Domaine de définition Définition 1.1 On appelle fonction numérique d une variable réelle toute application dont les ensembles de départ et d arrivée sont des ensembles de réels. f : D Æ R On notera : x f ( x) L ensemble D est appelé l ensemble de définition de f. Les intervalles de sont des sous-ensembles particuliers de. Dans le cas où la fonction n est connue que par l écriture de f(x), on sousentend que le domaine de définition est l ensemble de tous les réels x tels que f(x) existe.
8 Chap. 1. Notions de base Exercice 1 : Recherche d un domaine de définition Déterminez l ensemble de définition de la fonction f : x 3 x - 4. Solution f ( x) existe si et seulement si x - 4 > 0 (l expression sous le radical doit être positive et le dénominateur doit être non nul). Considérons le polynôme x - 4. Ce polynôme admet deux racines : et. On rappelle qu un trinôme du second degré ax + bx + c est du signe de a à l extérieur des racines et du signe de a à l intérieur des racines. Ici, a = 1 donc x - 4 > 0 x Œ ]- ; -[» ] ; + [. On peut donc conclure que le domaine de définition de f est : ]- ; -[» ] ; + [ Propriétés graphiques d une fonction On se place dans un repère orthonormal du plan ( O; i, j ). Définition 1. Soit f une fonction définie sur un ensemble I. L ensemble des points M de coordonnées M x f x représentative de f ou graphe de f. La courbe représentative de f a pour équation y ( ; ( )), x Œ I, est appelé courbe = f ( x). Exemple : Représentation graphique de la fonction «Partie entière» La fonction partie entière, notée E, est définie sur par E( x) = n pour tout x tel que n x < n + 1. Par exemple, on a : E( 0) = 0 ; E( 0, 5) = 0 et E( 1) = 1. La représentation graphique de cette fonction est la suivante : Figure 1.1 Représentation de la fonction «Partie entière»
9 1.1 Généralités sur les fonctions Parité d une fonction Définition 1.3 Un ensemble D de est centré en 0 si " x Œ D, -x Œ D. Définition 1.4 Soit f une fonction dont le domaine de définition est centré en 0. La fonction est paire si " x Œ D, f (- x) = f ( x). Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. 1,0 0,8 0,6 0,4 0, x 0, 10 Dunod La photocopie non autorisée est un délit. Figure 1. Courbe représentant une fonction paire Définition 1.5 Soit f une fonction réelle dont le domaine de définition est centré en 0. La fonction f est dite impaire si " x Œ D, f (- x) = - f ( x).
10 4 Chap. 1. Notions de base Dans ce cas, la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l origine O du repère : 0,6 0,4 0, , 0,4 0,6 x Figure 1.3 Courbe représentant une fonction impaire Si f est une fonction impaire définie en 0, alors f (-0) = - f ( 0 ) donc f ( 0) = 0. Pour l étude d une fonction paire ou impaire, on peut donc restreindre l intervalle d étude Périodicité Définition 1.6 Soit f une fonction réelle dont le domaine de définition est. La fonction f sera dite périodique de période T si T est le plus petit réel positif tel que : " x Œ f ( x + T) = f ( x). Conséquences En conséquence, on peut restreindre l étude de la fonction f à un intervalle I de longueur T. La courbe représentative de f sera obtenue à partir de l arc d équation : ÏÔ y = f ( x) si x Œ I Ì par des translations de vecteurs kt i avec k entier relatif. ÓÔ y = 0 si x œ I
11 1.1 Généralités sur les fonctions 5 Exercice Montrez que la fonction f : x x - E ( x) est une fonction périodique dont on donnera la période. Représentez cette fonction. Solution La fonction f est définie sur et, pour tout x réel, on a : f ( x + 1) = ( x + 1) - E ( x + 1) = ( x + 1) - [ E ( x) + 1 ] = x - E ( x) = f ( x). Avant de conclure sur la périodicité de f, il faut s assurer que 1 est le plus petit réel T tel que, pour tout réel x, f ( x + T ) = f ( x). En particulier, on doit avoir : f ( T ) = f ( 0 ). Or, si 0 < T < 1 alors f ( T ) = T - E ( T ) = T et f ( 0) = 0 donc f ( T ) π f ( 0 ). La fonction f est donc périodique. Il suffit de la représenter sur [ 0; 1[, en utilisant que sur cet intervalle f ( x) = x, puis d effectuer des translations de vecteurs ki, k Œ Z. La représentation graphique est la suivante : 1 0,8 0,6 y 0,4 0, x 3 Figure 1.4 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Courbes de fonctions liées à une fonction donnée Nous allons, dans cette partie, considérer les fonctions du type x f ( x) + l et x f ( x + l ). Théorème 1.1 La courbe représentative de la fonction x f ( x) + l est l image de la courbe représentative de f par la translation de vecteur l j. La courbe représentative de la fonction x f ( x + l ) est l image de la courbe représentative de f par la translation de vecteur -li.
