EXERCICES D ARITHMÉTIQUE

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1 1. On note D(a) l'ensemble des diviseurs positifs de l'entier a. a) Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de 60, puis l'ensemble des diviseurs positifs de 11. Déterminer ensuite l'intersection de ces deux ensembles. b) Répondre aux mêmes questions avec 36 et 175. c) Répondre aux mêmes questions avec 30 et 90.. Décomposer en facteurs premiers les entiers suivants : 7, 10, 360, 390, Soit a, b et c des entiers tels que a = b + c. a) Montrer que, si d divise a et b, alors d divise b et c. b) Montrer que, si d divise b et c, alors d divise a et b. c) Quel résultat peut-on alors énoncer? 4. Soit l'algorithme de calcul suivant : étant donné deux entiers a et b, avec b non nul, on calcule le quotient q et le reste r de la division euclidienne de a par b, puis le quotient et le reste de la division euclidienne de b par r, et ainsi de suite jusqu'à ce que le reste soit nul. Appliquer cet algorithme aux nombres : a) a = 11 et b = 60 ; b) a = 175 et b = 36 ; c) a = 100 et b = 84. Dans chaque cas, donner le dernier reste non nul de cette suite de divisions. 5. a) Selon les valeurs du naturel n, quel est le reste de la division euclidienne de n par 5? b) Répondre à la même question avec 3 n, puis avec 4 n. c) À quel entier simple est congru 5 n modulo 5? 6. Soit E l'ensemble des entiers compris entre 0 et 9. Soit f l'application de E dans E qui, à tout entier n de E, associe le reste de la division euclidienne par 10 de n + 6. a) Calculer f(0), f(4), f(9). b) Montrer que f(n) n + 6 (10). c) Résoudre les équations f(n) = 8, puis f(n) =. d) f est-elle une bijection de E dans E? 7. a) Écrire l'ensemble E des multiples strictement positifs de 1 inférieurs à 00, puis l'ensemble F des multiples de 30 inférieurs à 00. En déduire l'intersection de ces deux ensembles. b) Répondre aux mêmes questions pour les entiers 9 et Calculer en réduisant au même dénominateur le plus petit entier positif possible Soit p un entier premier supérieur ou égal à 5. p a) Montrer que est divisible par p. p b) Montrer que est divisible par p. 3 c) Les résultats précédents restent-ils vrais si p n'est pas premier? 10. Un entier est divisible à la fois par 6 et par 10. Est-il divisible par? par 3? par 4? par 5? par 30? par 60? 11. Déterminer le PGCD des nombres suivants par la méthode de votre choix : a) 16 et 4 ; b) 48 et 7 ; c) 180 et 500 ; d) 665 et 94 ; e) 7634 et 6551 ; f) et 840 ; g) 840 et a) Montrer que (17). b) En déduire le reste de la division euclidienne de par 17, puis de par 17. 1

2 13. Soit a et b deux entiers tels que 4 divise le produit ab. Est-ce que l'un des deux facteurs du produit est divisible par 4? 14. Déterminer l'ensemble des diviseurs communs positifs des entiers suivants : a) 48 et 7 ; b) 16 et 30 ; c) 30 et 500 ; d) 180 et Effectuer les divisions euclidiennes suivantes : a) de 145 par 30 ; b) de 58 par Soit p et q deux nombres premiers distincts. Déterminer D(p) D(q). 17. Soit les entiers a = n et b = 3 m, avec m et n naturels non nuls. Déterminer D(a) D(b). 18. Simplifier le plus possible la fraction 630. Que représente l'entier par lequel on a divisé les deux 546 termes de la fraction? 19. Quels sont les naturels n inférieurs à 100 et tels que le PGCD de n et de 360 soit égal à 5? 0. Deux naturels ont leur PGCD égal à 16 ; le plus grand d'entre eux est 144. À quoi peut être égal l'autre nombre? 1. Dire si les nombres suivants sont ou non premiers entre eux : a) 855 et 57 ; b) 171 et 99 ; c) et ; d) 1 59 et On note n un naturel non nul, A l'entier 3n + 1 et B l'entier 5n 1. a) Montrer que le PGCD de A et B est un diviseur de 8. b) Pour quelles valeurs de n ce PGCD est-il égal à 8? 3. a) Montrer que, si les entiers a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont premiers entre eux. b) Étudier la réciproque. 4. Quels sont les naturels inférieurs à 30 et qui sont premiers avec 80? 5. Le PGCD des entiers a et b est égal à d. Calculer le PGCD des entiers suivants : a) a et a + b ; b) 15a + 4b et 11a + 3b. 6. Quel est le PGCD de deux entiers impairs consécutifs? 7. Trouver deux naturels de produit égal à 6480 et dont le PGCD est Soit n un entier non nul. Quel est le PGCD de n et 3n? 9. Montrer que n et n + 1 sont premiers entre eux. 30. Montrer que, si les entiers a et b sont premiers entre eux, alors a et a + b sont premiers entre eux. 31. Déterminer deux naturels a et b (a < b) ayant pour somme 64 et pour PGCD Montrer que, si x et y sont des entiers premiers entre eux, il en est de même des entiers : 3x + 4y et 4x + 5y. 33. Montrer que, si a et b sont premiers entre eux, alors ab et a + b sont premiers entre eux. 34. Déterminer la fraction irréductible égale à chacune des fractions suivantes : ; ; ; n + 9 Déterminer les valeurs du naturel n pour lesquelles la fraction est irréductible. n Montrer, en utilisant l'algorithme d'euclide, que 1 et 35 sont premiers entre eux. En déduire un couple de Z solution de l'équation 1x + 35y = 1.

