Ch 4 Barycentres 1 ère S 1

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1 Ch 4 Barycentres 1 ère S 1 Introduction: Un peu de physique: Point d'équilibre d'une balance Exercice 1. Le schéma ci-contre représente une balance que l'on équilibre en déplaçant le point G sur le segment [AB]. 1) On suppose dans cette question que l'objet A a pour masse 4 kg et que GA = 3 GB. Sachant que la balance est en équilibre, quelle est la masse de B? 2) On suppose maintenant que l'objet A a pour masse 7 kg et l'objet B a pour masse 12 kg. Où faut-il placer le point G pour que la balance soit en équilibre? 3) On suppose maintenant que l'objet A a pour masse et l'objet B a pour masse. Sachant que la balance est en équilibre, écrire une relation vectorielle faisant intervenir les vecteursga et GB. Le barycentre est une notion de physique au départ. Le barycentre est le point d équilibre, c'est «là où il faut mettre le doigt pour que ça ne tombe pas.» Le barycentre tel que vous le connaissez est un isobarycentre, c'est-à-dire que tous les points ont le même poids. Ainsi, les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point qui est l isobarycentre du triangle. Isobarycentre de deux points = milieu. Généralisation en mathématiques: On autorise des «poids» négatifs, rebaptisés «coefficients». Barycentre avec une seule coordonnée (points sur un axe gradué) = moyenne pondérée. I. Barycentre de deux points pondérés A. Existence et unicité Exercice 2. Activité de découverte 1) a) Soient A et B deux points du plan. Montrer qu il existe un unique point G tel que 4GA3GB=0. et placer A, B et G sur un dessin. b) Pour tout point M du plan, exprimer 4MA3MB en fonction de M et G uniquement. 2) Mêmes questions avec GA3GB=0. 3) Mêmes questions avec GAGB=0, et étant deux réels tels que ) Que se passe-t-il si =0? Def : Le point A étant un point du plan ou de l espace et étant un réel quelconque, on peut les associer pour former le couple (A, ) appelé point pondéré ou point affecté du coefficient. Le réel est appelé poids ou coefficient du point A. Def : Soient α et β deux réels tels que + 0. On appelle barycentre de deux points pondérés (A, α) et (B, β) le point G défini par GAGB=0. Ce point existe et est unique ( à condition que 0!). On dit aussi que G est le barycentre de A et B affectés respectivement des coefficients et. Démonstration : faite dans l exercice 2. Exercice 3. Savoir interpréter un point comme le barycentre de deux points. Soit G le point du segment [AB] tel que AG= 1 4 AB. Montrer que G est le barycentre des points A et B munis de coefficients à préciser. Ch 4: Barycentres COURS 1 ère S Mme Helme-Guizon 1

2 B. Propriétés du barycentre 1. Propriété de réduction Cette propriété s appelle ainsi car elle permet de réduire une combinaison linéaire 1 à un seul vecteur, ce qui est beaucoup plus facile à manipuler! Propriété de réduction: Soient α et β deux réels tels que 0. Si G est le barycentre de (A, α) et (B, β), alors pour tout point M du plan, MAMB=MG Démonstration : faite dans l exercice 1. Pratique: Chaque fois que l on voit une combinaison linéaire de la forme MAMB avec α + β 0, il faut penser que l on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de (A, α) et (B, β) pour remplacer MAMB par MG, qui présente le gros avantage de ne comporter qu un vecteur. Exercice 4. Soient A et B deux points du plan et soit u un vecteur donné. Déterminer et représenter les ensembles suivants: 1) l ensemble E 1 des points M du plan tels que 5MA2MB = 12. 2) l ensemble E 2 des points N du plan tels que 5NA2NB = 2NA 2NB. 3) l ensemblee 3 des points P du plan tels que 3MAMB est colinéaire à u. Corollaire: Avec M = A (faites-le!), on en déduit AG= AB ce qui permet de placer le point G sur un dessin (très utile!). De même, avec M = B, on a BG= BA. Remarque: On peut préférer une formulation plus symétrique de ces résultats: AG= A A A B et B G= B A B B. 2. Position du barycentre de deux points Théorème: Si A et B sont deux points distincts, tout barycentre G de A, et B, (avec 0 ) appartient à la droite (AB). Si α et β sont de même signe, alors G [AB]. Si α et β sont de signes opposés, alors G est sur la droite (AB), à l extérieur de [AB], du côté du point le plus lourd en valeur absolue. Démonstration : à faire en exercice. Interprétation physique: avec deux coefficients positifs, G correspond au point d'équilibre de la balance. avec un coefficient positif et un coefficient négatif : On peut conserver l'interprétation en terme de balance à condition d'imaginer que la force correspondant au coefficient négatif tire l objet vers le haut (le contraire de la gravité). Exercice 5. Soient A et B deux points de l espace. Soit M le point défini par 5MA2MB=0 1) Prévoir au moyen du théorème précédent la position du point M. 2) Vérifier vos prévisions en plaçant précisément le point M sur un dessin 3. Homogénéité Théorème : On ne change pas le barycentre de points pondérés lorsqu on multiplie ou qu on divise tous les coefficients par le même réel non nul. 1 Une combinaison linéaire est une somme de vecteurs affectés de coefficients, comme par exemple u v ou u vw. Ch 4: Barycentres COURS 1 ère S Mme Helme-Guizon 2

