Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = u / Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

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1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a doc 5x y = Motros que 5x + y + = Or 5x + y + = 5( 7 3 x + 3 y +) ( 3 x y + 5) = 5x y = Aisi pour tout etier aturel, 5x y = c est à dire y = 5x oc les poits M de coordoées (x ; y ) sot sur la droite dot ue équatio est 5x y = O a doc x + = 7 3 x + 3 y + = 7 3 x + 3 (5x ) += 4x + / émotros par récurrece que x est u etier aturel pour tout etier aturel x = est u etier aturel Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a doc x est u etier aturel Motros que x + est u etier aturel Or x + = 4x + de plus 4, et x sot des etiers aturels doc x + est u etier aturel La propriété est doc démotrée O sait que y = 5x avec x u etier aturel, doc y est aussi u etier aturel 3 a/ y = 5x Si 3 divise x alors 3 divise y = 5x Réciproquemet si 3 divise y alors 3 divise 5x = y 3 Or 3 et 5 sot premiers etre eux doc d après le théorème de Gauss 3 divise x Coclusio: x est divisible par 3 ssi y est divisible par 3 b/ Soit d = PGC(x ;y ), d divise x et y doc d divise y 5x = 3 Aisi d= ou d=3 Si l o suppose que x et y e sot pas divisibles par 3 alors d=, doc ils sot premiers etre eux 4 a/ émotros par récurrece que x = 3 (4 5 ) pour tout etier aturel O a bie x = 3 (4 5 ) = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a doc x = 3 (4 5 ) Motros que x + = 3 (4 + 5 ) O a doc x + = 4x + = 4 3 (4 5 ) + = 3 ( ) = 3 (4+ 5 ) La propriété est doc démotrée b/ O a doc 3x = 4 5, avec x u etier, doc 3 divise 4 5 pour tout etier aturel Exercice I ( o spé ) / u = u = 4 9 = = = / Soit P la propriété : u > pour P est vraie au rag car u = 3 4 Supposos P vraie jusqu au rag aisi u > et motros que P est vraie au rag + c est à dire u + > O a u + = u u or u > doc u > et u > d où u + > P est doc vraie au rag +, P est toujours vraie 3/ a) pour tout aturel, u + = u u = u u 4 = u, de plus u > doc u u u + a le sige de u Par récurrece immédiate, u + a le sige de u or u = < doc pour tout aturel, u < c est à dire u < b) pour tout aturel, u + u = u + 3 u u = u u 4u = u u = (u )(u ) ` u u u or < u < doc u + u > c est à dire u + > u La suite (u ) est doc croissate c) La suite (u ) est croissate et majorée par, elle est doc covergete u 4/ a) pour tout aturel, v + = u + u + = u u = u u 5u +5 = 5 u u = 5 v b) La suite (v ) est doc géométrique de raiso et de premier terme v 5 = 3 c) O a alors pour tout aturel, v = 5 3 (v ) est géométrique de raiso 5 et < < doc (v 5 ) a pour limite d) (v ) a pour limite et v = u u doc (u ) a pour limite

2 Exercice II / p(r) =,85 p() =, p R () =, / O a l arbre suivat :,85 R R, a) p(r ) = p(r) p R () =,85, =, b) p(r ) = p(r) p R () =,85,88 =,748 c) O a p(r ) + p(r ) = p() car R et R formet ue partitio doc p(r ) = p() p(r ) =,, =,98 d) e même p(r ) = p(r ) p(r ) =,5,98 =,5 p(r ) e) p (R) = =, p(), = = 5 =,5 3/ Soit V l évèemet le dossier traité correspod à u excès de vitesse a),6,4 V Exercice III / z A' = (+ i)( + i) + = + i i + = O a z A = (+ i)z B + d où + i = (+ i)z B i ( 4 + i)( i) 4 i + i + soit z B = = = = i + i / a) ω vérifie ω = (+ i)ω + soit iω = c est à dire ω = i il existe doc u uique poit ivariat et so affixe vaut i b) pour tout ombre complexe z ω, z z (+ i)z + z = = iz + i(z i) = = i ω z i z i z i z z z O a z z = i = or ω z ω z = z z ω z = M M MΩ d où M M = MΩ e plus, ( MΩ, M M ) = arg z z (π) or arg( i) = π (π) ω z doc ( MΩ, M M ) = π (π) O a M M = MΩ doc M appartiet au cercle de cetre M et de rayo MΩ et ( MΩ, M M ) = π (π) doc le triagle MΩ M est rectagle e M et le poit M appartiet doc à la perpediculaire à la droite (MΩ) passat par M puis respect de l agle orieté 3/ a) o a z + i = ssi z ( + i) = ssi z z A = ssi AM = Γ est doc le cercle de cetre A et de rayo AB = i ( + i) = + i = b) pour tout ombre complexe z, z + = (+ i)z + + = z + iz et (+ i)(z + i) = z + i + iz + i + = z + iz o a doc z + = (+ i)(z + i) Si M Γ, z + i =, de plus + i = o a alors z + = soit A M = l image par F de tout poit de Γ appartiet doc au cercle Γ de cetre A et de rayo V b) p(v ) =,4,6 =,4 Cosidéros l évèemet cotraire : aucu des ciq dossiers e correspod à u excès de vitesse et ( ) 5 =,76 5 etraîe des frais de dommages corporels, o a p = p(v ) la probabilité cherchée est doc,76 5 soit eviro,746

