; b Δ. 1 er cas Si <O : aucun réel n'est solution S = Ø. 2. SIGNE DU TRINOME : Posons P(x) = ax 2 + bx + c a 0
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- Eric Breton
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1 Fonctions éqution et inéqution du second degré. EQUATIONS DE LA FORME x 2 + x + c =0, et c sont des réels tels que 0 L expression x 2 + x + c est ppelé trinôme Les tleux ci-dessous résument l résolution des équtions du second degré posons : = 2 4c est ppelé discriminnt er cs Si <O : ucun réel n'est solution S = Ø 2 ième cs Si =0 : un seul réel est solution : S = { -/2 } (on dit qu'il y une rcine doule) 3 ième cs Si >0 : deux réels sont solutions : S = { Δ 2 ; Δ 2 } 2. SIGNE DU TRINOME : Posons P(x) = x 2 + x + c 0 Etudions dns un tleu le signe de P(x) suivnt les vleurs de x : er cs si < 0 P(x) est du signe de x Signe de x 2 + x + c Signe de le polynôme P(x) ne se fctorise ps 2 ième cs si = 0 P(x) est du signe de mis s nnule pour une seule vleur x (une seule rcine) x -/2 Signe de x 2 + x + c Signe de 0 Signe de le polynôme peut s'écrire sous l forme fctorisée (produit) P(x) = ( x x )² 3 ième cs Si > 0 Soient x et x 2 les rcines du polynôme. Le polynôme est du signe de à l extérieur des rcines et du signe contrire de à l intérieur. x x x 2 Signe de x 2 + x + c Signe de 0 Signe de (- ) 0 Signe de le polynôme peut s'écrire sous l forme fctorisée P(X) = (x-x ) (x-x 2 )
2 Exercices Exercice : Soit le polynôme : f(x) = 2x 2 + 7x - 5 / Résoudre f(x) = 0 2/ Fctoriser f(x) Exercice 2 : Soit le polynôme : f(x) = 4x 2 + 2x + 9 / Résoudre f(x) = 0 2/ Fctoriser f(x) 3/ Quel est le signe de f(x) en fonction de x? Justifier votre réponse. Exercice 3 : Exercices fculttifs : Etudier, si nécessire dns un tleu, le signe des expressions suivntes : f(x)= (x- 4)(x+) ; g(t)= t 2 49 ; h(x)= x 2 2x i(x)= x x 2 ; j(y)= y 2 2y 2 ; k(x)= - x 2 Résoudre dns R les inéqutions suivntes : 3x 5 2 ; 3 x x 5 ; 4 x 2 ; x²-0x+25 >0 ; x²+ <0 (2x+4)²-9 <0 ; x² 8x x² 4 0 ; 2x² x 0 3x² 5 2
3 ETUDE DE FONCTIONS: Sens de vrition et Fonctions derivées Qund plusieurs grndeurs sont en interction, l vleur prise pr l une d entre-elle dépend prfois des vleurs prises pr les utres. Reltion Formule Fonction L utilistion d une lettre (vrile ) pour désigner une quntité (p pour un prix; t pour le temps, ou plus courmment x vrint sur un certin ensemle) permet de rendre compte des liisons entre ces vleurs. Exemple : Une fonction peut être définie pr une reltion explicite, une expression lgérique. Soit x un réel compris entre 3 et 3, on ssocie à x l imge f(x) définie pr : f(x)= x 2 4 Si pr exemple x= -3 lors son imge f(-3) est : f(-3)= (-3)²-4 =5 De même : Si x= -2 lors f(-2)= (-2)²-4= 0 et insi de suite... Réunissons dns un tleu de vleurs les résultts otenus : X Y=f(x) Le grphe de f est constitué des points situés dns un repère du pln de coordonnées (x; y). Représentons le : En relint les points, on imge(ine ) les points du grphe qui n'ont ps été clculés. Pr exemple nous pouvons lire sur le grphique les vleurs pproximtives de x qui ont pour imge 2 ou 3. QUELQUES PRECISIONS UTILES : Fonction On ppelle fonction numérique toute reltion qui à un réel x ssocie u plus une imge. On dit que x pour imge y et y pour ntécédent x. Remrque : x ne peut ps voir plus d une imge mis y peut voir plusieurs ntécédents. 3
