CAPES 2007 ( Correction du sujet d analyse )

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1 CAPES 7 Correction du sujet d analyse Dernière mise à jour : Mardi 7 Avril 7 Vincent OBATON, lycée Stendhal de Grenoble vincent.obaton@ac-grenoble.fr Avec la correction attentive de Muriel et Nathalie Daval

2 J aimais et j aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n admettant pas l hypocrisie et le vague, mes deu bêtes d aversion. Stendhal

3 Table des matières PREMIÈRE PARTIE : Convergence de la suite 4. Première méthode Deuième méthode Troisième méthode DEUXIÈME PARTIE : Utilisation de polynômes 5 TROISIÈME PARTIE : Utilisation des intégrales de Wallis 9 4 QUATRIÈME PARTIE : Noyau de Dirichlet 5 CINQUIÈME PARTIE : Une somme double 5 6 SIXIÈME PARTIE : La fonction Dilogarithme 8

4 PREMIÈRE PARTIE : Convergence de la suite. Première méthode a k on a k k k k kk kk de plus k on a k k > k kk > d où k kk Conclusion : k on a k k k b S n + k k Or d après a k, k k k Donc S n + k k k Or + k + k n n < k Conclusion : n N on a < S n < c S n+ S n n+ k k k n + > k est croissante or d après la question précédente elle est majorée elle Donc S n n N converge et est un de ses majorants.. Deuième méthode a t n S n n t n S n n + De plus t n+ t n S n+ S n + n + n n + nn + Or n on a n + > nn + n + nn + < On a : t n S n n + S n n N est strictement croissante S n n N et t n n N sont adjacentes. S n n N est strictement décroissante b D après la question précédente t S + et S < S < t Or S et t < S < Troisième méthode On note la fonction f : définie sur R.. Étudier rapidement la fonction f. 4

5 . Tracer C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.. En utilisant les résultats précédents, démontrer que : k k < d k k k 4. On note S n n la suite définie par : n, S n a Montrer que S n > n b Déduire des questions précédentes que < S n < + d c En déduire que < S n < n Démontrer que S n n N est une suite n croissante. d Que peut-on en déduire sur la convergence de S n? DEUXIÈME PARTIE : Utilisation de polynômes k k. Si P X a k X k, a n et σ k α k alors : k σ a n a n. a Démontrons cette formule à l aide de celle du binôme de Newton : a + b n Cp n a n p b p Soient p N et ϕ R. On remarque que sin[p + ϕ] Im [ e ip+ϕ] Im [ cos ϕ + i sin ϕ p+] On obtient, d après la formule du binôme de Newton : cos ϕ + i sin ϕ p+ p+ m p Cm p+ cos p+ m ϕ i m sin m ϕ On applique ensuite le changement de variable m k + pour obtenir la partie imaginaire et on obtient : i sinp + ϕ C p+ k+ cosp+ k ϕ i k+ sin k+ ϕ k Or i k+ i i k i k, : sinp + ϕ p N, ϕ R on a C p+ k+ cosp k ϕ k sin k+ ϕ k 5

6 b Soit ϕ + kπ alors sinp + ϕ On peut factoriser la formule précédente par sin p+ ϕ On obtient : p N, ϕ R avec ϕ + kπ on a d òu sinp + ϕ sin p+ ϕ k sinp + ϕ sin p+ ϕ sinp + ϕ sin p+ ϕ k C p+ k+ cos p k ϕ sin k+ ϕ sin p+ ϕ k C p+ cos p k ϕ k+ sin p+ k ϕ k k k k C p+ k+ cos p k ϕ sin p k ϕ or Cotan ϕ p k cosp k ϕ sin p k ϕ cosp k ϕ sin p k ϕ sinp + ϕ sin p+ ϕ k C p+ k+ Cotan ϕ p k. Soit p N et P R[X] tel que P X k kπ a On note k [, p ], γ k Cotan p + Calculons P γ k : Si k [, p ] alors γ k + k π P γ k k C p+ k+ γ k p k k C p+ k+ Xp k k C p+ k+ Cotan kπ p + p k k k En utilisant la formule de la question précédente et sachant que sin p+ trouve que sinkπ P γ k sin p+ kπ p+ et b k [, p ] alors π < kπ πp < d où kπ p + πp p + < π p kπ k [, p ] alors ]; p + π [ kπ On a évidemment ]; p + π [ alors sin P γ k, k [, p ] 6 π p + kπ p + kπ p + πp p + kπ on p +

