Fonction logarithme népérien.

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1 1. Généralités... p2 2. Propriété fondamentale de ln... p5 3. Étude et représentation graphique de la fonction logarithme népérien... p10 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés

2 1. Généralités 1.1. Rappel La fonction eponentielle est une bijection de R vers ]0 ; [. EXP: R ]0; [ y=exp( )=e Pour tout m ]0; [, il eiste unique réel tel que e =m L'application réciproque de EXP est l'application qui a tout élément m de ]0 ; [ associe son unique antécédent de R. EXP -1 : ]0; [ R m =EXP 1 () 1.2. Définition On nomme fonction logarithme népérien la fonction réciproque de la fonction eponentielle, on note cette fonction ln ln : ]0 ; [ R y=ln Pour ]0 ; [, y=ln =e y 1.3. Conséquences Pour tout ]0 ; [, e ln( ) = Pour tout R, ln(e )= e 0 =1 ln 1 =0 e 1 =e ln e = Dérivée On admet que ln est dérivable sur ]0; [. Pour tout ]0 ; [, e ln = Donc, e ln ln ' =1 Donc, ln' =1 Donc, ln ' = 1 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 2

3 La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; [ et : Pour tout ]0; [, ln ' = Propriétés Pour tout ]0; [, 1 0 donc ln est strictement croissante sur ]0; [. ln 1 =0 Donc, si 0 1 alors ln ln 1 =0 si 1 alors ln 1 =0 ln ln e =1 Donc, si 0 e alors ln ln e =1 si e alors ln e =1 ln 0 a b ln a ln b 0 a=b ln a =ln b 1.6. Eercices a) Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes: f : ln 2 g : ln 2 4 d f d f = ] ;0[ ]0; [ d g d f = ] ; 2[ b) ]0 ; [. Déterminer le signe de u =ln 2. 2=ln e 2 u 0 ln ln e 2 0 ln ln e 2 e 2 (car ln est strictement croissante sur ]0 ; [ ) Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 3

4 c) Étudier le sens de variation de la fonction f. Sur ]0; [, f : ln 3 f ' =1 ln 1 3=ln 2=u f e 2 =e 2ln e 2 3e 2 =2e 2 3e 2 = e 2 d) Résoudre dans R les équations suivantes. i. u 2 u 6=0 ii. ln 2 ln 6=0 iii. e 2 e 6=0 i. u 2 u 6=0 S 1 ={ 3; 2} ii. ln 2 ln 6=0 u=ln ln 2 ln 6=0 { u 2 u 6= 0 3=ln =e 3 2=ln =e 2 S 2 ={e 2 ;e 3 } iii. e 2 e 6=0 e 2 e 6=0 e 2 e 6=0 { u=e u 2 u 6= 0 e =3 =ln 3 et e = 2 n'a pas de solution. S 3 ={ ln 3 } Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 4

5 e) Résoudre dans R les inéquations suivantes. i. u 2 u 6 0 ii. ln 2 ln 6 0 iii. e 2 e 6 0 i. Les racines du trinôme sont 2 et -3 donc S=]-3;2[ u=ln ii. ln 2 ln 6 0 { u 2 u ln 2 e 3 e 2 (car la fonction eponentielle est strictement croissante sur R). Donc S=]e 3 ; e 2 [ iii. e 2 e 6 0 e 2 e 6 0 { u=e u 2 u e 2 0 e 2 ln 2 (car la fonction ln est strictement croissante sur ]0; [ ) Donc, S=] ;ln 2 [ 2. Propriété fondamentale de ln 2.1. Théorème Pour tous réels strictement positifs, on a: ln(a b)=ln(a)+ln(b) Démonstration: Soient a et b deu réels strictement positifs. ln a = A a=e A ln b =B b=e B ab est un réel strictement positif. ln ab =C ab=e C ab=e C =e A e B =e A B C= A B Donc, ln ab =ln a ln b Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 5

