Passeport pour l'aventure

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1 Passeport pour l'aventure 7 juillet 2016 En sup, le début de l'année constitue une période de transition, au cours de laquelle les élèves sont accompagnés dans leur apprentissage du rythme, des méthodes de travail et des exigences d'une classe préparatoire. Pour faire un bilan personnalisé des acquis et besoins de chaque élève, les professeurs de mathématiques de MPSI et PCSI ont prévu de vous faire passer un test de 2h le jour de la rentrée, qui portera sur les points fondamentaux du programme de terminale S. Pour vous préparer à ce test, diérents documents seront mis à votre disposition. Un document intitulé Exemples d'exercices pour un test de rentrée, dans lequel vous trouverez des questions représentatives de ce qui vous sera demandé à la rentrée. Un document intitulé Liste d'exercices sur les points centraux du programme de terminale, plus exhaustif que le précédent. Un document intitulé Savoirs et savoir faire, qui contient des rappels des principaux résultats et des illustrations des principales méthodes du cours de terminale S. Un document intitulé Exercices d'approfondissement, à utiliser si vous êtes à l'aise sur tout ce qui précède, pour vous exercer à chercher des exercices demandant un petit peu plus de réexion et d'initiative personnelle. Les quatre documents seront téléchargeables à partir du vendredi 8 juillet à 14h sur le site du lycée Dumont d'urville eole.lyc-dumont-d-urville.ac-nice.fr/dumont/etab/, et sur le site cahier de prépa : cahier-de-prepa.fr/mpsi-toulon. Durant la seconde quinzaine du mois d'août, un document contenant les corrigés des exercices représentatifs du test de rentrée sera également mis en ligne. Les documents Liste d'exercices et Savoirs et savoir faire se renvoient l'un à l'autre : la succession des thèmes et des sous-thèmes y est identique. Les numéros et les titres des exercices gurant dans le premier document apparaissent dans le second. Ainsi, si vous choisissez de commencer par relire un passage des rappels de cours, vous pouvez tester votre bonne compréhension en cherchant les exercices dont les numéros sont indiqués à la suite de ce passage, et dont l'énoncé se trouvera dans la Liste d'exercices. Réciproquement, en cas de diculté au cours de la recherche d'un exercice de la liste, vous pouvez consulter le paragraphe correspondant dans les rappels de cours, qui contiendra les dénitions et propriétés correspondantes, et des exemples de mise en oeuvre des méthodes classiques. Vous pouvez également consulter un paragraphe dans les rappels de cours après avoir ni un exercice de la liste pour vous assurer de la validité des propriétés que vous avez utilisées. Vous devez au moins d'août reprendre vos cours de mathématiques de terminale, et ces documents sont là pour vous accompagner dans cette démarche. Par contre, il ne vous est pas demandé de chercher tous les exercices qu'ils contiennent avant la rentrée. Passez de bonnes vacances et soyez en forme à la rentrée! 1

2 Exemples d'exercices pour un test de rentrée Les exercices sont indépendants les uns des autres et vous pouvez les traiter dans l'ordre de votre choix. Pour vous permettre de bien vous préparer, la liste ci-dessous est plus longue que le test prévu à la rentrée. Lors du test de rentrée, les calculatrices ne seront pas autorisées. Exercice 1. Techniques opératoires 1. Développer A = (x y 2 )(x + y 2 )(x 2 + y 4 ). 2. Factoriser B = (x + 1)(y 2 + 2) y(2x + 2) (x + 1). En déduire que B = 0 si et seulement si x = 1 ou y = 1.. (a) Simplier l'expression de C = x x (b) En déduire, sans faire de calcul, une forme simpliée de D = t et de E = t + 1 t t + 1. Exercice 2. Equations Résoudre dans R les équations suivantes. 1. x + 1 = a en fonction a R. x 1 On distinguera deux cas pour la valeur de a. 2. x 2 = x.. 2x 2 5x = e 2x e x + 2 = 0. Exercice. Inégalités 1. On suppose que 2 < x 4 et que 1 y. Donner les meilleurs encadrements possibles de a = x y, b = xy et c = x y. 2. Déterminer l'ensemble des solutions x R de l'inéquation x + 2 x (a) Déterminer l'ensemble des solutions x R de l'inéquation (x 1) 2 9. (b) En déduire l'ensemble des solutions x R de l'inéquation x 2x Déterminer le signe de f(x) = x ( x 1 ) en fonction de x R. 2

