LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
|
|
- Jeanne Juneau
- il y a 9 ans
- Total affichages :
Transcription
1 LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe par récurrece (chaque terme déped du précédet). O souhaterat obter ue formule permettat de calculer explctemet u e focto de. À premère vue, cette formule e saute pas aux yeux. Das ue telle stuato, le calcul des premers termes est souvet téressat pour se fare ue "dée". Ic, ous avos : u u 0 u u u u 7 u u 5 u 5 u Stop, ous remarquos que la sute (u ) semble obér à ue lo toute smple : e aoutat à chaque terme, o obtet les pussaces successves de. Nous pouvos doc émettre la coecture suvate : pour tout, u Atteto, ue coecture 'est pas ue preuve ( ue affrmato forcémet vrae, certaes coectures se révèlet parfos fausses...). Ce 'est que l'éocé d'ue proprété résultat d'u certa ombre d'observatos. Alors commet cofrmer, par ue démostrato, la proprété coecturée c-dessus? Notos la proprété, défe pour, par : () : u Supposos u stat, que pour u certa eter, o at effectvemet la proprété () : u. Alors, o aurat : u u ( ) Ce qu est ( ). Autremet dt, s la proprété est vrae à u certa rag alors elle l'est égalemet au rag suvat. O dt que la proprété est hérédtare. Fasos u bla. O a vérfé que la proprété état vrae au rag 0,,,, et 5 (O dt que la proprété est talsée). Mas comme elle est hérédtare, elle sera vrae ecore au rag, pus au rag 7 etc... S be que otre proprété est falemet vrae à tout rag. Nous veos de fare u rasoemet par récurrece : Sot ue proprété défe sur (ou u tervalle I de ) S : La proprété est INITIALISÉE à u certa rag 0 (C'est-à-dre : ( 0 ) est vrae) La proprété est HÉRÉDITAIRE à partr du rag 0 (C'est-à-dre : pour tout 0, () ( )) Alors : La proprété est vrae à tout rag plus grad que 0. Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI
2 . Premers exemples rédgés ) O cosdère la sute (u ) défe pour par : (Somme des premers ombres mpars) u ( ) Démotrer que : u Remarque : ce résultat se démotre égalemet à l'ade de la formule S ) Démotrer que : ( )( ) et N( P D) ( ) ) Démotrer que : x ], [,, ( x) x (égalté de Beroull) ) Démotrer que : 5) Démotrer que pour tout : pp ( ) p cos () (x) cos x π et s() (x) s x π ) Démotrer que pour tout u : s(u) s u La otato ƒ () désge c la dérvée ème de la focto ƒ. 7) Soet et ƒ la focto, défe pour x, par : ƒ (x) Démotrer que ƒ est dérvable et que pour tout réel x : ƒ (x) 8) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : x x u 5u u u0 u Démotrer que pour tout : u 9) Démotrer que : a a < Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI
3 Solutos : ) O cosdère la proprété, défe pour *, par : O a () pusque ( ). () : ( ) Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : ( ) O a : ( ) ( ) ( ) ( ) Et d'après () : ( ) D'où : ( ) ( ) Ce qu est ( ). O a doc be motré que pour tout, () ( ) Bla : o a () et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : ( ) pour tout * ) O cosdère la proprété, défe pour tout *, par : O a () pusque. () : ( )( ) Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : O a : Et d'après () : E factorsat par ( ) : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( )( ( ) ( ) Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI
4 ( )( 7 ) ( )( )( ) Ce qu est ( ) O a doc be motré que pour tout, () ( ) Bla : o a () et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : ( )( ) O cosdère la proprété, défe pour tout *, par : () : ( ) O a () pusque Motros que, pour tout : () ( ). Sot. Supposos () : O a : Et d'après () : ( ) ( ) ( ) ( ) E factorsat par ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) Ce qu est ( ) O a doc be motré que pour tout, () ( ) Bla : o a () et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : ( ) Et comme, o sat que : O a falemet : ( ) ( ) Autre méthode, sas récurrece : o cosdère u carré C de côté O déft A par l'are d'u carré de côté Pus, pour tout, A par l'are de "l'équerre de largeur " ( ) (vor fgure) Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI
