Fonction logarithme népérien

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1 Fonction logarithme népérien Introduction La fonction eponentielle est continue strictement croissante de R à valeurs dans ]0; + [. Le théorème des valeurs intermédiaires permet donc d affirmer que : Pour tout v de ]0; + [ il eiste une unique valeur u telle que : On peut donc définir la fonction qui à toute valeur de ]0; + [ associe son antécédent par la fonction eponentielle. On dit de cette fonction qu elle est la fonction réciproque de la fonction eponentielle. Elle sera notée : et nommée fonction v + u = e On remarquera que la dualité ep - ln est la, même que la dualité fonction carrée - fonction racine carrée Représentation graphique de la fonction ln = e Le point M(u, v) appartient à la représentation graphique de la fonction eponentielle si et seulement si le point appartient à la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. Les deu courbes sont smétriques par rapport à la droite d équation v v + u + u = ln() 1 20 janvier 2015

2 DÉFINITION Définition La fonction eponentielle est une bijection de R sur ]0; + [ C est-à-dire que pour tout k ]0; + [, l équation e = k a une solution unique dans R. Cette unique solution est notée : On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à un réel strictement positif, fait correspondre l unique réel tel que e =. La fonction logarithme népérien est notée ln, c est la fonction réciproque de la fonction eponentielle. ln : ]0; + [ R ln() Premières popriétés Pour tout réel strictement positif, on a e ln() = Pour tout réel, on a ln (e ) = ln1 = car : ln(e) = car : Remarque ]0; + [ et = ln() équivaut à R et e = L image d un réel > 0 par la fonction ln pourra se noter ln au lieu de ln() FONCTION DÉRIVÉE DE LA FONCTION ln Epression de la fonction dérivée 2 20 janvier 2015

3 Propriété La fonction ln est dérivable sur ]0; + [ avec : (ln()) = 1 Eercice 1. On admet que les fonctions ci-dessous sont dérivables sur ]0; + [ Calculer les fonctions dérivées : f() = 55 3ln() g() = ((ln() + 1) (5 ln() ) h() = (ln() + 1) 2 2. On admet que les fonctions ci-dessous sont dérivables sur leur ensemble de définition Calculer les fonctions dérivées : f() = ln() + g() = ln() h() = ln (2e + 1) ln() + Variations de la fonction ln Variations Pour tout de ]0; + [ (ln()) = 1 Donc (ln()) > 0 sur ]0; + [ La fonction ln est donc strictement croissante sur ]0; + [ Conséquence de la stricte croissance Pour tous réels a et b de ]0; + [, ln a = ln b équivaut à a = b ln a < ln b équivaut à a < b. ln a > ln b équivaut à a > b. ln a > 0 équivaut à a > 1 ln a < 0 équivaut à 0 < a < janvier 2015

4 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION LN Propriété Pour tous réels a et b strictement positifs, ln(ab) = ( ) 1 ln = ( a a ) ln = b pour tout n N, ln (a n ) = ln ( a ) = Démonstration Eemple d utilisation Déterminer le plus petit n tels que : 3 n ETUDE DE LA FONCTION ln Limites usuelles de la fonction ln Epérimentation Observons le comportement de la fonction ln dans le tableau de valeurs ci-dessous : ln() 2,3 3,91 4,60 6,21 6,90 8,51 9,21 La fonction est certes croissante mais très faiblement On peut ainsi douter du comportement de la fonction ln au voisinage de + Le calcul de ln ( 10 50), par eemple, ne fait que confirmer cet état de fait : ln ( 10 50) 115 Cependant l égalité : ln (e ) = prouve que la fonction ln peut atteindre toute valeur aussi grande soit elle De même l égalité ln ( e ) = prouve que la fonction ln peut atteindre toute valeur aussi petite soit elle On admet donc Théorème 1. lim ln = lim ln = 0 + Remarque Ce théorème sera démontré plus rigoureusement après le chapitre sur les limites de fonction 4 20 janvier 2015

5 Tableau de variation et courbe représentant la fonction ln La fonction ln est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0; + [. 0 + signe de ln + + variation de ln = ln() Eercice 1 Dans un repère orthonormal, C est la courbe reprèsentative de la fonction ln. Déterminer une équation de la tangente D à C au point d abscisse 1 Eercice 2 f est la fonction définie sur ]0; + [ par f() = (ln ) Etudier les limites de f en 0 et en Déterminer la fonction dérivée de f. 3. Etudier le signe de f () et en déduire le sens de variation de f. 4. Dresser le tableau de variation de f. 5. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. FONCTION ln u Propriété Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la fonction f définie sur I par f() = ln(u()) est dérivable sur I et : pour tout I, f () = Démonstration On retiendra : On applique le théorème de dérivation d une fonction composée à la fonction U suivie de la foncion ln. La fonction U est dérivable sur I, et la fonction ln est dérivable sur ]0; + [, donc la fonction U suivie de la foncion ln est dérivable sur I et pour tout réel de I : (ln(u)) () = ln (U()) U () = U () U() janvier 2015

6 Eemple ] f est la fonction définie sur I = π 2 ; π [ par : f() = ln(cos ). 2 C est sa courbe représentative dans un repére orthonormé. 1. Montrer que l ae des ordonnées est un ae de smétrie de C. 2. Etudier la limite de f en π Déterminer la fonction dérivée de f. En déduire le sens de variation de f sur [ 4. Dresser le tableau de variation de f sur 0; π [. 2 [ 0; π [. 2 = f() 6 20 janvier 2015