Kit de survie - Bac S

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1 - Opértions sur les inéglités Kit de survie - Bc S Inéglités - Etude de signe Règles usuelles : Pour tout : x < y x + < y + même sens Pour tout k > : x < y kx < ky même sens Pour tout k < : x < y kx > ky sens contrire Pour x et y de même signe : x < y x > y sens contrire Pour x > et y > : x < y x < y même sens Pour x > et y > : x < y x < y même sens Pour x > et y > : x < y lnx < lny même sens Pour tous x et y : x < y e x < e y même sens Si f croissnte * : x < y f x < f y même sens Si f décroissnte * : x < y f x > f y sens contrire * sur un intervlle contennt x et y Exemples : Schnt que < x < 5, que peut-on en conclure pour x? < x < 5 > x > 5 sens contrire > x > x < sens contrire Comment montrer que pour tout x >, x < x? Pour tout x > : < x < x x < x x < x cr x > x > sens contrire x Rppels : On peut toujours jouter membre à membre deux inéglités. On peut multiplier membre à membre deux inéglités si tous les termes sont positifs. On ne peut ps soustrire ou diviser membre à membre deux inéglités. Encdrement de x y : On détermine { d bord un encdrement { de y, puis on effectue l somme membre à membre vec celui de x. < x < < x < 4 < y < < x y < 7. < y < 4 sens contrire Encdrement de x : les bornes de l encdrement de x étnt de même signe - idem pour y y On détermine d bord un encdrement de, puis il fut s rrnger pour multiplier membre à membre deux encdrements dont y tous les termes sont positifs. { 8 < x < 9 Exemple : < y < 4 8 < x < 9 4 < y < sens contrire < x y <. { < x < sens contrire < x < Exemple : < y < < y < sens contrire < x y < < x y < sens contrire. Kit de survie - Bc S c P.Brchet -

2 Méthode importnte à connître : vlble pour les fonctions et les suites Pour montrer que A < B, il est dns certins cs plus fcile de clculer A B, puis en étudint son signe de montrer que A B <. Exemple : Comment montrer que si x < lors x 8 x 9 <? x 8 Pour tout x <, x 9 = + {}}{ x x 9 { x > <. Cr, x < x < } {{ } Exemple : Comment montrer que si < U n < lors 8U n + 8U n + U n + 6 = {}}{ 5U n 5 U n + 6 } {{ } + U n + 6 <? { x > x 9 < 7 < { { 5Un < 5 <. Cr, < U n < 6 < U n + 6 5Un 5 < < U n Signe de x + b On détermine l vleur de x qui nnule x + b, puis on pplique l règle : "signe de près le ". x x+b b/ + signe de signe de - Signe de x + bx + c On clcule l discriminnt = b 4c suf cs évidents Si <, on pplique l règle : "toujours du signe de ". x + x²+bx+c Signe de Si =, on clcule l rcine double : x = b. On pplique lors l règle : "toujours du signe de et s nnule pour x = x ". x x + x²+bx+c Signe de Signe de Si >, on clcule les deux rcines : x = b et x = b +. On pplique lors l règle : "signe de à l extérieur des rcines". x x x + x²+bx+c Signe de Signe de - Signe de on suppose que x < x -4 Autres signes on ne s intéresse ps ici ux cs où on utilise les vritions d une fonction uxiliire c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

3 Inéglités à connître : Pour tout x, x, e x >, cosx, sinx. lnx < pour < x < lnx > pour x >. Exemples d ppliction : Pour tout x, + cosx >, sinx, x + <. ex Dns les utres cs près voir fctorisé u mximum : Pour étudier le signe d une expression Ax sur un intervlle I dns le cs où A représente une fonction continue sur I, on résoud l inéqution Ax on cherche ce qui nnule l expression et où mettre les signes +. Exemple : Etude du signe de lnx sur I = ];+ [. lnx lnx e x. On en conclut que l expression s nnule pour x = e et qu il fut mettre le signe + pour < x < e : x e ln x + + Exemple : Etude du signe de e /x sur I = ];+ [. e /x e /x ln x x ln. On en conclut que l expression s nnule pour x = et qu il fut mettre le signe + pour < x < ln ln : x /ln + e /x + -5 Utilistion des vritions d une fonction pour déterminer son signe Les cs les plus clssiques : minimum positif mximum négtif + + f croissnte f décroissnte Suites - Etude du sens de vrition Méthode l plus fible - convient dns tous les cs Si pour tout n n, U n+ U n lors l suite est croissnte à prtir de n. Si pour tout n n, U n+ U n lors l suite est décroissnte à prtir de n. Méthode : pour les suites dont tous les termes sont strictement positifs Si pour tout n n, U n+ U n lors l suite est croissnte à prtir de n. Si pour tout n n, U n+ U n lors l suite est décroissnte à prtir de n. Kit de survie - Bc S c P.Brchet -

4 Méthode : pour les suites définies de fçon explicite pr U n = f n. Si f est croissnte sur [;+ [ lors l suite est croissnte. Si f est décroissnte sur [;+ [ lors l suite est décroissnte. - Suites rithmétiques On psse d un terme u terme suivnt en joutnt toujours le même nombre ppelé rison de l suite. Pour tout n : U n+ = U n + ; U n = U + n ; U n = U p + n p Si pour tout n, U n+ U n = constnte lors U n est une suite rithmétique de rison égle à l constnte. U p +U p+ + +U n = n p + U p +U n er terme + dernier = nb de termes Si l rison est positive, l suite est croissnte. Si l rison est négtive, l suite est décroissnte. Les points de l représenttion grphique d une suite rithmétique se situent sur une même droite. Soit U n l suite rithmétique de er terme U = et de rison =. U = U + = + = ; U = U + = + = Pour tout n, U n = U + n = + n. U +U + +U = + = 87. ttention : le nb de termes est égl à ps à! L suite est strictement croissnte cr >. - Suites géométriques On psse d un terme u terme suivnt en multiplint toujours pr le même nombre b ppelé rison de l suite. Pour tout n : U n+ = b U n ; U n = b n U ; U n = b n p U p Si pour tout n, U n+ U n = constnte lors U n est une suite géométrique de rison égle à l constnte. U p +U p+ + +U n = U p bn p+ bnb de termes = er terme pour b b b Pour étudier le sens de vrition, on clcule U n+ U n et on fctorise. remrque : si b < l suite est ni croissnte, ni décroissnte - il est donc inutile de fire le clcul Soit U n l suite géométrique de er terme U = 5 et de rison b =. U 4 = b 4 U = 4 5 = 8 ; U = b U = 5 = 5 Pour tout n, U n = b n U = 5 n. U +U + +U 8 = 5 9 = 555. ttention : le nb de termes est égl à 9 ps à 8! U n+ U n = 5 n+ 5 n = 5 n = 5 n >. L suite est croissnte. -4 Risonnement pr récurrence Principe générl : Pour montrer qu une propriété dépendnt d un entier n est vrie pour tout n n : on vérifie que l propriété est vrie u rng n. on suppose l propriété vrie u rng p en trduisnt ce que cel signifie et on montre qu lors l propriété est vrie u rng p +. on conclut en disnt que l propriété est donc vrie pour tout n n. Montrons pr récurrence que l suite U n définie pr U = et U n+ = +U n est positive et mjorée pr : U. L propriété est vrie u rng. On suppose l propriété vrie u rng p, c est à dire que U p. On lors : +U p 4 +U p U p+. L propriété est lors vrie u rng p +. Elle est donc vrie pour tout n. 4 c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

