TITRE : «M le maudit» AUTEUR : FRITZ LANG PRÉSENTATION SUCCINTE : Il s agit du premier film parlant de Fritz Lang. Avec

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1 CHAPITRE 4 DÉPASSER SES LIMITES HORS SUJET Document réalisé à l aide de LATEX Auteur : Site : wicky-math.fr.nf (Carcassonne) TITRE : «M le maudit» AUTEUR : FRITZ LANG PRÉSENTATION SUCCINTE : Il s agit du premier film parlant de Fritz Lang. Avec le temps, M le maudit est devenu un classique reconnu, rivalisant avec les autres œuvres de Lang pour le titre d opus magnum. Pendant des années après la sortie du film, Peter Lorre est resté catalogué comme un méchant pour y avoir été un meurtrier d enfant (et, c est sous-entendu, un pédophile). M le maudit a été aussi un pionnier dans l utilisation du leitmotiv (Dans l antre du roi de la montagne, etrait de Peer Gynt d Edvard Grieg) pour donner plus d intensité à l accompagnement musical. La ville où se déroule l action n est pas nommée, et on pourrait croire qu il s agit de Düsseldorf, d après les titres en italien et espagnol M, le monstre de Düsseldorf. Pourtant, Fritz Lang décide de faire se dérouler le film à Berlin. Plusieurs indices dans le film permettent au spectateur de comprendre qu ils sont à Berlin : une publicité pour un journal berlinois, la carte de Berlin dans le bureau du commissaire, le fait que le commissaire parle d une ville de 4 millions d habitants... Claude Beylie décrit «M» comme «[... ] un magistral eercice de style, un modèle absolu de mise en scène, considérée comme une mise en équation de tous les éléments constitutifs du film. Le moindre détail est chargé de sens, les plans s imbriquent selon un ordre infaillible.» TG6 7 novembre 03 c.auperin@wicky-math.fr.nf

2 Table des matières I ) Limite d une fonction I.. Activités d approche I.. Limite finie en l infini I.3. Limite infini en l infini I.4. Limite en un réel a II ) Déterminer une ite 7 II.. Limites et opérations II.. Limites et comparaison II.3. Composée de deu fonctions L ESSENTIEL : Maîtriser les opérations sur les ites. Déterminerdesitesparcomparaison. Interprétergraphiquementlesitesobtenues. «Télécharger c est tuer l industrie, tuons les tous» THURSTON MOORE (SONIC YOUTH)

3 CHAPITRE 4: DÉPASSER SES LIMITES Résumé Ce chapitre étend simplement la notion de ite étudiée pour les suites. Il s agit d une bonne occasion pour réviser et revoir les méthodes employées. Cependant, ce chapitre est essentiel pour découvrir la suite du programme, et servira à toute étude de fonction digne de ce nom. Il n est donc pas à négliger. Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur R ou sur une partie de R et à valeurs dans R. Les intervalles considérées sont non vides et non réduit à un réel. I ) I.. Limite d une fonction Activités d approche Travail de l élève : On note f la fonction définie par f ()= Déterminer l ensemble de définition de f.. Etude des variations de f a. Dériver f sur son ensemble de définition. On rappelle la formule à connaître désormais par coeur b. Dresser alors le tableau de variations de f. (uv) = u v v u v 3. On aimerait rajouter des informations «au bout des flèches» du tableau. a. A l aide de votre calculatrice, conjecturer graphiquement ces valeurs. b. A votre avis, comment les appelle-t-on? les note-t-on? les définit-on? 4. Justification en l infini : a. Dresser le tableau de signe de f () b. Ecrire alors f () sans valeur absolue. c. On considère un réel ε strictement positif. i. Montrer qu il eiste un réel 0 tel que pour tout 0 on ait f () <ε. ii. De même, montrer qu il eiste un réel 0 tel que pour tout 0 on ait f () <ε. TG / 3

