Intégrales généralisées, cours complet

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1 ECS, Cours omple, hpire 7 Oore Inégrles générlisées, ours omple Ce hpire ompore d une pr un ours omple, une pge d exemples, une pge méhode e un résumé de deux pges. I Générliés I. Définiion Si R, e Rou = +, e <, on di que f possède une inégrle générlisée ou impropre sur [,[ si : f es définie e oninue sur [,[. l fonion x F(x) = x f ()d possède une ie finie lorsque x end vers (ou ), ie noée f ()d. De fçon symérique Si R ou =, R, e <, f possède une inégrle impropre sur ], ] si f es oninue sur ], ] e si l fonion x G(x) = x f ()d possède une ie finie, noée f ()d lorsque x end vers. Lorsque f possède une inégrle impropre sur ], ] ou [, [, on di que l inégrle impropre onverge. f = + = + = + f = l f n exise ps Remrques Au progrmme, on indique que f es oninue, elle uri pu êre seulemen oninue pr moreux sur [,[ ou ],] (les ies à guhe e à droie en ou poin de ],[, én finies). Lien ve les inégrles lssiques Si f es inégrle sur [,], lors f es inégrle sur [,[ (on fi l même hose sur ],]). Φ : x x f ()d es définie oninue sur [,], e x f ()d = Φ() = Φ(x) = x x f ()d. x< x< Don l noion d inégrle générlisée es ien une générlision de l inégrle lssique. I. Vries e fusses inégrles générlisées. Si es FINIE, f oninue sur [,[ e f possède une ie FINIE en, lors f es prolongele pr oninuié en une fonion f oninue sur [,], égle à f sur [,[ : don f ()d exise e x [,[, x f ()d = x f () d. x x Pr suie f () d = x x f () d exise e vu f ()d = f ()d, l inégrle onverge forémen! x< x< On di que l inégrle es fussemen impropre! Exemples : sin d, ln() d...ou dessin 4 i dessus.. Si es FINIE e si f es BORNÉE e oninue sur [,[, lors f ()d onverge ussi forémen. (Au niveu grphique, il n y ps de rnhe infinie, exemple 5 i-dessus). Tou d ord si f es posiive mjorée pr M, l fonion x x f ()d es roissne mjorée pr x x Md = M(x ) don pr M( ) : elle possède une ie finie L = f ()d lorsque x end vers (x < ), f ()d onverge. Sinon, il exise deux réels m e M els que: x [,[, m f(x) M, on pplique l méhode qui préède à x f (x) m, on monre que (f () m)d onverge e en joun md = m( ), on en dédui que f ()d onverge. On peu érire des versions nlogues de. e. en éhngen les rôles de e. Aure exemple : L inégrle I = ( + + sin( ( )) d, si elle exise, es l ie en de l fonion G : x x + + sin( )) d. Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene

2 ECS, Cours omple, hpire 7 Inégrles générlisées, ours omple L fonion + + sin( ) I = ( + + sin( )) d es l inégrle d une fonion oninue posiive sur ],], + +sin( ). Comme G esc sur ],], que G (x) = ( + x + sin( ( x)), G es déroissne e mjorée pr + ) d sur [,] don possède une ie en, égle à I = ( + + sin( )) d L inégrle J = ( + sin( prééden, J = I d = I. L fonion + sin( ) )) d n es plus une inégrle d une fonion posiive, mis on se rmène filemen u s 3. Les vries inégrles générlisées son elles pour lesquelles pour lesquelles se pose le prolème de onvergene : elles son rérisées pr le fi qu une orne es ou +, ou que les ornes son finies mis f n es ps ornée sur ],[ (plus préisémen non ornée uour de ou de, sur ], + ε], [ ε,[, ε R + ). Grphiquemen : l une des oordonnées u moins x ou y = f(x) es non ornée, il y une rnhe infinie. 4. Au niveu lul, lorsque l expression de f() n es ps définie e oninue en, que e soi une vrie ou une fusse inégrle générlisée, on doi luler f ()d omme ie lorsque x end vers de F(x) = x f ()d. Exemple : Si α >, α ln()d es une fusse inégrle générlisée, r on un prolongemen oninu en : l fonion f elle que f() = e f() = α ln() pour >, es oninue sur [,]. Si α <, α ln()d es une vrie inégrle générlisée, r l fonion α ln() n es ps ornée sur ],ε[. Dns ous les s, pour le lul, on inègre pr pries Φ(ε) = ε ln()d puis on éudie Φ(ε). ε On si que si α >, on doi rouver une ie finie (r l inégrle es fussemen impropre). Si, on (pr I.P.P.) [ ] ε ln() d = α+ α+ ln() α εα+ ε ε α+d = α+ ln(ε) + εα+, (α+) (α+) Si α =, ε ln() d = ln (ε). Conlusion : si α >, l inégrle onverge vers ln()d = ; si α, l inégrle diverge. (α+) Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene.

