Transferts de chaleur et de masse : Objectifs

Transcription

1 Convection Objectifs Transferts de chaleur et de masse : Objectifs Faire comprendre les mécanismes de transferts par convection Metter en évidence et présenter des outils de calcul des transferts par convection Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

2 Convection Le problème Convection thermique U, T U, T x ϕ ds S, Ts ϕ dx S, Ts L Intensité locale du flux thermique ϕ = h(t s T ) h : coefficient local de convection thermique Z Flux thermique total : Φ = ϕds S Z Si T s = Cte, Φ = (T s T ) hds S Coefficient moyen de convection, h : Φ = hs(t s T ) Définition : h = 1 Z hds S S Cas d une plaque plane : h = 1 Z hdx L S Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

3 Convection Convection de masse Convection de masse Écoulement d un fluide de l espèce A, à une concentration C A, (dans un mélange binaire A+B) sur une surface maintenue à une uniforme concentration C A,s C A, U, CA, U, CA, N A S, CA,s N A ds S, CA,s h m (m/s) : coefficient de transfert de masse par convection. N A (kmol/s.m2 ) : flux molaire de l espèce A N A = hm(c A,s C A, ), C mesuré par kilogrammemol/m 3 (= kmol/m 3 ) Z Flux molaire total : N A = N A ds S ou N A = h ms(c A,s C A, ) Définition : h m = 1 Z h mds S S Cas d une plaque plane : h m = 1 Z h mdx L S x dx L Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

4 Convection Convection de masse Transfert de masse Transfert d espèces peut s exprimer en intensité du flux de masse n A (kg/s.m2 ) ou en flux de masse n A (kg/s). En multipliant les équations précédentes par la masse molaire M A (kg/kmol) pour l espèce A, l on obtient les relations correspondantes : ρ A = M A C A, (kg/m 3 ) masse volumique de l espèce A. n A = hm(ρ A,s ρ A, ) n A = h ms(ρ A,s ρ A, ) La concentration C est déterminé en notant l équilibre thermodynamique à l interface entre les phases gaz et liquide ou solide. À un tel état d équilibre, la température de vapeur à l interface est égale à la température de surface T s. Il s agit alors de l état de saturation. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

5 Convection Les couches limites en convection Couches limites en convection Le transfert de chaleur et de masse a lieu dans une région limitrophe à la surface sur lequel le fluide s écoule. On appel cette région la couche limite. Il existe alors trois couches limites interdépendantes : La couche limite dynamique La couche limite thermique La couche limite de concentration Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

6 Convection Couche limite dynamique Particules fluides en y = 0 immobiles relativement à la plaque. L écoulement près de la paroi est ralenti, Le gradient de vitesse normal à la paroi u/ y est grand. Dans une zone mince, (dite la Couche Limite) : v (y = 0) = 0 = v (y = δ) = U x Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

7 Convection Couche limite dynamique La contrainte de cisaillement à la paroi : τ s = µ u y paroi µ u Coefficient de frottement : C f = τs y paroi = 1 2 ρu2 1 2 ρu2 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

8 Convection Couche limite thermique Couche limite thermique T y U T Courant libre δt(x) Couche limite thermique δt x Ts Une couche limite thermique se forme si T s T, Épaisseur de couche limite thermique δ t, T (y = 0) = T s, T (y = δ t) = T, D après la loi de Fourier, au sein du fluide : ϕ s(x, y = 0) = λ fluide T y h(x) = λ fluide( T / y) y=0 T s T, Remarque : δ t augment avec x = ( T / y) y=0 et h décroissent avec x. y=0 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

9 Convection Couche limite de concentration Couche limite de concentration Mélange binaire de A+B C A, y U CA, Courant libre δ c(x) Couche limite de concentration δ c x C A,s Dès que C A, C A,s une couche limite se forme. Épaisseur de couche limite de concentration δ c, C A (x, y = 0) = C A,s, C A (x, y = δ c) = C A,, La loi de Ficks : N A = D C A AB n n D AB : Coefficient de diffusion binaire (de mélange binaire A + B ). C A D AB En y = 0, N AB = D C A y y=0 AB = h m = y y=0 C A,s C A, Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

10 Convection Couche limite de concentration Couche limite de concentration Mélange binaire de A+B C A, y U CA, Courant libre δ c(x) Couche limite de concentration δ c x C A,s Concentration totale C = C A + C B. En multipliant par la masse moleculaire de l espèce M A, il vient : La loi de Ficks : n A = D ρ A AB n n ρ A D AB y y=0 En y = 0, h m = ρ A,s ρ A, Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