5 (Dfférece etre les ares des carrés de côté ( ) et celu de côté ( ) ) O calcule l'are de C de deux faços. D'ue part, c'est. D'autre par, c'est Or, pour : A (Les équerres parttoet C) A l l l l ( ) ( ) D'où : ( ) A A A A 0 ( ) ( ) ( ) ) Sot x ], [. O cosdère la proprété la proprété, défe pour tout, par : () : ( x) x Il s'agt de l'égalté de Beroull. O a (0) pusque ( x) 0 0x pour tout x. Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : ( x) x Or, x > 0, doc e multplat l'égalté c-dessus par ( x), o obtet : ( ) x ( x)( x) Or : ( x)( x) x x x ( )x x Prcpe du rasoemet par récurrece Page 5 G. COSTANTINI
6 Comme x 0, o a : ( x)( x) ( )x D'où : ( ) Ce qu est ( ). x ( )x Bla : o a (0) et (, () ( )) doc o a : (), : ( x) x Remarque : lorsque x, cette égalté se démotre égalemet avec la formule du bôme de Newto () : ( x) x 0 Or, la somme e cotet que des termes postfs (pusque x > 0). Doc : ( x) 0 x Et comme 0 x0 et x x, o a : ( x) x ) O cosdère la proprété, défe pour tout *, par : () : pp ( ) p O a (). Motros que, pour tout * : () ( ) Sot *. Supposos () : pp ( ) p Alors : pp ( ) p pp ( ) p ( )( ) Et d'après () : pp ( ) p ( )( ) E rédusat au même déomateur : pp ( ) p ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Ce qu est ( ). Bla : o a () et (pour tout *, () ( )) doc o a : (), pour tout * : pp ( ) p () Cette remarque peut être sautée e premère lecture, la formule du bôme de Newto sera démotrée ultereuremet. Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI
7 Autre méthode : e remarquat que p( p ), o obtet, par télescopage : p p p pp ( ) p p p 5) O cosdère la proprété, défe pour tout, par : () : cos () (x) cos x π et s() (x) s x π O a claremet (0). Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : cos () (x) cos x π et s() (x) s x π O a alors : cos () (x) s x π et s() (x) cos x π Or, s(a) cos A π et cos(a) s A π Doc : cos () (x) cos π x ( ) et s() (x) s π x ( ) Ce qu est ( ). Bla : o a (0) et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : cos () (x) cos x π et s() (x) s x π ) Fxos u. O cosdère la proprété, défe pour tout, par : () : s (u) s u O a claremet (0) et (). Motros que pour tout : () ( ) Sot. Supposos (). Comme s[( )u] s(u)cos u s(u)cos(u) s[( )u] s(u) s(u) Et d'après () : D'où : s[( )u] s u s(u) s[( )u] ( ) s(u) Ce qu est ( ). Bla :o a (0) et (pour tout, () ( ) ) doc o a : (), pour tout : s (u) s u Prcpe du rasoemet par récurrece Page 7 G. COSTANTINI
8 7) O cosdère la proprété, défe pour *, par : () : ƒ est dérvable et pour tout réel x : ƒ (x) x O a, pour tout réel x, ƒ (x) x et ƒ (x) x0 d'où (). Motros que pour tout * : () ( ) La dérvée d'ue focto affe x ax b est la focto costate x a égale au coeffcet drecteur. Sot *. Supposos (). Écrvos ƒ (x) x x xƒ (x) O a sat que l'applcato x x est dérvable (de dérvée la costate égale à ). De plus, par hypothèse, ƒ est dérvable. La formule de dérvato d'u produt ous doe alors : Ce qu est ( ). ƒ (x) ƒ (x) x ƒ (x) x x x ( ) x Bla :o a (0) et (pour tout, () ( ) ) doc o a : (), pour tout : ƒ est dérvable et pour tout réel x : ƒ (x) x 8) O cosdère la proprété, défe pour, par : () : pour tout eter m, u m m Comme u 0 et u, o a (). Motros que, pour tout : () ( ) Lorsqu'o chost ce type de proprété, o dt parfos que l'o fat ue récurrece "forte". Sot. Supposos () : pour tout eter m, u m m Alors : u 5 0 D'où ( ). Bla :o a () et (pour tout, () ( ) ) doc o a : (), pour tout d'où : pour tout eter m, u m m 9) O cosdère la proprété, défe pour *, par : () : a a < O a () (c'est l'égalté trvale a a ) et () (c'est la célèbre detté : (a a ) a a a a ) Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : a a < O a : a a a a a a a Prcpe du rasoemet par récurrece Page 8 G. COSTANTINI
9 Prcpe du rasoemet par récurrece Page 9 G. COSTANTINI D'après () : a a < a a a Teat compte des codtos : ; et ; a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a < Ce qu est ( ) O a doc be motré que :, () ( ) Bla : o a (), () et (, () ( )) doc o a : (), : a a < Exemple : ( ) (a a a ) a a a (a a a a a a ) m, désge l'esemble des eters comprs etre m et.
