Cours de mathématiques de troisième

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1 Cours de mathématiques de troisième Bertrand Carry

2 SOMMAIRE 1. Notion de fonction Fonction dont la courbe est tracée Fonction dont on connaît un tableau de valeurs Fonction déterminée à partir d une formule Boule et Sphère Rappels sur des calculs de volume Prisme droit et cylindre droit : Pyramide et cône de révolution : Rappels sur des calculs d'aires et sur la longueur du cercle Aire du triangle : Aire du disque : Longueur du cercle : La boule La sphère Egalités remarquables Rappel Egalités remarquables Factorisations Equation-produit Théorème de Thalès Racine carrée Définition Propriétés Equation : x = a avec a nombre positif Réciproque du théorème de Thalès Inéquations Rappels Exemple de résolution d une inéquation Fonction affine Définition Courbe représentative : Notion de probabilité Lancer d un dé tétraédrique Tirage d un ticket dans une urne Lancer d une pièce suivi du lancer d un dé tétaédrique Trigonométrie Rappel sur le cosinus d un angle aigu Sinus d un angle aigu Tangente d un angle aigu Formules Puissances entières Définitions Exposant entier naturel : Exposant entier relatif strictement négatif : Exemples : Propriétés Puissances entières de Exemples : Propriété : Ecriture scientifique d un nombre décimal : Plus Grand Commun Diviseur... 7

3 1.1 Division euclidienne Exemple : Cas général : Diviseur Algorithme d'euclide, exemple Nombres premiers entre eux Nombres premiers Réduction, agrandissement Calculs d aires Exemple : Généralisation : Calculs de volumes Exemple : Généralisation : Statistiques Exemple 1 : Exemple : Systèmes Résolution par la méthode dite de substitution Résolution par la méthode dite de combinaison linéaire Interprétation géométrique Angle inscrit, angle au centre Définitions Angles inscrits interceptant le même arc de cercle Angle inscrit et angle au centre correspondant Polygones réguliers Définition Triangle équilatéral Carré Hexagone régulier Octogone régulier Pyramide régulière... 53

4 Cours chapitre 1 : notion de fonction niveau troisième 1. Notion de fonction P est un plan muni d un repère orthogonal. 1.1 Fonction dont la courbe est tracée Des parents ont noté tous les ans l indice de masse corporelle d une de leurs filles et ont tracé une courbe à l aide d un tableur. L indice de masse corporelle se calcule en divisant la masse exprimée en kg par la taille, exprimée en m, élevée au carré. Voir sur la page suivante, la courbe obtenue. A cette courbe correspond une fonction, que l on peut noter i, qui à l âge associe l indice de masse corporelle. Vers 9 ans, l indice de masse corporelle de la fille devait être 15. On dit que l image de 9 par la fonction étudiée semble être 15. On peut noter : i(9) = 15 L indice 17 de masse corporelle de la fille a dû être atteint vers 14 ans. On dit que l antécédent de 17 par la fonction étudiée semble être 14. On peut noter : i(14) = 17 page 1

5 Cours chapitre 1 : notion de fonction niveau troisième courbe de corpulence 1 0 indice de masse corporelle en kg/(m^) âge en années page

6 Cours chapitre 1 : notion de fonction niveau troisième 1. Fonction dont on connaît un tableau de valeurs Une maison est chauffée à l aide d une pompe à chaleur, mais, suivant la température extérieure, il peut être utile d avoir une autre source de chauffage. Voici le tableau du fabriquant : Température extérieure en degrés Celsius Pourcentage du système total de chauffage fourni par la pompe à chaleur On obtient ainsi une fonction, que l on peut noter p, qui à la température extérieure, exprimée en degrés Celsius, associe le pourcentage du système total de chauffage fourni par la pompe à chaleur. p(- 10) = 60. Le nombre - 10 a pour image 60 par cette fonction. A 10 0 C de température extérieure, la pompe à chaleur fournit 60% de la quantité de chauffage estimée nécessaire pour la maison. p(0) = 90. Le nombre 90 a pour antécédent 0 par cette fonction. A 0 0 C de température extérieure, la pompe à chaleur fournit 90% de la quantité de chauffage estimée nécessaire pour la maison. 1.3 Fonction déterminée à partir d une formule Un disque de rayon r a pour aire π r. On définit ainsi une fonction, que l on peut noter A, qui à tout nombre positif r associe le nombre π r. On peut noter : A(r) = π r On peut aussi noter : r a π r A() = 4 π. Le nombre a pour image 4 π par cette fonction. A(0,3) = 0,09 π. Le nombre 0,3 a pour image 0,09 π par cette fonction. A(10) = 100 π. Le nombre 100 π a pour antécédent 10 par cette fonction. page 3

