PC* Intégrales dépendant d'un paramètre

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1 217 ntégrales dépendant d'un paramètre. ntégrales dépendant d un paramètre «discret» (rappels de chapitres antérieurs) Passage à la limite, pour une suite de fonctions, sous un signe intégral Passage à la limite, pour une série de fonctions, sous un signe intégral ntégrales dépendant d un paramètre «continu» ntroduction Continuité sous le signe Dérivabilité sous le signe Limite en un point de a de J Récapitulatif : Comment étudier Une fonction définie par une intégrale? Une suite d intégrales? /14

2 217 ntégrales dépendant d'un paramètre Tester ses connaissances 1. Qu est-ce que la convergence simple d une suite de fonctions? La convergence uniforme? 2. Et pour une série de fonctions? 3. Peut-on intervertir en toute impunité et lim? ou et + n=? 4. Théorème de convergence dominée? 5. Théorème d intégration terme à terme pour une série de fonctions? 6. Autre outil pour intervertir lim et? ou [a,b] [a,b] 7. Qu est ce qu une fonction intégrable sur un intervalle? 8. Fonctions intégrables de référence sur [1, + [? Sur ], 1]? 9. Quels sont les outils pour étudier l intégrabilité d une fonction sur? 1. négalités «classiques» : t, sin t? t, ln(1 + t)? 11. Soit f : (x, t) ], + [ ], + [ t x 1 e t ; comment justifier que f admet des dérivées partielles par rapport à x à tout ordre? Que vaut x >, t >, k 1, k f (x, t)? xk 12. Comment justifie-t-on que x x dt 1 + t 4 et + n= est dérivable? Que vaut sa dérivée? 13. Si f est une fonction continue sur R et u et v sont des fonctions dérivables sur R ; pourquoi la fonction x v(x) u(x) f(t)dt est-elle dérivable? Et que vaut sa dérivée?? Dans tout le chapitre, et J désignent deux intervalles de R d intérieur non vide. K désigne R ou C. Dans ce chapitre, nous allons revoir l étude des suites définies Åpar intégration ã sur d une fonction qui dépend d un paramètre discret (un entier n) : ( n ) = f n (t)dt étudier des fonctions définies parintégration sur d une fonction qui dépend d un paramètre continu (un réel x) : x g(x) = f(x, t)dt. 2/

3 217 ntégrales dépendant d'un paramètre. ntégrales dépendant d un paramètre «discret» (rappels de chapitres antérieurs).1 Passage à la limite, pour une suite de fonctions, sous un signe intégral (f n ) étant une suite d applications, on cherche à donner des conditions suffisantes assurant la relation : Å ã Å ã lim f n = lim f n (1).1.a Cas d un segment est donc dans ce cas un segment. On a vu le théorème suivant (cf chapitre suites de fonctions) : Théorème. (1) Soient (a, b) R 2 tels que a b, et (f n ) une suite d applications de [a, b] dans K. Si pour tout n N, f n est continue sur [a, b], (f n ) converge uniformément sur [a, b] vers une application f, alors f est continue sur [a, Ç b], å la suite numérique f n est convergente, [a,b] f n f. [a,b] [a,b] Remarque. Les suites de fonctions vérifiant les hypothèses de ce théorème satisferont également les hypothèses du théorème qui va suivre. Néanmoins, en raison de sa simplicité et de ses applications, ce théorème ne sera pas mis au rebut pour autant..1.b Théorème de convergence dominée Dans le cas d un intervalle non borné, l hypothèse de convergence uniforme ne suffit pas pour assurer la relation (1). Exemple. f n : [, + [ R x 1 n! xn e x Les f n sont continues sur R +, la suite de fonctions (f n ) converge uniformément sur R + vers la fonction constante nulle, mais f n 1 =. [,+ [ [,+ [ Le théorème suivant est valable pour tout type d intervalle, et fait état d une hypothèse de domination uniforme (i.e. indépendante du paramètre «discret» n). Théorème de convergence dominée. (2) Soit un intervalle de R et (f n ) un suite d applications de dans K /14

