MODÈLES DE RÉFÉRENCES

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1 Plan ANALYSE TEMPORELLE ANALYSE HARMONIQUE 3 MODÈLES DE RÉFÉRENCES 3 MODÈLE PROPORTIONNEL 3 MODÈLE D ORDRE 33 MODÈLE D ORDRE 34 MODÈLE INTÉGRATEUR 4 IDENTIFICATION MODÈLES DE COMPORTEMENT 4 IDENTIFICATION TEMPORELLE 4 IDENTIFICATION HARMONIQUE MODÈLES DE RÉFÉRENCES Objectifs Connaître les caractéristiques des réponses temporelles des modèles d ordre et d ordre Connaître les caractéristiques des réponses harmoniques des quatre modèles de références : proportionnel, ordre, ordre et intégrateur Lire une réponse temporelle Lire un diagramme de Bode Tracer des diagrammes asymptotiques de Bode Établir un modèle de comportement à partir de relevés expérimentaux Connaissances Je sais définir les notions suivantes gain, gain statique constante de temps modèle d ordre apériodique et pseudopériodique coefficient d amortissement, facteur de qualité pulsation propre, de coupure, de cassure, de résonance pseudopulsation temps de pic pic de résonance diagramme de Bode, diagramme asymptotique de Bode échelle logarithmique, décade Savoir faire Je sais reconnaître les réponses indicielles des modèles d ordre et d ordre tracer la réponse indicielle d un modèle d ordre tracer un diagramme asymptotique de Bode à partir d une fonction de transfert ou d un diagramme de Bode réel déterminer les paramètres caractéristiques d un modèle de comportement à partir d une réponse temporelle et/ou d une réponse harmonique Cours automatique continue Modèles de références - /8

2 MODÈLES DE RÉFÉRENCES Dans tout ce chapitre, on travaille avec un système d entrée e, de sortie s et de fonction de transfert H( p) représenté par le schéma-blocs suivant : E ( p ) S( p ) H( p) Analyse temporelle L étude temporelle consiste à analyser et/ou tracer le régime transitoire de la réponse temporelle d un système La réponse temporelle est tracée sur une figure sur laquelle on trouve : en abscisse, le temps ave une origine et une échelle en ordonnée, les valeurs de l entrée et de la (des) sortie(s) Analyse harmonique L étude harmonique consiste à analyser le régime permanent de la réponse harmonique d un système Rappel : On appelle réponse harmonique la réponse d un système soumis à une entrée de type sinusoïdal Fonction de transfert complexe Si on soumet l entrée d un système linéaire stable à un signal sinusoïdal de type e ( t ) = E sin ( t ), on montre qu en régime permanent la réponse s est également sinusoïdale, de même pulsation mais déphasée d un angle ϕ et d amplitude S telle que s ( t ) = S sin ( t + ϕ ) Une fois le régime permanent atteint le temps n influence plus l allure de la réponse Cela correspond à la solution particulière dans la résolution de l équation différentielle régissant le fonctionnement du système étudié, c est à dire la réponse forcée À noter l amplitude E est imposée en entrée la pulsation imposée en entrée se retrouve en sortie l amplitude S et le déphasage ϕ dépendent de S L analyse harmonique s intéresse à l évolution de ϕ et du rapport E en fonction de On définit les fonctions complexes eɶ et sɶ par : it eɶ ( t) = Ee alors i( t+ ϕ s ) ɶ( t) = Se la réponse s( t) et l entrée e( t ) correspondent à la partie imaginaire de sɶ ( t) et eɶ ( t ) n n ( ) ( ) d sɶ d On a ( t ) n ( ) e i e n t = n S = S dt dt n i + ϕ i( t+ ϕ ) k k d eɶ d k i t e i e k t k E E dt dt it et ( ) = ( ) = ( ) k d s d e Soit an ( t ) + + a s( t) = be ( t ) + + bk ( t) avec n > k, l équation différentielle régissant le fonctionnement du système n k dt dt étudié On remplace s( t) et e( t ) par sɶ ( t) et eɶ ( t ) dans cette équation différentielle, on obtient alors n i( t ) k i t ( a n ( i ) a ( i ) a ) Se +ϕ = ( b + b ( i ) + bk ( i ) ) Ee En exprimant le rapport de la sortie sur l entrée, on obtient la fonction de transfert complexe, notée H( i) qui a pour expression ou encore i( t+ ϕ S ) e b + b ( i ) + bk ( i ) H( i ) = = it E e a + a ( i ) + + a ( i) S iϕ b + b ( i) + bk ( i) H( i ) = e = E a + a ( i ) + + a ( i ) n n k n k n La fonction de transfert complexe, notée H( i ), est obtenue en substituant p par i dans l expression de la fonction de transfert du système étudié H ( i ) = S E e iϕ Remarques H( i) est un nombre complexe Pour établir la fonction de transfert complexe, on a supposé que le système était stable Si le système n est pas stable la notion de régie permanent sinusoïdal n a pas de sens mais on peut toujours mathématiquement calculer une fonction de transfert complexe pour un système instable Cours automatique continue Modèles de références - /8