3 ECS, Cours omple, hpire 7 Inégrles générlisées, ours omple 3 I.3 Quelques exemples ypes d inégrles générlisées I.3. Inégrles de Riemnn (on pose β = α) en + ou en, si α = : l inégrle x d = x d = ln(x) diverge lorsque x end vers ou vers +. en + : l inégrle x α d = x en : l inégrle x α d = x d onverge vers β α+ = β = + α d = + d onverge vers β α+ = β = α d = β d α < β >. β d α> β <. en : on pose u =, e on se rmène u s prééden : ( )α d = d onverge α > β <. ( ) β en : on pose u =, e on se rmène u s prééden : ( )α d = Aenion, une règle solue : + α d = + d es oujours divergene! β 3 d ( ) β onverge α > β < I.3. Fonions puissnes, s α =, α =, α =. Aures inégrles de référenes en + : x e d = e x onverge vers + e d = e x d = x ln() onverge vers ln() si >. en : x e d = e x onverge vers e d =. en : x ln() d = xln(x) + x onverge vers ln()d = Fonion x e x Fonion x ln(x) I.3. Théorème : onvergene d une inégrle e primiives Si f es oninue sur ],[, lors f possède une primiive F sur ],[. L inégrle f()d onverge, si e seulemen si ee primiive F possède des ies finies en e en e f()d = x F(x) x F(x). -3 Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene

4 ECS, Cours omple, hpire 7 Inégrles générlisées, ours omple 4 II II. Règles de lul Inroduion On peu oujours (en prép ECS) fire des luls propres ve des inégrles lssiques, uilisn linérié, relion de Chsles, inégrions pr pries ou hngemens de vriles sur des inervlles fermés ornés, puis fire des pssges à l ie. Ave l relion de Chsles, on défini des inégrles générlisées sur ], [ (voire sur [, [ ], ]) sns diffiulé près voir éudié séprémen les prolèmes de onvergene en hun des poins riiques. De fçon générle, les égliés enre rois ermes (ex : linérié, Chsles, inégrion pr pries), son enore vries qund on psse ux ies, dès que deux ermes sur rois possèden une ie finie : el implique l exisene d une ie finie pour le roisième e el donne des énonés du ype de eux qui suiven. II. Linérié Si f e g son oninues sur [,[ (ou ],]), si f ()d e g ()d onvergen, si λ, µ son des réels, lors λf + µg es oninue sur [,[ (ou ],]) e (λf + µg)()d = λ f ()d + µ g () d. Aenion : e d es une inégrle fussemen impropre en (puisque l fonion peu êre prolongée pr oninuié). e d n es ps égl à e d d, somme de inégrles impropres divergenes! II.3 Chsles (inégrles plusieurs fois générlisées, fonions oninues pr moreux) Soien 3 réels,, els que < <. Si f es oninue sur ],] e sur [,[ lors f es oninue sur ],[;si les inégrles f () d e f () d onvergen, lors f ()d onverge e f ()d + f ()d = f ()d. De même si f es oninue sur [,[ e sur ],], e si les inégrles f () d e f () d onvergen, lors f possède une inégrle impropre f () d = f ()d + f ()d. On poser ussi pr onvenion f ()d = f () d pour les inégrles impropres. II.4 Inégrion pr pries Si f e g son de lssec sur ],[, si le produi fg possède des ies finies en e en, fg = l e fg = l, x x lors les inégrles générlisées (fg )()d e (f g)() d son de même nure;si l une des deux onverge, on l églié : (f g )()d = l l (f g)()d. II.5 Chngemen de vriles Si φ es de lssec sur ],[ e sriemen monoone, si α = φ() e = φ() x x (,,α,β ppriennen àr, les ies exisen forémen dnsr) e si f es de lssec sur ]α,β[ ou ]β,α[, lors les inégrles : β α f(u)du e f φ()φ ()d son de même nure;si l une des deux onverge, elles son égles. Remrque : φ es une ijeionc de ],[ sur ]α,β[ ou ]β,α[, on inérê à fire un leu de vriion de φ. Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene.