4 217 ntégrales dépendant d'un paramètre On suppose alors Remarques. 1. pour tout n N, f n est CM sur 2. (f n ) converge simplement sur vers une application notée f 3. f est CM sur 4. il existe ϕ L 1 (, R + ) telle que n N, f n ϕ (hypothèse de domination) les f n et Å f sont intégrables sur (i.e. appartiennent à L 1 (, K)) ã la suite f n converge dans K f n f On peut remarquerque si les hypothèses 1., 2. et 3. n étaient pas satisfaites, la question du passage à la limite sous le signe ne se poserait pas... De même, pour que la conclusion 3. ait un sens, il est nécessaire que les deux autres conclusions soient vraies... Vérifions que le théorème du paragraphe précédent (dans le cas d un segment) peut être vu comme un corollaire de ce théorème de convergence dominée : si les (f n ) cv U sur [a, b] vers f, CM, alors à partir d un certain rang, f n f + 1 = ϕ ce qui assure l hypothèse de domination. Dans la pratique, si le théorème du paragraphe 1 s applique, on ne sortira pas la grosse artillerie du théorème de convergence dominée. Par contre, il est des cas (même sur un segment) où ce théorème de convergence dominée devra être appliqué! Exemple. Montrer que π 2 cos n tdt. Attention à ne pas oublier de vérifier la continuité par morceaux de la fonction limite f, ainsi que l hypothèse de domination!!! Exemple. f n : x [, 1] n 2 xe nx (f n ) converge simplement vers la fonction constante nulle sur [, 1], et pourtant n 1 f n = te t dt = (n + 1)e n =. [,1] t=nx PP En effet, ici on ne peut pas «dominer» les f n (car par ex, n 1, f n (1/n) = n/e + ). Ce théorème de convergence dominée vaut pour tout type d intervalle, fermé ou non, borné ou non. n Å Exemple. Convergence et limite de la suite (u n ) de réels : n N, u n = 1 nã t n t α 1 dt.2 Passage à la limite, pour une série de fonctions, sous un signe intégral (f n ) étant une suite d applications, on cherche à donner des conditions suffisantes assurant la relation : + Å ã ( + ) f n = f n (2) n= n= n Remarque. Si l on pose : n N, S n = f k, la relation (2) est clairement équivalente à lim k= Å ã Å S n = lim S n On peut ainsi se ramener au paragraphe précédent sur les suites de fonctions. ã 4/

5 217 ntégrales dépendant d'un paramètre.2.a Cas d un segment Théorème. (3) Si les f n sont continues sur le segment [a, b] fn converge uniformément sur [a, b] alors + la fonction f n est continue sur [a, b] n= la série numérique Ç b å f n (t)dt converge n a ( b + ) + Ç b å f n (t) dt = f n (t)dt. a n= n= a Remarque. Les séries de fonctions vérifiant les hypothèses de ce théorème satisferont également les hypothèses du théorème qui va suivre. Néanmoins, en raison de sa simplicité et de ses applications, ce théorème ne sera pas mis au rebut..2.b Cas d un intervalle quelconque Remarque. Dans le cas général d un intervalle quelconque, on pourra tenter d appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (S n ) (où n, S n = ce sera particulièrement efficace lorsque les fonctions f n sont à valeurs dans R + appliquer le théorème «réservé» aux séries de fonctions suivant : Théorème d intégration terme à terme. (4) on sait démontrer que la fonction + n= n f k ) : k= f n est intégrable sur Soit un intervalle de R et (f n ) une suite d applications de dans K. On suppose 1. pour tout n N, f n est CM et intégrable sur, 2. la série de fonctions f n converge simplement sur vers une application alors notée S (S = + n= f n ) 3. S est CM sur 4. la série numérique Å ã f n est convergente, S est intégrable sur (i.e. appartient à L 1 (, K)), la série numérique Å ã f n converge dans K, ( + ) + Å f n = f n ã. n= n= Remarques. On peut remarquerque si les hypothèses 1., 2. et 3. n étaient pas satisfaites, la question du passage à la limite sous le signe ne se poserait pas... De même, pour que la conclusion 3. ait un sens, il est nécessaire que les deux autres conclusions soient vraies /14