3 S On appelle gain du système, noté G, le rapport d amplitude Il est égal au module de la fonction de transfert complexe H( i ) E S G = H = E Remarque Ne pas confondre le gain du système avec le gain statique du système ( i) On appelle phase du système, noté ϕ, le retard du signal de sortie par rapport au signal d entrée Elle est égale à l argument de la fonction de transfert complexe H( i ) ϕ ( ) arg( H ( i )) = Diagramme de Bode Le diagramme de Bode est une représentation graphique des variations du gain et de la phase d un système en fonction de Il comporte donc deux courbes : La courbe de gain qui représente l évolution du gain exprimé en décibels en fonction de la pulsation en rads ou de la fréquence en Hz Le gain est exprimé en décibels () et est noté G avec G ( ) = log H( i) où log représente le logarithme décimal La courbe de phase qui représentee l évolution de la phase ϕ exprimée en degrés en fonction de la pulsation en fréquence en Hz ϕ ( ) = arg H( i ) ( ) Dans la représentation de Bode on utilise une échelle logarithmique pour les abscisses rads ou de la Une décade est l intervalle séparant deux pulsations dont l une vaut dix fois la première Passage de l échelle linéaire à l échellee logarithmique On s intéresse à la fonction logarithme décimal log Figure : Échelle logarithmique et décade L échelle des antécédents est logarithmique alors que celle des images est linéaire On sait que log( ),3 On peut alors repérer, 4 et 8 sur l échelle logarithmique en regard de,3,6 et,9 de l échelle linéaire Par ailleurs, on a log( ) + log( 5) = alors la graduation 5 sur l échelle logarithmique correspond à,7 de l échelle linéaire ,,,3,4,5,6,7,,8,9 Figure : Échelle logarithmique - échelle linéaire Cours automatique continue Modèles de références - 3/8

4 Les courbes de gain et de phase ont les mêmes abscisses, on les trace toujours l une sous l autre ou éventuellement superposées L exploitation complète d un diagramme de Bode implique une vision simultanée de la courbe de gain et de la courbe de phase 5 G ] 5 5 Pulsation [ rads ] ϕ [ ] Pulsation [ rads ] Figure 3 : Diagramme de Bode Propriétés Si la fonction de transfert H( i) est le produit de deux fonctions H ( ) et H ( ), le diagramme de Bode de H( i ) se déduit facilement par addition des diagrammes de H ( i ) et H ( i ) En effet : ( ) i G ( ) = log H( i ) = log H ( i ) H ( i ) donc G ( ) = log H ( i ) + log H ( i ) i ϕ ( ) = arg( H( i )) = arg ( H ( i ) H ( i) ) donc ϕ ( ) = arg( H ( i) ) + arg( H ( i )) Si H( i) est telle que H( i) = - si F est inversible alors : F ( i) G ( ) = log H( i ) = log F ( i) donc G ( ) = log H ( i ) + log H ( i ) ϕ ( ) = arg( H( i )) = arg ( H ( i ) H ( i) ) donc ϕ ( ) = arg( H ( i) ) + arg( H ( i )) On voit qu il suffit de connaître quelques diagrammes de Bode de base ; diagrammes de Bode de toutes les fonctions de transfert + it ; + iξ + i ; pour pouvoir construire les i Cours automatique continue Modèles de références - 4/8

5 3 Les modèles de références 3 Modèle proportionnel Ce modèle est un modèle d ordre On appelle système proportionnel d entrée e et de sortie s, un système dont le fonctionnement est décrit par une relation de de proportionnalitéest définie par s( t ) = e( t) où est le gain statique 3 Modèle du premier ordre ou d ordre Un système du premier ordre d entrée e et de sortie s, un système dont le fonctionnement est régi par une équation différentielle du er degré à coefficients constants ds Τ ( t ) + s ( t ) = e ( t ) dt dans cette équation est le gain statique Τ est la constante de temps du système, exprimée en secondeτ est un réel strictement positif Fonction de transfert En appliquant la transformée de Laplace à l équation régissant le fonctionnement d un système d ordre et si on suppose s ( ) = alors on obtient On détermine alors la fonction de transfert S( p) H( p) = E ( p) = +Τ p On représente un système du premier ordre par le schéma-blocs suivant : Analyse temporelle - réponse à un échelon E Si l entrée est un échelon d amplitude E alors E( p) = p E On trouve alors S( p) = p( + Τ p) t Par transformation inverse, on trouve s( t ) E = e Τ Un système d ordre est toujours stable E ( p ) S( p ) +Τ p E, 95E, 63E t [s] Τ 3Τ Figure 4 : Réponse à un échelon d un système d ordre Cours automatique continue Modèles de références - 5/8