7 kπ k + π Comme k [, p ], et comme la fonction Cotan est p + ] p + srtictement décroissante sur ; π [ alors toutes les racines de P sont distincts. Conclusion : P admet γ, γ,..., γ p, γ p comme racines distincts avec kπ γ k Cotan. p + c D après la deuième partie, on a σ a n or σ γ k a n k p +! σ γ k C p+!p! p! p p pp C p+ p +!!p! k!p! kπ Or σ γ k Cotan p + k k kπ Cotan p + k pp ] Ensuite ϕ ; π [ on a Cotan ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ sin ϕ sin ϕ Donc pour ϕ kπ on obtient p + kπ + Cotan p + kπ k sin p + k k p + p + p p pp pp + pp + kπ k sin p + pp + kπ k sin p + ] 4. On a toujours ϕ ; π [ ] a ϕ ; π [ on a sin ϕ > On note f la fonction définie sur R telle que f sin f est continue et dérivable sur R et f ] cos f est strictement décroissante sur ; π [ et comme f ] alors ϕ ; π [ on a < sin ϕ < ϕ On note g la fonction définie sur R \ {kπ, k Z} telle que f tan 7

8 g est continue et dérivable sur son domaine de définition et g + tan tan ] ; π [ et comme g g est strictement croissante sur ] alors ϕ ; π [ on a ϕ < tan ϕ Conclusion : ϕ ] ; π [ on a < sin ϕ < ϕ < tan ϕ kπ [ b On sait d après II b que ]; p + π d après la question précédente < sin kπ p + < kπ p + < tan kπ p + Or la fonction carré est strictement croissante sur [; + [ < sin kπ kπ p + < < tan kπ p + p + Or la fonction inverse est strictement décroissante sur ]; + [ p + < < kπ tan kπ kπ sin p + p + c kπ Cotan < p + k p + < kπ k kπ sin p + D après la question II c on obtient pp p + < pp + < π k pp < k p + π k p + π > on peut diviser l inégalité par or et π pp p + pp π p π n + p + n + p < k pp π p + < S n < π 6 k pp + < k p + π pour obtenir k < π pp + p + pp + π p + pp + π p π n + p + n + p π 6 d après le Théorème d encadrement des suites ou Théorème des Gendarmes on obtient : 8

9 5. Etude de certaines suites : u n k 4 k k k Donc u n n est convergente et U 4 S S n π n + 6 π 6 π 4 U π 4 n+ v n k + k k S n+ u n k k k or S n+ est une suite etraite de S n elle est convergente v n n est convergente et V π 6 π 4 π 4 π 8 w n+ n+ k k+ k k w n+ n est convergente. De plus k+ w n k k k V π 8 k + k + u n + v n k + n k k k + u n + v n w n n est convergente. w n++ w n+ n + + n + > w n+ n N est décroissante. w n+ w n n + n + > w n n N est croissante. Les suites w n+ n et w n n ont la même ite, l une est croissante, l autre est décroissante et elles sont adjacentes De plus w n w n w n+ évident par différence E : w n w n on peut conclure que w n n N est convergente par le théorème d encadrement et W U + V π 4 + π 8 π 4 W π TROISIÈME PARTIE : Utilisation des intégrales de Wallis Pour tout entier n N, on pose I n. Calcul de I et J : I J cos tdt t cos tdt cos n tdt, J n dt [t] π π I π [ ] π t t dt t cos n tdt et K n 4n n! π 4 J π 4 9 n! J n

10 . Recherche de I n en fonction de n : a I n+ cos n+ tdt cos n+ t cos tdt On pose vt cos n+ t et ut sin t. Les deu fonctions u et v sont de classe C sur d intégration par partie, et obtenir : I n+ I n+ n + cos n+ tdt [t cos n+ t] π + [ ; π ] on peut appliquer la formule n + sin t cos n tdt cos t cos n tdt n + I n n + I n+ I n+ + n + I n+ n + I n pour tout n N, on a I n+ n + n + I n b Montrons cette formule par récurrence : On note P k la proriété : I k k! π 4 k k! P est vraie car I π On suppose maintenant que P n soit vraie. Montrons que dans ce cas P n+ l est aussi : I n+ n + n + I n n! π n + 4 n n! n + n! π 4 n n! P n+ est vraie. Par récurrence on prouve que :. I n cos n tdt a On pose ut cos n t et vt t. Pour tout n N, on a I n Les deu fonctions u et v sont de classe C sur d intégration par partie, et obtenir : I n [t cos n t] π + n t sin t cos n tdt n n + n + 4n + n! π 4 n n! n +! π 4 n+ n +! [ ; π ] on peut appliquer la formule t sin t cos n tdt On pose ut sin t cos n t et vt t. [ Les deu fonctions u et v sont de classe C sur ; π ] on peut appliquer la formule d intégration par partie, et obtenir : On note que u t cos n t n sin t cos n t cos n t n cos t cos n t n cos n t n cos n t [t I n n sin t cosn t I n n ] π nt cos n t n t cos n tdt J n + n J n nn J n n J n