5 -5 Limites de suite Une suite U n est dite convergente s il existe un réel l tel que lim U n = l. n + L suite est dite divergente si elle n dmet ps de limite ou si lim U n = ± n + Les théorèmes sur les opértions vec les limites de fonction restent vlbles pour les suites. Pour les suites définies pr U n = f n : si f dmet une limite en + lors lim U n = lim f x. n + x + dns l prtique, on peut continuer à utiliser n comme vrible n lim n + n + = lim n = lim = n + n + n + n + n n cr lim =, donc lim n + n + = et lim n + n n + = +. n + n Limite de b n : si < b < lors lim n + bn =. si b > lors lim n + bn = +. si b < lors l suite de terme générl b n n dmet ps de limite. Exemples : n lim = + cr >. n + lim n n + = cr < <, donc lim n = et lim n n + n + =. Théorémes de comprison : si pour tout n n, U n V n et si lim V n = + lors lim U n = +. n + n + si pour tout n n, U n W n et si lim W n = lors lim U n =. n + n + si pour tout n n, V n U n W n et si lim V n = lim W n = l l réel lors lim U n = l. n + n + n + Pour tout n, n cosn n n et lim n + n = lim n + Convergence des suites monotones : toutes suite croissnte et mjorée est convergente. toutes suite décroissnte et minorée est convergente. n cosn =. Donc, lim =. n + n Suites djcentes : Deux suites U n et V n sont dites djcentes si l une est croissnte, l utre décroissnte et si lim n + U n V n =. Deux suites djcentes sont convergentes et elles dmettent l même limite. Soit U n et V n les suites définies pr U n = n et V n = + n. Pour tout n, U n+ U n = n + + n = nn + >. U n est croissnte. Pour tout n, V n+ V n = + n+ n = n = n <. Vn est décroissnte. De plus, lim n + U n V n = n n = cr < <. Les suites sont djcentes. Kit de survie - Bc S c P.Brchet - 5

6 -6 Suites récurrentes : U n+ = f U n Si une suite U n définie pr U n+ = f U n dmet une limite réelle l et si l fonction f est continue sur un intervlle contennt l lors on l = f l. l est une solution de l éqution x = f x Soit U n, l suite définie pr U = et U n+ = U n 4 +. Représenter grphiquement les premiers termes de l suite : On trce d bord l représenttion grphique de l fonction f définissnt l reltion de récurrence ici on f x = x + et l 4 droite d éqution y = x. On prt de U en bscisse : l ordonnée du point de l courbe correspondnt à cette bscisse nous donne U [ sur le grphique]. Pour déterminer U = f U, il nous fut rbttre U sur l xe des bscisses [ sur le grphique] en utilisnt l droite d éqution y = x. Dès lors, U est l ordonnée du point de l courbe d bscisse U [ sur le grphique]. Pour poursuivre l construction, on répéte le procédé en rbttnt U sur l xe des bscisses... y=x U U y= 4 x + U U U b Montrer pr récurrence que l suite est mjorée pr 4 : u rng : U = 4. on suppose l propriété vrie u rng p, c est à dire que U p 4. Alors U p 4 U p U p+ 4. L propriété est lors vrie u rng p +. Elle est donc vrie pour tout n. c Montrer que l suite est croissnte et conclure sur s convergence : Pour tout n, U n+ U n = U n 4 + U n = 4 4 U n cr U n 4. L suite est donc croissnte et comme elle est mjorée, elle converge. d Déterminer l limite de l suite : L suite converge vers un réel l et l fonction f définie pr f x = x + est continue sur R, donc l est une solution de l éqution 4 x = f x x = x x = x = 4. L éqution dmettnt 4 comme unique solution, on en déduit que lim n + U n = 4. - Prité - Périodicité Etude de fonction f est pire si D f est symétrique pr rpport à et si f x = f x pour tout x D f. L courbe dns un repère orthogonl est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. f est impire si D f est symétrique pr rpport à et si f x = f x pour tout x D f. L courbe dns un repère orthogonl est symétrique pr rpport à l origine. une fonction f définie sur R est périodique de période T si f x + T = f x pour tout x. L courbe dns un repère orthogonl est invrinte pr l trnsltion de vecteur T i. 6 c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

7 - Axe et centre de symétrie C f dmet l droite d éqution x = comme xe de symétrie dns un repère orthogonl si pour tout h tel que ± h D f, f + h = f h. C f dmet le point Ω,b comme centre de symétrie dns un repère orthogonl si pour tout h tel que ± h D f, f + h + f h = b. - Limites {}}{ Les qutres cs de forme indéterminée sont : + ; + ± {}}{ ; ± {}}{ ; ± {}}{ Polynômes et fonctions rtionnelles en ± : on met l plus grnde puisssnce de x en fcteur en hut et en bs, puis on simplifie. Sitution en + : lnx = + ; lim lim x + ln x α x α> x + ex = + e x Exemples : lnx lim = le plus fort est en bs x + x lim x + e x = + le plus fort est en hut x Méthode générle : Mettre le plus fort en fcteur en hut et en bs. e x + lnx lim x + x + = lim e x x + x + lnx e x e x lnx = + cr lim = + et lim + x + x x x + e x = Sitution en : lim x ex = ; lim x xα e x = α > Méthode générle : on essie de fire pprître ces limites. Si cel ne suffit ps, on peut essyer le chngement de vrible X = x Sitution en : lim lnx = ; x x> lim x sinx x lim x x> cosx = ; lim = x x x α ln + x e x lnx = α > ; lim = ; lim = x x x x Méthode générle : on essie de fire pprître ces limites. Si cel ne suffit ps, on peut essyer le chngement de vrible X = x Kit de survie - Bc S c P.Brchet - 7