4 Travail de l élève : On note f la fonction définie par f ()= Déterminer l ensemble de définition de f.. Etude des variations de f a. Dériver f sur son ensemble de définition. b. Dresser alors le tableau de variations de f. 3. On aimerait rajouter des informations «au bout des flèches» du tableau. a. A l aide de votre calculatrice, conjecturer graphiquement ces valeurs. b. A votre avis, comment les appelle-t-on? les note-t-on? les définit-on? 4. Justification en l infini : a. On considère un réel A strictement positif. i. Montrer qu il eiste un réel 0 tel que pour tout 0 on ait f ()> A. ii. De même, montrer qu il eiste un réel 0 tel que pour tout 0 on ait f ()<A. I.. Limite finie en l infini Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle du type ]a;+ [ et un réel l. On dit que f admet pour ite l (ou tend vers l) quand tend vers +, lorsque tout intervalle ouvert I contenant l (aussi petit soit-il) contient aussi toutes les valeurs f () pour assez grand et on note : f ()=l On dit que la droite d équation y = l est asymptote hoizontale à la courbe représentative de f en +. C f y l+ε l l ε N M O 0 Remarques : Cela signifie que la distance entre f () et l, ie f () l =MN, peut être rendue aussi petite que l on veut dès que est assez grand, ie : ε>0, 0 R, > 0, f () l <ε f () l =0 TG / 3

5 Graphiquement, la courbe représentative se rapproche autant que l on veut de la droite d équation y = l. On définit de même f ()=l, et l asymptote horizontale en, avec assez grand, ou encore «assez grand dans les négatifs» : ε>0, 0 R, < 0, f () l <ε f () l =0 Pour les suites, cette ite n aurait pas de sens, puisque n possède un rang de départ, c est pour cela que l on ne regardait les ites que quand n tendait vers +... Eemple : Montrons que f () 0 <ε. = 0, ie montrons que si ε > 0 alors il eiste une valeur 0 telle que pour tout > 0 on a Pour cela, considérons ε>0 et trouvons tel un réel 0 (cela montrera donc qu il en eiste un). Remarquons déjà que R +, on a f () 0= > 0. Donc f () 0 =. Ne considérer que le car > 0 suffit car tend vers + Ainsi : f () 0 < ε >0 < ε > ε Donc, il suffit de choisir 0 = ε > 0, et on a bien que > 0, f () 0 <ε. D où = 0. On a de même = 0. En effet, R, on a f () 0= < 0. Donc f () 0 = et : f () 0 <ε <0 < ε < ε Ainsi, il suffit de choisir 0 = ε < 0, et on a bien que < 0, f () 0 <ε. D où = 0. La droite d équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction inverse en + et en. Eercice du Cours : Proposer plusieurs fonctions qui admettent des ites finies en + ou en. Interpréter graphiquement ce résultat. I.3. Limite infini en l infini Définition. Une fonction f tend vers : + quand tend vers+, lorsque tout intervalle du type ]A;+ [, avec A R, contient toutes les images f () pour assez grand et on note : f ()=+ quand tend vers +, lorsque tout intervalle du type ] ; A[, avec A R, contient toutes les images f () pour assez grand et on note : f ()= TG / 3

