Annexe II. Les trois lois de Kepler

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1 Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - Annexe II es tois lois de Keple Johnnes Keple (57-6), pulie en 596 son peie ouge, ysteiu Cosogphicu Teize nnées plus td, en 69, il pulie Astonoi No, dns lequel il énonce ses tois lois, ppelée intennt "es tois lois de Keple" (cf et peièe loi de Keple dit que les plnètes tounent utou du Soleil en suint des tjectoies elliptiques et que le Soleil est plcé à l'un des foyes de cette ellipse 'énoncé n'est ps entièeent coect, c le Soleil n'est ps plcé à l'un des foyes, is théoiqueent c'est le cente de gité des deux stes, Soleil et plnète concenée Ptiqueent, Ce cente de gité est à l'intéieu du Soleil c il est eucoup plus ssif que les plnètes D'ute pt, le Soleil est petué pincipleent p Jupite Pou les utes plnètes le cente du Soleil peut ptiqueent ête pis coe foye de l'ellipse Un gnd succès de l nique d'isc Newton (64-77), été d'étli tois lois de se de l nique, insi que de l loi de l gittion unieselle, puis de déonte les tois lois de Keple à pti de ses lois de ses Toutes les osetions fites à son époque ont put ête expliquées à pti des tois lois de ses de l nique et de l loi de l gittion unieselle ontons l peièe loi de Keple Peièeent, l'oigine O se plcée u cente de sse du Soleil de sse et de l plnète de sse Notons l distnce ente le cente de gité O et l plnète de sse Notons R l distnce ente le cente de gité O et le Soleil de sse es deux stes sont disposés su une doite pssnt p O, un de chques côtés de O En conséquence : = R, donc R = O = CG Donc R + = + loi de l gittion unieselle dit que l foce d'ttction des plnètes est : F = G = G, où ( R + ) ( α ) = + R P intégtion, on otient l'énegie potentielle de l plnète Epot () = F d = G d = G d α α Epot () = G = G α α Donc Epot () = G α 'énegie cinétique de l plnète est : Ecin() = e pincipe de consetion d'énegie peet d'étli : Epot + Ecin = E = constnte Dns le cs de tjectoie elliptique, l'énegie nique est négtie e peie ésultt ipotnt est : G = E = constnte < α

2 Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - e deuxièe ésultt ipotnt ient de l consetion du oent cinétique en cs de foce centle e oent cinétique est défini p : = = fois le poduit ectoiel de ec θ d d d En déint p ppot u teps, on : = + O dt dt dt R d F dt = + = + = e tee =, c le poduit ectoiel d'un ecteu ec lui-êe est nul e tee F =, c l foce est centle, c'est à die que et F sont de êe diection et le poduit ectoiel de deux diecteus de êe diection est nul En conséquence, le ecteu este dns le pln pependiculie à = constnte tjectoie est dns un pln Et = = sin( θ ) = = constnte On en déduit le deuxièe ésultt ipotnt : = sin( θ ) En coinnt les deux ésultts ipotnts, on toue une eltion ente l distnce du cente de gité O à l plnète, et l'ngle θ ente et l tngente à l tjectoie On sustitue = dns G = E = constnte <, sin ( θ ) α pou oteni : G = E sin ( θ) α G On siplifie : = E sin ( θ) E α G Ce qui donne : =, ec : = et = sin ( θ ) E E α Ces définitions de et de sont ntuelles si l'équtions est celle d'une ellipse et qu'on l teste su les intesections de l'éqution ec l'xe x Dns un cs θ = 9 et = c, dns l'ute cs θ = 9 et = + c ( = c ) ptie physique est teinée Nous ons otenu une eltion ente l distnce du cente de gité O à l plnète, et l'ngle θ ente et l tngente à l tjectoie Il este à onte que cette eltion décit une ellipse Siplifions un peu cette eltion : ' = = = sin ( θ ) = ' = l distnce du deuxièe foye à l plnète, si = le gnd xe de l'ellipse Donc : = ' sin ( θ ) = le gnd xe de l'ellipse ( c ; ) et (c ; ) sont les positions des deux foyes = le petit xe de l'ellipse = l distnce du peie foye O à l plnète ' = l distnce du deuxièe foye à l plnète e fit que cette eltion décit une ellipse est onté dns le docuent : à l popiété 6 Dns ce docuent, l lette est utilisée u lieu de