6 217 ntégrales dépendant d'un paramètre Attention à ne pas oublier de vérifier l hypothèse «est convergente, qui au contraire est une des conclusions du théorème) f n est convergente» (et pas seulement Ce théorème vaut pour tout type d intervalle, fermé ou non, borné ou non. Dans le cas d intervalle fermé borné, il permet de traiter des cas ne relevant pas de la convergence uniforme. Puisque la dernière conclusion est une égalité, ce théorème pourra également servir à présenter certaines intégrales sous forme d une somme de série : + sin t + Exemple. Montrer que e t 1 dt = 1 n n=1 Dans le cas où les hypothèses de ce théorème ne sont pas vérifiées et où on dispose d informations sur la fonction reste de la série f n, on reviendra aux définitions : prouver (2), c est montrer que S n S + ou encore R n (R n = f k ). k=n+1 Exemple. Soient (a, b) R +. Montrer que 1 x a x b dx = ( 1) n a + bn.. ntégrales dépendant d un paramètre «continu» n= f n.1 ntroduction et J sont des intervalles de R, d intérieur non vide. On considère des fonctions du type f : J K. (x, t) f(x, t) On suppose que pour tout x J (x est alors le paramètre «continu»), la fonction f(x,.) : K t f(x, t) est intégrable sur : on peut donc définir l application g : J K x f(x,.) = f(x, t)dt et on étudie les problèmes suivants : 1. Sous quelles conditions est-on assuré de la continuité de g sur J? i.e quand a-t-on x J, f(x, t)dt =? f(x, t)dt? lim x x x J 2. Sous quelles hypothèses g est-elle dérivable sur J? Et peut-on dériver sous le signe intégral? i.e pour x J, g (x ) =? f x (x, t)dt? 3. Enfin, étant donné a J, sous quelles conditions g admet-elle une limite en a? Et alors, peut-on passer à la limite sous le signe intégral? Å ã ( )?= i.e x a lim f(x, t)dt lim f(x, t) dt? x a x J x J Une chose est sûre, on ne peut pas intervertir des limites et des intégrales sans avoir justifié avant qu on pouvait le faire... 6/

7 217 ntégrales dépendant d'un paramètre Exemple. Montrer que x + x x 2 dt n est pas continue en? + t2.2 Remarque. Vu que l on dispose de la caractérisation séquentielle des limites, ces problèmes (qui sont tous des problèmes de limite) peuvent être examinés en utilisant le théorème de convergence dominée. On ne sera donc pas surpris de trouver dans les hypothèses des théorèmes ci-dessous des arguments relevant de la domination. Continuité sous le signe Théorème. (5) Soient et J intervalles de R, d intérieur non vide et f : J K. pour tout t, l application x J f(x, t) est continue sur J, Si pour tout x J, l application t f(x, t) est continue par morceaux sur, il existe une fonction ϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur telle que (x, t) J, f(x, t) ϕ(t) (Hypothèse de domination «uniforme»./. à x) alors pour tout x J, l application t f(x, t) est intégrable sur, la fonction g : x J f(x, t)dt est définie et continue sur J, i.e. Å ã ( ) x J, x x lim f(x, t)dt = lim f(x, t) dt = f(x x x, t)dt. x J x J Preuve. Non exigible. Bien noter que dans l hypothèse de domination, ϕ est une fonction d une seule variable, indépendante de x ; voilà pourquoi certains ouvrages parlent d hypothèse de domination «uniforme» (= indépendante de x). Commentaires. La formulation de ce théorème est «lourde» ; mais comment envisager la conclusion 2. si les deux premières hypothèses ne sont pas satisfaites et la conclusion 1. non assurée? + cos(xt) Exemple. Soit f : x dt. Montrer que f est définie et continue sur R. 1 + t2 Remarque. La continuité étant une propriété locale, il suffit de vérifier l hypothèse de domination sur tout segment de J, d où le corollaire (qui sera le th. utilisé concrètement le plus souvent) : Théorème. (6) Soient et J intervalles de R, d intérieur non vide et f : J K. pour tout t, l application x J f(x, t) est continue sur J, Si alors pour tout x J, l application t f(x, t) est continue par morceaux sur, pour tout segment K J, il existe une fonction ϕ K CM, positive, intégrable sur / (x, t) K, f(x, t) ϕ K (t) (Hypothèse de domination locale), pour tout x J, l application t f(x, t) est intégrable sur la fonction g : x J f(x, t)dt est définie et continue sur J i.e. Å ã ( ) x J, x x lim f(x, t)dt = lim f(x, t) dt = f(x x x, t)dt. x J x J /14

