MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices
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- Jérémie Lecours
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1 SESSION 2004 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MTHEMTIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sot iterdites * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio Si u cadidat est ameé à repérer ce qui peut lui sembler être ue erreur d éocé, il le sigalera sur sa copie et devra poursuivre sa compositio e expliquat les raisos des iitiatives qu il a été ameé à predre Notatios : Foctios de matrices Les -algèbres suivates sot cosidérées au cours de ce texte : L algèbre M ( ) des matrices carrées réelles d ordre Si I est u itervalle de, d itérieur o vide, o ote C I l algèbre commutative des foctios de classe C de I das X L algèbre des foctios polyomiales de I das est usuellemet idetifiée à l algèbre [ ] 2 O y recotre aussi les -espaces vectoriels suivats : L espace des coloes réelles à liges oté M, ( ) L espace N [ X ] = { P [ X ] deg P N} /, où N 3 Les otios de covergece das M, ( ) et M ( ) sot relatives aux ormes respectives : X = x M = mi i, t Max, si X [ x, x ] =, Max, si M = [ ] m i i Obectifs du problème Tourez la page SVP
2 2 Lorsque M ( ), o sait doer u ses à la matrice P ( ) et l o maîtrise bie le calcul polyomial sur qui e résulte E particulier, si M est ue matrice de M ( ), o appelle POLYNÔME MINIML de M le polyôme uitaire P de plus bas degré tel que P( M ) = 0 ; il est immédiat (et o l admettra) qu il s agit du polyôme miimal de l edomorphisme u de R dot M est la matrice das la base caoique de R Das u premier temps, ce texte propose de doer u ses à la matrice f ( ) POUR TOUTE P [ X ] et FONCTION f DE CLSSE C, et cela moyeat des hypothèses coveables sur la matrice utremet dit, o appred à maîtriser u certai calcul foctioel sur Das u secod temps, o exploite ces résultats pour résoudre u système différetiel liéaire Notatios fixées pour tout le problème : O cosidère ue matrice de M ( ) et l o SUPPOSE que so polyôme miimal m Π peut être écrit sous la forme : Π ( X ) = ( X λ ) ( X λr ) r avec : r ; les λ sot des RÉELS disticts ; les m sot das * O ote alors m = m m r le degré de Π O cosidère aussi u itervalle I de, d itérieur o vide et coteat tous les La matrice et l itervalle I sot particularisés das les divers exemples traités au cours du problème λ Prélimiaires : Établir que pour X das M, ( ) et M das M ( ), o a : MX M X 2 Soit M u sous-espace vectoriel de dimesio d de M ( ), et soit β = ( B,, B d ) ue base de M a) Motrer que l o défiit ue orme N sur M e posat N ( M ) = Max x, si M = d x B est la décompositio de l élémet M de M sur la base β d b) Justifier l existece de costates réelles strictemet positives a et b vérifiat : M M, am N M bm ( ) c) Soit ( M p ) ue suite d élémets de p M ; o ote ( de M p sur β Motrer que la suite ( M p ) p seulemet si CHQUE SUITE RÉELLE ( x p ( )) p M p = d x p ) B coverge vers 0 das ( =,, d ) coverge vers 0 la décompositio ( M ( ), ) si et I Ue relatio d équivalece sur C I
3 3 O coviet de dire que des foctios f et g de C «coïcidet sur le spectre de» lorsque : ( {,, r}, { 0,, m }, ) ( f ( λ ) = g ) ( λ ) Ce que l o résume par la otatio f g 2 U exemple : si Π ( X ) = X ( X + ) la otatio f g sigifie : f ( 0) = g( 0), f ( 0) = g ( 0) et f ( ) = g( ) 3 Soiet l das * (, λ das I et f das C I vérifiat : f ) ( λ) = 0 pour = 0,,2,, l x l a) Établir l idetité : ( ) ( x u ) ( l) x I, f x = f ( u) du λ ( l )! b) E déduire à l aide d u chagemet de variable, l existece d ue foctio h vérifiat : l () x I, f ( x) = ( x λ) h( x) (2) h C I I 4 Soiet f et g das C I a) O suppose : h CI, f = g+ hπ E cosidérat les dérivées successives de f g, établir que f g b) O suppose f g ; e exploitat le 3 ustifier l existece