7 Cours : boule et sphère niveau troisième. Boule et Sphère Soit E l'espace. Une unité de longueur est choisie ainsi que l'unité d'aire correspondante et l'unité de volume correspondante..1 Rappels sur des calculs de volume.1.1 Prisme droit et cylindre droit : En sixième et en cinquième nous avons étudié le prisme droit (avec comme cas particulier le pavé droit) et le cylindre droit (ou cylindre de révolution). Un prisme droit à base pentagonale : Soit V le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre droit. V = aire de base hauteur E' D' D C' E A' C B' A B Un cylindre droit : page 4

8 Cours : boule et sphère niveau troisième.1. Pyramide et cône de révolution : En quatrième nous avons étudié la pyramide et le cône de révolution. Soit V le volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution. V = 3 1 aire de base hauteur Une pyramide à base triangulaire : Un cône de révolution : S A page 5

9 Cours : boule et sphère niveau troisième. Rappels sur des calculs d'aires et sur la longueur du cercle utiles. Il est parfois demandé de calculer des aires et même pour des calculs de volumes certaines aires sont..1 Aire du triangle : L'aire d'un triangle ABC, avec H le pied de la hauteur issue de A, est : 1 BC AH. A B C H.. Aire du disque : L'aire d'un disque de rayon r est : л r...3 Longueur du cercle : La longueur, ou périmètre, d'un cercle de rayon r est : л r. r.3 La boule Soit r un nombre positif et O un point de l'espace E. La boule de centre O et de rayon r est l'ensemble de tous les points M de l'espace vérifiant la proposition suivante : OM r. Le volume de toute boule de rayon r est : 3 4 л r 3. Penser à un ballon de mousse plein. O r page 6

10 Cours : boule et sphère niveau troisième.3 La sphère Soit r un nombre positif et O un point de l'espace E. La sphère de centre O et de rayon r est l'ensemble de tous les points M de l'espace vérifiant la proposition suivante : OM = r. L'aire de toute sphère de rayon r est : 4 л r. Penser à l'enveloppe extérieure d'un ballon. O r page 7

11 Cours chapitre 3 : égalités remarquables niveau troisième 3. Egalités remarquables 3.1 Rappel En quatrième nous avons appris à développer (a + b)(c + d), où a, b, c et d désignent des nombres. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemple : x désigne un nombre : (x + 5)(x - 3) = x - 6x + 5x -15 (x + 5)(x - 3) = x - x Egalités remarquables a et b désignent des nombres. Voici trois égalités ou identités remarquables : (a + b) = a + ab + b (a - b) = a - ab + b (a + b)(a - b) = a - b Exemples : x désigne un nombre : (3x + 5) = (3x) + (3x) (3x + 5) = 9x + 30x + 5 (x - 7) = (x) - (x) (x - 7) = 4x - 8x + 49 (6x - 5)(6x + 5) = (6x) - 5 (6x - 5)(6x + 5) = 36x - 5 x + x + 1 = (x + 1) 4x - 0x + 5 = (x - 5) 81x - 49 = (9x - 7)(9x + 7) 3.3 Factorisations Les égalités remarquables étudiées peuvent servir à factoriser certaines expressions. Exemples : t désigne un nombre. Factoriser l'expression suivante : (t - )(8t + 1) + t - 4t +4. (t - )(8t + 1) + t - 4t +4 = (t - )(8t + 1) + (t -) (t - )(8t + 1) + t - 4t +4 = (t - )[(8t + 1) + (t -)] (t - )(8t + 1) + t - 4t +4 = (t - )(8t t -) (t - )(8t + 1) + t - 4t +4 = (t - )(9t - 1) y désigne un nombre. Factoriser l'expression suivante : (y + 5)(y -3) + 4y - 5. (y + 5)(y -3) + 4y - 5 = (y + 5)(y -3) + (y - 5)(y + 5) (y + 5)(y -3) + 4y - 5 = (y + 5)[(y -3) + (y - 5)] (y + 5)(y -3) + 4y - 5 = (y + 5)(y -3 + y - 5) (y + 5)(y -3) + 4y - 5 = (y + 5)(3y -8) page 8

12 Cours chapitre 3 : égalités remarquables niveau troisième 3.4 Equation-produit a et b désignent des nombres. Si a = 0 ou b = 0, alors ab = 0. Si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0. Exemple : Résoudre l équation suivante d inconnue le nombre x : (x + 1)(x 3) = 0. Si (x + 1)(x 3) = 0 alors x + 1 = 0 ou x 3 = 0 alors x = - 1 ou x = 3 alors x = - 1 ou x = 3 Vérification : Si x = - 1, alors (x + 1)(x 3) = ( (- 1 ) + 1 )( ) alors (x + 1)(x 3) = ( )( ) alors (x + 1)(x 3) = ( 0 )( ) alors (x + 1)(x 3) = 0 Si x = 3, alors (x + 1)(x 3) = ( )( 3 3 ) alors (x + 1)( x 3) = ( )( 0 ) alors (x + 1)( x 3) = 0 Conclusion : les solutions de l équation sont : - 1 et 3. page 9

