3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue. x ln(1 + x 2x 2 ).

Transcription

1 Colle PC Semaie Séries Etières Voir : EXERCICE :. Doer u exemple de série etière de rayo de covergece π.. Détermier le rayo de covergece de la série etière a x avec a = l. 3. Développer e série etière au voisiage de 0 la foctio suivate. O précisera le rayo de covergece de la série obteue. x l( + x x ). EXERCICE :. Doer u exemple de série etière de rayo de covergece e.. Détermier le rayo de covergece de la série etière a x avec a = Développer e série etière au voisiage de 0 la foctio suivate. O précisera le rayo de covergece de la série obteue. x avec a 0. a x EXERCICE 3 :. Doer u exemple de série etière de rayo de covergece, 3.. Détermier le rayo de covergece de la série etière b z avec b = a où a > Développer e série etière au voisiage de 0 la foctio suivate. O précisera le rayo de covergece de la série obteue. x (4 + x ). 3/ EXERCICE 4 : Détermier le rayo de covergece de la série etière u avec u = ( + i) z 3.. EXERCICE 5 : O cosidère la série etière. Calculer le rayo de covergece. ( + )! (!) x.. Écrire ue équatio différetielle vérifiée par la somme f de la série etière. 3. E déduire l expressio de f. My Maths Space sur 5

2 Colle PC Semaie EXERCICE 6 : Soit f : x = ( ) si x.. Détermier le rayo de covergece R de la série etière défiissat f.. Étudier la covergece e R et e R. EXERCICE 7 : Détermier le développemet e série etière à l origie de f : R R, x arcsi x. My Maths Space sur 5

3 Colle PC Semaie EXERCICE : Correctios. Exemple de série etière de rayo de covergece π : π x.. Rayo de covergece de la série etière l x : Pour r > 0, l r est borée si r <, ce qui implique que le rayo de covergece R est R =. 3. O factorise le polyôme + x x = ( x)( + x) et doc pour x /; [, l( + x x ) = l( x) + l( + x) O utilise le développemet e série etière de x l( + x) qui est pour x < d ue part, l( x) = x ; et d autre part, pour x < /, l( + x) = (x) ( ) Doc e effectuat la somme pour x < /, x ( ) l( + x x ) = x + (x) ( ) = ( ) x Le rayo de covergece de la série somme est le plus petit des rayos de covergece des deux séries ajoutées doc R =.. EXERCICE :. Exemple de série etière de rayo de covergece e : e x.. Rayo de covergece de la série etière + x : Pour r > 0, + r + est borée si r <, ce qui implique que le rayo de covergece R est R =. 3. O utilise le développemet e série etière de x x qui est x. 0 Pour x < x < a, o obtiet a Le rayo de covergece de la série est a. a x = a x a a x = a 0 x a = x a + 0 ( ) r et cette quatité EXERCICE 3 :. Exemple de série etière de rayo de covergece, 3 :, 3 x.. Rayo de covergece de la série etière a x avec a > 0 : b + b = a + a = ( ) a + +/ = a or + ( ) = + +o doc b + = a / +o(/ ) b Le calcul de la limite du rapport permet de dire que R = My Maths Space 3 sur 5

4 Colle PC Semaie L objectif est l utilisatio du DSE e 0 de x ( + x) α. (4 + x ) 3/ = ( + x 8 4 Or pour x <, ( + x) α = + = α(α )... (α + ) x.! O obtiet doc pour x tels que x ; [, 4 ) 3/ ( + x ( + ) = + ( ) Le rayo de covergece est R =. = ) 3/ x 4, il e reste qu à multiplier par 8. EXERCICE 4 : Rayo de covergece de la série etière u avec u = ( + i) z 3. : O utilise le critère de D Alembert u + u = + i z 3 ( + ) + z 3 = z 3 Si z 3 <, la série de terme gééral u est covergete et divergete si z 3 >. Le rayo de covergece de la série etière est 6. EXERCICE 5 : ( + )! Pour tout N, o pose a = (!) et u (x) = a x. Pour tout x R, u + (x) ( + 3) u (x) = x doc lim + + Pour x ; [, f(x) = a x O obtiet doc f (x) = = a x = u + (x) u (x) = 4x et le rayo de covergece est R =. ( + )a + x + Avec les coefficiets a, o écrit la relatio ( + )a + = ( + 3)a ce qui doe : x ; [, f(x) = ( + )a + x + = a x a x + Ce qui permet d écrire : ( 4x )f (x) = xf(x). Aisi f est l uique solutio sur ; [ vérifiat la coditio iitiale f(0) =, de l équatio différetielle (E) : ( 4x )y y = 0. O e déduit que f(x) = ( 4x ) 3/ EXERCICE 6 : Soit f : x = ( ) si x. My Maths Space 4 sur 5

5 Colle PC Semaie ( ). Rayo de covergece R de la série etière défiissat f : O pose a = si,. O sait que a b = et + Le rayo de covergece est. b + b = + +. Covergece e et ( e :) e : la suite si est décroissate et positive (si est croissate sur [0; π/ et positive). O peut doc utiliser le critère spécial des séries alterées, la série est covergete e. ( ) est divergete et si doc pas de covergece pour x =. e : = + EXERCICE 7 : u ; [, = ( + u) / ( ) = + ( ) + u u =! = O e déduit que : x ; [, ( ) ()! (!) u. = + ()! x (!) x (rayo de covergece ) O utilise le théorème d itégratio terme à terme des séries etières, o obtiet : x ; [, arcsi x = x 0 dt = + ()! x + t (!) (rayo de covergece ) + My Maths Space 5 sur 5