6 Valeur en régime permanent - Valeur finale : s Pente à l origine : sɺ ( ) s = lim s( t) = E t + En utilisant le théorème de la valeur initiale, on a : E sɺ ( ) = lim sɺ ( t) = lim p( ps( p) ) = t p + Τ Temps de réponse à 5% : t 5% Ici, c est le temps nécessaire pour que le signal de sortie s atteigne 95% de la valeur finale : s( t ) En résolvant l équation précédente, on trouve t r 5% = ln(, 5) Τ 3Τ 5% =, 95E 3 - Analyse harmonique Diagramme de Bode Diagramme de Bode 5 G log Tracés pour = et Τ =, 5 s 5 pente : /décade 5 Pulsation (rads ) Τ Phase (degrés) 5 5Τ Τ Τ Pulsation (rads ) Figure 5 : Diagramme de Bode d un système d ordre Cours automatique continue Modèles de références - 6/8

7 Fonction de transfert harmonique ou complexe On remplace p par i dans la fonction de transfert et on trouve : H( i) = + iτ Gain du système en décibels Par définition G ( ) = log H( i ) On a donc : G ( ) = log Phase du système Par définition ϕ ( ) = arg( H( i )) + Τ π On a alors : ϕ ( ) = arctan( Τ ) car ϕ ( ) ; ou encore G ( ) log log( Τ ) = + Diagramme asymptotique de Bode Pour tracer un diagramme de Bode à la main, on trace d abord un diagramme approché appelé diagramme asymptotique On approche le tracé réel par des droites Pour cela, on réalise deux approximations de la fonction de transfert harmonique : * aux basses pulsations telles que Τ << * aux pulsations élevées telles que Τ >> On note H ( i ) la fonction de transfert harmonique approchée a Τ << = Τ >> Τ Ha ( i ) Ha ( i) valable jusqu à = Ha ( i) Τ iτ valable à partir de Ga ( ) log Ha ( i) log log log Ha ( i ) log Τ ϕa ( ) arg( Ha ( i )) 45 arg( Ha ( i) ) 9 = Τ Pulsation de cassure La pulsation de cassure, notée cas, est une pulsation pour laquelle la courbe de gain du diagramme asymptotique de Bode change de direction Pour un modèle du premier ordre, la pulsation de cassure cas est l abscisse du point d intersection des deux asymptotes On a donc : log log( casτ ) = log soit cas = Τ Écart entre diagramme réel et diagramme asymptotique G ϕ ( ) 3, , , ,5 ( ) G ( ) 3 a La courbe asymptotique de gain donne une approximation correcte du du diagramme réel Pour la courbe de phase, on peut compéter le diagramme asymptotique en remarquant que la tangente à la courbe de phase au point (, 45 ) coupe l asymptote d ordonnée pour cas 5 = et celle d ordonnée 9 pour 5 cas = 5 5Τ Τ Pulsation de coupure à 3- Bande passante à 3 La pulsation de coupure à 3, notée 3, est la pulsation à partir de laquelle le gain en décibels est atténuée de plus de trois décibels par rapport au gain maximal La bande passante à 3 est l intervalle de pulsations ou et de fréquences sur lequel le gain en décibels est atténue de moins de trois décibels par rapport au gain maximal Remarque Une atténuation de 3 du signal correspond à une amplitude de sortie à peu près égale à 7% de l amplitude d entrée Pour un système d ordre : 3 = Τ Comme le temps de réponse à 5% vaut 3Τ alors la largeur de la bande passante permet de caractériser la rapidité pour un système d ordre Cours automatique continue Modèles de références - 7/8

8 33 Modèle du deuxième ordre ou d ordre Un système du deuxième ordre d entrée e et de sortie s, est un système dont le fonctionnement est régi par une équation différentielle du deuxième degré à coefficients constants dans cette équation est le gain statique d s ξ ds ( t) + ( t) + s( t) = e( t ) dt dt ξ est le coefficient d amortissement, sans dimension ξ est un réel strictement positif est la pulsation propre du système non amorti, exprimée en radians par seconde est un réel strictement positif Fonction de transfert En appliquant la transformée de Laplace à l équation régissant le fonctionnement d un système d ordre et si on suppose s ( ) = et s ɺ( ) = alors on obtient On détermine alors la fonction de transfert ξ p + p + S ( p) = E ( p) S( p) H( p) = = E( p) ξ + p + p On représente un système du deuxième ordre par le schéma-blocs suivant : Analyse temporelle - réponse à un échelon E Si l entrée est un échelon d amplitude E alors E( p) = p E On trouve alors S( p) = ξ p + p + p Un système d ordre est toujours stable E ( p ) S( p ) ξ + p + p xi =, xi =,5 xi =,69 xi = xi = Figure 6 : Influence de ξ sur l allure de la réponse à un échelon Pour trouver l expression de s( t) par transformation inverse à partir des tableaux de transformée il faut d abord savoir si le polynôme situé au dénominateur est factorisable dans R Il faut donc rechercher le signe du discriminant du polynôme caractéristique + ξ p p + ξ Comme ce discriminant s écrit =, le polynôme caractéristique se factorise si ξ On distingue alors deux types de système d ordre : les systèmes apériodiques si ξ les systèmes pseudopériodiques si ξ < temps (s) Cours automatique continue Modèles de références - 8/8