8 {}}{ Dns le cs d une forme indéterminée du type, on peut essyer d utiliser l propriété suivnte : f x f Si f est dérivble en lors lim = f. x x Pour les expressions vec rcine crrée, on peut essyer de multiplier en hut et en bs pr l expression conjuguée pour lever l forme indéterminée. -4 Asymptotes Si lim f x = ± lors l droite verticle d éqution x = est symptote à C f. x Si lim f x = b lors l droite horizontle d éqution y = b est symptote à C f. x ± Si lim f x x + b = lors l droite d éqution y = x + b est symptote oblique à C f. x ± De fçon générle, si lim f x gx = lors les courbes C f et C g sont symptotes. x ± Pour déterminer l position reltive entre deux courbes C f et C g, on étudie le signe de f x gx méthode ussi vlble pour les symptotes horizontles et obliques : - si f x gx pour tout x d un intervlle I, lors C f est située u dessus de C g sur I. - si f x gx pour tout x d un intervlle I, lors C f est située en dessous de C g sur I. -5 Dérivbilité - Tngente f x f f est dérivble en si lim existe et est égle à un réel. x x si l limite n existe que pour x >, f n est dérivble qu à droite. si l limite n existe que pour x <, f n est dérivble qu à guche. Si f est dérivble en lors une éqution de l tngente à C f u point d bscisse est : y = f + f x Pour déterminer les bscisses des éventuels points de C f où l tngente est prllèle à une certine droite d éqution y = mx+ p, il suffit de résoudre l éqution f x = m. les coefficients directeurs devnt être égux -6 Continuité - Eqution f x = k f est continue en un point d un intervlle I D f si f dmet une limite en et si lim x = f. Si f est dérivble en lors f est continue en. Si f est continue et strictement croissnte ou strictement décroissnte sur un intervlle I et si k f I lors l éqution f x = k dmet une unique solution x dns I. Pour déterminer une vleur pprochée de x, on utilise l méthode du "blyge". l fonction f définie pr f x = x + e x est continue et strictement croissnte sur I = [,] cr f est dérivble et f x = + e x > sur I. De plus est compris entre f et f. On peut donc en conclure que l éqution f x = dmet une unique solution x dns [,]. Pour déterminer une vleur pprochée de x à près, on blye l intervlle vec un ps de, : x,,,,4,5,6,7,8,9 f x,,4,6,9, On rrêté les clculs près,5 cr été "frnchi" pr f x. En effet, d près le tbleu, f,4 < < f,5. On peut donc en déduire que :,4 < x <,5. Conclusion :,4 est une vleur pprochée de x pr défut à près et,5 est une vleur pprochée de x pr excés à près. 8 c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

9 4 Logrithme et Exponentielle lnx n existe que si x > Si > et b > : lnb = ln + lnb ; ln = ln ; ln = ln lnb ; ln b α = αln ; ln = ln lne = ; ln = ; lnx < si < x < ; lnx > si x > lnx = x ; lnu = u u > u ln = lnb = b ; ln < lnb < b ; ln lnb b y = e x lny = x ; lne x = x ; e lnx = x pour x > Pour tout x, e x > ; e = ; e = e Pour tous réels et b : e e b = e +b ; e = e ; e e b = e b e α = e α e x = e x ; e u = u e u e = e b = b ; e < e b < b ; e e b b Pour les équtions et inéqutions vec logrithme, ne ps oublier de commencer pr définir les conditions d existence les expressions contenues dns un logrithme doivent être strictement positives. Exemples d équtions et d inéqutions : lnx + ln = 5. Condition d existence : x >. Avec cette condition : lnx + ln = 5 lnx = 5 x = e 5 x = e5. S = { } e 5 lnx +. Condition d existence : x + > x >. Avec cette condition : lnx + x + e x e. S = ] ;e ] e x e x = X X = vec X = e x. = 6 ; X = ou X =. D où, e x = impossible ou e x = x = ln. S = {ln} e x < 5e x e x < 5 e x ex < 5 cr e x > x < ln5 x < ln5. S = 5 Primitives ] ; ln5 [. F est une primitive de f sur un intervlle I si F est dérivble sur I et si pour tout x de I, F x = f x. Si F est une primitive de f sur intervlle I lors toutes les primitives de f sur I sont de l forme Fx = F x +C où C est une constnte réelle. Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Soit f définie sur R pr f x = x. f est continue sur R, elle y dmet donc des primitives. Une primitive de f sur R est l fonction F définie pr Fx = x cr pour tout x, F x = f x. Les primitives de f sur R sont les fonctions F définies pr Fx = x +C. L primitive de f sur R qui s nnule pour x = est l fonction F définie pr Fx = x. Kit de survie - Bc S c P.Brchet - 9

10 Primitives des fonctions usuelles f définie pr primitives sur I I f x = Fx = x +C R f x = x n n N Fx = xn+ n + +C f x = x n n N;n > Fx = +C ] ;[ ou ];+ [ n xn f x = x Fx = x +C ];+ [ R f x = cosx Fx = sinx +C R f x = sinx Fx = cosx +C R f x = cos x = + tn x Fx = tnx +C ] π + kπ;+ π + kπ [ k Z f x = x Fx = lnx +C ];+ [ f x = e x Fx = e x +C R f x = x α α R;α Fx = xα+ α + +C Primitives : formules générles ];+ [ forme de f primitives de f exemples f x = αu x + βv x Fx = αux + βv x +C f x = x + x + Fx = x + x + x +C f x = U x [Ux] n n N Fx = [Ux]n+ n + +C f x = 44x + Fx = 4x + +C f x = U x [Ux] n n N;n > ;Ux Fx = +C n n [Ux] f x = U x Ux Ux > Fx = Ux +C f x = U x cos[ux] Fx = sin[ux] +C f x = U x sin[ux] Fx = cos[ux] +C f x = U x Ux Ux Fx = ln[ux] +C siux > Fx = ln[ Ux] +C siux < f x = U x e Ux Fx = e Ux +C f x = x x + Fx = x + +C f x = x + Fx = x + +C f x = 4xcosx + Fx = sinx + +C f x = 5sin5x Fx = cos5x +C f x = x x + Fx = lnx + +C f x = xe x Fx = e x +C f x = U x [Ux] α α R;α ;Ux > Fx = [Ux]α+ α + +C f x = xx + Fx = 5 x + 5 +C c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