13 Cours chapitre 4 : théorème de Thalès niveau troisième 4. Théorème de Thalès P est un plan, une unité de longueur est choisie. Soit d et d deux droites sécantes en A. B et M sont deux points de d, distincts de A. C et N sont deux points de d, distincts de A. Si (BC) // (MN), alors ( AM AN AM MN = et = ). AB AC AB BC Plusieurs cas de figures possibles : page 10

14 Cours chapitre 5 : racine carrée niveau troisième 5. Racine carrée 5.1 Définition La racine carrée d un nombre positif a est l unique nombre positif b dont le carré égale a. On la note a. a et b sont deux nombres positifs. a = b signifie : b = a Exemples : 81 = 9 ; 0 = 0 ; 5 = k (k est l unique nombre positif vérifiant la proposition suivante : k = 5) 5. Propriétés Quel que soit le nombre positif a : a est un nombre positif et ( a ) = a. Quels que soient les nombres positifs a et b : ab = a b. Quel que soit le nombre strictement positif b : 1 1 =. b b Quel que soit le nombre positif a et quel que soit le nombre strictement positif b : a a =. b b Quel que soit le nombre positif a : a a = a. Exemples : ( 17 ) = 17 9 = = 5 5 = 3 = = = 7 page 11

15 Cours chapitre 5 : racine carrée niveau troisième = Equation : x = a avec a nombre positif a est un nombre positif. Considérons l équation suivante d inconnue le nombre x : x = a. Si a = 0 alors l équation a une unique solution : 0. Si a > 0 alors l équation a exactement deux solutions : a et - a. Exemple : Considérons l équation suivante d inconnue le nombre x : x = 11. Les solutions de cette équation sont : 11 et page 1

16 Cours chapitre 6 : réciproque du théorème de Thalès niveau troisième 6. Réciproque du théorème de Thalès P est un plan, une unité de longueur est choisie. Soit d et d deux droites sécantes en A. B et M sont deux points de d, distincts de A. C et N sont deux points de d, distincts de A. AM AN Si = et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors (BC) // (MN). AB AC Un exemple de figure : page 13

17 Cours chapitre 7 : inéquations niveau troisième 7. Inéquations 7.1 Rappels Quels que soient les nombres a, b et c, on peut écrire : si a < b alors a + c < b +c si a > b alors a + c > b +c si a b alors a + c b +c si a b alors a + c b +c On dit que a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b. Quels que soient les nombres a et b et quel que soit le nombre strictement positif k, on peut écrire : si a < b alors k a < k b si a > b alors k a > k b si a b alors k a k b si a b alors k a k b On dit que k a et k b sont rangés dans le même ordre que a et b. (k > o) Quels que soient les nombres a et b et quel que soit le nombre strictement négatif k, on peut écrire : si a < b alors k a > k b si a > b alors k a < k b si a b alors k a k b si a b alors k a k b On dit que k a et k b sont rangés dans l ordre inverse de celui de a et de b. (k < o) 7. Exemple de résolution d une inéquation Résolvons l inéquation suivante, d inconnue le nombre x : 3x + 1 > 5x si 3x + 1 > 5x alors 3x > 5x (on a ajouté 4 1 à chaque terme de l inéquation) alors 3x > 5x page 14

18 Cours chapitre 7 : inéquations niveau troisième alors 4 5 > x (on a soustrait 3x à chaque terme de l inéquation) alors 8 5 > x (on a divisé par chaque terme de l inéquation et >0) (en troisième l étape de la vérification n est pas exigible) Les solutions de l inéquation sont tous les nombres inférieurs à 8 5. Représentons en gras les solutions : page 15

19 Cours chapitre 8 : fonction affine niveau troisième 8 Fonction affine 8.1 Définition Soit a et b deux nombres. A tout nombre x on peut associer le nombre ax + b. On peut noter : x a ax + b On définit ainsi une fonction, que l on peut désigner par f. On peut alors noter : f(x) = ax + b On dit que f(x) est l image de x par f. Soit y un nombre. Tout nombre x ayant y pour image par f est appelé antécédent de y par f. f est une fonction affine. On dit que a est le coefficient de linéarité de f ou le coefficient de f. Cas particulier : si b égale 0, alors la fonction affine f est une fonction linéaire. Exemples : Soit f la fonction affine suivante : x a x 3. f(0) = 0 3 f(0) = - 3 f() = 3 f() = 1-3 et 1 sont les images respectives de 0 et de par f. est un antécédent de 1 par f. Soit g la fonction linéaire suivante : g(x) = 1 x. g(4) = 1 4 g(4) = g(π) = 1 π g(π) = π/ et π/ sont les images respectives de 4 et de π par g. π est un antécédent de π/ par g. Soit f la fonction linéaire suivante : x a x. f(0) = 0 f(0) = 0 f(-) = (-) f() = -4 0 et -4 sont les images respectives de 0 et de - par f. page 16