8 217 ntégrales dépendant d'un paramètre.3.3.a Exemple. Montrer que Γ : x + t x 1 e t dt est continue sur son ensemble de définition. Configuration usuelle. Dans le cas où = [a, b] est un segment de R et J un intervalle de R et où on suppose f continue sur J [a, b] ; alors pour tout segment [α, β] J, f est continue sur le fermé-borné [α, β] [a, b], donc est bornée sur [α, β] [a, b] : M R + tel que (x, t) [α, β] [a, b], f(x, t) M et comme la fonction constante ϕ α,β : t M est intégrable sur [a, b] (intervalle borné) et domine f, on peut appliquer le théorème précédent et donc g : x Exemple : Montrer que f : R + R Dérivabilité sous le signe À l ordre 1 : Formule de Leibniz x 1 e t t + x dt b a est continue sur R +. f(x, t)dt est continue sur J. Théorème. (7) Soient et J deux intervalles de R, d intérieur non vide et f : J K. pour tout x J, l application t f(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur Si alors pour tout t, l application x J f(x, t) est C 1 sur J i.e. pour tout t, l application x J f (x, t) existe et est continue sur J x pour tout x J, l application t f (x, t) est continue par morceaux sur x il existe une fonction ϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur telle que (x, t) J, f x (x, t) ϕ(t) (Hypothèse de domination pour la fonction f x ) la fonction g : x J x J, t f (x, t) est intégrable sur x x J, g f (x) = (x, t)dt. x Preuve. Non exigible. Soit x J, notons δ(h) = g(x + h) g(x) h ( Alors δ(h) = f(x + h, t) f(x, t) h f ) x (x, t) dt. f(x, t)dt est de classe C 1 sur J f x (x, t) dt. x +h f x +h ( ) Or f(x + h, t) f(x, t) = (y, t) dy. Donc : δ(h) f f x x (y, t) x x x (x, t) dy dt. Soit alors (h n) une suite convergeant vers, on peut écrire δ(h n) a n(t) dt avec a n(t) = 1 x +h n h n h n f f (y, t) x x x (x, t) dy. On a a n(t) 2ϕ(t) (majoration simple) et, pour tout t, (a n(t)) n N converge vers (par continuité de f x ). On applique alors le théorème de convergence dominée, qui permet de conclure que δ(hn) converge vers. h n La caractérisation des limites par les suites, puis la définition de la dérivée permettent de conclure. 8/

