Chapitre 7 : Nombre complexes

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1 Chapitre 7 : Nombre complexes Cours 1 Définitions. Forme algébrique. Définition 1 Les nombres complexes sont des nombres de la formea+bi, où a et b sont des nombres réels quelconques et i est un nouveau nombre,imaginaire, tel que i 2 = 1. On note C l ensemble des nombres complexes. L écriture z =a+bi est appelée la forme algébrique du nombrecomplexez. On dit que a est la partie réelle dez, notée Rez). On dit que b est la partie imaginairede z, notée Imz). Un nombrecomplexede partieréelle nulle est dit imaginairepur. C est un nombrede la formez =ib. Théorème 1 Les opérationset les règles decalculs usuelles derrestent valables dans C,avec i 2 = 1. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partieréelle et le même partie imaginaire : a+bi =a +b i a=a et b=b Tout nombreréel est aussi un nombrecomplexede la formez =a+0i : R C R est inclus dansc). Un complexez est réel si, et seulement si, Imz)=0. Un complexez est imaginairepur si, et seulement si, Rez)=0. Méthode 1 Premiers calculs Posons z 1 =2 3i et z 2 = 1+5i. Déterminer Rez 1 ), Imz 1 ) et calculer z 1 +z 2, z 1 z 2, z 1 ) 2. 2 Conjugué d un nombre complexe. 2.1 Définition et premières propriétés Définition 2 Le conjugué de z =a+bi est le nombrecomplexenoté z, défini par:z=a bi. Théorème 2 Pour tout nombrecomplexe z =a+ib : z =z z+z =2Rez)= et z z =2iImz)=2ib zz =a 2 +b 2 Lycée Émile Duclaux Page 1/7

2 Théorème 3 corollaire Soit z C. z est réel z =z z est imaginaire pur z = z 2.2 Inverse et quotient Théorème 4 Tout nombre complexenonnul admet un inverse dans C. Méthode 2 Posons z 1 =2 3i et z 2 = 1+5i. 1. Mettre le nombre 1 z 1 sous formealgébrique. 2. Mettre le nombre z 1 z 2 sous formealgébrique. Théorème 5 Pour tousnombres complexes z et z, onales propriétéssuivantes : z+z =z+z z z =z z 1 z ) = 1 z z z ) = z z Méthode 3 Posons z 1 =2 3i et z 2 = 1+5i. Calculer z 1 z 2. 3 Équations du second degré. Théorème 6 Soit a,b et c trois réels, avec a 0. Pour résoudre l équation az 2 +bz+c =0, on calcule son discriminant =b 2 4ac. Si >0:l équation a deux solutions réelles : x 1 = b Si =0 :l équation a une solution réelle double : x 1 = b. et x 2 = b+. Si <0:l équation a deux solutions complexes conjuguées :z 1 = b i et z 2 = b+i. Lycée Émile Duclaux Page 2/7

3 Méthode 4 Résoudre dans C :z 2 6z+10=0. 4 Représentation géométrique. Affixe d un point, d un vecteur. Définition 3 On appelle plan complexe le plan muni d un repère orthonormal O;,). L imagedunombrecomplexez =a+bi est lepointmdecoordonnées a;b). L affixe du point M de coordonnées a; b) est le nombre complexe z =a+bi. L affixe du vecteur V de coordonnées x;y) est le nombre complexe z =x+yi. V x y O b a +M axe des réels axe des imaginaires purs Remarque Soit z un complexe, le point M d affixe z est le symétrique du point M d affixe z parrapportàl axedes réels. Théorème 7 Soit z 1 et z 2 deux nombrescomplexes, M 1 le pointd affixe z 1, M 2 le pointd affixe z 2 et α un réel. Méthode 5 l affixe de... est... OM 1 z 1 OM 1 + OM 2 z 1 +z 2 α OM 1 αz 1 M 1 M 2 z 2 z 1 I milieu de [M 1 M 2 ] z 1 +z 2 2 On considèreles points A, Bet Cdéfinis par : OA =2, OB = 2 et OC = Placer les points A, Bet Cet déterminer l affixe de chacun d entreeux. 2. Calculer l affixe z du vecteur AC. 3. Calculer l affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme. 4. Calculer l affixe du centre I de ce parallélogramme. Lycée Émile Duclaux Page 3/7