6 Illustrations : y y O f() M C f M f() O Remarques : f ()=+ signifie que f (), peut être rendu aussi grand que l on veut dès que est assez grand, ie : A, 0 R, > 0, f ()> A f ()= signifie que f (), peut être rendu aussi grand que l on veut «dans les négatifs» dès que est assez grand, ie : A, 0 R, > 0, f ()< A Les définitions de ite quand tend vers sont analogues au précédentes, avec «assez grand dans les négatifs» Eercice du Cours : Proposer un eemple de fonction polynôme de degré dont la ite en + est. Proposer un eemple de fonction polynôme de degré dont la ite en est. Proposer un eemple de fonction polynôme de degré dont la ite en est +. Proposer un eemple de fonction rationnelle dont la ite en + est. Proposer un eemple de fonction rationnelle dont la ite en est +. Proposer un eemple de fonction rationnelle dont la ite en est. Eemple : Montrons que =+, ie montrons que si A R alors il eiste une valeur 0 telle que pour tout > 0 on a f ()> A. Pour cela, considérons A R et trouvons un tel 0 (cela montrera donc qu il en eiste un). Remarquons déjà que si A<0, on peut choisir n importe quelle valeur pour 0 car f ()> A pour tout R. Ce cas est souvent omis, car toujours trivial. Si A 0, on a f ()>A > A >0 > A Ne considérer que le cas > 0 suffit, car tend vers + Ainsi, il suffit de choisir 0 = A>0, et on a bien que > 0, f ()>A. Donc =+ On a de même =+ car R, on a f ()> A > A <0 < A. Ainsi, il suffit de choisir 0 = A<0, et on a bien que < 0, f ()> A TG / 3

7 I.4. Limite en un réel a On a pu constater dans les activités précédentes qu il semblait logique de parler de ite en un réel également, notamment pour les valeur interdite. On obtient une définition analogue au précédentes. Définition 3. Une fonction f tend vers : un réel l quand tend vers un réel a, lorsque pour tout intervalle ouvert contenant l, contient aussi toutes les valeurs de f () pour tout réel assez proche de a. On note : f ()=l a + quand tend vers un réel a, lorsque pour tout intervalle du type ]λ;+ [, avec λ R, contient toutes les valeurs de f () pour tout réel assez proche de a. On note : f ()=+ a quand tend vers un réel a, lorsque pour tout intervalle du type ] ;λ[, avec λ R, contient toutes les valeurs de f () pour tout réel assez proche de a. On note : f ()=+ a Dans tous les cas, on définit la ite de f en a à droite (respectivement à gauche) de manière analogue, en considérant assez proche de a mais restant strictement supérieur à a (respectivement inférieur). On note : a > a f ()= f () a + et a < a f ()= a f () Illustrations : y f ()=+ a + y f ()=+ a y f ()=+ a f() M f() M f() M C f C f C f O a O a O a Définition 4. Lorsque f admet pour ite + ou en un réel a (ou en a à droite, ou en a à gauche), on dit que la droite d équation = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f. TG / 3

8 Eemple : { } 3 Soit g définie sur R\ par g ()= + 3. On ne sait pas encore le montrer rigoureusement, mais on peut tout de même conjecturer que g ()= et g ()= La droite d équation = 3 est asymptote verticale à la courbe représentative de g j O i Eercice du Cours : Donner, sans justification, plusieurs eemples de fonction admettant en un réel a une asymptote verticale. Remarques : La ite d une fonction, si elle eiste, est unique. Ecrire f ()=l avec a D f et l R sous-entend f ()= f ()=l a a + a Vous commencez à vous habituer à ces définitions, mais leur usage reste compliqué. Rassurez-vous, vous ne serez pas toujours obligés d y revenir pour calculer des ites. Il eiste des théorèmes analogues à ceu sur les suites, bien plus manipulables. Eercice : Dans chacun des cas suivants, donner une allure possible de la représentation graphique C f d une fonction f définie sur R\{}.. f ()=, =+ et. f ()=+, + f en +. Eercice : On a tracé la représentation graphique d une fonction f définie sur R\{ ;} ci-dessous Les droites d équation =, = et y = sont asymptotes à la courbe. Lire les ites de f en, en +, en (à droite et à gauche) et en (à droite et à gauche) TG / 3