4 Domine de définition Le domine ou ensemle de définition d une fonction f est l ensemle des vleurs de l vrile (x ou t. ) ynt une imge pr f. Si pr exemple l fonction contient une frction, le dénominteur doit être différent de 0 Il fut églement tenir compte des contrintes de l énoncé : si pr exemple l vrile désigne un prix, celle-ci ne peut prendre que des vleurs positives. Exemple : l fonction f définie pr f(x) = On note D f = ] ; 2 [ ] 2 ; [ x 2 est définie pour tout réel x excepté 2. Remrque: l énoncé peut préciser un ensemle de définition plus restreint. Représenttion grphique Ne l fire que si celle-ci est demndée ou nécessire. On doit clculer les imges de l vrile x pr l fonction f et on doit plcer dns un repère les points de coordonnées (x,f(x)). Il fut choisir des unités ppropriées sur chque xe en fonction de vleurs otenues ( ou respecter les consignes de l énoncé à ce sujet!). Vritions d une fonction Pour connître les crctéristiques d une fonction et celles de son grphe, nous possédons un outil mthémtique efficce qui est l fonction dérivée. Sns entrer dns le détil des définitions, théorèmes et utres démonstrtions nous nous contenterons d dmettre les éléments essentiels. Fonctions dérivées Le nomre dérivé de f en, qund il existe, correspond u coefficient directeur de l tngente à l coure de f u point d scisse. L fonction dérivée est l fonction qui à tout point x de D où f est dérivle ssocie le nomre dérivé de f en x. On l note f ' Propriétés : Si f (x) > 0 lors l fonction f est croissnte. Si f (x) < 0 lors l fonction f est décroissnte. Si f (x) = 0 lors l fonction f est constnte. On résume ensuite les résultts dns un tleu de vritions dns lequel pprît le domine de définition, les vleurs éventuelles qui nnulent l dérivée, le signe de l dérivée insi que le sens de vritions de l fonction. Extremum : Une fonction f dmet un mximum sur un intervlle I S'il existe un réel de I tel que quelque soit x dns I on : f(x)< f() Une fonction dmet un minimum sur un intervlle I S'il existe un réel tel que quelque soit x dns I on : f(x) > f() 4
5 Dérivées usuelles : f(x) f (x) Exemples cte 0 f(x) = 456 f'(x) = 0 f(x) = x f'(x) = f(x) = x f'(x) = f(x) = x² f'(x) = 2x f(x) = x 3 f'(x) = 3x² f(x) = x 4 f'(x) = 4x 3 f x = x f x = x f ' x = x² f ' x = 2 x U + v U + v f(x)= x² + x - 4 f (x)= 2x + K u ku f(x)=5x 3 f (x)=5(3x²)=5x² Posons u= x²+2 u =2x u.v u v+uv f(x)=(x²+2)(3x-) v=3x- v =3 u v u ' v uv ' v 2 f x = 3x x² 2 f (x)=(2x)(3x-)+(x²+2)(3) =9x²-2x+6 Posons u= 3x- u = 3 v= x²+2 v = 2x 3 x² 2 3x 2x f ' x = x² 2 ² = 3x² 2x 6 x² 2 ² v v ' v 2 f(x)= 3 x² 2 f (x)= 3 2x x² 2 ² u n n u n-.u f (x)= (x² + 2) 5 U= x² + 2 n = 5 u (x)= 2x f (x)= 5 (x²+2) 4 (2x)=0x(x²+2) 4 Méthode à suivre pour l étude d une fonction f définie sur un intervlle.étude du domine de définition 2.Clcul de l dérivée f (x). 3.Étude du signe de l dérivée - Résoudre l éqution f (x) = 0. 4.Tleu de vritions et recherche d'extrem. 5.Tleu de vleurs. 6.Etude des limites 7.Eqution des tngentes et des symptotes 8.Représenttion grphique. 5
6 Exercice : Etudier les vritions des fonctions suivntes près voir déterminé leur domine de définition : ) f(x)= 2 x + 3 x f) f(x)= ) f(x)= x² - 5 x + 3 x 2 3x 4 c) f(x)= ( 3 x + ) ² d) f x = x 5 g) f(x)= 2x + 3 x x 9 h) f(x)= 2x 7 e) f(x)= (3x²+5x-2)(2x+8) 2x i) f(x)= x² 4 Exercice 2 : une slle de spectcles peut ccueillir u mximum 300 personnes. On constté que le nomre de spectteurs, x, étit fonction du prix p du illet d entrée. L reltion est : x = 300 3p. L question est de svoir quel doit être le prix du illet pour voir une recette mximle. Il s git donc d