20 Cours chapitre 8 : fonction affine niveau troisième Soit g la fonction linéaire suivante : g(x) = - 1 x. g(-4) = - 1 (-4) g(-4) = g(π) = - 1 π g(π) = -π/ et -π/ sont les images respectives de -4 et de π par g. 8. Courbe représentative : P est un plan muni d un repère orthogonal (O, I, J). Soit f une fonction affine : f(x) = ax + b, avec a et b deux nombres donnés. L ensemble de tous les points M( x, f(x) ) est appelé courbe représentative de la fonction f dans le plan P muni du repère orthogonal (O, I, J). M J O I x b Courbe représentative de f 1 a Sur ce schéma on a : a < 0. La courbe représentative de toute fonction affine est une droite. De plus, si la fonction est linéaire, la droite contient l origine du repère. On dit que la droite ci-dessus a pour équation cartésienne : y = ax +b. a est le coefficient directeur de cette droite, b est l ordonnée à l origine. page 17

21 Cours chapitre 8 : fonction affine niveau troisième Remarques : Quels que soient les points distincts A(x A,y A ) et B(x B,y B ) éléments de la courbe représentative de f, on peut écrire : (y B y A ) / (x B x A ) M b Courbe représentative de f J 1 a Sur ce schéma on a : a < 0. O I x x Courbe représentative de f La courbe représentative de toute fonction linéaire est une droite qui contient l origine du repère. Les nombres f(x) et x sont proportionnels. page 18

22 Cours chapitre 9 : notion de probabilité niveau troisième 9. Notion de probabilité 9.1 Lancer d un dé tétraédrique On considère un dé tétraédrique (pyramide régulière à base triangulaire) dont les faces sont numérotées de 1 à 4. Une machine de test le lance 500 fois sur une surface plane et relève le numéro de la face en contact avec la surface plane. Voici le tableau des résultats obtenus : nombre inscrit sur la face en contact nombre d apparitions de la face fréquences avec la surface plane concernée , , , ,18 total : Sur 500 lancers, la face est apparue exactement 148 fois. Si l on recommençait une série de 500 lancers avec ce même dé, les résultats seraient à peu près identiques à ceux relevés ci-dessus. Pour ce dé, on peut dire qu il y a environ 9,6% ou environ 30% de chances d obtenir le nombre. On dit aussi que la probabilité d obtenir le nombre, après un lancer de ce dé, est environ 0,96 ou environ 0,3. De même : la probabilité d obtenir le nombre 1 après un lancer de ce dé est environ 0,0 ou environ 0,, la probabilité d obtenir le nombre 3 après un lancer de ce dé est environ 0,84 ou environ 0,8, la probabilité d obtenir le nombre 4 après un lancer de ce dé est environ 0,18 ou environ 0,. Ce dé est dit pipé ; les faces et 3 ont plus de chances d apparaître que les faces 1 et 4. Pour un dé tétraédrique non pipé, la probabilité d apparition de chacun des nombres 1,, 3, 4, serait de 0,5. 9. Tirage d un ticket dans une urne Un comité des fêtes organise une tombola. Dans une urne il y a 513 tickets identiques numérotés de 1 à 513. Un enfant sort un ticket de l urne pour l attribution du lot principal. M. X a le numéro 06. Il a une chance sur 513 de gagner le lot principal. 1 On dit que la probabilité qu il gagne le lot principal est ou environ 0, page 19

23 Cours chapitre 9 : notion de probabilité niveau troisième 9.3 Lancer d une pièce suivi du lancer d un dé tétaédrique On considère une pièce pipée de la façon suivante : la probabilité d obtenir le côté pile est 0,6. La probabilité d obtenir le côté face est donc 1 0,6 soit 0,4. On considère de plus un dé tétraédrique, dont les faces sont numérotées de 1 à 4, pipé de la façon suivante : numéro probabilité 0, 0,3 0,1 0,4 La somme des probabilités est égale à 1. On lance la pièce puis on lance le dé. On peut représenter les différents résultats possibles à l aide de l arbre de choix suivant : page 0

24 Cours chapitre 9 : notion de probabilité niveau troisième On désire connaître la probabilité d obtenir : face avec la pièce et le nombre sur le dé. Quand on lance la pièce on a 40% de chances d obtenir le côté face. Quand on lance le dé on a 30% de chances d obtenir le nombre. Considérons donc 100 expériences suivantes : lancer de la pièce suivi du lancer du dé. Sur les 100 expériences, 40 permettent d obtenir la face pile de la pièce. Sur ces 40 expériences, 30% permettent d obtenir le nombre sur le dé = 0, = 1 Sur ces 40 expériences, 1 permettent d obtenir le nombre sur le dé. 1 La probabilité d obtenir face avec la pièce et le nombre sur le dé est donc soit 0, Ce résultat pouvait être obtenu plus rapidement de la façon suivante : 0,4 0,3 = 0,1. page 1