11 Conclusion : Pour tout n N, on a I n nn J n n J n b D après la question précédente et la III b on obtient : n! π nn n! π n! 4 n n! 4 n n! n 4 n n! K n n! π 4 n n! n! 4 n n! [K n K n ] n! En divisant par on obtient : 4 n n! K n K n 4n n! n! π n! 4 n n! π n π 4n Pour tout n N, on a K n K n c D après la question précédente : π 4 k π 4k K k K k K K n k k k or K J on obtient la relation : π 4 k J K n 4. Encadrement de J n et K n a La fonction sinus sur k π 4n [ ; π ] est concave sa courbe est au-dessus de la corde d etrémités les points d abscisse et π [ ; π ] on a sin π π sin b J n t cos n tdt t cos n t et < π pour tout n N on a J n [ De plus pour tout t ; π ] la fonction carré est croissante d après la question précédente on a t π 4 sin t J n π sin t cos n tdt 4 J n π cos t cos n tdt 4 J n π cos n tdt π cos n+ tdt 4 4 J n π 4 I n π 4 I n+ π 4 Conclusion : [ n + n + ]I n π 8n + I n

12 Pour tout n N on a J n π I n 8n + De plus K n 4n n! n! J n 4n n! n! or In n! π 4 n n! K n 4n n! n! Conclusion : π n! π 8n + 4 n n! π I n 8n + Pour tout n N on a K n π π 6n + c D après la question précédente, on obtient : 6n + K n or d après la question III c on a π 4 k J K n k π J 6n + π 4 k J k or et 4 π J π 6n + 4 π J 4π n + π 6n + J π 6 k k 4 π J 4 π J π 6 d après le théorème d encadrement des suites ou théorème des Gendarmes on obtient : S n + k k π 6 4 QUATRIÈME PARTIE : Noyau de Dirichlet. On note + kπ alors sin. D n + cosk + cosk + k k cosk k in ein+ e in e in+ D n R e e R e i e e i k n e in+ cosk R e e in+ e i e i k n e ik

13 D n R e e in e in+ Conclusion : e i i sin n+ i sin sin n+ sin sin n + D n sin. Pour tout n, on note L n a On note K coskd D n d On pose u et v k sink Les deu fonctions u et v sont de classe C sur [; π] on peut appliquer la formule d intégration par partie, et obtenir : K [ k sink]π k sinkd k [ k cosk]π K k k k + k k k Conclusion : b L n L n D n d π d + coskd k k [ ] + cosk d k coskd k or d après la question précédente [ L n Conclusion : ] π + k d + k coskd coskd k k k k π 4 k + k k k k k k L n π 4 k + k k. On note f la fonction définie sur [; π] par : f si ]; π] et f sin sin cos f est continue sur [; π] f est dérivable sur ]; π] et f sin En, on a :

14 h fh f sin h h h h fh f + 4 oh h h fh f h h + oh h sin h sin h h h 4 + oh ] f esiste et vaut. Montrons que f est continue en : En, on a : f 48 + o + 8 o h sin h h sin h 48 + o h h h + 48 oh h h h + oh 48 h + oh h h + 4 oh + oh + h 4 + oh 4 + o 4 + o f 6 + o + o 6 + o d où : f f f est continue en. n d autre part, f est continue sur ]; π] comme somme et produit de fonctions continues sur ]; π] f est de classe C sur [; π] 4. Soit φ : [; π] R une fonction de classe C sur [; π]. φ et sinλ sont toutes les deu de classe C sur [; π] On peut appliquer la formule d intégration par partie, et obtenir : φ sinλd [ φ λ cosλ ] π + φ λ cosλd φ sinλd φπ φ π cosλπ λ λ + φ λ cosλd Or φ est continue sur le compact [; π] elle atteint ses bornes et il eiste N dans R tel que N sup φ [;π]. On a φ sinλd φπ φ π cosλπ + λ λ + N cosλ d λ [ φ sinλd φπ φ cosλπ + sinλ λ λ + N λ φ sinλd φπ φ cosλπ + λ λ + N sinλπ λ Or cosλπ et sinλπ φ sinλd φπ λ 4 + φ λ + N λ ] π

15 or φπ λ + λ λ + λ 5. On sait que L n + φ λ φ sinλd λ + D n d et Dn sin n + a On a L n sin n + d sin On sait que la fonction f est de classe C sur [; π] d après la question. sin sin On peut appliquer la formule du 4 avec φ f et λ n + On obtient L n n + b On utilise la question IV b et II 5 On a L n π n + 4 n + k + n + k k k k π 4 S W or L n S π n + 4 W Cherchons W en fonction de S. D après la question I 5 on a U 4 S, W V U S U U S U S S π 4 S π 4 π 6 S π 6 5 CINQUIÈME PARTIE : Une somme double. On note N un entier tel que N a La fonction est strictement décroissante sur ]; + [ On a n+ n >, n d n n n d en sommant de à N on obtient N n+ N d N n n N+ N d d n n 5 N n d

