Exercices sur les équations diérentielles : corrigé

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1 Eercices sur les équaions diérenielles : corrigé PCSI Lycée Paseur ocobre 7 Eercice. On résou l'équaion sur R. L'équaion homogène associée y y = a pour soluions les foncions de le forme y h () = Ke, avec K R. Cherchons une soluion pariculière à l'équaion sous la forme y p () = K()e. On a alors y () = (K () + K())e, donc y p es soluion si K () = (sh ch )e = e e e e, soi par e e eemple K() = e e d = e e 6 + [e ] + ] e d + [ e e + d = e + 6 e + e e + e e + A = ( 9 ) ( ) 6 + e + e + A, où A es une consane qu'on peu ignorer. Les soluions 8 ( complèes son donc les foncions y() = ) ( ) 6 + e + e + Ke. 8. Comme il fau diviser par pour mere l'équaion sous forme usuelle, la résoluion s'eecuera sur les inervalles R + e R. On a alors y + y = cos. L'équaion homogène associée es y + y =, don les soluions son les foncions Keln = K, K R (on peu enlever la valeur absolue quie à changer le signe de la consane sur R ). On cherche ensuie une soluion pariculière de la forme y p () = K(), d'où on ire K () donc la foncion sin Remarquons que seule la foncion f : sin soluion dénie sur R ou enier. = cos. Une soluion pariculière es, e les soluions générales de l'équaion son de la forme y() = sin + K., prolongée en en posan f() = es une. On résou l'équaion sur R. L'équaion homogène associée y + y = a pour soluions les foncions y h : Ke, on recherche donc y p sous la forme K()e, ce qui nous donne K ()e = + e, soi K () = e u. Le membre de droie éan de la forme, on peu + e u prendre comme primiive K() = ln( + e ). Les soluions de l'équaion complèe son donc de la forme y : (ln( + e ) + K)e, K R. 4. Pour les soluions de l'équaion homogène, cf l'équaion précédene. Pluô que d'uiliser la méhode de variaion de la consane (qui amène un calcul de primiive par inégraion par paries peu agréable), nous allons direcemen chercher une soluion de la forme y p () = (a + b + c)e. On a donc y p() = (a + (a + b) + b + c)e, e y p es soluion, en facorisan par e, si e seulemen si a + (a + b) + b + c = +. On résou sans diculé le sysème obenu : a = ; b = 8 6 e c =. Les soluions de l'équaion complèe son donc 9 7 les foncions y : Ke + ( ) e.

2 5. Comme il fau diviser par ln, on va résoudre sur les inervalles ]; [ e ]; + [. On obien donc y + y = ln. Les soluions de l'équaion homogène son de la forme ln Ke ln ln = K ln (à un changemen de consane près, cee formule es valable sur les deu inervalles de résoluion). On cherche y p de la forme K() ln, donc K () ln = ln, on peu prendre K() = ( ) e les soluions générales son les foncions y : + K ln. Toues les soluions se prolongen en soluions valables sur R + ou enier, puisqu'elles valen oues pour =. 6. On résou sur R. L'équaion homogène a pour soluions les foncions y h : Ke. On ne cherche pas de soluion pariculière puisqu'il y en a une qui nous saue au yeu : la foncion consane égale à. Les soluions générales son donc les foncions y : Ke. Si on veu de plus y() =, il fau avoir K =, donc K =. La soluion unique au problème de Cauchy posé es donc la foncion f : e. 7. On ne peu résoudre que sur l'inervalle ] ; [. L'équaion homogène y y = a pour soluions les foncions y h : Ke arcsin. Encore une fois, la foncion consane égale à es une soluion pariculière donc les soluions générales son de la forme Ke arcsin. 8. On résou sur les inervalles R + e R. L'équaion homogène associée y + y = a pour soluions les foncions y h : Ke ln = K () = n, donc K () = n, donc n+ n + n n + + K. l'équaion son les foncions y : K. On cherche y p sous la forme K(), on obien convien, e les soluions générales de 9. L'équaion homogène associée a des soluions de la forme Ke, on cherche y p sous la forme y p () = K()e, on obien K ()e = e + e, donc K () = e +. Une primiive [ ] de e es obenue par double inégraion par paries : e d = e + [ e d = e + ] e e + d = ( ) e +. Une soluion 4 4 pariculière de nore équaion es donc la foncion y p () = ( ) e + e les 4 soluions générales son les foncions y() = ( ) e Ke. En, la valeur de y es 4 + K, il fau donc choisir K = 5 4 posé. pour obenir la soluion au problème de Cauchy Eercice Sur les inervalles précisés, aucun problème : l'équaion homogène y + y = a pour soluions les foncions y h : K, e on cherche y p sous la forme K(). On obien K () =, soi K + ln K() = ln, donc les soluions générales son de la forme y() =. Ces foncions ne son jamais prolongeables par coninuié en, il n'y a donc pas de soluion dénir sur R.