optimiser une fonction. Nous devons définir l recette en fonction de x Etudier les vritions de cette fonction fin de repérer son mximum éventuel.. Définissons l fonction recette L recette est égle u prix du illet multipliée pr le nomre de spectteurs. Ce qui donne R=.. Or si x=300 3p lors 3p=.. Et donc p=. Nous pouvons en déduire que l fonction à étudier est : R(x)=.. Cette fonction est définie sur l intervlle [ 0 ; 300 ] 2. fire le tleu de vritions. complements : Quelques définitions : Soit f une fonction dérivle en x 0, C s coure représenttive et A le point de C d scisse x 0. L tngente en A à C est l droite pssnt pr A et ynt comme coefficient directeur f (x 0 ). L tngente à l coure C de f u point d scisse x 0 pour éqution : y = f (x 0 ) (x - x 0 ) + f(x 0 ) Intersection de deux coures et position reltive Soit dns un pln muni d un repère deux coures C et C d éqution respective y= f(x) et y= g(x). Un point M(x ; y) est commun ux deux coures si et seulement si ses coordonnées vérifient simultnément les 2 équtions et donc le système : y=f(x) d où y=f(x) y=g(x) f(x)=g(x) Pour étudier l position de 2 coures C et C d éqution respective y= f(x) et y= g(x) il suffit d étudier le signe de l différence : d(x)=f(x)-g(x) Pr exemple si sur un intervlle I d(x)>0.on en déduit que f(x)>g(x) et donc que l coure C est u-dessus de C. 6
7 théorème de ijection : soit f une fonction strictement monotone sur un intervlle [ ; ], telle que f() et f() soient de signes contrires, lors f rélise une ijection de [ ; ] sur [f() ; f()] et il existe une unique vleur x 0 de [ ; ] telle que f(x 0 ) = 0. Exercice 3 :. Etudiez les vritions de l fonction f définie dns R pr f(x)= x 3 + 8x Montrez que l éqution f(x) = 0 n dmet qu une solution ( notée α ) dns R. 3. Donnez un encdrement à 0 - près de α. Exercices fculttifs : Exercice 4 : () f( x ) = 7 x² - 56 x + 4 (2) f( x ) = - 3x² + 8 x - 2 x (3) f(x) = x 2 3 (4) f(x) = 2x2 4x x 2 (5) f(x) = 5x 4-2x² + 4x - 8 3x 5 (6) f(x)= x 4 Exercice 5 : Soit une fonction définie sur [ 3 ; ] pr f(x) = x 3 + 3x 2 Écrire l dérivée Etudier le signe de l dérivée puis compléter le tleu : x Signe de f'(x) Vritions de f(x) Tleu de vleurs : x -3-2,5-2 -, ,5 0 0,5 f(x) Fire l représenttion grphique de l fonction. Que représentent les points M( 2 ; 3) et m( 0 ; ) pour l coure? Exercice 6 : Soit l fonction f définie dns R pr f(x)= 2x 3 +3x 2-2x Etudiez les vritions de f. Déterminez une éqution de l tngente T u point d scisse 0 et celle de l tngente T 2 u point d scisse /2. Etudier l position de l coure C de f pr rpport à T. Représenter C et les 2 tngentes. 7
8 Etude de fonctions : APPLICATIONS A L ECONOMIE Les fonctions de coût. Notons C(q) le coût totl de friction d une quntité q. Le coût moyen de production pr unité de quntité produite est ppelé coût moyen ; on le note générlement C M (q) et donc C M (q)= C q q Le coût mrginl de production est l ccroissement du coût totl dû à l friction d une quntité supplémentire ; on le note générlement C m (q). C m (q) est donc le coût de l (q + ) ième quntité. En prtique qund les quntités produites sont élevées, les économistes estiment que l dérivée C du coût totl donne une pproximtion suffisnte du coût mrginl. Dns ce cs donc C m (q) =C (q). Remrque : lors que le coût totl est mesuré en unité monétire (l'euro pr exemple ), le coût moyen et le coût mrginl sont exprimés en unités monétires pr unité de quntité produite (pr exemple euro pr tonne ). Compte tenu des conditions de production à un moment donné dns une chocolterie, on modélise les vritions des coûts de production (hors coûts fixes) du chocolt de l fçon suivnte : Pour une production de q tonnes de chocolt, q inférieur à 000, on estime que le coût exprimé en euros noté C(q) est donné pr C(q) = 0,00q 3 -,5q² + 900q. Prtie I : Etude de l fonction coût C. Clculer C (q). 