25 Cours chapitre 9 : notion de probabilité niveau troisième On peut procéder de même pour toutes les branches de l arbre. page

26 Cours chapitre 10 : trigonométrie niveau troisième 10. Trigonométrie Soit P un plan. Une unité de longueur est choisie Rappel sur le cosinus d un angle aigu Soit EFG un triangle rectangle en E. F longueur du côté adjacent à l angle. cos EGF = EG FG E longueur de l hypoténuse du triangle. G 10. Sinus d un angle aigu EF Soit EFG un triangle rectangle en E. Le sinus de l angle aigu EGF, noté sin EGF, est égal au nombre. FG F longueur du côté opposé à l angle. E sin EGF = EF FG G longueur de l hypoténuse du triangle. page 3

27 Cours chapitre 10 : trigonométrie niveau troisième 10.3 Tangente d un angle aigu EF Soit EFG un triangle rectangle en E. La tangente de l angle aigu EGF, notée tan EGF, est égale au nombre. EG F longueur du côté opposé à l angle. E tan EGF = EF EG G longueur du côté adjacent à l angle Formules Quelque soit l angle aigu EGF, on peut écrire : tan EGF = sin (EGF) cos(egf) (sin EGF) + (cos EGF) = 1 Remarque : (sin EGF) + (cos EGF) = 1, peut se noter : sin EGF + cos EGF = 1. page 4

28 Cours chapitre 11 : puissances entières niveau troisième 11. Puissances entières 11.1 Définitions Exposant entier naturel : Soit a un nombre : a o = 1 a 1 = a a = a a a 3 = a a a a 4 = a a a a etc. Soit n un entier naturel. a n se lit «a exposant n». a n est une puissance de a. n est l exposant Exposant entier relatif strictement négatif : Soit a un nombre non nul : a -1 = 1 a a - = 1 a a -3 = 1 a 3 a -4 = 1 a 4 etc. Comme ci-dessus, soit p un entier relatif strictement négatif. a p se lit «a exposant p». a p est une puissance de a. p est l exposant Exemples : 3 = 3 = 8 On lit «exposant 3 égale 8». 8 est une puissance de deux. 4 - = = 16 1 On lit «4 exposant - égale 16 1» est une puissance de quatre. (-5) 3 = -5 (-5) (-5) (-5) 3 = -15 (0,) 4 = 0, 0, 0, 0, (0,) 4 = 0,001 6 page 5

29 Cours chapitre 11 : puissances entières niveau troisième 11. Propriétés m et n sont des entiers relatifs. a et b sont des nombres, éventuellement non nuls. Exemples : 3 5 = = 3-5 (6 7) 3 = (3 ) 5 = 3 10 a n a m = a n + m a n a m = a n m (ab) n = a n b n (a n ) m = a nm a b n = a b n n 5 3 = Puissances entières de Exemples : 10-3 = 0,001 ; 10 - = 0,01 ; 10-1 = 0,1 ; 10 0 = 1 ; 10 1 = 10 ; 10 = 100 ; 10 3 = Propriété : Quels que soient les entiers relatifs m et n on peut écrire : (10 n ) m = 10 nm. Exemples : (10 3 ) = 10 6 ; (10 - ) 8 = Ecriture scientifique d un nombre décimal : Tout nombre décimal strictement positif peut s écrire sous forme scientifique, c est-à-dire sous la forme a 10 n, où a est un nombre décimal dont la partie entière est supérieure ou égale à 1 et inférieure ou égale à 9 et n est un entier relatif. Tout nombre décimal a strictement négatif peut aussi s écrire sous forme scientifique en prenant l opposé de l écriture scientifique du nombre décimal strictement positif a. Exemples : 15, 3 = 1, ,14 =, ,08 = 4, ,004 = -, page 6

30 Cours chapitre 1 : pgcd niveau troisième 1. Plus Grand Commun Diviseur 1.1 Division euclidienne Exemple : Effectuons la division euclidienne de 18 par On écrit alors : 18 = Cas général : a est un entier naturel, b est un entier naturel non nul. Il existe deux entiers naturels q et r vérifiant la proposition suivante : a = bq + r et r < b. a r b q a est appelé le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. 1. Diviseur Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul. Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors on dit que b est un diviseur de a (ou que b divise a). Dans ce cas, on dit aussi que a est un multiple de b. Exemples : 4 est un diviseur de divise 363. n'est pas un diviseur de Algorithme d'euclide, exemple Cherchons le plus grand commun diviseur aux nombres 374 et 510. Pour cela utilisons l'algorithme d'euclide : Le plus grand commun diviseur aux nombres 374 et 510 est 34. On note : pgcd(374,510) = 34 ou pgcd(510,374) = 34. page 7