3 Eercice Posons donc z = y (ce qui es possible car y doi êre à valeurs posiives pour saisfaire l'équaion), on a alors y = z, donc y = zz, d'où ( + )zz = 4z + 4z. On doi donc avoir, pour les poins où z ne s'annule pas, ( + )z 4z = 4. Il y a une soluion pariculière évidene à cee équaion qui es la foncion consane égale à, e l'équaion homogène associée z K z = a pour soluions les foncions de la forme, donc on obien z() = ( ) K. La foncion nulle es aussi soluion de l'équaion. K, e y() = Eercice 4 Posons donc z = y, on a alors y = z, donc z z z + z + =, soi en mean ou au z même dénominaeur e en simplian par z z z =. Les soluions de l'équaion homogène son de la forme Ke, e la foncion consane égale à es soluion pariculière évidene, donc z() = Ke. Parmi ces foncions, seules celles obenues pour K ne s'annulen pas e vonc donner des foncions y dénies sur R, qui son alors de la forme y() = K e, avec K R. Eercice 5 En posan u = y y, on a u = y y y y, donc l'équaion devien y (u sin + ) =. La foncion y n'ayan pas rop le droi de s'annuler pour que nore changemen de variables soi valable, on a u () = sin, soi u() = + K. On en dédui que y es soluion de l'équaion diérenielle ( ) an y an + K y =, donc les soluions son de la forme y() = L sin e K. Eercice 6 Il fau changer légèremen l'énoncé pour mere y() = au lieu de y() =, comme cela on reconnai que la foncion y es la foncion angene. Par la méhode d'euler avec pas 4, on a y () =, donc la angene en a pour équaion, donc y( 4 ) 4, puis y ( 4 ) 7 ec. En fai, en 6 noan u k = f( k n ), en prenan comme pas n, on a u k+ = n (u k + ) + u k. Pour n = 4, on a donc u = 4, u = 7 6, u Pour n =, on a u =, u = puis u.96. Sachan que an.557, les approimaions ne son pas vraimen erêmemen saisfaisanes. Eercice 7. Les soluions de l'équaion homogène son les foncions y h : A cos() + B sin(). On cherche une soluion pariculière y p sous la forme y p () = a + b + c, on a donc y p = a, y p es soluion si 4a + 4b + 4c + a = +, soi a = 4, b = 4 e c =. on obien 8 nalemen comme soluions générales les foncions y() = A cos()+b sin() Les soluions homogènes son de la forme y() = A + Be (c'es une fausse équaion du second ordre, on a en fai une équaion du premier ordre en y ), il fau chercher une soluion