11 Recherche prtique d une primitive : Pour les fonctions usuelles, on utilise directement les formules. Pour utres fonctions, il fut d bord identifier l «forme» qui ressemble le plus à l fonction. Si on l forme excte, on utilise directement l formule correspondnte. Dns le cs contrire, on écrit l forme excte qu il fudrit pour l fonction f et on rectifie en multiplint pr le coefficient déqut. Exemples :. f est continue sur R, elle y dmet donc des primitives. Soit f définie pr f x = cos 4x + π 6 On cherche à utiliser l «forme» u cosu dont une primitive est sinu. L «forme excte» serit 4 u cos 4x + π. On écrit donc que f x = }{{ 6 } 4 cosu coefficient sin 4x + π. }{{ 6 } sinu Une primitive de f sur R est donc F définie pr Fx = 4 coefficient Exemple «clssique» : primitive sur ];+ [ de f définie pr f x = lnx x. 4cos 4x + π. }{{ 6 } forme excte Il suffit d écrire que f x = x lnx. On lors l forme excte u u dont une primitive est u. Une primtive de f sur ];+ [ est donc F définie pr Fx = lnx. Détermintion d une primitive dont on connît l forme : Soit f définie pr f x = 4x+e x. On demnde de chercher une primitive de f sur R sous l forme d une fonction F définie pr Fx = x + be x. Il suffit de dire que l on doit voir, pour tout x, F x = f x. Ce qui donne : e x + x + be x = 4x + e x pour tout x x + + b = 4x + pour tout x D où, on doit voir = 4 et + b = pr identifiction des deux polynômes. On obtient = 4 et b =. Une primitive est donc F définie pr Fx = 4x e x. Soit f une fonction continue sur un intervlle I : Pour tous et b de I, Z b Pour tout de I, l fonction F définie pr Fx = Z e lnx x dx = 6 Intégrtion f x dx = [Fx] b = Fb F où F est une primitive de f sur I. [ lnx ] e = lne Z x ln f t dt est l primitive de f sur I qui s nnule pour x =. =. Propriétés de l intégrle : Pour f et g continues sur un intervlle I et pour, b et c de I : Z Z b f x dx = f x dx. Zb b Z c Z c f x dx + f x dx = f x dx Reltion de Chsles Z b b Z b Z b f + gx dx = f x dx + gx dx linérité de l intégrle Pour tout réel k, Z b k f x dx = k Z b Si b et si f x sur [,b] lors Si b et si f x sur [,b] lors Z b f x dx linérité de l intégrle Z b Si b et si f x gx sur [,b] lors Z b f x dx f x dx f x dx Si b et si m f x M sur [,b] lors mb Z b Z b gx dx f x dx Mb inéglité de l moyenne Kit de survie - Bc S c P.Brchet -

12 Vleur moyenne d une fonction sur un intervlle Si f est continue sur [,b], l vleur moyenne de f sur [,b] est égle à Z b f x dx b Intégrtion pr prties Pour u et v dérivbles sur un intervlle I contennt et b telles que leurs dérivées soient continues sur I : Z b Z b uxv x dx = [uxvx] b u xvx dx En générl, le but de l mnoeuvre est de se débrrsser du terme qui gêne pour l recherche d une primitive. Si f x est de l forme polynômee x ou polynômesinx ou polynômecosx, il est conseillé de prendre ux = polynôme. Exemples : Z π Z π x cosx dx = [ x sinx ] π u v u v u Z Un cs clssique : e Z e Z e lnx dx = lnx dx = [ lnx x ] e u v u v sinx dx = [ cosx] π = 4 v x u x v dx = e [x] e = e e + = Clculs d ires f et g sont deux fonctions continues sur [,b]. Si pour tout x [,b], f x gx lors l ire de l prtie du pln comprise entre les courbes de f et g et les droites d éqution x = et x = b est égle à Z b gx f x dx en unités d ire. «intégrle de l plus grnde moins l plus petite» Si pour tout x [,b], f x lors l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe de f, l xe des bscisses et les droites d éqution x = et x = b est égle à Z b f x dx en unités d ire. Si pour tout x [,b], f x lors l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe de f, l xe des bscisses et les droites d éqution x = et x = b est égle à Z b f x dx en unités d ire. Remrques : Pour voir l ire en cm, il fut multiplier le résultt en unités d ire pr l vleur en cm d une unité sur l xe des bscisses et pr l vleur en cm d une unité sur l xe des ordonnées. Pour déterminer l ire entre une courbe et l xe des bscisses, il fut d bord étudier le signe de l fonction sur l intervlle en question. Pour déterminer l ire entre deux courbes, il fut d bord étudier leur position reltive sur l intervlle en question. 7 Equtions différentielles Dire que f est une solution sur un intervlle I de l éqution différentielle y = y signifie que, pour tout x de I, f x = f x. Les solutions dns R de l éqution différentielle y = y sont les fonctions définies pr f x = C e x où C est un réel quelconque. Les solutions dns R de l éqution différentielle y = y sont les fonctions définies pr f x = C e x. Dire que f est une solution sur un intervlle I de l éqution différentielle y = y + b signifie que, pour tout x de I, f x = f x + b. Les solutions dns R de l éqution différentielle y = y + b sont les fonctions définies pr f x = C e x b où C est un réel quelconque. c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

