Nombres complexes - Partie 2

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1 Chapitre F Nombres complexes - Partie 2 Contenus Capacités attendues Commentaires Forme trigonométrique : module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct ; notation exponentielle. Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement. Connaître et utiliser la relation zz = z 2. Effectuer des opérations sur les nombres complexes écrits sous différentes formes. La notation exponentielle est introduite après avoir montré que la fonction θ cosθ+ isinθ vérifie la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle. Les nombres complexes permettent de mémoriser les formules trigonométriques d addition et de duplication vues en première. Analyse fréquentielle d un système. 1

2 2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

3 Table des matières F Nombres complexes - Partie 2 1 I - Module d un nombre complexe Définition, interprétation géométrique Propriétés des modules II - Forme trigonométrique d un nombre complexe Arguments d un nombre complexe non nul Forme trigonométrique Propriétés des arguments III - Forme exponentielle d un nombre complexe Dans tout le chapitre le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct. I - Module d un nombre complexe 1. Définition, interprétation géométrique Définition 1 Soit z = a+ib avec a,b R un nombre complexe. On appelle module de z le réel noté z défini par : z = a 2 +b 2. Remarques : z 0 ; Si z R alors z = a (valeur absolue du réel a); Exemples 1 3+2i = = 13 ; 3 2i = = 13 ; i = = 1. Propriété 1 Soit z C. (1) Si M est le point d affixe z alors OM = z. (2) Si #» w est un vecteur d affixue z alors #» w = z. 3

4 2. Propriétés des modules Propriété 2 z et z étant deux nombres complexes. (1) z 2 = zz ou bien z = zz. (2) z = 0 z = 0. (3) z = z = z = z. (4) zz = z z. (5) Si z 0 alors 1 z = 1 z. z (6) Si z 0 alors z = z z. (7) Si z 0 alors pour tout n Z, z n = z n. (1),(2),(3) évidents. (4) zz 2 = zz zz = zz zz = zzz z = z 2. z 2 = ( z. z ) 2. (5), (6), (7) même idée. II - Forme trigonométrique d un nombre complexe 1. Arguments d un nombre complexe non nul Définition 2 Soit z un nombre complexe non nul et M le point d affixe z. On appelle argument de z et on le note arg(z) une mesure en radian de l angle orienté ( #» u; #» OM). M(z) z #» v arg(z) O #» u Remarques : 0 n a pas d argument; Tout nombre complexe admet une infinité d arguments : si θ est un argument de z alors pour tout k Z, θ +2kπ est aussi un argument de z. On écrit : arg(z) = θ (2π). Exemples 2 Soit A, B, C, D et E les points du plan complexe d affixes respectives 3, 4, 3i, 2i et 1+i. 2 Déterminer un argument de chacun d eux. 2. Forme trigonométrique Théorème 1 Soit z = a+ib un nombre complexe non nul avec a,b R et θ un argument de z. Alors : a = z cosθ et b = z sinθ. 4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

5 b = z]sinθ M(z) z #» v O #» u θ = arg(z) a = z cosθ Définition 3 Une écriture d un nombre complexe z sous la forme : est appelée forme trigonométrique de z. z = z (cosθ + isinθ) où θ = arg(z) (2π). Exemples 3 (1) Donner deux formes trigonométriques distincts du nombre complexe z = 1 i. (2) Déterminer une forme trigonométique du nombre z = (3) Soit z le nombre complexe, tel que z = 4 et arg(z) = 2π 3 (2π). Déterminer la forme algébrique de z. (1) z = î Ä 2 cos π ä Ä + isin π äó ou z = [ ( ) ( )] 3π 3π 2 cos + isin » (2) z = ( 3) = cosθ = 3 Solution En posant θ = arg(z) (2π), on a 2 3 = = 2 3 sinθ = 2 3 = 1 2 À l aide du cercle trigonométrique, on en déduit que θ = 5π 6, d où z = 2 2(sin 5π 6 + isin 5π 6 ). (3) z = 2+2i 3. Remarque : z = Å 2 cos π 4 isin π ã n est pas une forme trigonométrique. 4 L unicité de l écriture d un nombre complexe sous forme algébrique donne immédiatement les deux propriétés suivantes : Propriété 3 Si un nombre compelxe z s écrit sous la forme z = r(cosα+isinα) où r R avec r > 0 et α R alors : z = r et arg(z) = α (2π). Théorème 2 Soit z et z deux nombres complexes. z = z z = z et arg(z) = arg(z ) (2π). 5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