3 37. Montrer, à l'aide de l'algorithme d'euclide, que 50 et 77 sont premiers entre eux. En déduire un couple de Z solution de l'équation 50x + 77y = a) Déterminer le PGCD de 045 et 64. b) En déduire que l'équation (1) : 045x 64y = l, d'inconnues les entiers x et y, a une solution au moins. Trouver une solution particulière de l'équation (1). c) Résoudre l'équation (1). 39. Déterminer tous les couples d'entiers solutions de l'équation 55x = 16y. 40. a) Déterminer un couple solution de l'équation : 7x + 11y = 4. b) En déduire tous les couples de Z solutions de cette équation. n Montrer que, pour tout entier n, la fraction est irréductible. n a) Résoudre dans Z l'équation 3x 13y = 1. b) En déduire l'ensemble des entiers x tels que 3x 1 (13). 43. Déterminer les couples (x ; y) d'entiers solutions de l'équation 1(x 3) = 1(y + 4). 44. Montrer que le produit de deux multiples de 3 consécutifs est divisible par Démontrer que, quel que soit le naturel n, l entier A = n (n 1) est divisible par Montrer que, si n est un entier impair, le nombre n(n + )(n + 7) est divisible par On affecte à chaque lettre de l'alphabet un entier compris entre 0 et 5 (on affecte 0 à A, 1 à B,..., 5 à Z). Soit E = {0 ; 1 ; ;... ; 5}. On définit un système de codage à l'aide de la transformation f suivante : si x E, alors x y, où y est le reste de la division euclidienne de x + 10 par 6. a) Coder le mot TCHEQUIE. b) Montrer que tout élément a de E est l'image par f d'un seul élément de E. c) Décoder le mot SXECEOV. 48. Dans chacun des calculs suivants, donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible (utiliser le PPCM) : a) + b) + c) On affecte à chaque lettre de l'alphabet un entier compris entre 0 et 5 (on affecte 0 à A, 1 à B,..., 5 à Z). Soit E = {0 ; 1 ; ;... ; 5}. On définit un système de codage à l'aide de la transformation f suivante : si x E, alors x y, où y est le reste de la division euclidienne de 3x + 1 par 6. a) Coder le mot BAC. b) Déterminer une solution de l'équation 3x 1 (6). c) En déduire que tout élément a de E est l'image par f d'un seul élément de E. d) Décoder alors le mot EANMNG. 50. Le PPCM de deux naturels est 96 ; l'un de ces naturels est 6. Déterminer les valeurs possibles de l'autre nombre. 51. Calculer le PPCM des nombres suivants : a) 108 et 144 ; b) 18 et 30 ; c) et ; d) 480 et 735 ; e) 876 et Vrai ou faux? a) Pour a entier supérieur ou égal à, a et a 3 ne sont pas premiers entre eux. b) L'équation 11x 19y = 1 n'a pas de solution dans Z. c) Si divise 7n, avec n entier, alors n est pair. d) Le PGCD de deux entiers pairs consécutifs est égal à 4. e) Le PPCM de deux nombres premiers distincts est égal à leur produit. 3

4 f) Soit a et b des entiers tels que 3a + 5b = 6. Le PGCD de a et b est 6. g) Si 6 divise a et 10 divise b, alors le PPCM de a et b est divisible par 60. h) Soit a et b des entiers tels que 7a + 8b = 1 ; alors le PGCD de a et b est égal à Déterminer un nombre n de quatre chiffres tel que les restes des divisions de et par n soient respectivement 37 et Déterminer le plus petit naturel, autre que 7, qui donne le même reste 7 quand on le divise par 5 et par a) Trouver deux constantes a et b telles que, pour tout entier k : 9k + 4 = a(k 1) + k + 8 et k 1 = b(k + 8) 17. b) En déduire que, si k est congru à 9 modulo 17, alors le PGCD de 9k + 4 et k 1 est l7, et que, dans les autres cas, le PGCD de ces nombres est Déterminer le PPCM de n + et 4n +, avec n naturel. 