3 Démonstration : Soit k un réel non nul. La relation GAGB=0 avec 0 est bien équivalente à la relation k GAk GB=0 et comme 0 alors k k 0 donc G est le barycentre de A,k et B, k. Exemple : Le barycentre de (A, 350) et (B, 140) est aussi le barycentre (A, 5) et (B, 2). Exercice 6. Compléter 1. Le barycentre de (A, 5 2 ) et (B, ) est aussi le barycentre (A,... ) et (B,....) Le barycentre de (A, ) et (B, 2 12 ) est aussi le barycentre (A, ) et (B,....). 31 Def : Lorsque les coefficients sont tous égaux, on parle d isobarycentre ou de centre de gravité. A cause de la propriété d homogénéité, on n a pas besoin de préciser les coefficients. L isobarycentre des points A et B est donc le barycentre de A,1 et B,1. Par la propriété d homogénéité, c est aussi le barycentre de A, et B, quel que soit 0. L isobarycentre de A et B est bien sûr le de [AB]! Application de la propriété d homogénéité: En divisant chacun des coefficients par la somme des coefficients on peut toujours se ramener à des coefficients dont la somme vaut Barycentres de deux points et droites Propriété : M, A et B sont alignés M est un barycentre de A et B (c est à dire qu il existe des réels α et β avec α + β 0 tels que M soit le barycentre de A, et B,. Autrement dit, la droite (AB) est l ensemble des barycentres de A et B. Démonstration : Exercice. Pratique: Pour monter que trois points sont alignés, il suffit de montrer que l un est le barycentre des deux autres (pour des coefficients à déterminer.) Si on sait que trois points sont alignés, alors on sait qu on peut écrire un des points comme le barycentre des deux autres (pour certains coefficients et ). On est surs que ces coefficients existent même si on ne connaît pas nécessairement leur valeur.) C. Coordonnées du barycentre dans un repère Théorème : Un repère étant choisi, les coordonnées du barycentre G de A, et B, sont x G = x x A B, y G = y y A B. Ce sont les moyennes pondérées des coordonnées des points pondérés. Démonstration : C est la propriété de réduction avec M = Exemple 7. A 1 3 et B 4 1. Le barycentre G de (A, 2) et (B, 1) a pour coordonnées G 2, 7 3. Exercice 8. A et B sont deux points du plan et G est le barycentre de (A; 3) et (B; 7). Sachant que les points A et B ont pour coordonnés respectives A 1 3 et B 1 dans un repère du plan, calculer les 1 coordonnées de G dans ce repère. Remarque : Si α = β = 1, c'est-à-dire dans le cas de l isobarycentre, on retrouve bien la formule qui donne les coordonnées du milieu d un segment. Ch 4: Barycentres COURS 1 ère S Mme Helme-Guizon 3