9 217 ntégrales dépendant d'un paramètre Exemple. Transformée de Fourier : cf exo. Remarque. Le caractère C 1 étant là encore une propriété locale, il suffit de vérifier l hypothèse de domination sur tout segment inclus dans J : Théorème. (8) Soient et J deux intervalles de R, d intérieur non vide et f : J K. pour tout x J, l application t f(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur pour tout t, l application x J f(x, t) est C 1 sur J Si pour tout x J, l application t f (x, t) est continue par morceaux sur x pour tout segment [a, b] J, ϕ a,b continue par morceaux, positive et intégrable sur telle que (x, t) [a, b], f (x, t) x ϕ a,b(t) (Hypothèse de domination locale pour la fonction f x ) alors la fonction g : x J f(x, t)dt est de classe C 1 sur J x J, t f (x, t) est intégrable sur x x J, g f (x) = (x, t)dt. x.3.b Extension aux fonctions de classe C k Théorème. (9) Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soient et J deux intervalles de R, d intérieur non vide et f : J K. pour tout x J, l application t f(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur Si alors pour tout t, l application x J f(x, t) est C k sur J pour tout p 1, k, pour tout x J, l application t p f (x, t) est CM sur xp pour tout p 1, k, il existe une fonction ϕ p CM, positive et intégrable sur telle que (x, t) J, p f x p (x, t) ϕ p (t) (Hypothèse de domination pour la fonction p f x p ) la fonction g : x J f(x, t)dt est de classe C k sur J pour tout p 1, k, x J, t p f (x, t) est intégrable sur xp p 1, k, x J, g (p) p f (x) = (x, t)dt. xp Exemple. Étude de la fonction Γ : x + t x 1 e t dt. Montrer qu elle est C sur R + et que k N, x >, Γ (k) (x) = + (ln t) k t x 1 e t dt /14

10 217 ntégrales dépendant d'un paramètre.4 Limite en un point de a de J Rien n est au programme à ce sujet. On pourra utiliser la caractérisation séquentielle (prendre une suite (x n ) d éléments de J qui converge vers a) et se ramener à un problème de convergence dominée (en posant n, t, g n (t) = f(x n, t)) ou bâtir «artisanalement» (majoration/minoration/encadrement) des raisonnements convaincants. Exemple. Montrer que lim Γ(x) = + et lim Γ(x) = +. x + x +. Récapitulatif : Comment étudier....1 Une fonction définie par une intégrale? On rencontre fréquemment le problème suivant : étudier les propriétés de régularité (continuité, dérivabilité, classe ) d une application définie par une intégrale : g : x....1.a Le paramètre n intervient pas dans les bornes de Bien poser le problème C est comme d habitude primordial. La première phrase d une solution bien rédigée aura en général la forme suivante (approximativement) : La fonction f : (x, t)... est définie sur J. La détermination de l intervalle est primordiale ; en effet, n est pas nécessairement donné par l énoncé, qui demande souvent d étudier une fonction donnée sous la forme x b a.... On ne sait pas alors, dans le cas où la borne a et/ou la borne b est finie, si elle appartient à ou pas. En ce qui concerne J, l énoncé peut le donner explicitement («montrer que la fonction est de classe C k sur J =...») ; on peut aussi avoir à le déterminer comme ensemble des valeurs de x pour lesquelles t f(x, t) est intégrable sur. l est important enfin de donner un nom (f, g, etc...) à la fonction étudiée. Utilisation d une domination Si est un segment : La domination ne pose pas de problème, il suffit de dire qu une fonction continue sur un fermé-borné est bornée, et qu une fonction constante est intégrable sur un segment. Si n est pas un segment : l ne faut alors pas oublier de dominer... La rédaction de la question doit montrer que l on a bien compris ce que signifie dominer : on doit majorer en module par une fonction intégrable sur et qui ne dépend pas de la variable x (appelée «paramètre»). On est très souvent amené à dominer sur tout segment de J (x est, pour la domination, astreint à résidence dans un segment K inclus dans J). Ne pas confondre x et t (d où l importance des notations)! Lorsque l on doit montrer qu une fonction x f(x, t)dt est de classe C 1, on doit dominer f, mais pas f. x Quelques inégalités «classiques» : t, sin(t) t ou sin(t) 1 x > 1, ln(1 + x) x x, e x x + 1, donc x > 1, e x x AF.1.b Le paramètre n intervient que dans les bornes de On doit donc étudier une fonction du type g : x v(x) u(x) f(t)dt 1/