57. Déterminer les couples (x ; y) de naturels de PGCD d et de PPCM m tels que m = 1d. 58. Le PGCD de deux naturels a et b non nuls est d. Quel est le PPCM de a et de ab? 59. a) n étant un entier supérieur à 1, déterminer le PGCD des entiers n(n + 1) et (n 1)(n + ). On pourra, pour cela, former leur différence. Qu en conclure pour les nombres : nn ( + 1) ( n 1)( n+ ) a = et b =? b) n étant supérieur à, on considère les nombres : ( n 1)( n+ ) ( n )( n+ 3) b = et c =. Déterminer le PGCD de b et c, suivant la valeur du reste de la division de n par Soit n un entier naturel. Déterminer le PGCD des entiers : A = n+ n et B = 3 n+ 3 n. 61. Déterminer les entiers naturels n inférieurs à 100 tels que PGCD(n ; 380) = a) Déterminer a, b, c et d tels que, pour tout entier n : 5n 3 n = (n + )(an + bn + c) + d. b) Montrer que, pour tout entier n : PGCD(5n 3 n ; n + ) = PGCD(n + ; 38). c) Déterminer l'ensemble des entiers n tels que n + divise 5n 3 n. d) Quelles sont les valeurs possibles du PGCD de 5n 3 n et n +? e) Déterminer l'ensemble des entiers n tels que le PGCD de 5n 3 n et n + soit égal à Montrer que le PGCD des entiers a et b est égal au PGCD des nombres a + bn et a + b(n 1), où n est un entier donné. 64. Calculer deux entiers a et b sachant que leur PGCD est 15 et que les quotients successifs obtenus par l'algorithme d'euclide dans la recherche de leur PGCD sont, 3, 7 et Montrer que, quel que soit le naturel n, la fraction : nn ( + 1) est irréductible. n Soit n un entier ; on considère les deux nombres : A = 5n 9 et B = n 6. Déterminer, selon les valeurs de n, le PGCD de A et de B. 67. On considère l'équation : x + y 1 = PGCD(x ; y), où les inconnues x et y sont des entiers. a) Montrer que, si (x ; y) est solution, alors le PGCD de x et y est égal à 1. b) En déduire que, si (x ; y) est solution, alors x est impair. c) Déterminer alors toutes les solutions de cette équation. 68. Montrer que l'équation 8x + 14y = 1 n'a pas de solution dans Z. 69. Les nombres en question sont des entiers naturels différents de 1. Montrer que : a) Si deux nombres ne sont pas premiers entre eux, l'un au moins de leurs diviseurs communs est premier. b) Si deux nombres sont premiers entre eux, tout nombre premier qui divise leur produit divise l'un et est premier avec l'autre. 4

5 70. Déterminer tous les couples (a ; b) de naturels (a b) tels que : a b = 1 60 et PGCD(a ; b) = a) Soit a un entier. Montrer que les nombres : A = 13a + 3 et B = 15a + ont un PGCD égal à 1 ou à 19. b) Comment faut-il choisir a pour que ce PGCD soit égal à 19? 7. Le PGCD de deux entiers a et b est égal à d. Calculer le PGCD de a n et de b n, avec n naturel non nul. 73. Cinq naturels a, b, c, d et e (avec a 100) sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison un entier strictement supérieur à 1 et premier avec a. Déterminer ces nombres de façon que 6a = e b. 74. Cinq naturels a, b, c, d et e (avec a 100) sont les termes consécutifs d'une suite géométrique de raison un entier strictement supérieur à 1 et premier avec a. Déterminer ces nombres de façon que 6a = e b. n n 75. Déterminer l'ensemble des naturels n impairs tels que la fraction soit réductible. n + (Indication : montrer que le PGCD de n 3 n et n + est aussi celui de n + et 6.) 76. Trouver deux entiers, connaissant leur produit 160 et leur PGCD Soit a et b des naturels. Déterminer les fractions a b satisfaisant aux conditions suivantes : a 0< < 1, a + b = 64 et le PGCD de a et b est 1. b 78. a) Déterminer, dans l'ensemble N, toutes les solutions de l'équation x 3y = 0. b) Déterminer, dans l'ensemble N, une solution de l'équation x 3y = 3. En déduire toutes les autres solutions. 79. Soit a et b deux entiers premiers entre eux. a) Montrer que a et b sont premiers entre eux. b) Montrer que, pour tout naturel n, a et b n sont premiers entre eux. c) Montrer que, quels que soient les naturels n et p, a n et b p sont premiers entre eux. 80. a) Trouver les entiers dont le PGCD est 8 et la différence 56. b) Donner les nombres qui conviennent et qui sont compris entre 80 et Trouver deux naturels dont la somme est 16 et le PGCD égal à Montrer que l'on ne change pas le PGCD de deux entiers lorsqu'on multiplie l'un d'eux par un nombre premier avec l'autre. 