6 3. Propriétés des arguments Propriété 4 Pour tout nombre complexe z non nul, on a : (1) arg(z) = arg(z) (2π) ; π M(z) (2) arg( z) = arg(z)+π (2π) ; (3) z R arg(z) = 0 [π] (c est-à-dire 0 ou 2π (2π)); (4) z ir arg(z) = π 2 [π] (c est-à-dire π 2 ou π 2 (2π)). M 2 ( z) #» v O #» u θ θ M 1 (z) Théorème 3 Pour tous nombres complexes non nuls z et z, on a : arg(zz ) = arg(z)+arg(z ) (2π). On pose θ = arg(z) (2π) et θ = arg(z ) (2π). zz = z (cosθ+ isinθ) z [ cosθ + isinθ ) = z. z (cosθ +cosθ sinθsinθ + i(cosθsinθ +sinθcosθ ] = zz (cos(θ+θ )+ isin(θ +θ )). On applique ci-dessus les formules d addition du sinus et du cosinus vues en première. D après la propriété 3, on en déduit que arg(zz ) = θ +θ (2π). Propriété 5 Pour tous nombres complexes non nuls z et z, on a : Å 1 (1) arg = arg(z) (2π) ; zã Å ã z (2) arg z = arg(z) arg(z ) (2π) ; (3) Pour tout n Z, arg(z n ) = narg(z) (2π). (1) z 1 z = 1, d où argz 1 = arg(1) = 0 (2π). z ( 1 D après le théorème 3, arg(z) arg = 0 (2π), d où le résultat. z) (2) z z = z 1 Ä z ä ( ) 1 z, d après le théorème 3, arg = arg(z)+arg et avec le point précédent on obtient le résultat. z z (3) Pour n N, on raisonne par récurrence sur n. arg(z 0 ) = arg(1) = 0 (2π), et 0 arg(z) = 0 (2π). La propriété est initialisée. Supposons que pour un entier naturel n, on ait arg(z n ) = n.arg(z) (2π). arg(z n+1 ) = arg(z n z) = arg(z n )+arg(z) = n.arg(z)+arg(z) = (n+1)arg(z) (2π). La propriété est donc héréditaire. D apès l axiome de récurrence pour tout n N, on a arg(z n ) = narg(z) (2π). ( ) 1 Si n Z, alors on pose m = n N, ainsi arg(z n ) = arg(z m ) = arg = arg(z m ) = marg(z) = narg(z) (2π). z m Exemples 4 Déterminer la forme trigonométrique de z 1 = 1 Å ã 3+i 1+i, z 2 = (1+i) et z 3 = (1+i) î Ä Solution z 1 = cos π ä Ä + isin π äó [ ( ) ( )] 2 13π 13π, z 2 = cos + isin et z 3 = 4[cosπ + isinπ] Lycée Pierre-Gilles de Gennes

7 Théorème 4 Soit A(z A ), B(z B ), C(z C ) et D(z D ) quatre points du plan complexe tels que A B et C D. (1) AB = z B z A et ( #» u, AB) #» = arg(z B z A ) (2π) ; (2) ( AB, #» CD) #» Å ã zd z C = arg (2π). z B z A (1) z #» AB = z B z A, d où le résultat. (2) ( #» AB, #» CD) = ( #» AB, #» u)+( #» u, #» CD) = ( #» u, #» CD) ( #» u, #» AB) = arg(z D z C ) arg(z B z A ) = arg ( ) zd z C z B z A (2π). III - Forme exponentielle d un nombre complexe Soit f la fonction définie sur R par f(θ) = cosθ + isinθ. Remarques : f(θ) C; f(θ+θ ) = cos(θ+θ )+isin(θ+θ ). Donc f(θ + θ ) est le nombre complexe de module 1, et dont un argument est θ + θ (propriété 4). De plus, f(θ)f(θ ) a également pour module 1 et pour module θ +θ (théorème 3). En appliquant le théorème 2, on en déduit que : f(θ+θ ) = f(θ)f(θ ). La fonction f est dérivable sur R (on dérive la partie réelle et la partie imaginaire indépendamment). Par analogie avec la propriété caractéristique de la fonction exponentielle, on a envie de dire que f(θ) = exp(kθ) avec k C. De plus, f (θ) = sinθ + icosθ = i(cosθ + isinθ) = if(θ). et f(0) = 1. Par conséquent k = i. Définition 4 Pour tout réel θ, on pose : cosθ + isinθ = e iθ. e iθ est le nombre complexe de module 1 et d argument θ. Exemples 5 Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants : e 2iπ, e iπ, e iπ 2, e i π 2 et e i π 3. Solution e 2iπ = 1, e iπ = 1, e iπ 2 = i, e iπ 2 = i et e iπ 3 = i 3 2. Remarque : La formule e iπ = 1 est appelée la formule d Euler. Propriété 6 Pour tous réels θ et θ et tout entier n : (1) e iθ Ä = 1 et arg e iθ ä = θ (2π) ; (2) e iθ e iθ = e i(θ+θ ) ; (3) eiθ e iθ = e i(θ θ ) ; 1 (4) e iθ = e iθ ; (5) Ä e iθä n = e inθ (formule de Moivre). Conséquences de la propriété 6 et du théorème 3. Remarques : La formule de Moivre s écrit aussi : (cosθ + isinθ) n = cos(nθ)+isin(nθ). En appliquant R(z) = z +z 2 et I(z) = z z 2i au nombre complexe z = cosθ + isinθ pour tout réel θ, on 7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

8 obtient les formules d Euler : cosθ = eiθ + e iθ 2 et sinθ = eiθ e iθ. 2i Du (2), on tire cos(θ+θ )+isin(θ+θ ) = (cosθ+isinθ)(cosθ +isinθ ), on retrouve les formules d addition et de duplication vues en première : cos(θ+θ ) = cosθcosθ sinθsinθ et sin(θ +θ ) = sinθcosθ +cosθsinθ. cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ = 1 2sin 2 θ et sin(2θ) = 2cosθsinθ. Théorème 5 Tout nombre complexe z non nul peut s écrire sous la forme z = z e iθ où θ est un argument de z. Cette écriture est appelée forme exponentielle de z. Conséquences du théorème 1 et de la définition 4. Propriété 7 Soit z C, si z = re iα où z R + et α R alors r = z et α = arg(z) (2π). Conséquences de la propriété 4 et de la définition 4. Exemple 6 Déterminer le module de z = 3e iπ 3 et un argument de z. Solution z = 3 et arg(z) = 2π 3 (2π). Propriété 8 Équation paramétrique d un cercle Soit A un point du plan complexe d affixe z A et r un réel positif. Une équation de la forme z = z A +re iθ avec θ R est une équation paramétrique du cercle de centre A et de rayon r. On note C le cercle de centre A et de rayon r. M(z) C AM = r z z A = r z z A = re iθ avec θ R car re iθ et le nombre complexe de module r et d argument θ. 8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

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