4 pariculière de la forme y p () = (a + b + c)e, donc y p() = (a + (a + b) + (b + c))e, e y p() = (a + (4a + b) + (a + b + c))e. Cee foncion es soluion si, après simplicaion par e, a + (6a + b) + a + b + c = 4, ce qui nous donne a =, b = 6 e c = 7. On a donc des soluions générales de la forme y() = A + Be + ( 6 + 7)e. Si on impose de plus y() = A + B + 7 = e e y () = B + =, on obien B = e A = e 8, e la soluion es bien unique.. L'équaion homogène a pour équaion caracérisique r + r + =, don le discriminan es = 8 = 7, e les soluions r = + i 7, e r = i 7. Les soluions son donc de la forme y h () = (A cos( 7 ) + B sin( 7 ))e. Pour la soluion pariculière, on va chercher sous la forme y p () = (a + b)e, donc y p() = (a + a + b)e e y p() = (a + a + b)e, qui es soluion si 4a + a + 4b = 8 +, soi a = e b = 5. Les soluions de l'équaion 4 complèe son donc les foncions y : (A cos( 7 ) + B sin( 7 ))e + ( 5 4 )e. 4. Ici, les soluions de l'équaion homogène son les foncions y h : Ae + Be. Pour la soluion pariculière, uilisons le principe de superposiion : comme sh = e e, on va chercher une soluion pariculière avec second membre e e, puis. Dans les deu cas, l'eposan de l'eponenielle es racine de l'équaion caracérisique, il fau donc prendre un polynome de degré. Posons donc y () = (a + b)e, on a y () = a + a + b)e, e y es soluion pour e si a = 4 (e on prend par eemple b = ) donc y () = 4 e. De même, on obien y () = 4 e, don en faisan la diérence des deu, une soluion pariculière de l'équaion complèe es y p : ch. Finalemen, nos soluions de l'équaion complèe son les foncions y() = Ae + Be + ch. 5. L'équaion caracérisique a pour racines évidenes r = e r =, donc les soluions de l'équaion homogène son de la forme Ae + Be. Il fau chercher y p de la forme (a + b + c + d)e, donc y p() = (a + (a + b) + (b + c) + c + d)e e y p() = a + (6a + b) + (6a + 4b + c) + b + c + d)e. Cee foncion es soluion si (a a + a) + (6a + b 9a b + b) + (6a + 4b + c 6b c + c) + b + c + d c d + d = + 7, soi a + (6a b) + b c = + 7. On obien a =, b = e c =, donc les soluions de l'équaion complèe son de la forme y() = ( + + A)e + Be. 6. L'équaion caracérisique r r + 5 a pour discriminan = 4 = (4i) e pour racines r = + i e r = i, donc les soluions de l'équaion homogène son de la forme (A cos() + B sin())e. Pour la soluion pariculière, on va en chercher une de l'équaion y y +5y = 4e e i = 4e (+i) sous la forme y p () = (a+b)e (+i). On a donc y p() = ((a+ ia)+b+ib+a)e (+i) e y p() = ((a+4ia 4a)+b+ib+a+ib 4b+ia+a+ia)e (+i). On a une soluion si (a+4ia 4a a 4ia+5a) b+4ib+a+4ia b 4ib a+5b = 4, soi a = i (quelle simplicaion specaculaire!), donc une soluion pariculière es la foncion y p () = ie (+i) = ie (cos() + sin()). Pour obenir une soluion pariculière de nore équaion iniiale, il su de prendre la parie imaginaire de la précédene : ỹ p () = cos()e. On obien nalemen pour soluions de l'équaion complèe y() = ((A ) cos() + B sin())e. Eercice 8 On pose donc y() = z(ln ), d'où y () = z (ln ) e y () = z (ln ) + z (ln ). L'équaion devien alors z (ln ) + z (ln ) + z (ln ) + z(ln ) =, soi en posan = ln, z + z + z = e. L'équaion caracérisique associée a pour racine double, donc les soluions 4

5 de l'équaion homogène son de la forme z h () = (A + B)e, e une soluion pariculière sera de la forme Ke, avec 4K 4K + K =, donc K = convien, soi z p () = e. On a donc comme soluions générales les foncions z() = (A + B)e + e, d'où on ire y() = A + B ln +. En imposan y() = y () =, on a A + = A + B =, d'où A = e. La seule foncion soluion de ce problème es donc la foncion ln +. Eercice 9 Comme f () = f( ) +, f es elle-même dérivable, donc f es deu fois dérivable. Dérivons donc l'équaion, on obien f () = f ( ) + = (f() ) + = 4f() + =. La foncion f es donc soluion de l'équaion diérenille f + 4f = +, qui se résou sans diculé : les soluions homogènes son de la forme A cos() + B sin() e une soluion pariculière évidene es la foncion +, donc f() = A cos() + B sin() Eercice Commençons par remarquer qu'en prenan = y =, on a f() = f(), donc f() ne peu prendre que les valeurs e. Mais si f() =, on a R, en prenan y =, f() =, donc f es la foncion nulle. pour la suie, on peu supposer que f() =. Fions désormais y e dérivons par rappor à, on obien f ( + y) + f ( y) = f(y)f (), puis en dérivan à nouveau f ( + y) + f ( y) = f(y)f (). Mais cela rese vrai en échangean le rôle de e de y, donc on a (, y) R, f ()f(y) = f()f (y), soi en posan y =, f () = Kf(), avec K = f (). Si K =, les soluions possibles son de la forme f() = a +, e seule la valeur a = perme de vérier l'équaion foncionnelle de dépar, donc f es consane égale à. Si K >, f es de la forme Ash ( K) + Bch ( K). La valeur en impose B = puis on consae que seul A = perme de vérier l'équaion foncionnelle, donc f() = ch ( K). De même, si K <, on obien une seule soluion possible : f() = cos( K). 5