83. a) Les entiers a et b étant donnés, déterminer les naturels non nuls n tels que : PGCD(na ; b) = n PGCD(a ; b). b) Déterminer les valeurs de n dans le cas où : a = 55 et b = Résoudre dans N le système suivant : x y = PGCD( x; y) = Déterminer tous les entiers x et y tels que : 17x 5y = 7, en utilisant la solution particulière : x = 1, y =. 86. a) Calculer le PGCD des nombres et b) Résoudre l'équation 3 675x 5 145y = 4 410, où x et y sont des naturels. (On remarquera que (4 ; ) est un couple solution de l'équation.) 87. Soit a et b des entiers naturels non nuls. On note d le PGCD de a et b, et d ' celui de a et ab. Montrer que PGCD(d ' ; b ) = d. 5

6 88. Soit d le PGCD des entiers n et p. Calculer en fonction de d le nombre de multiples de p compris dans la suite n, n, 3n, 4n,..., pn. 89. Déterminer les couples de naturels x et y solutions de l'équation 4x 3y = a) Trouver tous les couples (x ; y) d'entiers satisfaisant 11x 5y = 14 (1), sachant que le couple (19 ; 39) est une solution de (1). b) Montrer qu'il existe un couple et un seul (x 0 ; y 0 ) solution de (1) avec 0 x 0 < Montrer que, pour n entier, 3n + et 5n + 3 sont premiers entre eux. 9. Le reste de la division par 8 d'un naturel A est égal à 5. Le reste de la division de ce même nombre A par 11 est égal à 4. Quel est le reste de la division de A par 88? (Se ramener à l'équation : 11x 8y = 1.) 93. Dans une classe de moins de 40 élèves, la moyenne des notes des filles est de 10, celle des garçons est de 1 et la moyenne générale est de 11,8. Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe? 94. a) Résoudre dans Z Z l'équation : 13x 84y = 7. b) Montrer que, si (x ; y) est une solution de l'équation, le PGCD de x et de y est 1 ou 7. c) Déterminer les solutions (x ; y) de cette équation telles que x et y soient premiers entre eux. 95. Soit q et r le quotient et le reste de la division d'un entier a par un entier b. Sachant que a + b + r = 3 05 et q = 50, rétablir la division. 96. Au théâtre 1. a) En utilisant l'algorithme d'euclide, déterminer une solution particulière de l'équation : 19x + 9y = 1, où x et y sont des entiers. b) En déduire une solution particulière de l'équation : 19x + 9y = 818 (avec x et y entiers). c) Déterminer alors la solution générale pour x et y entiers de l'équation : 19x + 9y = Un théâtre pratique les tarifs suivants : 19 euros l'entrée pour les abonnés ; 9 euros l'entrée pour les autres. À la fin d'une séance le montant des recettes s'élève à 818 euros. La caissière a perdu le talon des billets, mais elle sait qu'en général il y a environ deux fois moins d'abonnés que de non abonnés par séance. Peut-elle retrouver la répartition des spectateurs lors de cette séance? 3x 1 (4) 97. Résoudre dans l'ensemble Z le système suivant :. x 4 (5) (On pourra résoudre les deux équations proposées à l'aide de tableaux de congruences. Égaler ensuite les valeurs trouvées pour se ramener à l'équation 5a 4b = 1.) 98. a) Déterminer les couples (x ; y) de naturels vérifiant la relation : (1) 4x 3y = 11. b) Quelle est la valeur maximale d du PGCD des couples (x ; y) ainsi obtenus? c) Déterminer la forme générale des couples (x ; y) vérifiant la relation (1) et dont le PGCD est égal à d Soit f l'application qui, à tout entier n, associe le réel : f( n) = n a) Déterminer l'ensemble A des entiers n tels que f(n) est entier. b) Quel est l'ensemble B des entiers n de A tels que : n + (f(n)) soit multiple de 5? 100. Déterminer les entiers qui, divisés par 1, donnent pour reste 5 et qui, divisés par 15, donnent pour reste 14. 6