Chapitre 15 Options et actifs conditionnels. Plan

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Alizée St-Pierre
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1 Chapitre 15 Options et actifs conditionnels Plan Fonctionnement des options Utilisation des options La parité put-call Volatilité et valeur des options Les modèles de détermination de prix d option Modèle à deux états Réplication dynamique et modèle binomial Modèle de Black et Scholes Autres applications de la théorie des options 1

modèles de détermination de prix d option Modèle à deux états Réplication dynamique

2 Fonctionnement des options Même principe qu un contrat à terme Sous-jacent, prix d exercice et date d échéance Sans obligation d achat ou de vente Option d achat (call) ou de vente (put) 2

3 Les options sur les marchés organisés Fait correspondre acheteurs et vendeurs (compensation) Prix et date d échéance sont déterminés par le marché Sous-jacent, prix d exercice et date d échéance Sans obligation d achat ou de vente Option d achat (call) ou de vente (put) Portent sur les actions, sur les indices, sur tout... 3

prix d exercice et date d échéance Sans obligation d achat ou de vente Option d

4 Exemple 4

5 Valeur intrinsèque et valeur temps Valeur intrinsèque Valeur d une option si elle arrivait à expiration immédiatement Valeur temps Différence entre la valeur intrinsèque et le cours de clôture négocié Valeur intrinsèque nulle L option est dite hors de la monnaie. Valeur intrinsèque positive L option est dite dans la monnaie. 5

intrinsèque et le cours de clôture négocié Valeur intrinsèque nulle L option est

6 Utilisation des options Profil de gain d'un call Gain issu de l'exercice du call Cours de l'action à échéance Le gain sur le call est égal au maximum de [S T -100 ; 0]. Si le prix de l action < 100, le call ne vaut rien. Le gain sur le put est égal au maximum de [100-S T ; 0]. Si le prix de l action > 100, le put ne vaut rien. 6 Gain issu de l'exercice du put Le prix d exercice est de 100. Notons S T le prix de l action à échéance de l option. 0 Profil de gain d'un put Cours de l'action à échéance

Le gain sur le put est égal au maximum de [100-S T ; 0]. Si le prix de l action > 100, le put ne vaut rien.

7 Taux de rentabilité d un portefeuille: 3 stratégies différentes Taux de rentabilité du portefeuille (%) Profils de gains correspondant à différentes stratégies (tendance haussière) 100% d'actions 100% d'options calls 10%d'options calls Cours de l'action à échéance Tendance haussière du marché 1 action = 100 / 1 option = en actions sans dividendes (100% d actions) en options (100% d options) en options et le reste en actif sans risque (10% d options) Il faut déterminer ses propres anticipations (l économie croissante, stable, en récession) et sa tolérance au risque. Minimum de rentabilité garantie dans la 3ème stratégie et pente de gain identique à celle d un investissement en actions. 7

/ 1 option = 10 100 000 en actions sans dividendes (100% d actions) 100 000 en options (100% d options) 10 000 en options et le reste en actif sans risque (10% d options) Il faut déterminer ses

8 Stratégie Action + Put Achat d actions + puts de l action Le portefeuille garantit la valeur de l action Profil de gain pour la stratégie action + put Put Action Action + Put Gain Cours de l'action à l'échéance 8

stratégie action + put 200 160 Put Action Action + Put Gain 120 80

9 Stratégie Actif sans risque + Call Placement en actif sans risque + calls sur action. Le portefeuille garantit la valeur de l actif sans risque Profil de gain pour la stratégie actif sans risque + call Call Actif sans risque Actif sans risque + call 120 Gain Cours de l'action à l'échéance 9

200 160 Profil de gain pour la stratégie actif sans risque + call Call Actif sans

10 La relation de parité put call Action + put au prix d exercice E Actif sans risque au nominal de E + call au prix d exercice de E. D après la loi du prix unique: S est le cours de l action, E le prix d exercice, P la valeur de l option de vente (put), r le taux sans risque, T la durée à l échéance de l option C la valeur de l option d achat (call). S + P = E (1 + r) T + C Un call est composé de: L achat de l action S, L emprunt réalisé pour cet achat (levier), L achat d une assurance contre le risque de baisse (put) E C = S + P (1 + r) T 10

risque, T la durée à l échéance de l option C la valeur de l option d achat (call).

11 Exemple 1 S = 100, E = 100, T = 1 an, r = 0.08 et P = 10 C devra être de Si le call est coté 18, que doit-on faire? Vendre ses calls et acheter des calls synthétiques. Call synthétique: achat d une action à l aide d un emprunt de Soit un coût de 7.41 pour une action + achat d un put à 10. Bilan: Vente d un call à 18 - achat d un call synthétique à = 0.59 de gain. 11

Call synthétique: achat d une action à l aide d un emprunt de 92.59. Soit un coût de 7.

