ESSCA(Management - Finances)

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1 parteaire de PREPAVOGT Yaoudé, 3 mai 04 BP : 765 Yaoudé Tél : / prepavogt@yahoofr wwwprepavogtorg ESSCA(Maagemet - Fiaces) CONCOURS D ADMISSION RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE DUREE : 3h00 Nombre de pages : 09 L épreuve se décompose e 3 parties Chaque questio se compose de 4 propositios pour lesquelles le cadidat doit idiquer si elles sot vraies ou fausses Toutes les réposes sot possibles Par exemple, das ue même questio, les propositios peuvet être toutes vraies, ou toutes fausses re partie : Raisoemet logique Le cadidat mettra e œuvre des outils simples adaptés à la résolutio des exercices proposés Il devra faire preuve d adaptatio rapide d ue questio à l autre, les questios état idépedates e partie : Raisoemet mathématique Das cette partie plus classique, le cadidat devra démotrer sa maîtrise des outils faisat partie du programme de mathématiques des filières géérales du baccalauréat Les questios y sot égalemet idépedates 3e partie : Problème mathématique Das cette partie, les questios peuvet être dépedates Le cadidat pourra doc exploiter les résultats obteus précédemmet pour répodre aux questios suivates Chaque questio comporte quatre items, otés A B C D Pour chaque item, vous devez sigaler s il est vrai e l idiquat sur la grille de réposes e marquat la case sous la lettre V ; ou faux e l idiquat sur la grille de réposes e marquat la case sous la lettre F Importat : l utilisatio d ue calculatrice est strictemet iterdite

2 PARTIE A : RAISONNEMENT LOGIQUE (Exercices à 6) Exercice Deux motres marchet e même temps E les regardat, o costate que l ue retarde de deux miutes par heure et l autre avace d ue miute par heure Après quelque temps, o costate e regardat de ouveau que, celle qui avace idique exactemet ue heure de plus que l autre A : De ces iformatios il y a à chaque heure 3 m d écart etre les deux motres B : Les deux motres ot marché pedat 0 heures C : Les deux motres ot marché pedat heures D : Les deux motres se sot retrouvées au mois ue fois à la même heure Exercice L esemble = {a, b, c, d, e} est u uivers sur lequel o défiit ue probabilité p A : Si p({a, b, c}) = 3 5 et p({a, d, e}) = 9 0 alors p({a, e}) 0 O suppose pour les questios B) et C) que E et F sot deux évéemets de l uivers tels que p(e ) = 3 p(f) = 3 5 et p(e F) = 4 5 B : O a p(e F) = 3 5 C : Les évéemets E et F sot idépedats Ue ure cotiet 5 boules idiscerables au toucher, portat les lettres a, b, c, d, e respectivemet O effectue 5 tirages successifs d ue boule avec remise O suppose que toutes les boules ot la même probabilité d être tirées D : La probabilité de tirer exactemet fois ue voyelle est q = Exercice 3 Des comparaisos A : La comparaiso des ombres A =, , ² + 5 et B =, , ² + 5 doe A < B B : La comparaiso des ombres A = 3, , ² + 5 et B = 3, , ² + 5 doe A < B C : La comparaiso des ombres A3 et B (,398075)² 5(,398076)²,398075, (3,398075)² 5(3,398076)² 3, , D : la comparaiso des ombres A4 et B4 doe A 3 < B 3 doe A 4 <B 4

3 Exercice 4 U meuble est composé de 0 ures U, U,, U 0 Ue persoe place au hasard ue boule das l ue des ures et ue autre persoe est chargée de la retrouver à l aide de la stratégie suivate : La persoe ouvre l ure U Si la boule est das l ure U, la recherche est achevée, sio la persoe ouvre l ure U et aisi de suite e respectat l ordre des uméros des ures O désige par B i l évéemet «la boule se trouve das l ure U i», où i 0 et P(B i ) sa probabilité O ote X la variable aléatoire égale au ombre d ures qui ot été ouvertes afi de localiser la boule avec cette stratégie A : Avec cette stratégie, l ure U 0 e sera jamais ouverte B : Les probabilités des évéemets [X = 9] et B 9 B 0 sot égales C : La probabilité de l évéemet B i où < i < 0 est p = 9 i - i 0 D : La loi de probabilité de X suit ue loi biomiale de paramètres = 0 et p = Exercice 5 0 Soit (U ) la suite défiie par U 0 = 0 et pour tout etier aturel, U + = U - A : La suite (U ) est ue suite arithmétique de raiso - B : Pour tout etier aturel, U = - ( + ) C : La suite (V ) défiie par IN*, V = est covergete ² U + D : La suite (W ) défiie par IN*, W = est croissate U Exercice 6 Pour remplir u bassi, o dispose de trois robiets A, B et C Avec A et B, le bassi se remplit e 0m ; avec B et C, le bassi se remplit e 5m et avec A et C, le bassi se remplit e m O ote V le volume du bassi, x, y et z les débits respectifs e miute des robiets A, B et C A : De l éocé, o déduit que x + y + z = V 0 U B : De l éocé, o déduit que x = V 30 ; y = V 60 et z = V 0 C : Pour remplir le bassi avec chacu des trois robiets foctioat seul, il faut 30m pour A, heure pour B et 0 m pour C D : Pour remplir le bassi avec les trois robiets ouverts, il faut 0 miutes 3