11 Convection Remarques Remarques Dès qu un fluide s écoule sur une surface, une couche limite dynamique, d épaisseur δ(x), se forme. Une couche limite thermique, d épaisseur δ t(x), n existe que lorsqu il y a un écarte de température entre les valeurs respectives à la surface et au courant libre, Une couche limite de concentration, d épaisseur δ c(x), n existe que lorsqu il y a un écarte de concentration entre les valeurs respectives à la surface et au courant libre, δ(x), δ t(x) et δ c(x) varient de la même manière avec x, mais n ont pas la même valeur à la même location x. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

12 Convection Résumé pour l ingénieur Résumé : coefficients de transferts Pour l ingénieur : - paramètres pratiques associés à la couche limites : µ u Coefficient de frottement : C f = τs y paroi =, 1 2 ρu2 1 2 ρu2 T λ fluide y y=0 Cofficient de transfert thermique : h =, T s T ρ A D AB y y=0 Coefficient de transfert de masse : h m = ρ A,s ρ A, Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

13 Écoulements laminaire et turbulent Écoulement laminaire et turbulent Avant de traiter un problème de convection il faut d abord déterminer si l écoulement est laminaire ou turbulent L exemple de l écoulement sur une plaque plane. y région laminaire région de région turbulente U Re x < transition < Re x < 10 7 U δ x x c sous couche limite laminaire Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

14 Écoulements laminaire et turbulent Écoulement laminaire et turbulent Si x est dans la direction de l écoulement et y est normal à la surface, (.) y (.) x. Écoulement laminaire si Re x = ρu x µ < Re c = ρu xc µ y région laminaire région de région turbulente U Re x < transition < Re x < 10 7 U δ x x c sous couche limite laminaire Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

15 Écoulements laminaire et turbulent Écoulement laminaire et turbulent sur une plaque plane h, δ U, T h(x) δ(x) T s x x c Laminaire Transition Turbulent Schématique représentation de l évolution de l épaisseur de couche limite δ(x) et le coefficient local de transfert thermique par convection h(x) pour l écoulement sur une plaque plane isotherme. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

16 Équations Couche limite dynamique Équation de la couche limite dynamique, ρ Cte., µ Cte. Continuité : x mouvement : y mouvement : u x + v =0, (1) x u ρ t + u u x + v u «= p y x + force volumique z} { X +µ 2 u y 2 (2) force volumique 0 = p z} { y + Y (3) Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

17 Équations Couche limite thermique Équation de la couche limite thermique 8 >< ρ >: stockage d énergie z} { De Dt Équation de la conservation de l énergie 9 travail de forces de pression chaleur reçue z } { par conduction» p D Dt 1 ρ «>= = >; z } { (λ T ) + dissipation thermique due à la viscosité z} { Φ Si ρ Cte. et µ Cte. : c v = c p = c, de = c v dt = c pdt = cdt Si λ Cte. : Rappel : Φ = 1 2 µ vj + v «2 i. x i x j ρc DT Dt = λ 2 T + Φ En notant α = λ/ρc, on obtient, finalement pour l équation de la couche limite thermique : T t + u T x + v T y = α 2 T y cρ Φ Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

18 Équations Couche limite de concentration Équation de conservation de masse de l espèce A, de concentration C A C A v y S n, J CA = ( D A C) n V : un volume de fluide fixé dans l espace, V est délimité par la surface S. n : vecteur unité normale extérieur à S Flux de diffusion de l espèce A : loi de Ficks J CA = D A C A d S D A (m 2 /s) : le coefficient de diffusion de l espèce A. V, C A, ρ A x Flux de convection de l espèce A : C A v Flux total : C A v DA C A z Sources de masse de l espèce A (kmol/m 3.s) : Ṅ A Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

19 Équations Couche limite de concentration Bilan de masse pour l epèce A dans V : ZZZ ZZ d C A dv = dt ZZZ `CA v DA C A n ds + Ṅ A dv V S V {z } {z } {z } variation temporelle de la masse dans V flux de masse à travers S Sources de masse de l espèce A Comme V étant fixé : ZZZ ZZZ d C A C A dv = dt V V t dv En appliquant le théorème de Gauss-Ostrogradsky : ZZZ CA + `C «A v DA C A Ṅ A dv = 0 V t D où : C A + `C A v DA C A Ṅ A = 0 t En multipliant par M A, et en réarrangeant : ρ A t + (ρ A v ) = (DA ρ A ) + ṅ A Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