31 Cours chapitre 1 : pgcd niveau troisième 1.4 Nombres premiers entre eux Si le plus grand commun diviseur de deux entiers naturels a et b égale 1, alors on dit que les nombres a et b sont premiers entre eux. Dans ce cas, si de plus b est non nul, la fraction b a est dite irréductible Avec l'exemple du 1.3 on a : = = pgcd(11,15) = est une fraction irréductible égale à la fraction Nombres premiers Un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts est dit nombre premier. Voici les six premiers nombres entiers naturels premiers :, 3, 5, 7, 11, 13. page 8

32 Cours chapitre 13 : réduction, agrandissement niveau troisième 13. Réduction, agrandissement 13.1 Calculs d aires Exemple : Considérons, dans un plan muni d une unité de longueur et de l unité d aire correspondante un triangle ABC rectangle en A et vérifiant : AB = 3 et AC = 5. Soit A l aire de ce triangle. Considérons un triangle EGF rectangle en E et vérifiant : EG = 3 1 AB et EF = 3 1 AC. On dit que ce triangle EGF est une réduction du triangle ABC ; le coefficient de réduction est 3 1. Soit A l aire de EFG : A = 1 3 A. page 9

33 Cours chapitre 13 : réduction, agrandissement niveau troisième Considérons un triangle RST rectangle en R et vérifiant : RS = 3 4 AB et RT = 3 4 AC. On dit que ce triangle RST est un agrandissement du triangle ABC ; le coefficient d agrandissement est 3 4. Soit A l aire de RST : A = 4 3 A Généralisation : Considérons, dans un plan muni d une unité de longueur et de l unité d aire correspondante une figure F dont on sait calculer l aire A. On peut considérer une réduction ou un agrandissement de cette figure. Cela donne une nouvelle figure F dont les dimensions sont obtenues à partir des dimensions correspondantes de la figure F en les multipliant par un nombre k. Si 0<k<1, alors F est une réduction de F. Si k>1, alors F est un agrandissement de F. Soit A l aire de F et A celle de F, alors on a : A = k A. page 30

34 Cours chapitre 13 : réduction, agrandissement niveau troisième Figure F Figure F, réduction de la figure F Figure F, agrandissement de la figure F page 31

35 Cours chapitre 13 : réduction, agrandissement niveau troisième 13. Calculs de volumes Exemple : Considérons, dans l espace muni d une unité de longueur, de l unité d aire correspondante et de l unité de volume correspondante une boule B de rayon 5. Cette boule a pour volume V. V = π. O 5 Considérons une deuxième boule de rayon,5.,5 On dit que cette deuxième boule est une réduction de la première boule. Le coefficient de réduction est : 1. Le volume V de cette deuxième boule vérifie la proposition suivante : V = 1 3 V. page 3

36 Cours chapitre 13 : réduction, agrandissement niveau troisième Considérons une troisième boule de rayon 6,5. O 6,5 On dit que cette troisième boule est un agrandissement de la première boule. Le coefficient d agrandissement est : 4 5. Le volume V de cette troisième boule vérifie la proposition suivante : V = V Généralisation : Considérons, dans l espace muni d une unité de longueur, de l unité d aire correspondante et de l unité de volume correspondante un solide S dont on sait calculer le volume V. On peut considérer une réduction ou un agrandissement de ce solide. Cela donne une nouvelle figure S dont les dimensions caractéristiques sont obtenues à partir des dimensions correspondantes de la figure S en les multipliant par un nombre k. Si 0<k<1, alors S est une réduction de S. Si k>1, alors S est un agrandissement de S. Soit V le volume de S et V celui de S, alors on a : V = k 3 V. page 33

37 Cours chapitre 14 : statistiques niveau troisième 14 Statistiques Les nouveautés par rapport aux classes de sixième, de cinquième et de quatrième sont : l'étendue, caractéristique de dispersion, le premier quartile, la médiane et le troisième quartile, caractéristiques de position Exemple 1 : On a relevé le nombre de fenêtres par appartement dans un immeuble en rénovation et l on a regroupé les résultats dans le tableau suivant : Nombre de fenêtres Effectifs L étendue de cette série statistique est 5 (6 1). On a complété le tableau suivant : nombre de fenêtres effectifs effectifs cumulés total : 44 étendue : 5 3 est le plus petit nombre de fenêtres tel qu au moins la moitié de l'effectif total, fenêtres inférieur ou égal à 3. Le nombre 3 est appelé médiane. 44 ou, ait un nombre de est le plus petit nombre de fenêtres tel qu au moins un quart de l'effectif total, fenêtres inférieur ou égal à. Le nombre est appelé premier quartile. 44 ou 11, ait un nombre de 4 4 est le plus petit nombre de fenêtres tel qu au moins trois quarts de l'effectif total, ou 33, ait un nombre de fenêtres inférieur ou égal à 4. Le nombre 4 est appelé troisième quartile. Remarque : dans ce cours, la médiane est considérée comme le deuxième quartile. Il existe d autres définitions de la médiane. page 34