13 Les solutions dns R de l éqution différentielle y = y + sont les fonctions définies pr f x = C e x. Exemples clssiques d équtions différentielles se rmennt ux formes précédentes Exemple : Montrer que g définie pr gx = x + est une solution de l éqution différentielle E : y + y = 4x +. Pour tout x, g x + gx = + 4x + = 4x +. g est bien une solution de E. b Montrer que dire que f est une solution de E équivut à dire que f g est une solution de l éqution différentielle E : y + y =. f solution de E f x + f x = 4x + pour tout x f x + f x = g x + gx pour tout x cr g est une solution de E f g x + f gx = pour tout x f g est une solution de E. c Résoudre E et en déduire les solutions de E. Les solutions de E sont définies pr f x = Ce x. f solution de E f gx = f x pour tout x. Donc, les solutions de E sont définies pr f x = f x + gx = Ce x + x +. Exemple : Montrer que dire que f est une solution de E : y + y = y à vleurs strictement positives équivut à dire que f solution de E : y = y. Comme f est dérivble à vleurs strictement positives, est ussi dérivble. f f solution de E = f f f f = f f = f f f + f = f f solution de E. b Résoudre E et en déduire les solutions de E. Les solutions de E sont définies pr f x = Ce x +. Donc, les solutions de E sont définies pr f x = f x = Ce x +. est une 8- Forme lgébrique - Clculs dns C 8 Complexes Tout complexe s écrit de fçon unique sous l forme lgébrique z = + ib et b réels vec i =. est l prtie réelle nottion : Rez et b est l prtie imginire nottion : Imz. { + ib = + ib { =, b,,b réels b = b Le conjugué de z est z = ib. Pour écrire un quotient de complexes sous forme lgébrique, on multiplie en hut et en bs pr le conjugué du dénominteur s il n est ps réel. z z + z = z + z ; z z = z z ; z = z z. z Exemples : + i + i i 6 4i + i i = = + i + i i + = 8 i Résolution de l éqution + iz = + i : z Pour z, on obtient : + iz = + iz = + iz z = + i = i + i =. 5 Kit de survie - Bc S c P.Brchet -

14 Résolution de l éqution + iz = z + i : En posnt z = x + iy x et y réels, on : + ix + iy = x iy + i x y + ix + y = x + i y + D où, z = + i. { x y = x x + y = y + { x = y = Résolution de z + bz + c =, b et c réels : = b 4c Si >, deux solutions réelles : z = b Si =, une solution réelle double : z = b. et z = b +. Si <, deux solutions complexes conjuguées : z = b i z + z + = = = i. Deux solutions : z = i et z = + i. Remrque : On fctorise les polynômes dns C comme dns R. 8- Forme trigonométrique - Module et rguments et z = b + i. Pour z = + ib et b réels : Le module de z est : z = + b = zz. cosθ = z Si z, tout réel θ tel que sinθ = b est un rgument de z. On note rg z = θ + kπ k Z z Pour tout θ, on pose e iθ = cosθ + isinθ. e iθ = ; e iθ = e iθ ; e iθ+kπ = e iθ ; e iθ e iθ = e iθ+θ ; e iθ = e iθ ; eiθ = e iθ θ ; e iθ n = e inθ e iθ Si un complexe non nul dmet r comme module et θ comme rgument lors z = r e iθ forme trigonométrique ou forme exponentielle Si z = r e iθ vec r > lors z = r et rg z = θ + kπ. r e iθ = r e iθ vec r > et r > r = r et θ = θ + kπ. Exemple de pssge de l forme lgébrique à l forme trigonométrique : Soit z = + i. z = cosθ = + =. sinθ = θ = π 6. D où z = ei π 6. Exemple de pssge de l forme trigonométrique à l forme lgébrique : z = 4e i π π π 4 = 4 cos + isin = i = + i. Autres exemples clssiques d utilistion de l forme trigonométrique : Clcul de i. Il est hors de question de fire le clcul sous forme lgébrique. On détermine d bord l forme trigonométrique de z = i : z = + = cosθ = =. sinθ = θ = π 4. D où z = e i π 4. = Ainsi, i = z = e i π 4 = 64 e iπ = 64cos π + isin π = 64 4 c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

15 Soit z = + i et z = + i. Clculer l forme trigonométrique de z, z et z π. En déduire l vleur de cos et z π sin. Réponse : En clculnt le module et un rgument de z et z, on montre que z = e i π 4 et que z = e i π 6. On en déduit que z = ei π 4 z e i π = e i π 4 π 6 = e i π. 6 π Ainsi est un rgument de z. Or, z i + i i + + i = = =. z z + i 4 4 Re z z 6 + Im z z 6 π Donc, cos = z z = 4 et π sin = Résolution de l éqution z = : En posnt z = r e iθ, on doit voir r e iθ = e i r = et θ = kπ r = et θ = kπ. Les trois solutions sont donc : e i = ; e i π = + i et ei π = i en prennt k =, k = et k =. z z Formule de Moivre : cosθ + isinθ n = cosnθ + isinnθ. En développnt le premier membre et en identifint les prties réelles et imginires des deux membres, on obtient cosnθ et sinnθ en fonction de cosθ et sinθ. Formules d Euler : cosθ = eiθ + e iθ ; sinθ = eiθ e iθ. i linéristion de cos x e cos ix + e ix x = = eix + e ix + e ix + e ix = 8 = cosx + 6cosx 8 4 = 4 cosx + 4 cosx 8- Complexes et géométrie Le pln complexe est muni d un repère orthonormé direct O, i, j. L ffixe du point Mx,y est z M = x + iy. L ffixe du milieu I de [AB] est z I = z A + z B. L ffixe de G le brycentre de A,B,bC,c est z G = z A + b z B + c z C + b + c L ffixe du vecteur u x,y est z u = x + iy. z AB = z B z A ; z u + v = z u + z v ; z k u = k z u + b + c. i Si M est d ffixe z lors z = OM et rg z =, OM z. Si u est d ffixe z lors z = i u et rg z =, u z. j z M rg z j z u u rg z u O i O i i AB = z B z A ;, AB = rg z B z A vec A B ; AB, CD = rg z CD z AB vec A B et C D Kit de survie - Bc S c P.Brchet - 5