9 Eercice 3 : On donne le tableau de variations d une fonction f, de courbe représentative C 0 + f () + 3. Préciser les équations des asymptotes à C. Tracer une allure possible de C Eercice 4 :. a. Démontrer que la fonction inverse définie sur R n admet pas de ite en 0. b. Admet-elle une ite en 0 +? en 0?. a. La fonction f : sin définie sur R admet-elle une ite en 0? b. Admet-elle une ite en 0 +? en 0? c. Observer sa courbe représentative sur votre calculatrice. Eercice(s) du livre : Déclic : n 48 p 7 (ite en un réel avec la définition) II ) II.. Déterminer une ite Limites et opérations { } 3 Travail de l élève 3. Soit g définie sur R\ par g ()= Trouver avec la définition la ite éventuelle de la foncion g quand tend vers + puis quand tend vers. j. Retrouver ces résultats en supposant que O i toutes les propriétés des ites sur les suites - sont valables pour les fonctions. 3. Toujours en utilisant ces règles, déterminer les ites à droite et à gauche de g quand tend vers TG / 3

10 Solution :. A la calculatrice, on conjecture g ()=. Remarquons déjà que > 3 ( on a g () ( Donc on a g () ) 5 = (3 ) et : Ainsi, dès que > 0 avec 0 = 5+6ε 4ε, on a ) = (+ )+(3 ) = = (3 ) ( g () ) 5 < ε (3 ) < ε (3 ) 5 3 < 5 ε > ε < 5 ε 3 < 5+6ε ε > 5+6ε 4ε ( g () ) < ε. Donc g ()=. 5 (3 ) < 0. On procède de même pour montrer que g ()= : On constate que < 3 ( on a g () 5 = ) (3 ) 5 5 6ε On résout donc l inéquation < ε < (3 ) 4ε. Ainsi, dès que < 0 avec 0 = 5 6ε ( 4ε, on a g () ) < ε. Donc g ()=. La droite d équation y = est asymptote horizontale à la courbe représentative de g en + et. ( ). g ()= + 3 = + ( ) + =. 3 3 Or + = et 3 =. Par quotient on obtient g ()= 3 De même + = et =. Par quotient on obtient g ()= 3. On a + = 5 3 Comme 3 = et 3 3 = 0. Ainsi, par quotient on obtient g ()= Ainsi, par quotient on obtient g ()=+. 3 Conclusion Les résultats sur les calculs de ites pour les suites restent valables pour les ites de fonctions. TG / 3

11 Propriété. (Quelques ites à connaître) ± = 0 ± =+ =+ 0 = 3 = =+ =+ 3 = Remarque : Les courbes représentatives de chacune sont un bon moyen pour retenir les ites. Propriété. (Opérations sur les ites) Les règles d opérations sur les ites pour les suites restent valables pour les fonctions, qu il s agisse de ite en l infini ou en un réel. Rappelons tout de même les quatre formes indéterminées : «0» «0 0» Remarque : Lorsque l on a une forme indéterminée, l idée est de changer l écriture de l epression en factorisant ou en développant, suivant l écriture initiale. Eemples : Déterminer les ites des fonctions suivantes :. g : 3+ en +,, en 3 et en.. h : 3+ en +,, en 3 et en. ( ) 3. k : en 3, en et en. + Eercice 5 : On considère une fonction f définie sur R dont on donne le tableau de variations : 0 + f () + + Dresser, en justifiant, les tableau de variations des fonctions f, f, f et f, en précisant les ites au bornes de R. Eercice 6 : On considère la fonction f définie sur ]0;+ [ par f ()= 3 +. A l aide de votre calculatrice, conjecturer la ite de f en 0, et en +, ainsi que ses variations.. Déterminer les ites de f en 0 et en +. En donner une interprétation graphique. 3. a. Calculer f (). TG / 3

12 b. Etudier le signe de f () sur ]0;+ [. c. En déduire le tableau complet des variations de f. II.. Limites et comparaison On dispose de théorèmes analogues à ceu déjà vus sur les suites. Théorème. (de comparaison) Soient f et g deu fonctions définies sur un intervalle du type ]a;+ [, telles que pour tout > a on a f () g (). Si f ()=+, alors g ()=+ Si g ()=, alors f ()=+ Preuve Soit A R. Comme f ()=+ il eiste un réel 0 tel que f ()> A à partir de 0. Par conséquent pour > ma( 0 ; a) A< f () g () ce qui prouve que g ()=+ Soit A R. Comme v g )= il eiste un réel 0 tel que g ()< A à partir de 0. Par conséquent pour > ma( 0 ; a) f () g ()< A ce qui prouve que g ()= Remarque : Il eiste des théorèmes analogues pour des ites en et en a R Eemple :. Soit f ()= + sin. Calculer f () +. Soit g ()=. Calculer g () 0 TG / 3