3 Exercice 4. Puissances, logarithme et exponentielle 1. (a) Exprimer sous forme de produit d'une puissance de a avec une puissance de b la quantité ( ) 2a ab b 4 A = a 2 b 2 (ab). (b) Soit (u n ) n N la suite dénie par u 0 = 2 et les relations u n+1 = u n pour tout n 0. i. Calculer u 1 et u 2. ii. Démontrer par récurrence que pour tout n 0, u n = 2 n (c) Simplier B = Simplier les expressions suivantes : (a) C = ln ( e ) + ln( e). (b) D = e ln(2)+ln(4).. Résoudre l'inéquation ln(1 x) 0. Exercice 5. On considère la fonction f dénie par f(x) = x ln(x + 1). Etudes de fonctions 1. Déterminer l'ensemble I des réels x tels que f(x) existe. 2. Exprimer la dérivée de f et étudier son signe.. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine. 4. Construire le tableau de variation de f. 5. Donner l'équation d'une asymptote à la courbe de f, et préciser les points où la tangente à la courbe de f est parallèle à l'axe des abscisses. 6. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe de f, l'asymptote et la tangente horizontale. Exercice 6. Intégration 1. Déterminer une primitive sur R + de la fonction f dénie par f(x) = 2x4 x x Déterminer l'unique primitive sur R de la fonction g dénie par g(x) = cos(x)e sin(x) qui s'annule en x = 0.. Calculer la valeur de I = 1 0 2x + 1 x 2 + x + 1 dx.

4 Exercice On considère la suite (u n ) n N dénie par { u 0 = 1 u n+1 = 2u n 8. Récurrences et suites Pour tout n N, on pose v n = u n 8. (a) Montrer que la suite (v n ) n N est géométrique de raison 2. (b) Exprimer v n en fonction de n. (c) En déduire que pour tout n 0, u n = n. (d) Montrer que (u n ) n N est monotone. (e) Calculer la limite de (u n ) n N quand n tend vers +. (f) La suite (u n ) n N est elle majorée, minorée, bornée? 2. On considère la suite (u n ) n N dénie par u 0 = 0 et pour tout n N, u n+1 = u n + 1 u n. Pour tout n N, on pose v n = 1 u n 1. (a) En raisonnant par récurrence, montrer que pour tout n 1, 0 < u n < 1. (b) Exprimer v n+1 en fonction de u n+1, puis exprimer v n+1 en fonction de u n. (c) En déduire que la suite (v n ) n N est arithmétique de raison r = 1 2. (d) En déduire que (u n ) n N converge et que lim n + u n = 1.. Exprimer, en fonction de n, sans symbole la valeur de S n = k=n k=2 1 2 k. Exercice 8. Trigonométrie 1. En remarquant que π 12 = π π ( π ) ( π 4, calculer les valeurs exactes de cos et de sin ) 2. (a) Déterminer les solutions x [ π; π] de sin(x) = 0. (b) Déterminer les solutions x [ π; π] de cos(x) = 1 2. (c) En utilisant une formule de trigonométrie, factoriser A = sin(x) sin(2x), puis résoudre l'équation sin(x) sin(2x) = 0 dans [ π; π]. Exercice 9. Nombres complexes 1. Déterminer la forme algébrique de z = + 4i 1 + i. 2. Résoudre dans C l'équation (2 + i)z + 1 = (1 i)z.. (a) Donner une forme trigonométrique de u = 1 + i et une forme trigonométrique de v = 1 i. (b) En déduire une forme trigonométrique de z = u v, de z et de z12. 4

5 Exercice Donner, dans l'ordre, la liste des valeurs achées lors du calcul de l'algorithme à droite. Algorithmique # VARIABLES : u est du type Nombre k est du type Nombre # ALGORITHME : u PREND LA VALEUR k PREND LA VALEUR 1 TANT QUE u <= 0 FAIRE : DEBUT TANT QUE u PREND LA VALEUR 2*u - k +1 AFFICHER u k PREND LA VALEUR k + 1 FIN TANT QUE AFFICHER k 2. Donner, dans l'ordre, la liste des valeurs achées lors du calcul de l'algorithme à droite. # VARIABLES : u est du type Nombre k est du type Nombre # ALGORITHME : u PREND LA VALEUR POUR k ALLANT DE 1 A 4 : DEBUT POUR SI u >= k ALORS : DEBUT SI u PREND LA VALEUR u - 2*k FIN SI SINON : DEBUT SINON u PREND LA VALEUR u + k +1 FIN SINON AFFICHER u FIN POUR (*) Exercice 11. Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = (1 4x)e x. ( ) ( ) Etablir les variations de f. Calculer f et f Déterminer les limites de f en et en +.. (a) Construire le tableau de variation de f sur R. [ ] 1 (b) Tracer la courbe de f sur l'intervalle 2 ; 4. On pourra utiliser f(5/4) Exercice facultatif 4. Déterminer les réels a et b tels que la fonction F dénie par F (x) = (ax + b)e x soit une primitive de f sur R. 5. On note A(λ) l'aire comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses, la droite d'équation x = 1 4 et celle d'équation x = λ, pour λ 1 4. (a) Sur la gure précédente, hachurer le domaine du plan correspondant à λ =. (b) Calculer A(λ) en fonction de λ. (c) Déterminer la limite de A(λ) quand λ tend vers +. 5