4 PARTIE B: RAISONNEMENT MATHEMATIQUE (Exercices 7 à 8) Exercice 7 Soit α u réel das [0, ] et E α l équatio z² + (siα)z + = 0 d icoue z A : Pour tout réel α das [0, ], l équatio E α admet deux racies complexes cojuguées distictes B : Pour tout réel α das [0, ], l équatio E α admet pour solutios z = siα icosα et z = siα + icosα C : Pour tout réel α das [0, ], l équatio E α admet pour solutios les complexes i(α - ) i(α + ) z = e et z = e D : Il existe u uique réel α das [0, ] pour lequel i est solutio de l équatio E α Exercice 8 O lace trois fois de suite u dé cubique bie équilibré dot les faces sot umérotées de à 6 O désige par a, b et c les uméros obteus aux premier, deuxième et troisième lacers et o cosidère le système d icoues réelles x et y suivat : (S) x - y = 3 ax - by = c A : La probabilité de le système (S) admet das IR ue ifiité de solutios est B : La probabilité de le système (S) admet pas de solutio est 3 6 C : La probabilité de le système (S) admet das IR ue uique solutio est D : La probabilité de le système (S) admet das IR ue uique solutio, le couple (3, 0) est 0 6 Exercice 9 6 U agriculteur cherche à placer au er javier 03 u capital de F O lui propose deux placemets : Le premier placemet à itérêts composés, au taux auel de 0% Le deuxième placemet à itérêts simples, au taux auel de 5% O ote u o = ; u le capital acquis au bout de aées pour le premier placemet et v le capital acquis au bout de aées pour le deuxième placemet A : E foctio de, v = (,5) u o B : S il a choisit le premier placemet, il pourra s acheter ue machie d occasio qui coûte F au bout de 5 as C : So capital aura doublé au bout de 7 as s il choisit le premier placemet D : A partir de la euvième aée, le placemet le plus avatageux est le deuxième placemet 6 4

5 Exercice 0 Soit (Z ) la suite des ombres complexes défiie par : Z 0 = + i et pour tout etier aturel, Z + = Z O pose pour e etier aturel, U = Z et V = arg(z ) A : La suite (U ) est ue suite géométrique de raiso et de premier terme U 0 = B : La suite (V ) est ue suite arithmétique de raiso et de premier terme 4 i( + ) 4 C : Sous forme trigoométrique et e foctio de, Z = ( ) e D : Les etiers aturels tels que où k est u etier aturel Exercice O pose I 0 = z soit imagiaire pur sot de la forme = 4k si(3x)dx et pour tout etier o ul, I 0 = A : La suite (I) est ue suite croissate 6 x si(3x)dx 0 B : Le calcul de I 0 ous doe I 0 = 3 C : Le calcul de I ous doe I = 9 + D : Par ue itégratio par parties, I + = (+)( ) + (+)(+)I Exercice Soit la foctio g défiie sur ]0, +[ par g(x) = x 3 x - lx + (x-)(3x² + 3x + ) A : La foctio g est dérivable sur ]0, +[ et g (x) = x B : Détermier le sige de g(x) reviet à étudier ses variatios C : Détermier le sige de la dérivée de la foctio f défiie par f(x) = reviet à détermier le sige de g(x) D : La limite de la foctio f e 0 est égale à - lx x + + x x² 5

6 Eocé suivat : Pour modéliser le comportemet du cosommateur devat les choix qu il peut faire les écoomistes ot recours à la otio de «foctio de satisfactio» Nous e présetos ici u cas simple : ous ous itéressos au choix etre la viade et le poisso Si l o ote x le poids (e kg) de viade achetée par mois et y le poids (e kg) du poisso acheté par mois, o suppose que la «foctio de satisfactio» pour le couple (x, y) est égale à xy Exercice 3 A : La «foctio de satisfactio» pour l achat de 3,kg de viade et 0,9kg de poisso est 88 B : La courbe d équatio y = 7 x est l esemble E des poits M de coordoées (x, y) correspodat à ue «foctio de satisfactio» de 3,5 O suppose que le kilogramme de viade coûte 90F et le kilogramme de poisso coûte 70F De plus, le budget du cosommateur est de 350F par mois pour les achats de viade et de poisso C : L esemble E des poits du pla de coordoées (x, y) correspodat à des achats utilisat etièremet le budget est la droite d équatio 9x + 7y = 35 D : Détermier graphiquemet les valeurs de x et y pour lesquelles la «foctio de satisfactio» est de 3,5 reviet à résoudre le système : Exercice 4 9x + 7y = 35 xy = 7 O suppose que le cosommateur cherche à maximiser sa «foctio de satisfactio» O admet que cela se produit pour la valeur k telle que la droite D d équatio 9x + 7y = 35 soit tagete à la courbe H d équatio y = K x A : De l éocé, o peut déduire que k est toujours positif 9 k B : Si (α, ) est le couple de coordoées du poit T de tagece, alors = 7 α C : Détermier α, et k traduisat le fait que le poit T(α, ) appartiet à D et à H, reviet à résoudre le système : 9α + 7β = 7 αβ = k 7K + 9α² = 0 D : la droite D et la courbe H se coupet au seul poit T 6