2. En déduire les vritions de C sur [0 ;000]. Prtie II : Etude de l fonction coût moyen C M On note C M (q) le coût moyen en euros, d une tonne de chocolt pour une production de q tonnes de chocolt ( q 0 ). Exprimer C M (q) en fonction de q et l écrire sous forme d un polynôme du second degré. 2. Etudier les vritions du coût moyen sur l intervlle ]0 ;000]. 3. En déduire l quntité q 0 pour lquelle le coût moyen est miniml. Prtie III : Etude de l fonction coût mrginl C m On note C m (q) le coût mrginl en euros, pour une production produite de q tonnes de chocolt. Pr l suite, on ssimile le coût mrginl à l dérivée du coût de production C pour q pprtennt à [0 ;000] : C m (q) = C (q). Etudier les vritions du coût mrginl sur [0 ;000] 2. Clculer C m (q 0 )et vérifier que C m (q 0 ) = C M (q 0 ) Prtie IV : générlistion : lien entre le coût mrginl et le coût moyen Dns cette prtie on considère une fonction coût de production C(q) telle que CM (coût moyen) dmette un minimum q 0.. En utilisnt l reltion C(q) = q x C M (q), montrer que C (q)= C M (q) + q x C' M (q). 2. En déduire que le coût mrginl est égl u coût moyen lorsque le coût moyen est miniml. 8
9 Exercice : Le coût unitire moyen d un produit est donné pr l fonction suivnte : C M (q)= q 2 30q où q est l quntité produite.. Déterminer l fonction coût totl C définie pr C(q)= q x C M (q) 2. On ppelle coût mrginl l dépense occsionnée pr l production d un ojet supplémentire : On choisit comme modélistion de ce coût mrginl C m = C où C est l dérivée de C. Etudier les trois fonctions C, C m et C M. 3. Construire les coures représenttives de C m et C M dns un même repère. Vérifier que celles-ci se coupent en un point dont l ordonnée est l vleur minimum du coût moyen. 4. Le prix de vente unitire est de 600. L fonction recette est donc défini pr R(q)= 600q Déterminer grphiquement puis en étudint l fonction énéfice l quntité à produire qui donne un profit mximum. Vérifier que le profit est mximum lorsque l recette mrginle (prix de vente) est égle u coût mrginl. Exercice 2 : Pour une certine entreprise dont l production peut vrier entre 0 et 300 unités, le coût totl de friction de x unités est donné pr l fonction : C(x)= 30 x3 5x x On choisit comme modélistion du coût mrginl C m =C où C est l dérivée de C. Définir C m (x). On suppose que l entreprise est en sitution de monopole, ce qui pour effet que l demnde est uniquement fonction du prix. Pour x unités vendues le prix unitire est : P(x)= 45 8 x Clculer l recette totle R(x) pour l vente de x unités. 2. On ppelle recette mrginle l ugmenttion de l recette procurée pr l vente d une unité supplémentire ; on modélise celle-ci pr R m =R Pour quelle vleur de x l recette mrginle est-elle égle u coût mrginl? 3. Montrer que le énéfice pour l production et l vente de x unités est donné pr : B(x)= x3 + 8 x x Etudier cette dernière et en déduire que le énéfice est mximl qund l recette mrginle est égle u coût mrginl. Que vut ce énéfice mximl? 9