12 6 Chap. 1. Notions de base Exercice 3 Déterminez une expression «envisageable» de la fonction g dont la courbe est donnée ci-dessous (on fera le lien avec la fonction «Inverse»). 10 y Figure 1.5 Solution Cette courbe semble être l image de la courbe de la fonction «Inverse» f : x 1 par la translation de vecteur -i - j qu on peut décomposer en deux x translations : l une de vecteur -i et l autre de vecteur - j. La translation de vecteur -i 1 est associée à f ( x + 1) = x +. La translation de 1 vecteur - j conduit à considérer : g( x) = f ( x + 1) - = 1 x x + - = x TRIGONOMÉTRIE Pour tout ce chapitre, le plan sera rapporté au repère ( O; i, j ). Définition 1.7 On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens direct.
13 1. Trigonométrie 7 Définition 1.8 Soit M un point sur ce cercle, tel que ( i ; OM ) = x. On appelle cosinus de l angle orienté i ; OM On appelle sinus de l angle i ; OM ( ) l abscisse de M. ( ) l ordonnée de M. 1 sin(x) M 1 0 cos(x) 1 Figure 1.6 Cercle trigonométrique Dunod La photocopie non autorisée est un délit. L essentiel " x Œ, - 1 cos x 1 et - 1 sin x 1. cos x + sin x = 1. cos( x + kp ) = cos( x) et sin( x + kp ) = sin( x) avec k Œ. Les fonctions cos : x cos( x) et sin : x sin( x) sont définies sur, à valeurs dans [-1; 1]. Ces fonctions sont périodiques, de période T = p. La fonction sin est impaire ; la fonction cos est paire. On a les formules suivantes : sin( p + x) = -sin( x ) et cos( p + x) = -cos( x ). p La formule cos( x) = sin( x + ) montre que la courbe d équation y = cos( x) se déduit de la courbe d équation y = sin( x) par la translation de vecteur - p i. 1 0, ,5 1 Figure 1.7 Courbes représentatives des fonctions sin et cos y = cos(x) y = sin(x)
14 8 Chap. 1. Notions de base Définition 1.9 sin( x) La fonction tangente, notée tan, est définie par tan( x) = pour tout x tel que cos( x) cos( x) π 0. { } Son ensemble de définition est donc R- p p Z + k, k Œ. D après les propriétés vues précédemment, on a : sin( x + p) sin( x) sin( x) tan( x + p) = = - = = tan( x) cos( x + p) -cos( x) cos( x) sin( -x) et tan( - x) = cos( -x) sin( ) = - x = - tan( x ). cos( x) Ainsi, cette fonction est périodique, de période π, et impaire. Il suffit de l étudier sur È0; p È ÎÍ ÎÍ. 40 y x 0 40 Figure 1.8 Représentation graphique de la fonction tan
15 1. Trigonométrie 9 Formules de trigonométrie cos( - x) = cos( x) cos( p - x) = -cos( x) cos( p + x) = -cos( x) sin( -x) = - sin( x) sin( p - x) = sin( x) sin( p + x) = - sin( x) p cos( sin + x) = - ( x ) cos( p sin - x ) = ( x) p sin( cos + x) = ( x ) sin( p cos - x ) = ( x) Valeur de x 0 p 6 sin 0 1 cos 1 3 tan 0 Valeurs remarquables 3 3 p 4 p p 1 3 non définie 1 0 Formules d addition et duplication sin( a + b) = sin acosb + sin bcosa sin( a - b) = sin acosb - sin bcosa cos( a + b) = cosacosb - sin asin b cos( a - b) = cosacosb + sin asin b sin( a) = sin acosa cos( a) = cos a - 1 Formules de développement et de factorisation Dunod La photocopie non autorisée est un délit. cos( a + b) + cos( a - b) cosacosb = cos( a - b) - cos( a + b) sin asin b = ( ) ( ) p + q p - q cos p + cosq = cos cos ( ) ( ) p + q p - q sin p + sin q = sin cos sin( a + b) + sin( a - b) sin acosb = ( ) ( ) p + q p - q cos p - cosq = -sin sin ( ) ( ) p + q p - q sin p - sin q = cos sin
16 10 Chap. 1. Notions de base Équations trigonométriques cosa = cosb b = a + kp ou b = - a + kp, k Œ sin a = sin b b = a + kp ou b = p - a + kp, k Œ tan a = tan b b = a + kp, k Œ Exercice 4 On considère un signal continu donné par la fonction f définie par : f ( t) = asin( wt) + bcos( w t). a. Transformez f ( t) sous la forme f ( t) = Asin( wt + j ) où A > 0. b. Exprimez sous la forme précédente les fonctions définies par : f ( t ) = sin ( t ) + cos ( t ) et f3 ( t ) = sin ( t ) - cos ( t ). c. Tracez sur un même graphe les courbes représentatives des fonctions f1, f et f 3 où f 1 est définie par : f ( t) = sin ( t). 1 Solution a. On a : Asin( wt + j) = A[ sin( wt) cos( j) + sin( j) cos( wt) ] donc Asin( wt + j) = [ Acos( j) ] sin( wt) + [ Asin( j) ] cos( wt). En identifiant, on obtient : a = Acos( j ) et b = Asin( j ) soit : cos( j) = a et sin j A ( ) = b A. En utilisant cos ( j) + sin ( j) = 1, il vient : ( ) + ( ) = A correspondant à l amplitude du signal, on le prend positif. On a donc : A = a + b. a A b A 1 soit : a + b = A. b. Considérons f ( t ) = sin ( t ) + cos ( t ). D après ce qui précède, en considérant a = b = 1, on obtient : A = a + b 1 =, cos( j) = = et sin j ( ) = 1 =. On prend : p j =. 4 On a donc : f ( t) = sin ( p t + 4 ). Par un raisonnement similaire, on obtient : f3 ( t) = sin ( p t - 4 ). c. La première courbe (en rose) s obtient en traçant une courbe similaire à celle de sin mais avec une amplitude de, au lieu de 1. Les courbes de f et f 3 (respectivement en gris et en noir) se déduisent de la première à l aide de translations de vecteurs respectifs : - p i et p i. 4 4