5 ECS, Cours omple, hpire 7 Inégrles générlisées, ours omple 5 III Règles de omprison pour les fonions posiives III. Ordre e inégrles générlisées, deux règles de ses On prolonge filemen les règles relives à l ordre (ou ux signes) sur les inégrles lssiques ux inégrles générlisées, r le pssge à l ie es ompile ve l ordre (u sens lrge).. Si f es oninue sur ],[, si f es posiive e ],[, lors l primiive x F(x) = x f ()d es une fonion roissne e l inégrle ser onvergene si e seulemen si F es ornée sur ],[.. Si f e g son oninue sur ], [, e si x ], [, f(x) g(x) lors : g ()d onverge f ()d onverge e f ()d g () d (Pr onrposiion f ()d diverge g ()d diverge). Remrque : Le héorème de l moyenne peu êre ussi générlisé, mis son inérê es ié u s des inégrles fussemen impropres puisqu il onerne des fonions ornées sur des inervlles ornés. Démonsrion : Pour le premier poin, es l règle : une fonion monoone possède une ie finie elle es ornée. Pour le deuxième, on prend ],[, les fonions x x f ()d e x x g ()d son roissnes e l inégliés sur les fonions implique l inégliés sur les inégrles : si x [,[, on x f ()d x g ()d, e si x ],], on x f ()d x g ()d, inégliés onservées si on psse à l ie en e en. g ()d onverge x x g ()d es ornée sur ],[ x x f ()d es ornée sur ],[ f () d onverge. III. Convergene solue Si f es oninue sur ],[, lors f es ussi oninue sur ],[. On di que : f ()d onverge solumen f () d onverge : l onvergene solue implique l onvergene. Pr pssge à l ie de l inéglié, on oien lorsque : f () d f () d). Remrque : l inégrle de Dirihle + sin() d onverge simplemen ps solumen (f. exeries). Démonsrion : on remrque d ord qu on peu déomposer une fonion oninue f en une somme de deux fonions oninues : l une posiive, f + : x mx(,f (x)), l ure négive f : x min(,f (x)). Si f es oninue, il en es de même pour f +, f e f = f + f : si l inégrle f () d = (f+ () f ())d onverge, pr mjorion les deux inégrles (de fonions posiives) f+ ()d e f ()d onvergen ussi, insi que (f+ () + f ())d = f ()d III.3 Crières de omprison f e g son deux fonions définies e oninue sur [,[ (ou ],]),, Si g e f son équivlenes en (ou en + ) e si f es posiive : f ()d e g ()d son de même nure. Si g es négligele pr rppor à f en (ou en + ), e si f es posiive, lors f ()d onverge g ()d onverge solumen. Remrque : Si f e g son équivlenes en e l une des deux fonions es posiive, el implique que l ure es posiive ussi sur un inervlle [, [, ve <. Remrque : Les règles énonées on leur onrposée : si g es négligele pr rppor à f en, ou dominée pr f en e si g ()d ne onverge ps, es que g ()d diverge, don que g () d diverge à foriori, e f ()d diverge ussi. Remrque 3 : On uilise esseniellemen es rières près voir herhé des équivlens de f ou de g : el psse souven pr des développemens iés uour des poins riiques (si l orne es infinie, on peu poser h = x e uiliser un développemen ié en ). Remrque 4, des s de divergene grossière : Si x [,+ [, on f(x) m> lors + mdx diverge + f(x)dx diverge. En priulier si f(x) = L e L > lors + f()d diverge. (Idem si L < ). x + d près l règle des équivlens pour des inégrles de