10 ETUDE DE FONCTIONS : PROBLEME D OPTIMISATION Exercice : Pour l friction d'un cdre, on dispose d'une plque de ois exotique de forme rectngulire de 0, m 2 (000cm 2 ). Les mrges sont imposées et sont de 8 cm en hut et en s et de 5 cm sur les cotés. On se propose de déterminer les dimensions du cdre pour que l ire (en cm 2 ) de l surfce utilisle u centre du cdre soit mximle. 8cm y 5 cm x. Exprimer en fonction de x et de y l ire A de l surfce utilisle. 2. Quelle reltion lie x et y? 3. En déduire l expression de A en fonction de x seulement 4. Soit f définie sur ]0 ; 00 ] pr f(x) = x x Etudier cette fonction. En déduire les dimensions x et y de l plque pour que l ire A de l surfce utilisle soit mximle. L préciser. 0
11 COMPLÉMENTS. FACTORISATION DES POLYNOMES Un polynôme de degré n est une expression de le forme f(x) = n x n x 2 + x + 0 Avec n 0.Les réels n, 2,, 0 sont ppelés coefficients du polynôme. On ppelle rcine d'un polynôme f(x) tout nomre réel tel que f()=0 On dit que f(x) est fctorisle pr (x-) s'il existe un polynôme g(x) tel que f(x) =(x)g(x) Un polynôme f(x) est fctorisle pr (x-) si et seulement si est une rcine de f(x) Deux polynômes sont égux (quelque soit l vrile x) si leurs coefficients sont identiques Remrques: - Si f(x) est un polynôme de degré n lors g(x) est un polynôme de degré (n-) - Ces définitions et ces théorèmes nous permettent de fctoriser des polynômes. Méthode de fctoristion: Pr identifiction des polynômes Soit f(x) = 2x 3 3x²+4x-2.. On constte que f(2)=0; 2 est donc une rcine du polynôme on peut donc fctoriser celui-ci pr (x-2) Posons f(x) = (x-2)(x²+x+c) 2. Déterminons les trois réels, et c En développnt et en ordonnnt le polynôme, on otient : f(x) = x 3 +(-2)x²+(c-2)x 2c D'près le dernier théorème on peut identifier les coefficients, ce qui donne le système suivnt: Pr identifiction: =2 =2-2 =-3 soit = c-2 = 4 c=6-2c =-2 3. Conclusion: f(x) = (x-2)(2x²+x+6)
12 2. LES FONCTIONS - L fonction logrithme népérien: L fonction logrithme népérien, notée ln, est l fonction dont l dérivée est : (ln(x) ) ' = x Elle est définie pour x réel strictement positif. Etude de l fonction : D f = ]0; + [ f '(x) = x, x étnt positif l fonction est croissnte sur son domine x 0 + signe de f + f Quelques remrques : ln()=0 Le nomre e est défini pr : ln(e) = vleur du nomre e : e 2,78282 u'(x) Toute fonction de l forme ln(u(x) ) vec u(x) >0 pour dérivée : [ln u(x)]' = u (x) Exemple : On donne f(x)= ln( 2x² - 3x + 4). Etudier les vritions de f(x) près voir déterminé le domine de définition. 2- Fonction exponentielle de se e. L fonction exponentielle de se e est l fonction réciproque de l fonction ln. Elle est définie sur R et prend des vleurs strictement positives On l note exp (x) ou e x Pour tout réel x et tout réel y strictement positif y= e x est équivlent à x= ln(y) Pr exemple puisque ln() = 0 lors e 0 = ; de même puisque ln(e) = lors e = e ln(e x ) = x pour tout réel x. e ln(x) = x pour tout réel x strictement positif 2
13 Etude de l fonction: D f = R On dmet que : (e x ) ' = e x Quelque soit le réel x, f ' (x) est strictement positive, l fonction est croissnte sur R. e 0 = e =e Toute fonction de l forme e u(x) pour dérivée (e (u(x) )' = u' (x) e u(x) (-2x² + 3) Exemple : Etudier les vritions de l fonction f, définie pr f(x)= e Des propriétés importntes de ces deux fonctions : ln( ) = ln + ln l n( n ) = n ln() ln = ln() ln() e + = e x e e = e e = e e Exercice Ce prolème pour ojectif d étudier le prix d équilire entre l offre et l demnde d un ojet donné, dns une sitution de concurrence prfite. PARTIE A : Etude de l demnde On suppose que le prix unitire qu cceptent de pyer les consommteurs en fonction de l quntité x disponile sur le mrché est modélisé pr l fonction g définie sur [ 0 ; 0[ pr : g(x) = x² + 50 x+ Le prix unitire g(x) est exprimé en euros et l quntité x en millions d ojets.. ) Clculer g (x). ) Etudier les vritions de g sur [0 ; 0 [ 2. Soit C g l coure représenttive de g dns un repère orthogonl du pln. Trcer C g 3