6 2.2. Conséquences a) Logarithme népérien de l'inverse d'un nombre réel strictement positif Soit b un réel strictement positif. ln 1 b b =ln 1 =0=ln 1 b ln b Donc, ln 1 = ln b b Pour tout réel b strictement positif, on a: ln ( 1 = ln(b) b) b) Logarithme népérien d'un quotient de deu nombres réels strictement positifs Soient a et b deu réels strictement positifs. ln a b =ln a 1 b =ln a ln 1 b =ln a ln b Pour tous réels a et b strictement positifs, on a: ln ( a =ln(a ) ln(b) b) c) Remarque n N *. Soient a 1 ; ; a n n nombres réels strictement positifs. ln a 1 a 2 a n =ln a 1 ln a 2 ln a n (on peut montrer cela par récurrence) d) Logarithme népérien d'une puissance n N *. a réel strictement positif. ln a n =nln a (cas particulier de la remarque précédente: a 1 = =a n =a ) n Z * alors n= p avec p N * ln a n =ln a =ln p 1 p a =ln 1 p = p ln a 1 = p ln a =nln a a Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 6

7 Pour n=0, ln a 0 =ln 1 =0=0ln a Donc: Pour n Z pour a réel strictement positif, on a: ln (a n )=n ln(a) e) Logarithme népérien d'une racine carrée a réel strictement positif. a= a 2 ln a =ln a 2 =2 ln a Donc, ln a = 1 2 ln a a réel strictement positif, on a: ln( a)= 1 2 ln(a) f) Logarithme népérien d'une racine n ième a N * ; n N ; n 2. L'unique réel strictement positif tel que n =a se nomme racine n ième de a et se note n a. n a n =a Donc, ln a =ln n a n =n ln n a Par suite, ln n a = 1 ln a n a réel strictement positif, on a: ln( n a)= 1 n ln(a) 2.3. Proposition L'unique fonction dérivable sur ]0 ; [ vérifiant f ' 1 =1 et pour tous réels a et b strictement positifs, f ab = f a f b est la fonction logarithme népérien. Démonstration: f a 1 = f a f 1 donc f 1 =0 On considère la fonction g définie sur ]0 ; [ par: g = f a f avec a 0 g = f a f f = f a. La fonction g est une fonction constante, donc: g ' =0=af ' a f ' Pour =1, 0=af ' a f ' 1 =af ' a 1 Donc, f ' a = 1 a Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 7

8 On a donc, pour tout réel strictement positif, f ' = 1 =ln ' On considère h telle que h = f ln h' = 1 1 =0 Donc, h est constante sur ]0 ; [. Donc, pour tout réel strictement positif, h = f ln =k Pour =1, h 1 =k= f 1 ln 1 =0 D'où, f =ln Fonction logarithme népérien Eercices a) On pose ln 2=a et ln 3=b. Eprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants: ln 6 ; ln 9 ; ln 2 3 ln 12 ; 1 ; ln 12 et ln 72. ln 6=ln 2 ln 3=a b 9=ln 3 2 =2ln 3=2b 2 =ln 2 ln 3=a b 3 ln 12 1 = ln12= ln 22 3 = 2 ln 2 ln 3= 2a b ln 12= 1 2 ln 12= 1 2 ln 22 3 = ln ln 3=a 1 2 b ln 72=ln =3ln 2 2ln 3=3a 2b b) Simplifier chacune des epressions suivantes: A=ln 3 1 ln 3 1 ; B=ln ln A=ln 3 1 ln 3 1 B=ln ln A=ln B=ln A=ln B=ln A=ln 3 1 B=ln 2 18 A=ln 2 B=18ln 2 c) Résoudre dans R les équations suivantes: (E): ln 3 2 =ln 6 D E D E =] ; 3[ ]2 ; [ (E) { D E 3 2 = 6 (E) { D E ² 6= 6 (E) { D E ² 12= 0 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 8