fonions posiives + Ld e + Inversemen, l onvergene de + f(x)dx implique que, si x f(x) exise, lors x f () d divergen f(x) =, f.ex.4 4. Démonsrions Remrques préinires : on fi l démonsrion uniquemen lorsque f e g son oninues sur [, [, l inégrle én impropre en. Le s où f e g son oninues sur ],], se rie de fçon symérique.. Si [,[, e si f es oninue sur [,[, on remrque que : f () d onverge f ()d onverge; en effe f ()d es une inégrle propre e, ve Chsles, on voi que f () d e f () d son de même nure. Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene

6 ECS, Cours omple, hpire 7 Inégrles générlisées, ours omple 6. Si g () f () e f () : ε ],[, ε [,[, el que : x [ ε,[, on : ( ε)f(x) g(x) ( + ε)f(x). Don ε ( ε)f ()d, ε g () d, ε ( + ε)f ()d, pr suie ε g ()d, ε f ()d, puis g () d e f ()d son de même nure. 3. Si g () = o (f ()) : ε R +, ε [,[, el que : x [ ε,[ : f(x) εg(x) (en priulier, on hoisi souven ε =, f. rière de Riemnn plus loin) e on uilise le héorème e l onvergene solue. III.4 Crière de Riemnn Si f es oninue sur [,+ [, e + A + f ()d onverge [solumen]. ( f () ) = (ou α > el que + (α f ()) = ) lors : Démonsrion : on hoisi ε =, il exise A R +, el que : A f () e on si que l inégrle de Riemnn + d onverge. ( ) Si f es oninue sur ],], e si f () = (ou α < el que ( α f ()) = ) lors : f ()d onverge [solumen]. Démonsrion : on hoisi ε =, il exise α R +, el que : < α f () e on si que l inégrle de Riemnn d onverge. III.5 Convergene de séries e onvergene d inégrles Théorème : Si f es oninue, posiive, déroissne sur [N,+ [ (N enier), l inégrle + N f () d e l série f (n) n N son de même nure (onvergenes ou divergenes). Cel explique les ressemlnes u niveu des rières de onvergene, enre les inégrles e les séries de Riemnn. Démonsrion : On uilise les inégliés : pour ou k enier (k N), f(k + ) k+ k f ()d f(k). Pour x réel e p enier, x N e p N, on pose Φ(x) = x N f ()d, S (p) = p f (k). On somme : pour p enier (p N) on oien p k=n+ f (k) p N p f ()d k=n p k=n f (k + ) p k=n k=n k+ k f ()d p k=n f (k), soi f (k) soi S (p) f (N) Φ(p) S (p ) S (p) e on fi endre p vers + : omme x Φ(x) = x N f ()d roî, l fonion Φ possède une ie en + (finie ou égle à + ) égle à elle de l suie (Φ(p)) p N [finie ou + ], e pr endremens les suies (S (n)) n N e (Φ(n)) n N son de même nure y=f (x) y=f (x) Aenion : Pour ous es héorèmes, vérifier l exiude des hypohèses;suf menion onrire les réiproques son fusses. III.6 Fonions définies pr une inégrle impropre Si f es une fonion oninue sur ],[, si ],[ el que l inégrle impropre en f ()d onverge, lors l fonion F : x x f ()d es une primiive de f sur ],[. Démonsrion : On éri F(x) = f ()d + x f ()d, e on uilise les propriéés de l fonion définie pr une inégrle propre x x f ()d [l inégrle f () d es une onsne]. III.7 L fonion Gmm définie prγ(x)= + x e d III.7. Domine de définiion : l inégrle Γ(x) onverge pour ou réel x sriemen posiif. En effe l fonion x e = e (x )ln() es oninue sur ],+ [. * en +, l règle de Riemnn, ( x e ) = + + e(x+)ln() = (roissnes ompréees) prouve que Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene.