3 Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - Reques su l'énegie nique E et le oent cinétique G es eltions : = et = ont été ues ci-dessus E E α = l sse de l plnète = l sse du Soleil α = + N G = 6,6759 est l constnte de l gittion unieselle kg = le gnd xe de l'ellipse = le petit xe de l'ellipse E = l'énegie nique de l plnète = le oent cinétique de l plnète eltieent u cente de gité O Notons in = c = l distnce l plus petite ente l plnète et O Notons x = + c = l distnce l plus gnde ente l plnète et O Notons in = l itesse l plus petite de l plnète Notons x = l itesse l plus gnde de l plnète Qund = in, los l itesse = x et l'ngle θ ente et égle 9 Qund = x, los l itesse = in et l'ngle θ ente et égle 9 e Donc = in x = x in ; x = in + e On en déduit ec = E que : in x E = = = in x ; x in e = + e in x E = in x Dns le cs pticulie d'une tjectoie ciculie, in = x = ( = ) et in = x = Donc dns ce cs : E = = Ecin Plus péciséent, E = Ecin 'énegie nique égle oins l'énegie cinétique, donc l'énegie potentielle égle oins deux fois l'énegie cinétique E = E Ce ésultt se etoue p un ute chein Pou une tjectoie ciculie, on : Fcentipète = Ici Fcentipète = G α Donc G = G = α α E cinétique Epotentielle On etoue le ésultt du cs pticulie d'une tjectoie ciculie pot cin

4 Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - 4 loi des ies C'est l deuxièe loi de Keple e ecteu lie des ies égles pendnt des intelles de teps égux Ce ésultt est iédit, si on sit que : ) 'ie du tingle foé p et égle, où = le oent cinétique eltieent à O = ( = poduit ectoielle) ) = constnte Ceci été u dns l déonsttion pécédente ) 'ie d'un tingle est Aie = sin( θ ), où = l longueu d'un côté, = l longueu d'un ute côté, θ = l'ngle ente les deux côtés ontons l deuxièe loi de Keple En un tès petit teps dt, l'ie lyée p est Aie = sin( ) dt θ = dt = constnte dt En dditionnnt eucoup de petits teps dt, on otient : En un teps t, on : Aie() t = t CQFD Pou un tou coplet, on : π = T π = l'ie de l'ellipse = le oent cinétique eltieent à O = = l sse de l plnète T = l péiode = le teps is p l plnète pou fie un tou coplet utou du Soleil h θ θ dt Aie = h = sin( θ ) = h O De : G = et = E E α on en déduit : G E = α et donc : G α = = E, Donc le oent cinétique égle : = α G

5 Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - 5 Toisièe loi de Keple constnte T =, plus péciséent : G = où T 4 π α = le gnd xe de l'ellipse T = l péiode = le teps is p l plnète pou fie un tou coplet utou du Soleil ontons l toisièe loi de Keple es eltions : = E ; G = E α et π = T = l sse de l plnète = l sse du Soleil α = + N G = 6,6759 est l constnte de l gittion unieselle kg = le gnd xe de l'ellipse = le petit xe de l'ellipse E = l'énegie nique de l plnète = le oent cinétique de l plnète eltieent u cente de gité O ont été ues ci-dessus G G De = on tie que : E = E α α Aec = E on en déduit que : G = = α En ettnt u cé π = T et en utilisnt l'expession pou G π = = T 4 4 α G = CQFD T 4 π α, on : e ppot dépend légèeent de l sse de l plnète qui se toue dns T α = + is si <<, sont influence est négligele Reque Pfois on décit l'ellipse foée p l distnce + R ( = ) ente l plnète et le Soleil C'est le cs du lie de nique de Bekeley, "cous de physique" olue Dns ce cs, il fut sustitue, et de cette pésenttion à l'ide de : = / α ; = / α et = / α pou oteni les foules de l'ute pésenttion = gnd xe, = petit xe de l'ellipse décit p l plnète, ue depuis le Soleil P exeple, on : G α G α G ( + ) = = = T 4 π α T 4 π T 4 π C'est cette denièe églité qui se toue dns le cous de nique de Bekeley