9 = =1 48=49 1 = 1 7 = 4 D 2 E 2 = 1 7 =3 D 2 E Donc S E ={ 4 ;3 } D E ' { D E' = ]2 ; [ (E'): ln 3 ln 2 =ln6 ln 3 ln 2 =ln 3 2 (E') { D E ' 3 2 = 6 Or, 1 = 1 7 = 4 D 2 E ' et 2 = 1 7 =3 D 2 E ' S E' ={3} d) Résoudre dans R les inéquations suivantes: D E1 { D E1 = ]2; [ (E 1 ): ln 3 ln 2 ln6 ln 3 ln 2 =ln 3 2 (E 1 ) { D E { D E 1 ² 12 0 { D E 1 [ 4 ;3 ] S E1 =]2 ;3 ] (E 2 ): ln 3 2 ln 6 D E D E 2 =] ; 3[ ]2 ; [ (E 2 ) { D E { D E 2 ² 12 0 { D E 2 [ 4;3] Donc S E2 =[ 4 ; 3[ ]2 ;3] Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 9

10 3. Étude et représentation graphique de la fonction logarithme népérien 3.1. Limites au bornes de l'ensemble de définition ln >10 ep(ln )>ep(10) >e 10 Si A est un réel positif (aussi grand que l'on veut) >e A ln > A Donc, ln =+ Soit >0 ln 1 = ln 1 0 =+ et ln =+ + donc ln 0 ( 1 ) =+. + Par suite, ln = Tableau de variation 3.3. Courbe ln ' (1)=1 A(1;0) ln ' (e)= 1 e B(e;1) y=1( 1)+0 (T ): y= 1 y= 1 e ( e)+1 (T '): y= 1 e Comme 0 + ln =, la droite d'équation =0 est asymptote à la courbe. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 10

11 3.4. Autres ites On considère la fonction u définie sur ]0;+ [ par u()=ln +1 u ' ( )= 1 1=1 Donc, pour tout de ]0 ;+ [, u() 0 soit ln 1 La courbe représentative de ln est en-dessous de la tangente (T) au point A(1;0)) Conséquence : Pour tout de ]0 ;+ [, ln Pour tout de [1 ;+ [, 0 ln. On note X = Si 1 alors X 1 Donc, 0 ln X X 0 ln 0 1 ln 2 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 11

12 0 1 ln ln ln 2 Or, 2 =0 D'après le théorème des gendarmes, ln =0 ln 1 ln = 1 ln =+ ln et + =0 donc = Donc, ln =0 0 + Soit ] 1;0[ ]0;+ [ (1+ ) ln(1+ ) ln 1 ln = La fonction logarithme népérien est dérivable en 1 et (ln)' (1)= 1 1 =1 Donc, 0 ln (1+ ) = Eercices a) Soit c la courbe représentative de ln dans le repère : (0; i, j). Soit a>0 et A(a ;ln a) 1. Écrire en fonction de a une équation de la tangente (T ) en a à la courbe c. 2. Démontrer que, quel que soit a, la courbe c est en-dessous de (T ). 1. f ' (a)= 1 a (T ): y= 1 a ( a)+ln a Donc, (T ): y= 1 a +ln a 1 2. E ()=ln ( 1 a +ln a 1 ) =ln 1 ln a+1 a Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 12

13 Alors, E ' ()= 1 1 a = a a E (a)=0 Donc, pour tout ]0 ;+ [, E () 0 Donc, la courbe c est en-dessous de (T ). b) Calculer les ites des fonctions suivantes au bornes de l'ensemble de définition. 1. f ()= ln D=]0 ;+ [ 2. f ()= 1 ln D=]0 ;1[ ]1;+ [ 1. 0 >0 ln = et 0 >0 f ()= ( 1 ln ) ln =0 donc =+ Donc, f ( )=+ =0 donc 0 >0 1 ln =1 f ( )=+ 2. ln =+ 1 et =0. Donc, ln =0-0 et 0 >0 <0 1 ln =0 1 =. Donc, 0 >0 f ( )=0 f ( )= Donc, 1 >1 f ( )=+ et 0 <1 f ( )= Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 13