7 ECS, Cours omple, hpire 7 Inégrles générlisées, ours omple 7 x e = o ( ) + +, omme d onverge, + x e d onverge ussi. * en, on un équivlen x e x, l inégrle de Riemnn (d une fonion posiive) x d onverge si e seulemen si x > x>. Remrque : l inégrle es fussemen impropre en si x. III.7. L propriéé fonionnelle Γ(x + ) = xγ(x) { u () = On effeue une inégrion pr pries, en posn x, u () = x x v () = e, v () = e Les fonions u e v sonc sur ],+ [, e on : u()v () =, u ()v () = (pr roissnes omprées). + Don Γ(x + ) = + x e d = + x x e d = xγ(x), oues es inégrles én onvergenes. III.7. L vleur de Γ(n + ) = + n e d On déjà lulé Γ() = + e d =. On en dédui, ve l propriéé fonionnelle Γ(k) = (k ) Γ(k) si k, pr desene finie que : n, Γ(n) = (n )Γ(n ) = (n )(n )Γ(n ) =... = (n )!Γ() = (n )! Soi enore n N, Γ(n + ) = + n e d = n! L fonion Γ Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene

8 ECS, Cours omple, hpire 7 Inégrles générlisées, ours omple 8 IV. Éude de A = + Quelques exemples d uilision des rières de onvergene +3 ln() + d +3 ln() + es oninue, oninue sur ],+ [, ( non ornée u voisinge de ). En, +3 ln() + En +, +3 ln() + ln() : sur ],], ln() es posiif e ln()d onverge, don +3 ln() + d onverge. + Conlusion : A n exise ps, l inégrle +. Éude de B = + sin() e d : sin() e es oninue, oninue sur ],+ [. = : sur ],+ [, es posiif : + d diverge + +3 ln() + d diverge. +3 ln() + d es divergene. En, sin() e = : l inégrle es fussemen impropre en, sin() e d onverge. En + : l équivlen sin() sin() e e ne donne rien r les signes ne son ps onsns u voisinge de +. Pr mjorion, R +, sin() e e = e (r > e > ); on l équivlen: + e d onverge e R, e + : don e d onverge; don sin() e d onverge, e ussi. e + e = e. Or sin() e d onverge Ou enore en + (rière de Riemnn) : + e = + sin() e = (pr endremen e roissnes omprées puissnes e exponenielles) don il exise un réel A (A R + ) el que : [A,+ [ sin() e + ; omme A d onverge, + sin() A e d onverge solumen. Conlusion: B = 3. Éude de C = sin() e d + A sin() e d + + A 3 3 sin()ln() d : 3 3 sin()ln() es oninue, oninue sur ],[. En, sin() e d exise, ou enore l inégrle B onverge sin() ln() ln() : omme ],e ] ln(), ou es négif, e 3 ln() 3 = 3. Or 3d onverge, (inégrle de Riemnn posiive) : don pr mjorion l inégrle e (pour des fonions négives) En, on pose = u, 3 3 sin()ln() d onverge. 3 3 sin()ln() = 3 ( u) ( u) 3 sin( u)ln( u) = 3 u u +u 3 sin( u) ln( u) uilise des équivlens;si ε >, ε u 3 du = ε ( ) 3 d onverge, ε Conlusion : Comme il y onvergene en e en, l inégrle C exise. 3 ln() d onverge ussi, e pr équivlen 3 u u usin() = sin() u 3 ; ou es négif, on 3 3 sin()ln() d ussi. Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene.