16 En calculant les intégrales, on obtient lnn + ln H N ln N lnn + + ln H N + ln N or ln.69 > ln + N < lnn + + ln lnn + < H N + lnn b D après la question précédente, si N on a or lnn + N + lnn N d après le théorème d encadrement, on a lnn + N < H N N H N N c Pour tout M on applique la transformation d Abel à m m + M m m m H M M M + m m or m m + d Comme M m m m m m H m H m H + M M H M + H m m m + mm + m H m mm + S M H M M, que et que S M converge alors M m. On note m un entier tel que m m H M M M + H m mm + H m mm + m m H N N converge aussi H m mm + π 6 m + lnn N a On remarque que Comme m alors n + m et comme n alors on a nn + m m n n + m N Z N,m m n N n + m m n n + m n n H m m m + 6

17 Z N,m N m n N n n k n + m on obtient Il y a deu cas possibles : Si m N alors Z N,m m m n N n + et en posant dans la deuième somme n + m Z N,m N m n nm N+m n km Si m N alors Z N,m m m m n N+m n n nn+ nm Conclusion : Pour tout entier m on a : Z N,m m b On a < or Donc N+m nn+ Z N,m m N + N+m n <. Etude de la somme double : n m nn+ N+m n km k N+m H m k m nn+ n N+m H m n m nn+ H m N+m nn+ n n N + < N + m N + N + < m N + N+m H m m nm+ H m n m Z N,m H m m a Pour tout entier N et tout entier M on a N M A n,m mnn + m N A n,m m m A n,m Z N, + Conclusion N n m m n M nn + m Z N,m m N N n m n m n + M m Z N,m m mnn + m Z N,m m N mnn + m n n + M m Z N,m m b Calculons la ite de la relation précédente lorsque N tend vers + 7

18 N n m Conclusion : c On a m N n π 6 M Z N,m m m N n m Z N,m m mnn + m N n m M H m mm H m mm + n m m m H m mm eiste et vaut N n mnn + m π 6 + M mnn + m π M 6 + or d après la question V d on a Conclusion : N n m m M m m H m mm + H m mm + π 6 π mnn + m 6 + π 6 π N n m n + H m mm π mnn + m m Z N,m m 6 SIXIÈME PARTIE : La fonction Dilogarithme. La fonction De plus : ln t t est continue sur [ ; [ ]; [ ln t ln t t t ln t est prolongeable par continuité en elle est intégrable sur [ ; [ t. ft ln t, or ln t est intégrable sur [o; ] Li eiste et Li Li. Développement de Li en série entière : a Pour tout ] ; [ on a + n + n et en intégrant ln n On obtient que ln n n n 8 n n n+ + n + n n n

19 ln t t n Li dt t n dt n Puisque ] ; [ alors la convergence de la série entière est normale uniformement convergente et on peut intervertir somme et intégrale, pour obtenir t n + Li n n dt [ ] n n n n n n b La série entière n Li n n n n est uniformement convergente sur ], [ et Li est n prolongeable par continuité en Li n n π 6 4. Etude de Li+Li : a On applique la formule suivante : Li π 6 Si f a+b gtdt alors f aga + b On obtient pour tout ]; [ que Li ln Conclusion : Li+Li ln ln b Si on pose u ln et v ln alors on a Li + Li u v + uv Li+Li ln ln + λ De plus ln ln ln ln ln π Li+Li λ λ Li 6 Conclusion et Li ln ]; [, Li+Li π 6 ln ln 5. On applique la formule précédente pour en sachant que Li et que Li Li n n n 9

20 n n n π 6 ln π 6 ln n n n π ln 6. Etude de Li+Li : ln ln + a Pour tout ] ; [ on a Li+Li + or Li+Li ln t Li+Li dt t On applique le changement de variable u t dt du alors u ln Li+Li Conclusion ln u du u Li Li+Li Li b D après la formule précédente : Li+Li Li Li Li π n n n π 7. Etude de A Li-Li +Li -Li + + ln a Li ln + Li Li + ln + Li + ln + On obtient A ln ln ln A + ln A ln ln On a + ln + + ln + ln + ln +

21 + A ln ln + α Pour trouver α on fait tendre vers et on obtient : Li Li α α π 6 + π π π 4 Conclusion Li Li + Li Li + π ln + ln b On applique la formule précédente pour On obtient Li Li + Li Li π 4 + ln ln Li Li + Li Li π 4 + ln + ln Li Li π 4 + ln + ln Li Li π 8 + ln + ln n n n π n n 8 + ln + ln n n Dans le membre de gauche il reste que les termes d eposants impairs, n n+ n + π 8 + ln + ln