38 Cours chapitre 14 : statistiques niveau troisième 14. Exemple : On a relevé dans un tableau la masse m en kg des colis expédiés par une entreprise sur une durée d un mois : Masse m en kg Effectifs 1 m et m<4 5 4 m et m<7 1 7 m et m<10 10 m et m< m et m< m et m< m et m< 31 m et m< m et m<8 9 L étendue de cette série statistique est 7 (8 1). On a complété le tableau suivant : masse m en kg effectifs effectifs cumulés 1 m et m< m et m< m et m< m et m< m et m< m et m< m et m< m et m< m et m< total: = 86. La classe médiane est donc : 13 m et m < = 43. La classe du premier quartile est donc : 10 m et m< = 19. La classe du troisième quartile est donc : 19 m et m<. 4 page 35

39 Cours chapitre 15 : systèmes niveau troisième 15 Systèmes 15.1 Résolution par la méthode dite de substitution Considérons le système suivant d inconnue le couple de nombres (x,y) : 3 x + 4 y = x + 7 y = - Nous allons le résoudre en exprimant x en fonction de y à l aide d une des deux équations puis en remplaçant x par la valeur trouvée dans l autre équation. On aurait pu également exprimer y en fonction de x à l aide d une des deux équations puis remplacer y par la valeur trouvée dans l autre équation. Si 3 x + 4 y = x + 7 y = - alors 3 x = - 5 x + 7 y = - alors 7-4y (on a soustrait 4y à 3 chaque membre de l'équation) 7 4y x = - - (on a divisé chaque membre de l'équation par 3) x + 7 y = - alors x = - 7 5( - 3 alors x = y y - 3 4y 3 - ) + 7 y = - (on a remplacé x par sa valeur en fonction de y) 3 4y y = - (on a développé) page 36

40 Cours chapitre 15 : systèmes niveau troisième alors 7 x = y alors 4y = y x = y 3 35 = alors 7 4y x = y 1 = (on a calculé) 3 6 alors (on a calculé) 35 (on a ajouté 3 à chaque membre de l'équation) 7 4y x = y = (on a multiplié par 3 chaque membre de l'équation) alors 7 3 x = - 1 y = alors x = y = (on a On peut effectuer une vérification : remplacé y par sa valeur) Si (x = - 3 et y = 1 ), alors : 1 3 x + 4 y = 3 (-3) x + 7 y = 5 (-3) + 7 page 37

41 Cours chapitre 15 : systèmes niveau troisième alors 3 x + 4 y = 5 x + 7 y = En conclusion, le système du départ de deux équations à un couple inconnu de nombres (x,y) a une seule solution : (-3, 1 ). 15. Résolution par la méthode dite de combinaison linéaire Considérons le même système que dans le paragraphe précédent. 3 x + 4 y = x + 7 y = - Nous allons le résoudre en tentant de trouver rapidement x ou y. Si 3 x + 4 y = x + 7 y = - alors 15 x + 0 y = - 35 (on a multiplié chaque membre de la première équation par 5) x + 1 y = - (on a multiplié chaque membre de la deuxième équation par 3) alors 69 y = - 3 x + 4 y = - - (-35) (on a soustrait la première ligne à la seconde, membre à membre) 7 (on a recopié une équation simple permettant de calculer ensuite x) alors 1 y = 3 x = - 7 (on a remplacé y par sa valeur) page 38

42 Cours chapitre 15 : systèmes niveau troisième alors 1 y = 3 x + = - 7 (on a calculé) alors 1 y = 3 x = (on a soustrait à alors 1 y = 3 x = - 9 (on a calculé) alors chaque membre de l'équation) 1 y = x = - 3 (on a divisé chaque membre de l'équation par 3) La fin, vérification et conclusion, est identique à celle du paragraphe précédent Interprétation géométrique Considérons le même système que dans les deux paragraphes précédents. 3 x + 4 y = x + 7 y = - Soit P un plan muni d un repère cartésien. Si 3x + 4y = -7, alors y = x 4 7. Réciproquement, si y = x 4 7, alors 3x + 4y = -7. De même : si 5x + 7y = -, alors y = - x, réciproquement, si y = - x, alors 5x + 7y = On peut considérer les droites d et d d équations cartésiennes respectives, y = - x et y = - x page 39

43 Cours chapitre 15 : systèmes niveau troisième La solution du système étudié, (-3, 1 ), correspond aux coordonnées du point d intersection, K, des deux droites d et d. d d page 40