9 ECS, Cours omple, hpire 7 Inégrles générlisées, ours omple 9 V Annexe : méhode d éude d une inégrle impropre V. Les inégrles de référene à onnîre Si β >, + d = d = β β β, si β <, d = d = β β β, + d +x = π, + e d = π. ln()d =, + e d = e d = = Γ(), ou + x e d = Γ(x), (Γ(x) onverge si x > ). V. Siuer, nlyser les prolèmes Pour éudier l exisene d une inégrle f ()d, on regrde le domine de oninuié de f, es une réunion d inervlles fermés, ouvers ou semi-ouvers : il y prolème hque fois qu on une orne ouvere : En + ou, il fu oujours jusifier l onvergene (il n y ps de prolongemen oninu en + ou ). Un seul s simple : si l fonion possède une ie non nulle en + ou, il y une divergene grossière. (il exise des inégrles générlisées omme + sin(e x )dx qui onvergen sns qu il y i de ie en + ) En ou en (orne finie), il y un prolème si l fonion n es ps ornée : si elle rese ornée (en priulier s il y une ie finie don un prolongemen possile pr oninuié), on à fire à une fusse inégrle générlisée, il n y ps de prolème de onvergene. V.3 Orgniser des omprisons qund il y un vri prolème On une inégrle générlisée + f ()d, A A f () d, ε f ()d ou +ε f () d, on orgnise l omprison u voisinge de l orne α qui pose prolème, don sur un inervlle V α = [A,+ [, ou ], A], ou [ ε,[ ou ],+ε]. Un hngemen de vrile u = ou u =, rnsfère le prolème de ] ε,[ ou ], + ε[ à un inervlle ],ε[. Dns erins s on peu poser ussi u = (ou u = ) pour rempler [A,+ [ (ou ], A]) pr], A]. Il y rois épes indispensles. Il s gi de omprer l fonion f à une fonion g de référene (en plusieurs épes évenuellemen). i. reherhe d inégliés (mjorer ou minorer), x V α, f(x) g (x) (ou g (x) f(x)), ii. ou un équivlen f α g ou une négligeilié f = o α (g), (uiliser si néessire un d.l.) ( iii. ou le rière de Riemnn, f () = o ) ( + β + β f () =, ou f () = o ) β f () =. β. Conrôle des signes : l fonion g de référene es posiive dns ous les règles de omprison. Un équivlen implique que f es posiive ussi sur V α. Sinon, lorsque le signe de f n es ps onsn sur V α, on éudie l onvergene de f. (Les inégrles qui onvergen sns êre solumen onvergenes omme + sin() d, seron à rier ps à ps ve des indiions fournies, il n y u progrmme que les résuls relifs à l onvergene solue).. Vérifier si l référene + A g ()d, A g ()d, ε g ()d ou +ε Pour les rières de Riemnn, l inégrle + A d onverge si β >, e ε β V.4 Les luls (ne les fire que s ils son expliiemen demndés) g ()d onverge ou diverge, e onlure! d onverge si β <. β L relion de Chsles, l linérié, un hngemen de vrile peuven permere de séprer e de simplifier erines quesions de onvergene. Mis enion de ien gérer les prolèmes : e d onverge, e d = e d d n ps de sens... Les hngemens de vriles ffines son uilisés dès l reherhe des ies ou des équivlens (u = ou u = ). Les ures hngemens de vriles son normlemen indiqués en ECS. Il fu que le hngemen soic sriemen monoone (don ijeif), il fu dériver pour rempler d en fonion de du, un leu de vriion perme de préiser les ornes de l nouvelle inégrle. Une inégrion pr pries de u v es un ouil de lul qui demnde deux préuions : * il fu que uv soi plus simple que u v... (une suie d inégrions pr pries doi finir de fçon simple). * luler d ord les ies l e l du produi uv en e pour uiliser u v = l l uv. S il n y ps des ies finies, il fu fire un lul propre, rempler ],[ pr [x,x ] ],[ puis éudier les ies lorsque x e x. Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene

10 ECS, Cours omple, hpire 7 Inégrles générlisées, ours omple VI VI. Résumé Générliés. Si R, R {+ }, e <, on di que f possède une inégrle impropre ou générlisée sur [, [, si f es oninue sur [,[ e si l primiive x F(x) = x f ()d possède une ie finie lorsque x end vers. Cee ie es noée f ()d ou f, on di que l inégrle générlisée (ou impropre), onverge. Remrque : e pssge à l ie déjà éé fi ve des inégrles propres : si f es oninue sur [,], l ppliion x F(x) = x f () d es une primiivec don oninue sur [,]. Si R { }, R, de fçon symérique on défini une inégrle générlisée sur ], ]. f = + = + = +. Les fusses inégrles générlisées son onvergenes (f. dessin 4 e 5 i-dessus) f = l f n exise ps Si es FINIE, si f esc sur [,[ e f possède une ie FINIE l en, lors f es prolongele en une fonion f C sur [,] : don x [,[, x f ()d = x f ()d e si x end vers, x f ()d end vers f ()d. x x Pr suie f ()d = x x f ()d exise e vu f ()d = f ()d, ç onverge! x< x< Si es FINIE, f es BORNÉE e oninue sur [,[, lors Si f M, lors f + M es posiive sur [,[, l ppliion x F(x) = x [,[ don (f () + M)d exise, e pr suie f = L inégrle f ()d onverge ussi. (f () + M)d es roissne mjorée sur (f () + M)d M ( ) exise ussi. f ()d es fussemen impropre si l oure d équion y = f (x) s insri dns un rengle orné 3. Inégrles à onnîre : * Si α < β >, + α d = + * Si α > β <, α d = d = β α+ = β * e d= + e d= (si >, + d = β * ln()d =. d = β α+ = ln() ) + d y = x y = (β > ) e y = x β x y = (β < ) e y = x β x diverge, β >, + d d d diverge onverge β <, + diverge β β d d diverge onverge β β y = e x, y = e x e y = ln(x) e d = + e d onverge ln()d onverge VI. Règles de lul On peu oujours fire des luls propres sur [,x] (ou [x,]) puis psser à l ie lorsque x end vers (ou ).. Chsles : Si < <, si f es oninue sur ],[ e sur ],[ e si les inégrles f () d e f () d onvergen, lors f ()d onverge e f ()d + f ()d = f () d.. Linérié : Si f e g son oninues sur ],[, si f ()d e g ()d onvergen, si (λ,µ) R, lors λf + µg es oninue sur ],[ e (λf + µg) ()d = λ f () d + µ g ()d. 3. Inégrion pr pries : Si u e v son de lssec sur ],[, si le produi uv possède des ies finies en e en, (uv)(x) = l e (uv)(x) = l, lors les inégrles générlisées x x (uv )()d e (u v)() d son de même nure si l une des deux onverge, l ure onverge e on l églié : (uv )() d = l l (u v)()d. 4. Chngemen de vrile : Si φ esc e sriemen monoone sur ],[, si α = φ() e β = φ() x x Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene.