6 Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - 6 Toisièe loi de Keple dns le cs de tjectoie ciculie G Dns le cs d'une tjectoie ciculie, cette loi est fcile à onte = T 4 π α Pou une tjectoie ciculie, G Fcentipète = et Fcentipète = ; α α = + distnce π = = teps T = = = yon, les foyes sont confondus ec l'oigine O T = l péiode = le teps is p l plnète pou fie un tou coplet utou du Soleil G G En coinnt : Fcentipète = = = α α 4 π G G = = On etoue ien l eltion ttendue T α T 4 π α Chngeent de éféentiel Dns ce qui pécède, les gndeus, et sont elties u cente de gité O du systèe plnète - Soleil Si on pend le Soleil coe oigine, tout ce qui pécède est coect, losqu'on pend les gndeus = α, = α et = α eltieent u Soleil Il suffit de sustitue ; et p ; et α α α tjectoie este elliptique, l loi des ies este lle, G ( + ) l eltion = est coecte T 4 π Ainsi que : = G O ; = E E Et pou un teps t, on : () Aie t = t Pou un tou coplet, on : π = T péiode T este l êe, insi que les sses 'énegie nique E este celle de l plnète Si on pend l plnète coe éféentiel, toutes les eltions ci-dessus sont lles e Soleil suit l tjectoie elliptique, décite ci-dessus Il fut utilise les gndeus = α, = α et = α pou décie le Soleil u depuis l plnète e Soleil est pis coe éféentiel O plnète est pise coe éféentiel

7 Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - 7 'éqution du teps de Keple Reenons u éféentiel du cente de gité Ce qui suit peut ussi ête décit depuis le Soleil ou l plnète π loi des ies indique que : Aie() t = t T ptie su les popiétés d'une ellipse ontées dns le docuent : donnent l eltion : Aie( ψ ) = ( ψ e sin( ψ)) où ψ est l'nolie excentique π En conséquence t = ( ψ e sin( ψ )) ( sin( )) T t = T ψ e ψ π C'est l'éqution du teps de Keple y 'nolie excentique ψ est un ngle qui est elié à l'ngle ϕ et à d'utes gndeus p difféentes eltions e dessin donne l définition de ψ ye = yc ; = e x ; yc x sin( ψ ) = ; cos( ) ψ = ; tn( ) y ψ = c ; x ye x c ye sin( ϕ ) = ; cos( ϕ) = ; tn( ) ϕ = x c ; ϕ + e ψ tn = tn e F' y c y e ψ ϕ F x P x ϕ s'ppelle l'nolie ie Pou plus d'infotions, egdez l éféence we ci-dessus Regdez ussi dns : Eqution du teps : Anolie excentique : Anolie ie : Anolie oyenne : ois de Keple :