10 . Deux modèles de rédacto Das les deux modèles c-dessous, vous pouvez recoper "texto" ce qu est écrt e caractère or (ou ormal) et adapter ce qu est écrt e caractère rouge (ou talque). U premer modèle, formel et mathématquemet correct : Sot la proprété défe pour Esemble par : () : Eocez_c_la_proprété_à_démotrer Comme calculs élémetares, o a (rag). Motros que pour tout rag o a : () ( ) Sot rag. Supposos (). Alors : Etablssez_c_ ( ) Souvet, Esemble est ou * Souvet, rag est 0 ou. Ce qu est ( ). O a prouvé : (rag) et pour tout rag, () ( ) Du prcpe de rasoemet par récurrece, o dédut : pour tout rag, () C'est-à-dre : pour tout rag, Eocez_c_la_proprété_démotrée U secod modèle plus lttérare : Sot la proprété défe pour Esemble par : () : Eocez_c_la_proprété_à_démotrer Motros que la proprété est talsée au rag rag Comme calculs élémetares, o a (rag). Motros que la proprété est hérédtare à partr du rag rag Sot rag. Supposos (). Alors : Etablssez_c_ ( ) Ce qu est ( ). O a prouvé que la proprété est talsée au rag rag et hérédtare à partr du rag rag. Du prcpe de rasoemet par récurrece, o dédut : pour tout rag, () C'est-à-dre : pour tout rag, Eocez_c_la_proprété_démotrée Prcpe du rasoemet par récurrece Page 0 G. COSTANTINI
11 . Démostrato mathématque du prcpe de rasoemet par récurrece (Hors programme) Éocé : Sot I u tervalle de et ue proprété défe sur I. S : U tervalle de est u esemble du type a, b ou a, où a et b. 0 I : ( 0 ) (talsato) I 0,, () ( ) (hérédté) Alors : Le symbole sgfe "l exste" et le symbole sgfe "quelque sot". I 0,, () Démostrato Cosdéros l'esemble : E { I 0, tels que o ()} E est l'esemble des eters pour lesquels la proprété 'est pas vrae. Rasoos par l'absurde : supposos E o vde. Comme E est o vde et moré (par 0 ), l admet u plus pett élémet m avec m 0. Ce plus pett élémet m est élémet de E. O a doc o (m). S m 0, alors o ( 0 ), ce qu cotredt l'hypothèse d'talsato. S m > 0, alors o a : (m ) et o (m) ce qu cotredt l'hypothèse d'hérédté. Doc E est vde, autremet dt : pour tout 0, () Toute parte o vde et morée de admet u plus pett élémet. La égato de A B est : A et o B Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI
Ressources pour le lycée général et technologique
éduscol Ressources pour le lycée gééral et techologque Ressources pour le cycle termal gééral et techologque Mesure et certtudes Ces documets peuvet être utlsés et modés lbremet das le cadre des actvtés
Plus en détailCHAPITRE 6 : LE BIEN-ETRE. Durée : Objectif spécifique : Résumé : I. L agrégation des préférences. Cerner la notion de bien-être et sa mesure.
TABLE DES MATIERES Durée...2 Objectf spécfque...2 Résumé...2 I. L agrégato des préféreces...2 I. Le système de vote à la majorté...2 I.2 Vote par classemet...3 I.3 Codtos de décso socale et théorème d
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailMODÈLE D ISING À UNE ET DEUX DIMENSIONS.
Chapter MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS.. ITRODUCTIO. ous commençons, dans ce chaptre, létude dun problème de mécanque statstque de la matère condensée où leffet des nteractons est mportant. Le modèle
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailGrandeur physique, chiffres significatifs
Grandeur physque, chffres sgnfcatfs I) Donner le résultat d une mesure en correspondance avec l nstrument utlsé : S avec un nstrument, ren n est ndqué sur l ncerttude absolue X d une mesure X, on consdère
Plus en détailQ x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2
Exo7 Nombres complexes Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailPREMIERS PAS en REGRESSION LINEAIRE avec SAS. Josiane Confais (UPMC-ISUP) - Monique Le Guen (CNRS-CES-MATISSE- UMR8174)
PREMIERS PAS en REGRESSION LINEAIRE avec SAS Josane Confas (UPMC-ISUP) - Monque Le Guen (CNRS-CES-MATISSE- UMR874) e-mal : confas@ccr.jusseu.fr e-mal : monque.leguen@unv-pars.fr Résumé Ce tutorel accessble
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailChapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.
Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détail3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailTests non paramétriques de spécification pour densité conditionnelle : application à des modèles de choix discret
Tests o paramétriques de spécificatio pour desité coditioelle : applicatio à des modèles de choix discret Mémoire Koami Dzigbodi AMEGBLE Maîtrise e écoomique Maître ès arts (M.A.) Québec, Caada Koami Dzigbodi
Plus en détailMécanique des Milieux Continus
Mécanque des Mleux Contnus Golay Frédérc SEATECH MMC Golay MMC - - Ce cours de mécanque des mleux contnus est à la base de l ensegnement de mécanque à SEATECH. Les notons abordées c, transport de champs,
Plus en détailPetit recueil d'énigmes
Petit recueil d'éigmes Patxi RITTER (*) facile (**) mois facile (***) pas facile (****) il faudra de l aide Solutios e rouge. 1) Cryptarithme (**) Trouvez la valeur de A, B et C satisfaisat l équatio suivate.
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailGénéralités sur les fonctions 1ES
Généraltés sur les fonctons ES GENERALITES SUR LES FNCTINS I. RAPPELS a. Vocabulare Défnton Une foncton est un procédé qu permet d assocer à un nombre x appartenant à un ensemble D un nombre y n note :
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailRésolution numérique des équations aux dérivées partielles (PDE)
Résolutio umérique des équatios au dérivées partielles (PDE Sébastie Charoz & Adria Daerr iversité Paris 7 Deis Diderot CEA Saclay Référeces : Numerical Recipes i Fortra, Press. Et al. Cambridge iversity
Plus en détail