16 Conséquences : AB//CD rg AB CD rg A, B, C lignés rg z CD z AB z CD z AB z AC z AB = + kπ ou π + kπ z CD réel A B et C D z AB = π + kπ ou π + kπ z CD z AB imginire pur A B et C D = + kπ ou π + kπ z AC z AB réel A B et A C L ensemble des points M d ffixe z tels que z z A = r r > est le cercle de centre A et de ryon r. L ensemble des points M d ffixe z tels que z z A = z z B z A z B est l méditrice du segment [AB]. L ensemble des points M d ffixe z tels que rg z z A = θ + kπ est l demi-droite prtnt de A mis ne contennt ps A dirigée pr le vecteur i u tel que, u = θ Complexes et trnsformtions : M est d ffixe z, M est d ffixe z et Ω est d ffixe ω z = z + b M est l imge de M pr l trnsltion de vecteur u dont l ffixe est b. z ω = e iθ z ω M est l imge de M pr l rottion de centre Ω et d ngle θ. z ω = kz ω M est l imge de M pr l homothétie de centre Ω et de rpport k. 8-4 Crctéristion d un réel et d un imginire pur z est réel Imz = z = z z = ou rg z = + kπ ou rg z = π + kπ. z est imginire pur Rez = z = z z = ou rg z = π + kπ ou rg z = π + kπ. Exemples : Détermintion de l ensemble E des points M d ffixe z tels que + iz + 4i soit imginire pur. On pose z = x+iy x et y réels. iz+ 4i imginire pur +ix+iy+ 4i imginire pur x y++ix+y 4 imginire pur x y + =. E est donc l droite d éqution y = x +. Détermintion de l ensemble E des points M d ffixe z tels que z i soit réel. z Soit A d ffixe i et B d ffixe. z i z i réel z = i ou rg z z Ce qui équivut à M = A ou MB, MA = + kπ ou π + kπ vec M B. E est donc l droite AB privée du point B. = + kπ ou rg z i = π + kπ vec z. z 9- Générlités 9 Probbilités Lors d une expérience létoire : L univers Ω est l ensemble des résultts possibles. Un événement A est une prtie de l univers. Un événement élémentire est un événement ne comportnt qu un seul élément. L événement contrire de l événement A est l événement noté A formé de tous les éléments de Ω n pprtennt ps à A. L événement A B noté ussi «A et B» est l événement formé des éléments de Ω pprtennt à A et à B. L événement A B noté ussi «A ou B» est l événement formé des éléments de Ω pprtennt u moins à l un des événements A ou B. Deux événements A et B sont dits incomptibles si A B =. Si Ω = {e,e,,e n } et si à chque résultt possible e i on ssocie un nombre pe i tel que pe i et pe + pe + + pe n =, on dit que l on défini une loi de probbilité sur Ω. L probbilité d un événement est l somme des probbilités des événements élémentires qui le constituent. 6 c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

17 Pour tous événements A et B : p = ; pω = pa ; p A = pa ; pa B = pa + pb pa B si A et B sont incomptibles, pa B = pa + pb Dns le cs de l équiprobbilité, pa = nb d éléments de A nb de cs fvorbles nb d = éléments de Ω nb de cs possibles Tirge u hsrd d une crte dns un jeu de crtes vec les événements : pl crte tirée est un roi = 4 = pl crte tirée est un coeur = 8 8 = 4 pl crte tirée est un roi et un coeur = pl crte tirée est un roi ou un coeur = = 9- Vrible létoire Une vrible létoire X définie sur un univers Ω est une fonction qui à chque résultt possible ssocie un réel. Les vleurs possibles de X sont notées x i. L probbilité que X prenne l vleur x i est notée px = x i ou p i. Définir l loi de probbilité de X, c est donner sous forme d un tbleu l probbilité de chcun des événements X = x i. Espérnce mthémtique de X : Vrince de X : V X = n Ecrt-type de X : i= σx = V x EX = n p i x i = p x + + p n x n i= p i x i Ex = p x + + p n x n Ex On lnce fois de suite un dé. Le joueur perd euros s il obtient u moins un multiple de et il ggne 6 euros dns le cs contrire. X est l vrible létoire égle u gin du joueur. Loi de probbilité de X : X ne peut prendre que les vleurs - et 6. On px = 6 = = 8 9 et px = = px = 6 = 7 7 x - 6 px = x EX = = 9- Probbilités conditionnelles 9 ; V X = = 5 9 et σx = 5 9 = 8 DÉFINITION Etnt donné deux événements A et B B d un univers Ω : On ppelle probbilité de B schnt A, le réel noté p A B tel que p A B = pa B pa PROPRIÉTÉ Pour tous événements non vides A et B : p A B ; p A B = pa B nb de cs fvorbles pour A B Dns le cs de l équiprobbilité, p A B = nb de cs fvorbles pour A pa B = pa p A B = pb p B A PROPRIÉTÉ Formule des probbilités totles Si A, A,, A n sont des événements non vides deux à deux incomptibles et dont l union est égle à Ω on dit lors qu ils forment une prtition de l univers lors pour tout événement B : pb = pa B + + pa n B = pa p A B + + pa n p An B Kit de survie - Bc S c P.Brchet - 7

18 Représenttion à l ide d un rbre pondéré pa pa A A p B A p B A p B A p B A B B B B pa x p B A = pa B U pa B + pa B + pa B = pb U U U pa A p B A B p B A B somme égle à Règles de construction et d utilistion des rbres pondérés : Sur les premières brnches, on inscrit les pa i. Sur les brnches du type A i B, on inscrit p Ai B. Le produit des probbilités inscrites sur chque brnche d un chemin donne l probbilité de l intersection des événements plcés sur ce chemin. L somme des probbilités inscrites sur les brnches issues d un même nœud est égle à loi des nœuds. L probbilité d un événement E est l somme des probbilités des chemins qui boutissent à E. Un sc contient des jetons de trois couleurs, l moitié de blncs, le tiers de verts et le sixième de junes. 5% des jetons blncs, % des jetons verts et 4% des jetons junes sont ronds. Tous les utres jetons sont crrés. On tire u hsrd un jeton. Construction de l rbre :,5 rond 6 B V J,5,,7,4,6 crré rond crré rond crré b Schnt que le jeton tiré est blnc, quelle est l probbilité pour qu il soit crré? L lecture directe de l rbre nous donne que p B C =,5. c Quelle est l probbilité pour que le jeton tiré soit rond? pr =,5 +, + 6,4 = 5. d Schnt qu il est rond, quelle est l probbilité pour qu il soit blnc? p R B = pb R pr =,5 = c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