7 Eocé suivat : O désige par A, B et C les esembles respectifs des lecteurs de trois revues A, B et C Ue equête a permis d estimer le ombre de lecteurs de ces trois revues Les résultats sot cosigés das le tableau ci-dessous : Esemble A B C AB AC BC ABC Nombres d élémets Exercice 5 A : Le ombre de persoe lisat ue au mois des trois revues est B : Le ombre de persoe lisat ue seule des trois revues est 640 C : Le ombre de persoe lisat deux de ces trois revues est 360 D : E lagage esembliste à l aide des symboles, et des esembles A, B, C, A, B et C ; l esemble des lecteurs des revues B ou C et o lecteurs de la revue A, est (B C) A Exercice 6 Ue campage publicitaire pour u article est lacée das la revue A L aoceur désire compléter par ue diffusio das ue deuxième revue A : Pour bééficier du maximum de lecteurs supplémetaires, il doit choisir la revue B B : Pour bééficier du miimum de lecteurs supplémetaires, il doit choisir la revue B C : E choisissat la revue B, il aura 950 lecteurs supplémetaires D : E choisissat la revue B, il aura 800 lecteurs supplémetaires Exercice 7 Les coûts d ue campage publicitaire pour u aoceur das les revues A, B et C sot respectivemet F ; F et 3 000F O sait aussi que 0% des lecteurs d ue revue coteat ue publicité pour cet article l achètet Ce fabriquat réalise u bééfice de 0,8F par article vedu Il décide d egager ue campage publicitaire das deux de ces revues, dot A 7

8 A : Pour espérer réaliser le profit maximal, il doit choisir B comme secode revue B : Pour espérer réaliser le profit maximal, il doit choisir C comme secode revue C : Si le prix de vete d u article est P, so bééfice s il choisit B, 950P D : Si le prix de vete d u article est P, so bééfice s il choisit C, 8P Exercice 8 Pour tout etier aturel o ul, o pose : U = + I = (x² - ) dx 0 A = k - k C (-) Uk et B = k = 0 k k C (-) U - k k = 0 A : Pour tout etier aturel, A = B B : Pour tout etier aturel, A = I + C : Par ue itégratio par parties, I + = I + 3 D : La suite (I ) est ue suite covergete PARTIE C : PROBLEME MATHEMATIQUE (Exercices 9 à 4) Pour tout etier aturel o ul, o cosidère la foctio umérique h (l x ) défiie par h (x) = O ote C la courbe de h das le pla mui d u repère x² orthoormé (O ; i, j ) du pla Exercice 9 O se place das le cas = Soit g la restrictio de h à ]0, + [ A : La foctio g est ue bijectio de ]0, + [ vers ]-, 0 [ B : L équatio g(x) = -5 admet das ]0, + [ ue uique solutio C : La courbe C g admet u uique poit où la tagete est parallèle à la première bissectrice D : Ue primitive de g sur ]0, + [ est G : x G(x) = (lx) x 8

9 Exercice 0 A : La foctio h est ue foctio positive B : La courbe C admet u axe de symétrie C : Les limites de h e et e + sot égales D : Toutes le courbes C passet par quatre poits fixes Exercice A : Pour tout x>0, h (x) = (lx) - ( - lx) 3 x B : Pour tout >, la foctio h admet u extremum e x = C : La limite de h e + est ulle D : Pour tout etier impair, Exercice lim h (x) + x 0 = - Soit g la restrictio de h à l itervalle [, + [ A : La courbe de g est au-dessus de la courbe de g sur l itervalle [, e] B : La foctio g admet u maximum global qui est a = ( ) e C : Pour tout >, a + a D : La suite (a ) est ue suite divergete Exercice 3 e (lx) dx Pour tout etier >, o cosidère l itégrale I = A : La suite (I ) est à termes positifs B : La suite (I ) est décroissate C : Par ue itégratio par parties o a : I = e - D : Pour tout etier >, 0 I Exercice 4 A : Par ue itégratio par parties, I + = ( + )I B : E foctio de, I = ( ( )! e!! 3!! C : La suite (I ) coverge vers 0 D : La limite de la suite (V ) défiie par V = est e!! 3!! x² 9