44 Cours chapitre 16 : angle inscrit, angle au centre niveau troisième 16. Angle inscrit, angle au centre P est un plan Définitions C est un cercle de centre O. A, B et M sont trois points, distincts deux à deux, de ce cercle. On dit que AMB est un angle inscrit qui intercepte l arc de cercle d extrémités A et B représenté sur la figure en gras. O A M B page 41

45 Cours chapitre 16 : angle inscrit, angle au centre niveau troisième On dit que l angle AOB est un angle au centre qui intercepte l arc de cercle d extrémités A et B représenté sur la figure en gras. On dit aussi que l angle AOB est l angle au centre associé à l angle inscrit AMB. O A M B 16. Angles inscrits interceptant le même arc de cercle Deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même mesure. Les angles inscrits, AMB et ANB, interceptent le même arc de cercle d extrémités A et B, représenté en gras sur la figure ci-dessus. Ils ont donc même mesure. page 4

46 Cours chapitre 16 : angle inscrit, angle au centre niveau troisième 16.3 Angle inscrit et angle au centre correspondant L angle au centre, correspondant à un angle inscrit, mesure le double de l angle inscrit. AMB est un angle inscrit qui intercepte l arc de cercle d extrémités A et B, représenté en gras sur la figure cidessus. AOB est l angle au centre correspondant. Si AMB mesure a 0 alors AOB mesure a 0. page 43

47 Cours chapitre 17 : polygones réguliers niveau troisième 17. Polygones réguliers P est un plan, une unité de longueur est choisie Définition Un polygone dont les sommets sont sur un même cercle et dont les côtés ont même longueur est dit polygone régulier. Dans ce cas, le centre du cercle est appelé centre du polygone. O Le polygone ci-contre a ses douze sommets sur un cercle et ses douze côtés de même longueur : c est un polygone régulier. On dit aussi que c est un dodécagone régulier. 17. Triangle équilatéral Un polygone régulier ayant exactement trois côtés est un triangle équilatéral. Construisons un triangle équilatéral dont on connaît le centre O et un sommet A. page 44

48 Cours chapitre 17 : polygones réguliers niveau troisième Il suffit de construire un point B tel que le triangle AOB soit isocèle en O et tel que l angle AOB mesure Puis on construit le point C, distinct de A, tel que le triangle BOC soit isocèle en O et tel que l angle BOC mesure page 45

49 Cours chapitre 17 : polygones réguliers niveau troisième Dans ce cas, ABC est un triangle équilatéral de centre O Carré Un polygone régulier ayant exactement quatre côtés est un carré. Construisons un carré dont on connaît le centre O et un sommet A. page 46

50 Cours chapitre 17 : polygones réguliers niveau troisième Il suffit de construire un point B tel que le triangle AOB soit rectangle isocèle en O. Puis on construit le point C, distinct de A, tel que le triangle BOC soit rectangle et isocèle en O. page 47

51 Cours chapitre 17 : polygones réguliers niveau troisième Et on construit le point D distinct de C tel que le triangle COD soit rectangle isocèle en O. Dans ce cas, ABCD est un carré de centre O. page 48

52 Cours chapitre 17 : polygones réguliers niveau troisième 17.4 Hexagone régulier Un hexagone régulier est un polygone régulier ayant exactement six côtés. Construisons un hexagone régulier dont on connaît le centre O et un sommet A. Il suffit de tracer le cercle de centre O contenant A. Puis on place un point B sur le cercle tel que AB = OA. Puis on place le point C, distinct de A, sur le cercle tel que BC = OA. Et ainsi de suite pour placer D, E et F. Les triangles AOB, BOC, COD, DOE, EOF et FOA sont équilatéraux. Dans ce cas, ABCDEF est un hexagone régulier de centre O. page 49

53 Cours chapitre 17 : polygones réguliers niveau troisième 17.5 Octogone régulier Un polygone régulier ayant exactement huit côtés est un octogone régulier. Construisons un octogone régulier dont on connaît le centre O et un sommet A. On peut, comme au 17.3, commencer par construire un carré ABCD. page 50

54 Cours chapitre 17 : polygones réguliers niveau troisième Puis on peut tracer les bissectrices des angles AOB et BOC. Ces bissectrices coupent le cercle de centre O et contenant A en quatre points : E, G, F et H (voir figure). page 51

55 Cours chapitre 17 : polygones réguliers niveau troisième On obtient ainsi un octogone régulier AEBFCGDH. page 5

56 Cours chapitre 17 : polygones réguliers niveau troisième 17.6 Pyramide régulière E est l espace, une unité de longueur est choisie. Considérons une pyramide de base B et de sommet principal S. Si B est un polygone régulier de centre que nous appelons O et si la droite (SO) est perpendiculaire au plan contenant B, alors la pyramide est dite régulière. Exemple : SABCD est une pyramide régulière à base carrée. page 53