14 PARTIE B : Etude de l offre Les producteurs cceptent de friquer une quntité x exprimée en millions d ojets si le prix unitire de l ojet tteint une vleur minimle. On suppose que ce prix miniml (qui dépend de l quntité x) est modélisé pr l fonction f définie sur [0 ; 0[ pr : f(x) = 3e 0,25x. Le prix unitire f(x) est exprimé en euros.. Etudier les vritions de f sur [0 ; 0[. 2. Trcer C f dns le même repère que C g. PARTIE C : Recherche du prix d équilire Dns un mrché à concurrence prfite, l «loi de l offre et de l demnde» tend à dégger un prix d équilire p 0 pour lequel l offre des producteurs est égle à l demnde des consommteurs. On ppelle q 0 l quntité ssociée à p 0. Déterminer grphiquement un encdrement entre deux entiers consécutifs d une prt du prix d équilire p 0 et d utre prt de l quntité ssociée q 0. Exercice 2 Prtie A Soit f l fonction définie sur l'intervlle [2.5] pr f(x)= - 2 x + 3 ln(x). Déterminer l dérivée f ' de l fonction f et montrer que, pour tout x de [2 ; 5] : f '(x) = 2 x+ x 6 2. )Etudiez le signe de f '(x) sur l'intervlle [2 ; 5] ) Montrez que l fonction f dmet un mximum dont on donner l vleur excte. c) Dressez le tleu de vrition de l fonction. 3. )Reproduire et compléter le tleu : (on donner les résultts rrondis à 0 - près). ) Construire l coure (C) de f x f(x). 2,2 2,4,7 0,9 Prtie B Une personne sous l'emprise de l'lcool est mise en oservtion. On ppelle x le nomre d'heures écoulées depuis s mise en oservtion. On dmet que f(x) donne son tux d'lcoolémie en g/l pour x compris entre 2 et 5.. Cette personne pourr-t-elle conduire une voiture u out de 5 heures d'oservtion schnt qu'il est interdit de conduire vec un tux d'lcoolémie supérieur ou égl à 0,5g/l? 2. A l'ide du grphique répondre à l question suivnte : On prend 2,4 g/l comme vleur du mximum tteint pr le tux d'lcoolémie. Comien de temps doit-on ttendre pour que le tux d'lcoolémie psse de s vleur mximle à l moitié de celle-ci? 4
15 3. LIMITES LIMITES DES FONCTIONS USUELLES Fonction Ensemle de définition Limite en - Limite en 0 Limite en + x R 0 x 2 R 0 x 3 R 0 x R {0} 0 lim x 0 = lim = x 0 x ] 0 ; [ n'existe ps 0 sin(x) cos(x) R n'existe ps 0 0 n'existe ps ln(x) ] 0 ; [ n'existe ps e x R 0 Opértions sur les limites ) Limite d une somme limite de f limite de g limite de f+g l l' l+l' l l indéterminé )Limite d'un quotient limite de f limite de g limite de f/g l l ' 0 l/l' l 0 l' limite de f limite de g limite de f/g indéterminé indéterminé 5
16 c) Limite d un produit limite de f limite de g limite de f.g l l' l l' limite de f limite de g limite de f.g 0 indéterminé l Théorèmes de comprison ) Théorème des gendrmes ( ou d'encdrement) Soient f, g et h trois fonctions définies sur ] ; [ et L R g x = lim si pour tout x ] ; [, g x f x h x et lim ) Propriété Soient f et g deux fonctions définies sur ] ; [ et L R si pour tout x ] ; [, f x L g x et lim g x =0, lors lim x c) Comprison à l'infini Soient f, get deux fonctions définies sur ] ; [ g x =, lors lim si pour tout x ] ; [, g x f x et lim si pour tout x ] ; [, f x g x et lim d) limite d'une fonction composée g x =,lors lim Soient f,g et htrois fonctions telles que f x =g h x. Soient,et ctrois nomresréels ou ou si lim h x =et lim g x =c,lors lim f x =c. x x x h x =L,lors lim f x =L. f x =. f x = f x =L. Lever l'indétermintion d'une limite: ) Fonctions polynomes: L limite d'un polynome à l'infini est l limite de son terme de plus hut degré. ex: lim 3x 4 2x 2 5 x 7= lim 3x 4 )Fonctions rtionnelles: L limite d'unefonction rtionnelle à l'infini est l limite du quotient de ses terme de plus hut degré. 