4 II. Généralisation : Barycentre de n points pondérés n3 Pas de panique: C'est à peu près la même chose qu'avec seulement deux points, la seule nouveauté étant le théorème d'associativité. A. Existence et unicité Def: Soient, et trois réels tels que 0. On appelle barycentre des trois points pondérés A,, B,,C, le point G défini par GAGBGC=0. Ce point existe et est unique à condition que 0. On dit aussi que G est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients, et. Exercice 9. Soit ABC un triangle. Construire le point G, barycentre des points A, B et C affectés des coefficients 2, 1 et 2. Exercice 10. Soit ABC un triangle et E le point défini parbe= 2 3 AC. Montrer que E est le barycentre de A, B et C affectés de coefficients à déterminer. Généralisation: Dans le cas de n points, cette définition devient : Def : Soient α 1, α 2 α n n réels tels que 1 0. On appelle barycentre des n points pondérés A 1, 1, A 2, 2,..., A n, n le point G défini par 1 GA 1 GA 2 GA n =0. Ce point existe et est unique à condition que 1 0. Démonstration de l existence et unicité d un tel point: Semblable à celle pour deux points pondérés. B. Propriétés du barycentre 1. Propriété de réduction Cette propriété s appelle ainsi car elle permet de réduire une combinaison linéaire 2 à un seul vecteur. Cas particulier: Propriété de réduction avec 3 points pondérés: Soient, et 3 réels tels que 0. Si G est le barycentre de A,, B,,C,, alors pour tout point M du plan, MAMBMC=MG. Pratique: Chaque fois que l on voit une combinaison linéaire de la forme MAMBMC avec, 0, il faut penser que l on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de A,, B,,C, pour remplacer MAMBMC par MG, qui présente le gros avantage de ne comporter qu un vecteur. Exercice 11. Soient A, B et C trois points du plan. Déterminer et représenter les ensembles suivants: 1) l ensemble E 1 des points M du plan tels que 5MA2MB4MC = 2MA MB4MC. 2) l ensemble E 2 des points N du plan tels que 5NA2NB4NC = 3NA2NBNC. 3) l ensemblee 3 des points P du plan tels que 5PA2PB4PC est colinéaire à u=2ab3ac. Exercice 12. Soit ABC un triangle. Soit G le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients 2, 1 et 2. Utilisez la propriété de réduction avec M =A pour exprimerag en fonction deab et AC puis construire le point G. 2 Une combinaison linéaire est une somme de vecteurs affectés de coefficients, comme par exemple α u + β v ou α u + β v + γ w. Ch 4: Barycentres COURS 1 ère S Mme Helme-Guizon 4

5 Cas général: Propriété de réduction avec n points pondérés: Soient α 1, α 2 α n n réels tels que 1 0. Si G est le barycentre de A 1, 1, A 2, 2,..., A n, n, alors pour tout point M du plan, 1 MA 1 MA 2 MA n = 1 MG. Démonstration : Semblable à celle pour deux points pondérés. Pratique: Chaque fois que l on voit une combinaison linéaire de la forme 1 MA 1 MA 2 MA n avec 1 0, il faut penser que l on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de A 1, 1, A 2, 2,..., A n, n pour remplacer 1 MA 1 MA 2 MA n par 1 MG, qui présente le gros avantage de ne comporter qu un vecteur. 2. Homogénéité Théorème : On ne change pas le barycentre de n points pondérés lorsqu on multiplie ou qu on divise tous les coefficients par le même réel non nul. Démonstration : Semblable à celle pour deux points pondérés. Def : Lorsque les coefficients sont tous égaux, on parle d isobarycentre ou de centre de gravité. A cause de la propriété d homogénéité, on n a pas besoin de préciser les coefficients. Remarque: L isobarycentre trois points non alignés est le centre de gravité du triangle défini par ces trois points, c'est-à-dire l intersection des médianes (voir exercice ci-dessous). Exercice 13. Soit ABC un triangle. 1) Cas général: Soit G le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients, et. Utilisez la propriété de réduction avec M =A pour exprimerag en fonction deab etac et compléter: AG =... 2) Application 1 : Soit K le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients 140, 70 et 210. Utilisez la formule ci-dessus pour placer K sur un dessin. 3) Application 2 : Soit G le point défini par AG= 1 3 AB 2 3 AC. Utilisez la formule ci-dessus pour exprimer G comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients à déterminer. Remarque: La formule que vous avez démontrée dans cet exercice est donc utile pour placer le barycentre de trois points pondérés sur une figure (voir application 1) et aussi pour trouver par identification les coefficients qui font d'un point un barycentre à partir d'une égalité vectorielle (voir application 2). On peut préférer une formulation plus symétrique de ces résultats: AG= A A B G= B A 3. Associativité du barycentre A B B B A C BC Théorème d associativité du barycentre dit aussi théorème du barycentre partiel : On ne change pas le barycentre de points pondérés lorsqu on remplace des points, dont la somme des coefficients est non nulle, par leur barycentre affecté de la somme de ces coefficients. Autrement dit, dans le cas de trois points, si α + β + γ 0 et si α + β 0, Le barycentre de (A, α), (B, β) et (C, γ) est aussi celui de (G 1, α + β) et (C, γ) où G 1 est le barycentre de (A, α) et (B, β) (ce barycentre partiel G 1 existe car α + β 0) Démonstration: A faire en exercice. Ch 4: Barycentres COURS 1 ère S Mme Helme-Guizon 5