3 Exercice IV / Pour tout x réel, g (x) = e x + (x )e x = 4 xe x de plus, pour tout x réel, 4e x >, aisi - si x >, g (x) > et g est croissate sur [ ;[ - si x <, g (x) < et g est décroissate sur ] ;[ x g (x) - + g le miimum est doc pour tout réel x, g(x) / a) g(x) ssi (x )e x or pour tout réel x, e x > doc g(x) ssi (x ) ssi x ssi x O a S = ; b) I = ( g(x))dx = ( x)e x dx u(x) = x u (x) = o cosidère : alors v (x) = e x v(x) = ex et alors I = x ( x)e + e x dx = + ex = + e = e c) O a g(x) sur ; doc I représete l aire du domaie délimité par la courbe représetative de g, la droite d équatio y = et les droites d équatio x = et x = Partie B f (x) = O cosidère la foctio f défiie par : ex x x O admettra que la foctio f est f () = cotiue e / a) lim f (x) = car f (x) = ex (e x e x ) et lim ex x x = ; lim (e x e x ) = lim f (x) = car lim e x = et lim (e x ) = b) La courbe représetative de f admet doc ue asymptote d équatio y = / Pour tout x réel o ul, f (x) = ex x (e x ) = (x )ex + x x sige de g(x) d où le tableau de variatio suivat : x f (x) + + f = g(x) O a aisi x la cotiuité de f e permet aisi de dire que f est strictemet croissate sur IR 3/ Soit C la courbe représetative de la foctio f das le repère orthogoal (O; r i, r j ) (uités : 4 cm sur l axe des abscisses et cm sur l axe des ordoées ) a) x - -,5 - -,5 -, -, -,5,5,,,5 f(x),49,63,86,6,65,8,9,,,46 3,44 b) f (x) du 4/ La foctio f est défiie et cotiue sur IR O peut détermier graphiquemet ue valeur approchée du ombre dérivé f () e lisat le coefficiet directeur de la tagete ( voir graphique ), celui-ci semble valoir O peut doc cojecturer que lim f (x) f () x = c est à dire lim f (x) x x = x 6,39

4 Exercice V : QCM / L image das le pla complexe du ombre complexe z = (+ i) 5 appartiet à : l axe réel l axe des imagiaires purs la droite d équatio y = x la droite d équatio y = x / Soiet z, z, z 3 les solutios complexes de l équatio (z 3)(z (6 + 3)z ) = O cosidère M, M, M 3 les images respectives das le pla complexe de z, z, z 3 Le triagle M M 3 est : rectagle o isocèle isocèle o équilatéral équilatéral autre 3/ Pour toutes foctios f et g dérivables sur IR telles que f = g sur [ ; ] f = g sur [ ; ] f (x)dx = g(x)dx autre f (x)dx = g(x)dx, o a : 4/ Soit F la foctio défiie pour tout réel x par F(x) = f (t)dt avec pour tout réel t f (t) = t cos(t + π 3 ), o a : F π = 6 3π pour tout réel x, F (x) = 4si(x + π 3 ) x M Exercice VI Pour tout etier aturel, soiet (u ) et (v ) deux suites satisfaisat les coditios suivates: - u = et v = 7 - (u ) est croissate - (v ) est décroissate - lim ( v u ) = / Pour tout etier aturel, w + w = v + u + (v u ) = v + v (u + u ) or (v ) est décroissate doc v + v et (u ) est croissate doc u + u o a aisi w + w la suite (w ) est doc décroissate o a égalemet lim ( v u ) = soit lim w = e coclusio pour tout etier aturel, w c est à dire u v / O a pour tout aturel, u u v v (u ) est covergete car (u ) est croissate et majorée par v = 7 (v ) est covergete car (v ) est décroissate et miorée par u = e plus, lim ( v u ) = doc (u ) et (v ) ot même limite pour tout réel x, F(x) = x cos(x + π 3 ) pour tout réel x, F (x) = f (x)