11 217 ntégrales dépendant d'un paramètre où f est continue sur J intervalle et u et v sont à valeurs dans J. Soit alors F une primitive de f sur J. On écrit g(x) = F (v(x)) F (u(x)) ce qui permet d étudier g (par exemple de la dériver, si u et v sont dérivables et f continue). Mais ce n est pas la seule méthode! On peut en effet rentrer x dans l intégrale par un changement de variable (qui vous serait donné, je pense!) ; par exemple, g(x) = (v(x) u(x)) On est alors ramené au cas du a., sur un segment. 1 f (u(x) + s(v(x) u(x))) ds..1.c Le paramètre est à la fois dans les bornes de et à l intérieur de l intégrale On vous guidera! Le changement de variables du type précédent (fin du b.) permet alors de se ramener au a. On peut aussi se livrer aux considérations suivantes : soit à étudier v(x) g : x f(x, t)dt u(x) On définit alors la fonction de trois variables définie sur un domaine à déterminer : v h : (u, v, x) f(x, t) dt. u On calcule les dérivées partielles, et on utilise des techniques sur les fonctions de plusieurs variables : g(x) = h(u(x), v(x), x).2 Une suite d intégrales? Å l s agit ici d étudier le comportement d une suite f n ã. Ce problème peut aussi se rencontrer lors de la recherche d une limite en a d une fonction du type x f(x, t)dt ; en effet, on peut alors considérer une suite (a n ) quelconque convergeant vers a et s intéresser au Å ã comportement de la suite f(a n, t)dt. Rappelons quelques techniques : ÅSi est un segment, la convergence uniforme de la suite (f n ) vers une fonction f donne la convergence de f n ã. Mais le théorème de convergence dominée est aussi envisageable, et ne nécessite pas l utilisation de la convergence uniforme. Dans le cas où aucun de ces outils ne fonctionne, on peut envisager un découpage, mais c est plus difficile (et vous serez alors guidés) : découper une intégrale consiste simplement à utiliser la relation de Chasles. Pour le faire à bon escient, il faut préalablement observer le problème, voir où l intégrale concentre son poids quand n est grand (si elle le concentre!), et traiter les différents morceaux dans le bon ordre : on obtient des raisonnements typiques d analyse, avec ε et autres. C est donc toujours un peu délicat à rédiger. Si n est pas un segment, inutile d envisager Å la convergence uniforme de (f n ) : elle n est ni nécessaire ni suffisante pour avoir la convergence de f n ã, même si les f n et la limite uniforme f sont intégrables. On essaiera donc d utiliser le théorème de convergence dominée, sinon un découpage, en regardant si l intégrale «se concentre» au voisinage d un point donné de. Les suites d intégrales peuvent donner lieu à des recherches de relations de récurrence (exemple typique : les intégrales de Wallis). Pour cela, l outil principal est l intégration par parties. De telles relations de récurrence peuvent alors être utilisées pour déterminer une limite, ou un équivalent. On peut être amené à transformer l expression de l intégrale, par changement de variable pour faire sortir le n des fonctions dans l intégrale (par exemple, on a un cos(n t) dans l intégrale, on fait le changement de variables u = n t). Cette opération est souvent suivie d une application du théorème de convergence dominée /14