6 Pratique: L associativité du barycentre est souvent utile pour montrer que des droites ont concourantes. Exercice 14. ABC est un triangle. Construire sans faire de calcul le barycentre G des points A,1, B, 2 et C, 1. Exercice 15. ABCD est un quadrilatère. Construire le barycentre G des points A,1, B, 3,C,1 et D,3. Exercice 16 Soient A, B et C trois points non alignés. En utilisant la propriété d associativité du barycentre, redémontrez le résultat bien connu selon lequel les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point qui est l isobarycentre des points A, B et C. Montrez aussi que, sur la partie de chaque médiane située à l intérieur du triangle, l isobarycentre est situé aux deux tiers à partir du sommet. Exercice 17. Soit G le barycentre de B,1etC, 4. 1) Montrer que G est aussi le barycentre de A,2, A, 2,B,1etC, 4. 2) Soit I le barycentre de (A, 2) et (B, 1) et soit J le barycentre de (A, 2 ) et (C, 4). Montrer que I, J et G sont alignés. Exercice 18. ABC est un triangle. Soient I, J et K les points définis par IB= 1 2 IC, JA= 2 3 JC et KB= 3 4 KA. Démontrer que les droites AI, BJ etck sont concourantes. Exercice 19. ABC est un triangle. Soient H et K les points définis par AH = 1 3 AC et AK = 1 4 AB 1 4 AC. 1) Placer A, B, C, H et K sur une figure. 2) Exprimer H comme barycentre des points A et C affectés de coefficients à déterminer. 3) Exprimer K comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients à déterminer. 4) En déduire que B, H et K sont alignés. Exercice 20. ABC est un triangle. Soit J le barycentre de A; 2 et C ;3 et soit K le barycentre de A; 2 et B ; 3. Montrer que I, le milieu de [BC], appartient à [JK]. Exercice 21. ABC est un triangle. Soient I et G les points définis par AG= 3 4 AI et CI = 1 3 CB. 1) Exprimer G comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients à déterminer. 2) Les droites CGet AB sont sécantes en un point H. Préciser la position du point H sur (AB). C. Coordonnées du barycentre dans un repère Théorème : Un repère étant choisi, les coordonnées du barycentre G de (A 1, α 1 ), (A 2, α 2 ) (A n, α n ) avec 1 0 sont x G = x 1 A 1 x A2 x An et y 1... G = y 1 A 1 y A2 y An n 1 Démonstration : C est la propriété de réduction avec M = Exercice 22. A 1 3, B et C 2 A ; 6 1 3, B ; et C ;. D. Barycentre et transformations. Calculer les coordonnées de G barycentre de Théorème : Les symétries, les rotations et les translations conservent le barycentre c est dire que si f est une symétrie, une rotation ou une translation, et si G est le barycentre de (A 1, α 1 ), (A 2, α 2 ) (A n, α n ) alors son image f(g) est le barycentre des (f(a 1 ), α 1 ), (f(a 2 ), α 2 ) ( f(a n ), α n ). On résume parfois cette propriété en disant que l image du barycentre est le barycentre des images, avec les mêmes coefficients. Ch 4: Barycentres COURS 1 ère S Mme Helme-Guizon 6

7 Table des matières I.Barycentre de deux points pondérés...1 A.Existence et unicité...1 B.Propriétés du barycentre Propriété de réduction Position du barycentre de deux points Homogénéité Barycentres de deux points et droites...3 C.Coordonnées du barycentre dans un repère...3 II.Généralisation : Barycentre de n points pondérés...4 A.Existence et unicité...4 B.Propriétés du barycentre Propriété de réduction Homogénéité Associativité du barycentre...5 C.Coordonnées du barycentre dans un repère...6 D.Barycentre et transformations...6 Ch 4: Barycentres COURS 1 ère S Mme Helme-Guizon 7