4 5 Module et argument d un nombre complexe. 5.1 Définitions et premières propriétés Définition 4 Soit z un nombrecomplexeet M lepoint du plan d affixe z. On appelle module de z, et on note z, lenombreréel égal à la distance OM : z =OM. Lorsque z 0, on appelle argument de z, et on note argz), tout nombre réel égal à une mesure de l angle orienté de vecteurs ; ) OM z admet donc une infinité d arguments). + M z θ =argz) O Théorème 8 Propriétés du module Un module est toujours un nombreréel positif. Si z =a+bi,alors z = a 2 +b 2. zz = z 2. z =0 z =0. Si z est réel le module de z est égal à sa valeur absolue. Soit z 1 et z 2 deux nombrescomplexes. On a : z 1 +z 2 z 1 + z 2. z = z. Théorème 9 Propriétés de l argument Un argument est défini à k2π près:si argz)=θ, alorsargz)=θ +k2π,pour tout entier relatif k. z est réel argz)=0ou π modulo 2π. z est imaginaire pur argz)=± π modulo 2π. 2 argz)= argz) modulo 2π. Méthode 6 Soit z = 1+i 3. Calculer z. Lycée Émile Duclaux Page 4/7

5 5.2 Forme trigonométrique d un nombre complexe. Théorème 10 Soit z =a+bi un nombrecomplexenon nul de module r et d argument θ. b + M z =r θ O a On a : a=rcosθ et b=rsinθ. Inversement, on a : cosθ = a r et sinθ = b r. z peut donc s écrire:z=rcosθ +isinθ). Définition 5 On dit quel écriture z =rcosθ +isinθ) est la forme trigonométrique de z. En Physique, on note souvent z =[r,θ]. Méthode 7 déterminer un argument 1. Soit z = 1+i 3. Déterminer un argument de z. Écrirez sous formetrigonométrique. 2. Soit z = 2 cos π ) 3 isinπ. Est-ce la formetrigonométrique de z? Module et argument d un produit. Théorème 11 Le module d un produit de nombres complexes est le produit des modules. Autrement dit, pourtous nombres complexes z et z : z z = z z. L argument d un produit de nombres complexes est la somme des arguments. Autrement dit, pourtous complexes non nuls z et z : argz z )=argz+argz +2kπ k Z. Pour tout complexez et tout entier n, on a : z n = z n et argz n )=nargz). Nouvelle notation La fonctionϕ :θ cosθ +isinθ vérifie, d après ledeuxième point du théorème précédent : ϕθ +θ )=ϕθ) ϕθ ) La fonction ϕ vérifie donc la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle. Lycée Émile Duclaux Page 5/7

6 On va donc définir donc une nouvelle notation pour les nombres complexes. Cette notation sera très utile dans les calculs de produits et de quotients. Définition 6 On pose, pourtout réel θ : cosθ +isinθ =e iθ,ce qui se lit e puissance iθ. Le nombrecomplexez de module r et d argument θ se note donc :z =re iθ. C est la forme exponentielle de z. Le théorème précédent s écrit maintenant : Théorème 12 Avec r =r =1, on obtient : re iθ r e iθ =rr e iθ+θ ) re iθ ) n =r n e inθ e iθ e iθ =e iθ+θ ) e iθ ) n =e inθ Formule de Moivre) Méthode 8 3 Soitz 1 = 2 + i 2.Écrirez 1 sousformeexponentielle et placer le point M 1 d affixe z 1 sur le graphique cidessous. Placer ensuite les pointssuivants : M 2 d affixe z 2 =e i2π M 3 d affixe z 3 =e i π 2 M 4 d affixe z 4 =e iπ M 5 d affixe z 5 =e i 3π 2 M 6 d affixe z 6 =e i 5π 4 Théorème 13 Pour tout z non nul, on note r son module et θ un argument de z. Pour tout z non nul, on note r son module et θ un argument de z. 1 z = 1 ) 1 1 et arg = argz+2kπ ce qui s écrit aussi : z z re iθ = 1 r e iθ z z = z ) z z et arg z =argz argz re iθ +2kπ ce qui s écrit aussi : r = r ) e iθ r eiθ θ Méthode 9 Donner la formeexponentielle de z 1 = 3+i voir exemple précédent). En déduire la formealgébrique de l inverse de z 1,puis du nombre complexez Lycée Émile Duclaux Page 6/7

7 5.4 Applications : Calculs de longueurs et d angles dans le plan Théorème 14 Soit A, B, Cet Dquatre pointsdistincts du plan complexe, d affixes respectives z A, z B, z C et z D. Calcul delongueur : AB= z B z A. Calcul del angle entre l axedes réels et un vecteur : ; ) AB =argz B z A ) modulo 2π. Calcul del angle orientéde deux vecteurs : ) zd z AB; CD )=arg C z B z A modulo 2π. Méthode 10 On reprend la situation de l exemple Calculer les longueurs AB et AC. Que peut-on dire du quadrilatère ABDC? 2. Déterminer une mesure de l angle ; BC ). 3. Déterminer une mesure de l angle ; AD ). 4. Déterminer une mesure de l angle AD; BC ). Pouvait-on prévoir cerésultat? Méthode 11 Déterminer l ensemble F des points M du plan dont l affixe z vérifie : z 2 z+i R. Lycée Émile Duclaux Page 7/7