19 9-4 Indépendnce en probbilité DÉFINITION Deux événements A et B sont dits indépendnts si pa B = pa pb. Ce qui revient à dire que p A B = pb ou p B A = pa Conséquence : Si l on répète n fois dns les mêmes conditions l même expérience et si ces expériences A, A,, A n sont indépendntes, lors l probbilité de l événement A A A n est égle u produit pa pa pa n. Si on lnce n fois un dé, l probbilité d obtenir n fois un nombre pir est égl à,5 n. DÉFINITION Soit X et Y deux vribles létoires définies sur le même univers. X et Y sont dites indépendntes si pour tous les entiers i et j possibles, les événements X = x i et Y = y j sont indépendnts, c est à dire si px = x i Y = y j = px = x i py = y j. On lnce deux dés : X désigne l somme et Y le produit des nombres obtenus. px = = un seul cs fvorble :, et py = = 6 6 = deux cs fvorbles :, et, 8 Donc, px = py = = 6 8 = 648 Or, px = Y = = événements incomptibles. Donc, les vribles ne sont ps indépendntes. - Tirge successif vec remise. p-liste Combintoire Une urne contient jetons : un rouge noté R, un vert noté V et un bleu noté B. On tire un jeton, que l on remet dns l urne vnt de tirer un deuxième jeton. Dns ce genre de tirge, on tient compte de l ordre il y clirement un premier et un deuxième jeton et un même jeton peut-être tiré plusieurs fois. er tirge R V B ème tirge R V B R V B R V B Pr rpport à l ensemble des jetons {R,V,B}, un résultt de ce tirge V,R pr exemple est ppelé -liste. Il y : =nb de choix possibles pour le er tirge nb de choix possibles pour le ème tirge = 9 tirges possibles. De fçon plus générle : DÉFINITION Une p-liste d éléments d un ensemble fini E est une liste ordonnée de p éléments de E. Elle est le résultt de p tirges successifs vec remise d un élément de E. Dns une p-liste, un élément de E peut pprître plusieurs fois ou ps du tout. Dns une p-liste, on tient compte de l ordre : V,R et R,V sont deux -listes différentes. PROPRIÉTÉ Le nombre de p-listes d un ensemble E de n éléments est égl à : n p Exemple : Si on tire 5 fois de suite et vec remise une crte dns un jeu de crtes, on 5 tirges possibles. Exemple : Un code de crte bncire comporte 4 chiffres. Le nombre de codes possibles est égl à 4 =. - Tirge successif sns remise. Arrngement. Permuttion Notre urne contient toujours jetons : un rouge noté R, un vert noté V et un bleu noté B. On tire un jeton puis un deuxième sns remettre le premier dns l urne. Kit de survie - Bc S c P.Brchet - 9

20 Dns ce genre de tirge, on tient compte de l ordre il y clirement un premier et un deuxième jeton et un même jeton ne peut ps être tiré plusieurs fois. er tirge R V B ème tirge V B R B R V Pr rpport à l ensemble des jetons {R,V,B}, un résultt de ce tirge V,R pr exemple est ppelé rrngement de jetons. Il y : =nb de choix possibles pour le er tirge nb de choix possibles pour le ème tirge = 6 tirges possibles. De fçon plus générle : DÉFINITION Un rrngement de p éléments d un ensemble fini E est une p-liste d éléments de E deux à deux distincts. Il est le résultt de p tirges successifs sns remise d un élément de E. Dns un rrngement, un élément de E ne peut pprître u plus qu une seule fois. Dns un rrngement, on tient compte de l ordre : V,R et R,V sont deux rrngements différents. Dns un ensemble comportnt n éléments, il ne peut y voir d rrngements de p éléments que si p n. on ne peut ps fire plus de n tirges successifs sns remise. PROPRIÉTÉ Le nombre d rrngements de p éléments d un ensemble E comportnt n éléments est égl à : A p n = n n n p + = n! n p! Rppel : pour tout entier n, n! = n n et pr convention,! =. Exemple : Si on tire 5 fois de suite et sns remise une crte dns un jeu de crtes, on A 5! = 9 8 = tirges possibles. 7! Exemple : Dns une course comportnt 5 chevux on suppose qu il n y ps d ex-æquo, le nombre de tiercés dns l ordre que l on peut former est égl à A 5! 5 = 5 4 =!. Remrque : Dns un ensemble E de n éléments, une permuttion est un rrngement de n éléments de E c est à dire une liste ordonnée de n éléments de E deux à deux distincts. Le nombre de permuttions de E est égl à : n!. - Tirge simultné. Combinison Reprenons une derniére fois notre urne vec ces jetons : un rouge noté R, un vert noté V et un bleu noté B. On tire cette-fois ci jetons simultnément. Il n y plus d ordre. Ce qui compte, c est de svoir que, pr exemple, on un jeton rouge et un jeton vert. Pr rpport u tirge précédent sns remise, V,R et R,V représente le même résultt. Il ne reste donc plus que tirges possibles : voir un jeton rouge et un jeton vert, voir un jeton rouge et un jeton bleu et voir un jeton vert et un jeton bleu. Pr rpport à l ensemble E des jetons {R,V,B}, les résultts de ce tirge simultné sont ppelés combinisons de jetons. Ils correspondent ux prties à éléments de E. De fçon plus générle : DÉFINITION Une combinison de p éléments d un ensemble fini E est une prtie de E comportnt p éléments. L ordre des éléments n ucune importnce. Elle est le résultt du tirge simultné de p éléments de E. Dns une combinison, un élément de E ne peut pprître u plus qu une seule fois. Dns un ensemble comportnt n éléments, il ne peut y voir de combinisons de p éléments que si p n. on ne peut ps tirer simultnément plus de n éléments de E. PROPRIÉTÉ Le nombre de combinisons de p éléments d un ensemble E comportnt n éléments est égl à : np = n! p!n p! c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

21 Exemple : Si on tire simultnément 5 crtes dns un jeu de crtes, on! 5 = tirges possibles. 5! 7! Exemple : Combien de comité de membres peut-on élire prmi une ssemblée de personnes? Réponse :! =! 7! -4 Propriétés des combinisons - Formule du binôme PROPRIÉTÉ Pour tout entier nturel n : n = ; n = n ; n n = Pour p entier tel que p n, Pour p entier tel que p n, nn p = np n p + n p = np Conséquence : p= p= p= p= p=4 n= n= + n= n= + Clcul des combinisons de proche en proche pr le tringle de Pscl n= PROPRIÉTÉ Formule du binôme : Pour tous complexes et b et pour tout entier n, + b n = n n + n n b + + n p n p b p + + n n b n + n nb n. Avec l nottion somme : + b n = n np n p b p p= + x 4 = x + 6 x + 4 x + x 4 = 6 + x + 4x + 4x + x 4. Conséquence : Le nombre totl de prties d un ensemble de n éléments est égl à n. En effet, ce nombre est égl à l somme : nombre des prties à élément + nombre des prties à élément + + nombre de prties à n éléments = n + n + + n n = + n = n - Loi binomile DÉFINITION Lois de probbilités On ppelle épreuve de Bernoulli toute expérience létoire ne présentnt que deux issues possibles contrires l une de l utre. On ppelle schém de Bernoulli toute répétition d épreuves de Bernoulli identiques et indépendntes. Exemples : Lncer une pièce vec pour issues contrires «pile» et «fce» est une épreuve de Bernoulli. Lncer notre pièce fois est un schém de Bernoulli on répète l épreuve de Bernoulli. Jouer u Loto en s intéressnt ux événements contrires «voir les 6 bons numéros» et «ne ps voir les 6 bons numéros» est une épreuve de Bernoulli. Pr contre, si on s intéresse ux qutres événements «voir n bons numéros» n 6, ce n est plus une épreuve de Bernoulli. Kit de survie - Bc S c P.Brchet -