20 Équations Couche limite de concentration Équation de la couche limite de concentration, en 2D ρ A t «+ (ρ ρ A A v ) = D A + ṅ A y y Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

21 Paramètres de similitude Couche limite et paramètres de similitude Grandeurs caractéristiques Longueur caractéristique : L Vitesse caractéristique : U Différence caractéristique de température : T = T T s Différence caractéristique de concentration : C A = C A, C A,s Paramètres de similitude Le nombre de Reynolds : Re = Forces d inertie Forces de visqueuses = U L ν Le nombre de Prandtl : Pr = Le nombre de Schmidt : Diffusion visqueuse Diffusion thermique = ν α Grandeurs sans dimensions (x, y ) (x/l, y/l) (u, v ) (u/u, v/ ) T = (T T s)/ T CA = (C A C A,s )/ C A p = p/ρu 2 Sc = Diffusion visqueuse Diffusion de masse = Forme fonctionnelle de solutions «u = F 1 x, y, Re L, dp dx C f = F 2 (x, Re L ) «T = F 3 x, y, Re L, Pr, dp dx ν D AB Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

22 Paramètres de similitude Paramètre de similitude liés aux transferts par convection Le nombre de Nusselt. Commençons par h : T λ fluide y y=0 h = = (T s T ) λ fluide (T T s ) T = L(T s T ) y y =0 λ fluide T > 0 L y y =0 Alors, Nu = hl = T λ fluide y > 0 y =0 Nu = F 4 (x, Re L, Pr) Nu = hl λ fluide = F 5 (Re L, Pr) De la même manière : «CA = F 6 x, y, Re L, Sc, dp dx h m = D AB C A L y > 0 y =0 Le nombre de Sherwood : Sh = hml = C A D AB y Sh = F 7 (x, Re L, Sc) Sh = hml D AB y =0 = F 8 (Re L, Sc) Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

23 Paramètres de similitude Équation sans dimensions Équations de couches limites sous forme adimensionnelle Forces volumique supposées négligeables Remarques Couche limite dynamique : u u u +v x y = p x u (1) Re L y 2 Couche limite thermique : u T x + v T y = 1 Pr Re L 2 T y 2 (2) Couche limite de concentration : u C A x + v C A y = 1 Sc Re L 2 C A y 2 (3) Équations (2) et (3) sont analogues Les conditions aux limites associées, sous forme sans dimensions sont elles aussi analogues. Par conséquent : «T = F 3 x, y, Re L, Pr, dp dx et «CA = F 5 x, y, Re L, Sc, dp dx sont analogues et de la même forme. Nu = F 4 (x, Re L, Pr) (respectivement Nu) et Sh = F 7 (x, Re L, Sc) (resp. Sc) sont aussi analogues et de la même forme. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

24 Analogies Critère d analogies des couches limites Équations de couches limites Couche Équation de conservation Conditions aux limites paramètres limite paroi courant libre de similitude Dynamique Thermique Concentration u u u + v x y = p x u u (x, 0) = 0, Re L y 2 v (x, 0) = 0 u (x, ) = u U = 1 Re L = LU ν u T T + v x y = 1 2 T T (x, 0) = 0 T (x, ) = 1 Re L, P r = ν P r Re L y 2 α u C A x + v C A y = 1 2 CA C Sc Re L y 2 A (x, 0) = 0 CA (x, ) = 1 Re L, Sc = ν D AB Les équations de couches limites sous forme sans dimensions ainsi que les conditions aux limites associées sont très semblables l une à l autre. Ces formes semblables conduisent aux analogies différéntes entre elles. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

25 Analogies Analogie entre les transferts de chaleur et de masse Analogie entre les transferts de chaleur et de masse - I Couche Équation de conservation Conditions aux limites paramètres limite paroi courant libre de similitude Dynamique Thermique Concentration u u u + v x y = p x u u (x, 0) = 0, Re L y 2 v (x, 0) = 0 u (x, ) = u U = 1 Re L = LU ν u T T + v x y = 1 2 T T (x, 0) = 0 T (x, ) = 1 Re L, P r = ν P r Re L y 2 α u C A x + v C A y = 1 Sc Re L 2 C A y 2 C A (x, 0) = 0 C A (x, ) = 1 Re L, Sc = ν D AB Pr et Sc sont analogue mais ils ne sont pas égales. À rappeler : Nu et Sh sont des paramètres sans dimensions des gradients de T et C A. En connaissant l équation pour Nu (respectivement Sh),on peut en déduire l équation pour Sh (resp. Nu) On remplace Nu (resp.. Sh) par Sh (resp. Nu) et Pr (resp. Sc) par Sc (resp. Pr) Pour la même forme géométrique, la même position sans dimensions x et Re L, on peut utiliser la solution du problème de transfert thermique pour le problème du transfert de masse. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