12 12/ Exo 1 (1) Montrer que, pour tout (n, x) N R, (2) Montrer que Exo 2 lim R dx Ä ä 1 + x 2 n n Étudier les limites suivantes : lim n Å 1 x n Exo 3 Soit f : lim Exo 4 + ã n e x 2 dx (on pourra poser fn : R 1 Ä ä 1 + x 2 n x 2. n e x2 dx. + x [, n] n sin( x n ) x(1 + x 2 ) dx ; Ä 1 nä x n x e 2 x > n R + R une application continue et bornée. Calculer nf(x) 1 + n 2 x 2 dx. Soit a >. Montrer que Exo 5 1 dx x a = ( 1) n na + 1. n= Soient a et b deux réels strictement positifs. + xe ax + Montrer que 1 e bx dx = 1 (a + bn) 2. Exo 6 Montrer que 1 x x dx = + n=1 1 n n. n=.) Exo 7 Montrer que Exo 8 ( + + L objectif est de montrer que ) ( 1) n e nt dt = n=1 + + n=1 ( 1) n n. t π + e t 1 dt = 1. 2 n=1 nn (1) Justifier l existence des deux membres de cette égalité. t + (2) Montrer que t >, e t 1 = te (n+1)t. n= (3) Calculer, à l aide d un changement de variable, + + π te nt dt. On admettra que e t2 dt = 2. (4) Conclure. Exo 9 Etablir que 1 Arctant dt = t + n= Cette valeur est appelée constante de Catalan, elle vaut approximativement, 916. Exo 1 Montrer que g : x R Exo 11 Soit f : + 1 ( 1) n (2n + 1) 2. sin(xt) t 2 dt est continue sur R. R R une application continue telle que t tf(t) soit intégrable sur R. Pour tout x R, on note g(x) = + e ixt f(t)dt. La fonction g est appelée la transformée de Fourier de f. Montrer que g est une application de classe C 1 et calculer sa dérivée. 217 ntégrales dépendant d'un paramètre

13 /14 Exo 12 Montrer que F : x Exo sin(tx)dt est de classe C sur R. e xt Soit F : x 1 + t 2 dt. Domaine de définition de F? Continuité de F sur R +? Valeur de F ()? Limite de F en +? Exo 14 Soit Γ la fonction définie par : Γ(x) = + t x 1 e t dt. (1) Montrer que Γ est définie sur R +. Calculer Γ(1). (2) a. Montrer que x >, Γ(x + 1) = xγ(x). En déduire la valeur de Γ(n) pour tout n N. b. Soit t >, soient b a >. Montrer que x [a, b], t x 1 t a 1 + t b 1. (3) a. Montrer que Γ est C 2 sur R +, expliciter Γ (x) et déterminer les variations de Γ. b. Déterminer les variations de Γ. (4) Étudier les limites de Γ en + et en +. (5) Démontrer l existence d une suite (a n ) que l on explicitera telle que + a + n x >, Γ(x) = x + n + t x 1 e t dt Exo 15 Soit F : x 1 t x 1 + t dt. n= 1 (1) Déterminer l ensemble de définition de F. (2) Avec le changement de variable t = u 2, calculer F (1/2). (3) En déduire F (3/2). Exo 16 Soit a >. Montrer que Exo 17 On pose f(x) = + 1 dx x a = ( 1) n na + 1. ln(t)e xt dt. n= (1) Montrer que f est de classe C 1 sur ], + [. (2) Montrer que f est solution de l équation y + 1 x y = 1 x 2 (3) Exprimer f(x) à l aide de C = Exo 18 Soit f : x + e t2 cos(xt) dt. + (1) Déterminer le domaine de définition de f. (2) Montrer que f est C. ln(t)e t dt (3) Montrer que f admet un développement en série entière et le déterminer. Exo 19 On pose f(x) = + e xt 1 + t dt. 217 ntégrales dépendant d'un paramètre

14 14/ (1) Déterminer le domaine de définition de f. Montrer que f est C 1 sur R +. (2) Établir que f est solution d une équation différentielle linéaire. (3) Calculer les limites de f en et +. Donner un équivalent de f en. Exo 2 Soit f : x + Arctan(x + t) 1 + t 2 dt (1) Déterminer le domaine de définition de f. Étudier la parité de f. (2) Donner une expression simplifiée de f. 217 ntégrales dépendant d'un paramètre