13 Théorème. (Théorème des gendarmes) Soient f, g et h des fonctions définies sur un intervalle du type ]a;+ [ et l R telles que :. pour tout > a on a g () f () g ().. g ()= h()=l Alors f admet pour ite l en + : f ()=l Preuve Soit I un intervalle ouvert contenant l. Il s agit de démontrer que I contient tous les réels f () à partir d un certain 0. Or, g ()= h()=l, i.e qu il eiste tel que g () I à partir de et il eiste un réel tel que h() I à partir de. Soit 0 = ma(a, ; ). Si > 0, l intervalle I contient g () et h(), donc il contient aussi tous les réels compris entre g () et h(), en particulier il contient f (), ainsi : f ()=l Remarque : Il eiste des théorèmes analogues pour des ites en et en a R Eemple : Soit f la fonction définie sur R + par : f ()= +3sin. Calculer f (). Eercice 7 :. Montrer que pour tout réel on a :. En déduire les ites suivantes : 3 cos a. cos b. + cos cos Eercice(s) du livre : Déclic : n 70-7 p 75 (comparaison) TG / 3

14 II.3. Composée de deu fonctions Pour décrire une fonction, on peut parfois la décomposer en enchaînements de fonctions plus simples. Par eemple, pouvez-vous décomposer la fonction Φ : 3+ en deu fonctions élémentaires? Supposons que vous vouliez étudier la ite de φ en. Que pourriez vous faire? Définition 5. Soient deu fonctions f et g définies sur deu ensembles I et J tels que l image de J par g est contenue dans I : g (J) I. La fonction obtenue en appliquant successivement g puis f, s appelle la composée de g par f et est notée f g. Ainsi, pour tout réel J on a f g ()= f ( g () ). Théorème 3. (admis) Soient deu fonctions f et g, et a, b, l des nombres réels, ou éventuellement +, ou. Si on a g ()=b et f (X)=l, alors : a X b f g ()=l a Preuve Hors Programme Raisonnons dans le cas où a = +, b = et l R Soit I un intervalle ouvert qui contient l. Comme f ()=l, I contient tous les réels f () pour strictement inférieur à un certain 0. De plus, comme g ()=, l intervalle ouvert ] ; 0[ contient tous les réels g () pour supérieur à un certain réel. Si >, on a alors g ()< 0, et donc f (g ()) I i.e f g () I Ainsi tout intervalle ouvert I qui contient l contient aussi tous les réels f g () pour assez grand ; ce qui signifie que Remarque : Ce théorème reste identique si v n = f (u n ). f g ()=l Eemples : ( ). Calculer la ite en + de la fonction f : sin Soit f la fonction définie sur [0;+ [ par : 4+ f ()= + n+ + et (v n ) la suite définie sur N par v n = n + Déterminer la ite éventuelle de f () lorsque tend vers + et démontrer que la suite (v n ) est convergente, préciser sa ite. TG / 3

15 Solution :. On a = 0 et sin(x)+5=0+5=5 X 0. Pour > 0, on a f ()= X avec X= On a + = 4 +. donc f ()=5 = 4 (fonction rationnelle en + ) et X= donc : X 4 f ()= De plus, pour tout n N, on a v n = f (u n ) avec u n = n pour tout n N. Or, u n =+ et f (X)=, donc v n = n + X + n + Eercice 8 : On considère la fonction f définie sur R par :. Déterminer la ite de f en.. Démontrer que pour tout réel on a f () = En déduire la ite de f en +. f ()= Eercice(s) du livre : Déclic : n 65 p 74 (ite de composée) TG / 3