26 Analogies Analogie entre les transferts de chaleur et de masse Analogie entre les transferts de chaleur et de masse - II Écoulement fluide Transfert thermique Transfert de masse ( ) ( ) ( ) u = F 1 x, y, Re L, dp dx T = F 3 x, y, Re L, P r, dp dx CA = F5 x, y, Re L, Sc, dp dx C f = 2 u Re L y Nu = hl y =0 λ = T y > 0 Sh = h ml = C A y =0 D AB y > 0 y =0 C f = F 2 (x, Re L) Nu = F 4 (x, Re L, P r) Sh = F 7 (x, Re L, Sc) Nu = hl = F 5 (Re L, P r) λ fluide Sh = h ml = F 8 (Re L, Sc) D AB À rappeler : les forme fonctionnelles de Nu et Sh. Nu et Sh sont en général proportionnelles aux puissances de Pr et Sc, respectivement. En générale : Nu = f (x, Re x )Pr n, Sh = f (x, Re x )Sc n on trouve souvent n = 1/3 D où : Nu Pr n = Sh Sc n On en déduit alors : h = λl h m D AB Le n = ρcple1 n où : Le = α/d AB, est le nombre de Lewis. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

27 Analogies Analogie entre les transferts de chaleur et de masse Cas particulier Si Pr = Sc : Nu = Sh T = CA Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

28 Analogies Analogie de Reynolds Analogie de Reynolds- I Couche Équation de conservation Conditions aux limites paramètres limite paroi courant libre de similitude Dynamique Thermique Concentration u u u + v x y = p x u u (x, 0) = 0, Re L y 2 v (x, 0) = 0 u (x, ) = u = 1 U Re L = LU ν u T T + v x y = 1 2 T T (x, 0) = 0 T (x, ) = 1 Re L, P r = ν P r Re L y 2 α u C A x + v C A y = 1 2 CA C Sc Re L y 2 A (x, 0) = 0 CA (x, ) = 1 Re L, Sc = ν D AB Si p = 0, Pr = Sc = 1 : x les trois équations, ainsi que les conditions aux limites associées, auront exactement la même forme, la même solution est obtenue pour les trois variables : u = T = C A Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

29 Analogies Analogie de Reynolds Analogie de Reynolds- II Écoulement fluide Transfert thermique Transfert de masse ( ) u = F 1 x, y, Re L, dp dx C f = 2 u Re L y y =0 ( ) ) T = F 3 x, y, Re L, P r, dp dx CA = F 5 (x, y, Re L, Sc, dp dx Nu = hl λ = T y > 0 Sh = h ml = C A D AB y > 0 y =0 C f = F 2 (x, Re L ) Nu = F 4 (x, Re L, P r) Sh = F 7 (x, Re L, Sc) Nu = hl = F 5 (Re L, P r) λ fluide Sh = h ml = F 8 (Re L, Sc) D AB De plus : u y y =0 = T y y =0 = C A y y =0 y =0. D où l analogie de Reynolds : Re 2 C f = Nu = Sh Remarque : les trois conditions sont très restrictives. p = 0, Pr = Sc = 1 x Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30

30 Analogies Analogie de Reynolds Les analogies de Chilton-Colburn L analogie de Reynolds : Re 2 C f = Nu = Sh L analogie de Reynolds réécrite en fonction de nombres de Stanton (St) et de Stanton de transfert de masse (St m) : 8 >< St = Nu h Re 2 C f = St Re Pr = St mre Sc >: St m = Pr Re = ρu c p Sh = Re Sc = hm U C f 2 = St Pr = Stm Sc L analogie de Chilton-Colburn modifie légèrement l analogie de Reynols en y ajoutant les puissances en Pr et Sc : C f 2 = St Pr 2/3 j H, Analogie conditonée par : C f 2 = Stm Sc2/3 j m = à utiliser dans le calcul, (au lieu de l analgie de Reynolds) 0, 6 < Pr < 60 pour j H peut être utiliser pour les valeurs locales et moyennes 0, 6 < Sc < 3000 pour j m écoulement laminaire : p p 0, (écoulements turbulents : pas de restriction sur x x ) Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse / 30