8 Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - 8 Aute déonsttion de l peièe loi de Keple, itesse et hodogphe Voici une ute ppoche intéessnte pou déonte l èe loi de Keple, is en utilisnt des thétiques plus ncées! y ˆ Nous utiliseons plusieus ecteus unités, c'est-à-die de noe égle à x ˆ = (;;) ; y ˆ = ( ;; ) ; z ˆ = ( ; ;) Repésente l se stndd, fixe, indépendnte de ϕ et du teps t ˆ ϕ = ( sin( ϕ);cos( ϕ);) ; ˆ = (cos( ϕ);sin( ϕ);) ; z ˆ = ( ; ;) Repésente une se othonoée ptique, is qui dépend de ϕ et du teps t ẑ ˆϕ ŷ F' ϕ ẑ ˆx F x On les eltions suintes : ˆ = ˆ ϕ zˆ ; ˆ ϕ = ẑ ˆ ; ẑ = ˆ ˆ ϕ, où epésente le poduit ectoiel ˆ ˆ ϕ = ; ˆ ϕ ˆ ϕ = ; yˆ ˆ ϕ = cos( ϕ), où epésente le poduit sclie dˆ = ˆ ϕ, cel se oit en déint ˆ (cos( );sin( );) dϕ = ϕ ϕ p ppot à ϕ t () = t () t ˆ(), (t) est l noe de t ( ), c'est l distnce du cente de gité F à l plnète d d dϕ d dˆ dϕ d dϕ = = = ˆ +, donc = ˆ + ˆ ϕ dt dϕ dt dϕ dϕ dt dϕ dt Pssons à l physique loi fondentle de l dynique loi des ies donne : dϕ =, c dt d Fésultnte = = dt d G donne ici : = ˆ dt α dϕ = l'éléent d'ie lyé p le ecteu t ( ) dϕ l petite duée dt = dt En coinnt ces deux eltions, on éliine pou oteni : d G dϕ d G G d ˆ ϕ d G = ˆ, donc = ˆ = ˆ = ϕ dt α dt dϕ α α dϕ dϕ α dunt G En conséquence : ( ϕ) = ˆ ϕ( ϕ) + cte α G En utilisnt ˆ ϕ () = yˆ et () = ˆ x y, on otient : cte = ˆ x y α G En utilisnt ˆ ϕ( π ) = yˆ et ( π ) = ˆ in ( y), on otient : cte = ˆ in y α x in En dditionnnt : cte = yˆ G x + in En soustynt : = 6,6759 G = α s kg

9 Donc : x in x in ( ) ˆ + ϕ y = ˆ ϕϕ ( ) Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - 9 G e G ( ϕ) yˆ = ˆ ϕϕ ( ) et α α x in x in En noe : ( ) ˆ + ϕ y = = constnte G x + in = ( c) = ( + c) et =, on en tie que : α G G x in G e = ( + e) et in = ( e) et = α α α De o x in x P d'utes considétions, on : + e G = et e α x e G = + e α in Peièe conclusion : x + in Ce qui pécède signifie que l'hodogphe est un cecle de yon centé su l'xe des y en x in ; ; Ceci s'ppelle "le théoèe de Henn, plce, Runge, enz, Hilton" 'hodogphe est l coue décite p l'ensele des points se tount à l'extéité de l flèche epésentée p le ecteu itesse Une elle déonsttion se toue su : On u dns l ptie thétique que d dϕ = ˆ + ˆ ϕ, donc dϕ dt d dϕ x in x in ˆ+ ˆ ϕ yˆ = + ˆ ϕ dϕ dt En fisnt le poduit sclie ec ˆϕ, cel se siplifie en : dϕ x in x in cos( ) + ϕ = dt dϕ loi des ies donne : dϕ =, donc = dt dt x in x in En coinnt ces eltions, on : cos( ) + = ϕ + =, pès dies siplifictions + c cos( ϕ) C'est l'éqution d'une ellipse et note deuxièe conclusion qui donne : in x On peut ussi écie : = + + ( ) cos( ϕ) x in x in ; in = c ; x = + c P consetion du oent cinétique, on sit que : in x = x in

10 Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - Aute déonsttion et inint de Runge enz Cette ute déonsttion utilise d'utes eltions thétiques, et fit ppîte l'inint de Runge enz α G e G Fisons le poduit ectoiel ec des deux côtés de ( ϕ) yˆ = ˆ ϕϕ ( ) G α α Puisque est pependiculie à ˆϕ, ˆ ϕ = ˆ Puisque est pependiculie à ŷ, yˆ = ˆ x α α Donc : + e xˆ = ˆ, qui donne : e xˆ = ˆ+ G G e ecteu de guche e xˆ est constnt, de noe égle à e Il s'ppelle le ecteu d'excenticité α c Donc l soe ˆ+ donne un ecteu constnt de noe égle à e = G Cette soe s'ppelle l'inint de Runge enz Cf Fisons le poduit sclie ec α des deux côtés de e xˆ = ˆ+ G th ( )! α α α e cos( ϕ) = + ( ) = + ( ( ) ) = + G G G déf α p (+ e cos( ϕ)) = = p C'est l'éqution d'une ellipse : = G + e cos( ϕ) Bend Gisin oût 6 (