3x ex: lim 5 2x 2 5 x 7 3x = lim 5 4x 3 2x 5 4x 3 c) Fonction rcine: On multiplie pr l'expression conjuguée. 6
17 Croissnce comprée: ( on dmettr) ln x pour tout n >0, lim pour tout n >0 lim x n e x =0 ; lim x 0 x n ln x =0 x n= ; lim x n e x =0 x à retenir: l fonction exponentielle «l'emporte» sur les fonctions puissnces ou polynomes et les fonctions polynomes «l'emportent sur l fonction logrithme. 4. CALCUL INTEGRAL Toute fonction f continue sur un intervlle dmet une primitive F sur cet intervlle telle que F' = f. Remrque: Si c est une constnte, (F+c)' = f. Toute fonction continue sur un intervlle [ ; ] est intégrle sur [ ; ] et Propriétés: f x dx=f F f x g x dx= Pour tout nomre ƛ f x dx= f x dx g x dx f x dx reltion de Chsles: pour tout ƛ f x dx=ƛ f x dx c f x dx= si pour tout x [ ; ] f x g x lors, f x dx f x dx c f x dx g x dx Intégrtion pr prties: pour tout x [ ; ] f x g ' x dx=[ F x G x ] f ' x g x dx Interpréttion géométrique: Soit f une fonction continue sur [ ; ] telle que pour tout x [ ;], f(x) > 0, lors f x dx représente l'ire délimitée pr l'xe des scisses, les droites d'éqution x = et x = et l coure y = f(x). 7
18 5. ASYMPTOTES À UNE COURBE C f On note l coure représenttive de l fonction f et un nomre fini. Remrque: Une symptote permet de svoir comment se comporte l coure u voisinge de l'infini. Asymptote horizontle: C On dit que f dmet une symptote horizontle en ou si lim f x = x, l C droite d'éqution y = est symptote horizontle à f en ou. Asymptote verticle: C On dit que f lim dmet une symptote verticle en si x C est symptote verticle à f en. f x =, l droite d'éqution x = Asymptote olique: On dit que l droite (d): y = x + est symptote olique à C f si lim x f x x =0 Position reltive de l coure et de son symptote: On étudie le signe de f(x) - (x + ): Si il est positif sur un intervlle I, C f est u dessus de l'symptote (d) sur I. 8
19 Mémo: étude d'une fonction f - l'ensemle de définition: pour les fonctions rtionnelles( de l forme 4x² 3 5x 3 ), on résout dénominteur 0 pour les fonctions u x ou ln(u(x)), on résout u(x) > 0 2- L dérivée f': on l détermine puis on étudie son signe: *si f' = x 3 x 2 cx d, rcine évidente x ( souvent ou 0 ou - ou 2) on fctorise pr ( x - x ) : f' = ( x - x )( ' x 2 ' x c ' ). méthode d'identifiction des polynomes pour trouver ', ' et c' ( voir déut du polycop) *si f' = x 2 x c Δ Δ Δ Δ>0 2 rcines: et 2 2 f' est du signe de à l'extérieur des rcines Δ = 0 rcine: f' est du signe de 2 Δ<0 ps de rcine f' est du signe de 3- tleu de vritions: on plce les vleurs prticulières(extrem) 4- étude des limites et des symptotes: position reltive de l coure et de ses symptotes signe de f(x) - (x+) 5- tngente en : y = f (). (x-) + f() 6- représenttion grphique: on plce les points prticuliers (à tngente horizontle), on trce les tngentes et les symptotes. on trce l coure en fisnt ttention à l position reltive pr rpport ux symptotes. 9
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