12 Parité put call et implications C P = S ( 1+ E r) T Si le cours de l action est égal à la valeur actuelle du prix d exercice de l option, alors le prix du call est égal au prix du put. Si le cours de l action est supérieur à la valeur actuelle du prix d exercice de l option, alors le prix du call est supérieur au prix du put. Si le cours de l action est inférieur à la valeur actuelle du prix d exercice de l option, alors le prix du put est supérieur au prix du call. 12

Si le cours de l action est supérieur à la valeur actuelle du prix d exercice de l option, alors le prix du call est

13 Volatilité et valeur des options Plus plus le prix du sous-jacent est volatil, plus les gains espérés sur le put ou le call augmentent. Les prix respectifs du put et du call croissent en conséquence. 13

14 Le modèle à deux états Hypothèses Une action peut prendre deux valeurs (deux états) à l issue de l échéance de l option. On construit un call synthétique (action + actif sans risque) Exemple Call à 1 an : E = 100, cours actuel à 100. Perspectives d évolution : + ou 20% Taux sans risque : 5% 14

On construit un call synthétique (action + actif sans risque) Exemple

15 Le modèle à deux états (suite) Call : dans 1 an Cours de l action Gain sur le call Call synthétique Action financée par un emprunt. On ne peut emprunter que sur une valeur garantie de l action dans 1 an, soit 80 / 1.05 = Transaction Cash-flow immédiat Cash-flow dans 1 an si S = 120 Cash-flow dans 1 an si S = 80 Achat d une action Emprunt à taux sans risque Portefeuille total

On ne peut emprunter que sur une valeur garantie de l action dans 1 an, soit 80 / 1.05 = 76.19.

16 Le modèle à deux états : ratio de couverture Proportion d actions dans le portefeuille qui réplique exactement les recettes du call Ratio de couverture = Amplitude des valeurs de l' option Amplitude des valeurs de l' action Dans notre exemple : ratio de couverture = 0.5 Nous achetons une moitié d action et empruntons à 5%. Actif Cash-flow immédiat Cash-flow dans 1 an si S = 120 Cash-flow dans 1 an si S = 80 Call 20 0 Achat d 1/2 action Emprunt au taux sans risque Call synthétique

= 0.5 Nous achetons une moitié d action et empruntons 38.095 à 5%.

17 Le modèle à deux états : conclusion Évaluation du prix d un call sans le prix du put correspondant D après la loi du prix unique, C = 0.5 S =

18 La réplication dynamique et le modèle binomial Deux périodes; l action peut monter ou baisser de 10 à chaque période. Stratégie d investissement autofinancée Cours actuel de l'action Cours de l'action dans 6 mois Cours de l'action dans 1 an Valeur finale du portefeuille 100 Achat d'1/2 action Emprunt de 45 Investissement total = Achat d'1/2 action Emprunt de 55 Investissement total = Vente d'1/2 action Remboursement de l'emprunt Investissement total = Vente de l'action 120 Remboursement de l'emprunt -100 Portefeuille total 20 Vente de l'action 100 Remboursement de l'emprunt -100 Portefeuille total 0 80 Portefeuille total 0 Investissement initial = 5, le prix du 18 call

action Emprunt de 45 Investissement total = 5 110 Achat d'1/2 action Emprunt de 55 Investissement total = 10 90 Vente d'1/2 action Remboursement de l'emprunt Investissement

19 Modèle de Black et Scholes où : L investisseur ajuste le portefeuille de réplication en continu C = prix du call S = cours de l action E = prix d exercice de l option r = taux sans risque C = N d ) S N( d ) E e ( 1 2 T = durée jusqu à l échéance de l option, en années σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) de l action rt ln = logarithme népérien (ou naturel) e = l exponentielle (approximativement 2,71828) N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu un tirage au hasard dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d). 19 d d 1 2 ln( S / E) + ( r + σ / 2) T = σ T = d 1 σ T 2

(en continu) de l action rt ln = logarithme népérien (ou naturel) e = l exponentielle (approximativement 2,71828) N(d) = Densité de probabilité cumulée de d

20 Modèle de Black et Scholes Les déterminants du prix des options Augmentation Call Put Du cours de l action S Augmentation Baisse Du prix d exercice E Baisse Augmentation De la volatilité σ Augmentation Augmentation De la durée à l échéance T Augmentation Augmentation Du taux sans risque r Augmentation Baisse Des dividendes versés d Baisse Augmentation 20

volatilité σ Augmentation Augmentation De la durée à l échéance T Augmentation

21 Volatilité implicite Valeur qui égalise la valeur de marché de l option et valeur obtenue par la formule d évaluation des options 21

22 Indice de volatilité

23 Théorie des options appliquée à la finance d entreprise La formule de la valeur des capitaux propres est: CP = N d ) V N( d ) B e ( 1 2 rt d 1 = ln( V / B) + ( r + σ / 2) T σ T 2 où : V = valeur de l entreprise (valeur des actifs) CP = valeur des capitaux propres B = valeur de remboursement de la dette à l échéance (ici, valeur nominale de l emprunt obligataire) r = taux sans risque T = durée jusqu à l échéance de l emprunt, en années σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) des actifs ln = logarithme népérien (ou naturel) e = l exponentielle (approximativement 2,71828) N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu un tirage au hasard dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d.) d 2 = d 1 σ T 23

24 Évaluation des cautions et garanties Dette risquée + Garantie sur la dette = Dette sans risque Comment évaluer cette garantie? On compare la valeur actuelle de la dette sans garantie à celle d un emprunt sans risque qui aurait les mêmes modalités de remboursement. Valeur de la garantie = Valeur avec garantie Valeur sans garantie 24

25 Autres applications de la théorie des options Renégociation de taux d intérêt d emprunt Crédit-bail Options de choix d investissement: Option de démarrage ou d abandon d un projet Option de sous-traitance 25

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