22 Remrques : Les deux issues contrires d une épreuve de Bernoulli se note en générl S pour «succès» et S ou E pour «échec». L probbilité que S soit rélisé est noté en générl p l probbilité de S est lors p, qui est ussi quelquefois notée q. Pour s ssurer que l on bien ffire à un schém de Bernoulli, il fut vérifier que chque expérience prise isolément n dmet que deux issues possibles contrires l une de l utre, que le «succès» toujours l même probbilité d pprître et qu il y bien indépendnce entre chcune des épreuves de Bernoulli successives. DÉFINITION - PROPRIÉTÉS Etnt donné une épreuve de Bernoulli où l probbilité d obtenir un succès S est p et le schém de Bernoulli consistnt à répèter n fois de mnière indépendnte cette épreuve. Si note X l vrible létoire qui à chque issue possible du schém de Bernoulli ssocie le nombre de fois où est ppru un succès S, l loi de probbilité de X est ppelée loi binomile de prmètres n et p et est notée Bn, p. p S p S p S p n S épreuves p p S S Probbilité d obtenir k succès : px = k = n k p k p n k k entier tel que : k n Espérnce de X : EX = np Vrince et écrt-type de X : V X = np p ; σx = np p Exemple : On lnce un dé norml fois de suite et on s intéresse u nombre X de fois où l on obtenu le chiffre 6. Cel correspond à un schém de Bernoulli consistnt à répéter fois l épreuve de Bernoulli où S est l événement «obtenir un 6» et dont l probbilité est p = 6. X représente en fit le nombre de fois où est ppru un «succès». L loi de probbilité de X est donc une loi binomile de prmètres n = et p = 6. L probbilité d obtenir 8 fois le chiffre 6 est donc : px = 8 = L espérnce de X nombre moyen de fois où on obtient le chiffre 6 est : EX = 6 = 5 - Exemples de lois de probbilités continues DÉFINITION Etnt donné f une fonction définie, continue et positive sur un intervlle I telle que : si I = [,b] lors Z b f t dt = et si I = [,+ [ lors lim Z x x + f t dt = On dit qu une vrible létoire X suit l loi de probbilité continue de densité f sur I si pour tous réels x et y de I : px X y = Z x px x = px x = Z y x f t dt. Z x f t dt. f t dt. on les mêmes résultts vec des inéglités strictes Remrque : l probbilité px x représente «l ire sous l courbe» de t f t pour t [,x]. c P.Brchet - Kit de survie - Bc S

23 DÉFINITION Si l densité f est définie sur I = [,] pr f t =, l loi de probbilité est dite loi uniforme sur [,]. Si l densité f est définie sur I = [,+ [ pr f t = λe λt λ >, l loi de probbilité est dite loi exponentielle de prmètre λ sur [,+ [. Z Remrque : On bien dt = et lim Z x x + λe λt dt =. Exemple : Une vrible létoire X suit l loi uniforme sur [,]. On lors : Z, p, X, = dt = [t],, =,, =, px <,5 = Z,5 px,6 = px =,4 =, dt =,5 Z,6 Z,4,4 dt =,6 =,4 dt = Exemple : L durée de vie X en heures d un composnt électronique suit l loi exponentielle de prmètre λ =,6 sur [,+ [. L probbilité qu un de ces composnts pris u hsrd it une durée de vie inférieure à heures est donnée pr : px < = Z,6e,6t dt = [ e,6t] = e,6. b L probbilité qu un de ces composnts pris u hsrd it une durée de vie supérieure à 5 heures est donnée pr : px > 5 = PROPRIÉTÉ Z 5,6e,6t dt = [ e,6t] 5 = e,. Sttistique : déqution de données à une loi équiréprtie Soit une épreuve conduisnt ux issues,,, q. On note N = q et f = N, f = N,, f q = q, les fréquences correspondntes ux différentes issues. N On considère lors le nombre d = f + f q + + f q q. q f i représente l probbilité de l issue i et q modèle de l loi uniforme représente ce que serit cette même probbilité si l expérience étit conforme u Expérimentlement, si on répète n fois cette épreuve n, on obtient une série sttistique formée pr les n vleurs de d obtenues. En notnt D 9 le neuvième décile de cette série, on l propriété suivnte : Si d D9, lors on dit que les données sont comptibles vec le modèle de l loi uniforme vec un risque d erreur inférieur à %. Si d > D9, lors on dit que les données ne sont ps comptibles vec le modèle de l loi uniforme vec un risque d erreur inférieur à %. Rppel : On ppelle neuvième décile d une série sttistique, le nombre noté D 9 tel que 9% des vleurs de l série sttistique soient inférieures ou égles à D 9 Kit de survie - Bc S c P.Brchet -

24 Un sc contient plusieurs milliers de pièces de monnie de types : des pièces de centimes, des pièces de centimes et des pièces de 5 centimes. On effectue, u hsrd, 4 prélèvements d une pièce vec remise et on obtient les résultts suivnts : Pièce centimes centimes 5 centimes Effectifs L vleur de d ssociée à cette expérience est : 46 d = ,5 Pour svoir si on peut considérer que le sc contient utnt de pièces de chque type vec un risque d erreur inférieur à %, on procéde à simultions sur ordinteur de l opértion consistnt u tirge vec remise de 4 pièces. A chque simultion on clcule l vleur de d et on obtient l réprtition suivnte : Vleur de 4d [;,5[ [,5;[ [;,5[ [,5;[ [;,5[ [,5;[ Effectifs Cherchons une vleur pprochée à,5 près pr défut du neuvième décile de l série des 4d : représente moins de 9% de l effectif lors que représente plus de 9% de l effectif. Le neuvième décile est donc dns l intervlle [,5;[. Une vleur pprochée à,5 près pr défut est donc,5. On en déduit qu une vleur pprochée du neuvième décile de l série des d est D 9 =,5 4 =,75. Comme d D 9, on peut considérer que les données sont comptibles vec le modèle de l loi uniforme vec un risque d erreur inférieur à % c est à dire que le sc contient utnt de pièces de chque type vec un risque d erreur inférieur à %. 4 c P.Brchet - Kit de survie - Bc S