11 ECS, Cours omple, hpire 7 Inégrles générlisées, ours omple (,,α,β R, les ies exisen forémen dnsr) e si f esc sur ]α,β[ ou ]β,α[, lors les inégrles β α f(u)du e f φ() φ () d son de même nure. Si l une onverge, on β α f(u)du = f φ()φ () d. On di qu on posé u = φ(), l ppliion φ es une ijeion de ],[ sur ]α,β[ ou ]β,α[, suivn que φ roî ou déroi sriemen. VI.3 Règles de omprison pour les fonions posiives. Si f es oninue sur ],[, si f es posiive e ],[, l primiive x F(x) = x f ()d es une fonion roissne e l inégrle f ()d ser onvergene si e seulemen si F es ornée sur ],[.. Si f e g son oninues sur ],[, si x ],[, f(x) g(x) lors : g ()d onverge f ()d onverge. Cr pour ],[, x F(x) = x f ()d es une fonion roissne mjorée pr g ()d e minorée pr g ()d. 3. On di que l inégrle f ()d es solumen onvergene si l inégrle f () d onverge. L onvergene solue implique l onvergene. On en plus une mjorion : si <, f ()d f () d (On déompose f oninue en une somme de fonions oninues : l une posiive, f + : x mx(,f (x)) = (f (x) + f (x) ), l ure négive f : x min(,f (x)) = (f (x) f (x) ). E f = f+ f : si l inégrle f () d = (f+ () f ())d onverge, pr mjorion les deux inégrles (de fonions posiives) f+ () d e f ()d onvergen ussi, insi que (f+ () + f ()) d = f ()d ) 4. Soien f e g son deux fonions oninues sur [,[ (resp. ],]) e si f es posiive, Si g (x) f (x) (resp. g (x) f (x) ) : x x + f ()d e g ()d son de même nure. (Si g (x) f (x), on hoisi ε >, pr exemple ε = x, il exise ε [,[ el que x [ ε,[, ( ε)f (x) g (x) ( + ε)f (x). En ppliqun l règle. sur [ ε,[ on rouve que ε f ()d e ε g ()d son de même nure. On psse de [ ε,[ à [,[ ve Chsles, en joun des inégrles propres) Si g (x) = o x (f (x)), (resp. en + ), lors f ()d onverge g () d onverge. (Démonsrion nlogue : soi ε >, ε [,[ el que x [ ε,[, g (x) εf (x) e on uilise l règle. de omprison.) 5. Si f es oninue sur [x,+ [, si f (x) = l e l lors l inégrle + x + x f (x)dx diverge grossièremen. Si l = +, on minore f pr M > sur [A,+ [, + A Md diverge don + fd diverge... A Si l R + on uilise les équivlens f (x) l > : on lule x x + x ld = l (x x ), + don x ld diverge. Si l R ou l =, on remple f pr f e on se rmène ux s préédens. + L onvergene de l inégrle x f (x) dx implique que f n ps de ie ou que f une ie nulle en Crière de Riemnn : on ompre l fonion f e une fonion puissne ( β Si f esc sur [,+ [ e f () ) ( = (ou β > el que β f () ) = ) lors + f () d onverge + + (on hoisi ε =, il exise A R + el que : A f () + e on si que A d + ou d onverge.) A ( ) ( β Si f es oninue sur ],] e f () = (ou β < el que β f () ) = ) lors f () d onverge. (On hoisi ε =, il exise α R +, el que : < α f () α e on si que d onverge). Si f es oninue sur ],[, on peu rempler pr ou pour éudier l onvergene de f e si l une des ornes es, on uilise l onvergene de d ou de d pour β >... β 7. Si f es oninue posiive déroissne sur [n,+ [ (n enier), + n f () d e f (n) son de même nure. n n Démonsrion : on endre f sur [k,k + ], on inègre, si k n, f (k + ) k+ f ()d f(k), k on somme les inégliés de k = n à n e on fi endre n vers +, ou onverge ou diverge simulnémen. 8. Fonion définie pr une inégrle impropre : pour éudier x x f, f énc sur ],[, on hoisi ],[, on éudie l onvergene de f, le rese de l éude se fi omme l éude de x x f, à l onsne f près (Chsles). 9. L fonion Γ : x Γ(x) = + x e d es définie surr +, Γ(x + ) = xγ(x), Γ(n + ) = + n e d = n! Lu Bouier, Lyée Cmille Verne, Vlene