17 1.3 Les nombres complexes 11 1,5 y 1 0, x 0,5 1 1,5 Figure 1.9 Courbes représentatives des trois fonctions Dunod La photocopie non autorisée est un délit. 1.3 LES NOMBRES COMPLEXES Introduction Les nombres complexes permettent de résoudre certaines équations n admettant pas de solution réelle. Ils sont très utiles en géométrie mais aussi dans certains domaines de la physique, notamment en électronique (notions de phase, amplitude d un signal, gain ). On définit le nombre imaginaire i tel que i = - 1. Nous tenons à préciser que, dans certaines disciplines, par exemple en électronique, on remplace la lettre i par la lettre j (i étant associée à l intensité d un courant). L ensemble des nombres complexes, noté, est tel que : C = { a + ib, ( a, b) Œ R }. Enfin, on munit cet ensemble des lois «+» et telles que celles-ci prolongent les lois de. Il est à noter que : R à C Généralités Définition 1.10 Soit z = a + ib un nombre complexe. a + ib est appelée forme algébrique de z. La partie réelle de z est le réel, noté Re( z), tel que : Re( z) = a. La partie imaginaire de z est le réel, noté Im ( z), tel que : Im ( z) = b.
18 1 Chap. 1. Notions de base Axe des imaginaires b M(z) O a Axe des réels Figure 1.10 Propriété 1.1 Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. Ïa a Ainsi : a + ib = a + ib = ' ' ' Ì Ó b = b'. Définition 1.11 Soit z = a + ib un nombre complexe. Le nombre complexe z, conjugué de z = a + ib, est tel que z = a - ib. Propriété 1. Pour tous nombres complexes z et z, n étant un entier, on a : ( z + z ) = z + z ( z z ) = z z zn = z n z = z 1 1 si zπ0 alors : ( z ) = z et z ' z ' ( z ) = z z Œ z = z et Ï Ì Ó z + z = Re( z) z - z = iim( z) Forme trigonométrique Module et argument d un nombre complexe Définition 1.1 Soit z = a + ib un nombre complexe. Le module de z, noté z, est défini par : z = a + b. Géométriquement, le module de z correspond à la longueur OM.
19
20 Parcours Thierry Alhalel Florent Arnal Laurent Chancogne IUT Mathématiques IUT 1 re année Cet ouvrage fournit les fondements mathématiques des deux premiers semestres des filières GEII, GIM, GMP, Mesures physiques, Informatique, Réseaux et télécommunications. Chaque chapitre contient : un cours synthétique avec des conseils sur l utilisation de l outil mathématique ; des exercices d application ; des corrigés détaillés. Des suppléments en ligne sur le site dunod.com permettent d aller plus loin avec notamment des indications pour l utilisation du logiciel libre de calcul formel Maxima. Thierry Alhalel Professeur à l IUT de Blagnac. Florent Arnal Professeur à l IUT de Bordeaux. Laurent Chancogne Professeur à l IUT de Blagnac. Dans le même collection : ISBN
1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailAnnexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailCorps des nombres complexes, J Paul Tsasa
Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailNOTICE DOUBLE DIPLÔME
NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailCatalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands.
Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Pourquoi un autre catalogue en Suisse romande Historique En 1990, la CRUS (Conférences des
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailCorrigé des TD 1 à 5
Corrigé des TD 1 à 5 1 Premier Contact 1.1 Somme des n premiers entiers 1 (* Somme des n premiers entiers *) 2 program somme_entiers; n, i, somme: integer; 8 (* saisie du nombre n *) write( Saisissez un
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailCalculer avec Sage. Revision : 417 du 1 er juillet 2010
Calculer avec Sage Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas Thiéry Paul Zimmermann Revision : 417 du 1
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailSOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des
Plus en détail