de h das f = g+ hπ C I vérifiat : 5 Soiet P et Q das [ X ] ; prouver que les coditios suivates sot équivaletes : () P Q (2) H [ X ], P= Q+ HΠ II Défiitio de la matrice f ( ) O cosidère l applicatio ϕ de m [ ] ( ϕ( ) = P ) ( λ ) 6 Établir le caractère biectif de ϕ X vers m qui associe à u polyôme P le m-uplet : ( (( ) ( P r ) ( λ )) ) P,, r 0 m 0 m 7 Soit f das C I ; ustifier l existece d u et d u seul polyôme f X, de degré iférieur ou égal à ( m ) et tel que : f P f O coviet alors de DÉFINIR la matrice f ( ) e posat : f ( ) = P ( ) B Quelques exemples f r r P de [ ] Tourez la page SVP
4 4 8 O suppose ici que f est polyomiale et l o écrit : x I, f ( x) = a x E effectuat ue divisio euclidiee, motrer qu avec la défiitio de la questio 7, o obtiet le résultat aturel : f ( ) = a N = ICI : = M2 4 3 ( ) et I = a) Calculer Π ( X ) b) Calculer la matrice f ( ) das chacu des cas suivats : () f ( x) = ax + b, les réels a et b état doés (2) f ( x) = si ( π x) 2 (3) f ( x) = ( x ) g( x), où la foctio g est doée das C I N = 0 III Le calcul systématique de f ( ) Ue formule géérale 0 E exploitat l isomorphisme liéaire ϕ du II, ustifier l existece et l uicité de Q r,0 m vérifiat : polyômes, ( ) pour TOUTE foctio f de C I, o a : ( P ) f = f ( λ ) r 0 m O cosidère alors les matrices dites «associées» à : Z Q ( ) r, 0 m, = ( ), Motrer que les diverses matrices Z, sot liéairemet idépedates et que : C f = f λ Z ( f I, ( ) ) ( ) B Deux exemples r 0 m ICI : = et I = * a) Justifier l existece de matrices Z et Z 2 de M 2 ( ) telles que : f C I, f ( ) = f () Z + f () Z 2 b) EN DÉDUIRE le calcul de Z et Z α c) Calculer les matrices, et plus gééralemet pour α das * +, Q,
5 5 3 ICI : = 2 2 M 3 ( ) et I = 0 a) Préseter sous forme factorisée le polyôme Π ( X ) La matrice est-elle diagoalisable das M 3 ( )? b) Calculer les matrices Z, «associées» à IV U calcul foctioel sur la matrice Quelques idetités bie aturelles 4 Soiet f et g das C I et α das a) Que valet P α f et P f + g? b) Justifier l existece d u polyôme H de [ X ] tel que : Pfg = PfPg + HΠ 5 a) Motrer que l applicatio S : f a f ( ) de C I das M ( ) R est u morphisme de -algèbres b) Quel est so oyau? 6 O cosidère les foctios cosius et sius de das, puis les foctios f : x a x et f x 2 : a de * + das O peut aisi DÉFINIR les matrices cos, si, et même et x si les λ sot das * + a) E exploitat le morphisme S, calculer ( cos ) 2 + ( si ) 2 b) O suppose ici que les λ sot strictemet positifs Recoaître : ( ) 2 et B Le spectre de f ( ) { } 7 Motrer que l esemble oté M = f ( ) / f CI est ue sous-algèbre COMMUTTIVE de M ( ) et préciser sa dimesio 8 Motrer que si u élémet de M est iversible das M M ( ) alors so iverse est aussi das 9 Soit f das C I ; établir l équivalece des éocés suivats : () f ( ) est iversible das M ( ) Tourez la page SVP
6 6 (2) {,, r} f ( λ ) 0 20 Si M est ue matrice de M ( ), o ote E exploitat la questio 9 comparer les esembles : Λ M l esemble de ses valeurs propres RÉELLES Λ et f ( ) Λ où f est doée das C I V pplicatio à la résolutio d u système différetiel 2 Soiet ( f p ) ue suite de foctios de p suivats : () La suite de matrices f p ( ) C I et f das C I Établir l équivalece des éocés ( ) p coverge das M ( ) vers f ( ) r et chaque ( 0 m ), la suite réelle ( ( f ) p ( λ )) p coverge vers ( f ) ( λ ) (2) Pour chaque ( ) Lorsque la coditio (2) est réalisée, o coviet de dire que la suite de foctios ( «coverge vers f sur le spectre de» 22 Pour t réel, o cosidère la foctio l tx t l t : x a e de das Motrer que : ( ) = l l 0! s agit doc précisémet de la matrice usuellemet otée exp( t ) f f t + = f p ) p Il 23 E exploitat les résultats acquis à ce stade du problème, résoudre le système différetiel : dx = x y + z dt dy = 2 x 2y + z dt dz = x y dt Fi de l éocé
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