9 systèmes apériodiques Comme ξ le polynôme caractéristique est factorisable dansr s( t ) E ξ = ξ =, ξ = 3 ξ = 8 t Figure 7 : Réponse à un échelon d un système d ordre apériodique On peut distinguer deux cas : E ξ > : la fonction de transfert a deux pôles réels distincts donc S( p) = p + T p + T p ( )( ) t t T T On a alors par transformation inverse : s( t) = E + T e Te T T E ξ = : la fonction de transfert a un pôle réel double donc H( p ) = p( + Tp) t On a alors par transformation inverse : ( ) t s t E e = T + T Remarque Lorsque ξ = on parle de régime apériodique critique systèmes pseudopériodiques E Comme ξ < le polynôme caractéristique n est pas factorisable dans R donc S( p) = ξ p + p + p On a alors par transformation inverse : ( ) ξ t e sin ( ) s t = E ξ t + ψ ξ avec sin = et cos = ψ ξ ψ ξ s( t ) ξ =, ξ =, ξ =, 5 ξ =, 69 E ξ =, 8 t Figure 8 : Réponse à un échelon d un système d ordre pseudopériodique Cours automatique continue Modèles de références - 9/8

10 Le signal de réponse s est un signal sinusoïdal amorti d où le nom de système pseudopériodique La pseudopulsation, notée P, est la pulsation des oscillations du signal de sortie des systèmes d ordre pseudopériodique P = ξ À partir de la pseudopulsation, on définit la pseudopériode notée permett P telle que T P = π ξ Caractéristiques de la réponse à un échelon Valeur en régime permanent - Valeur finale : s Pente à l origine : sɺ ( ) s = lim s( t) = E t + Par hypothèse pour le calcul de la fonction de transfert on a : s ɺ ( ) = Dépassements Les dépassements se déterminent à partir de la valeur des extremums du signal de sortie s On cherche donc à résoudre ds ( t ) E ξ e ( ) t = sin ξ t = dt ξ L ensemble des solutions de cette équation est π t TP = soit t = ξ On en déduit l instant des dépassements successifs kπ tk = avec k N ξ Le temps de pic, noté t pic, est l instant du premier dépassement Pour un système d ordre, il est égal à une demi pseudopériode t pic = π ξ À partir de l expression de l instant des dépassements, on détermine l expression du dépassement = s( t ) lims( t) On déduit alors l expression du dépassement relatif kπξ s( tk ) lim s( t ) t ξ Dk = + = e lim s( t ) t + k k t Le dépassement relatif maximum a alors pour expression D = e πξ ξ E = s( t ) lim s( t ) = E e k k t + kπξ ξ t t t 3 t 4 Figure 9 : Dépassements d un système d ordre pseudopériodique Cours automatique continue Modèles de références - /8

11 Temps de réponse à 5% : t 5% s( t ) Le temps de réponse à 5% est le temps mis pour que la valeur du signal de sortie atteigne la valeur finale à 5% près Pour les systèmes d ordre apériodique c est le temps nécessaire pour que le signal de sortie s atteigne 95% de la valeur finale : Cette équation a une unique solution ( ) s t =, 95E 5% Pour les systèmes d ordre pseudopériodique, le temps de réponse à 5% est le maximum de l ensemble des solutions de l inéquation, 95E s( t ), 5E ξ =, ξ =, 5, 5E, 95E ξ =, 69 ξ = t La résolution analytique de l inéquation pour trouver le temps de réponse à 5% des systèmes pseudopériodiques n est pas possible On peut cependant, par résolution numérique, déterminer un nombre sans dimension appelé temps de réponse réduit Cette résolution numérique permet de tracer l abaque de la figure Figure : Temps de réponse à 5% de plusieurs systèmes d ordre Le temps de réponse réduit, parfois noté t rr, est le produit du temps de réponse à 5% et la pulsation propre non amortie t = t rr 5% À partir des courbes de la figure, on peut remarquer que le système d ordre le plus rapide est celui dont le premier dépassement relatif est de 5% à un da lecture de l abaque, on trouve ξ Figure : Abaque du temps de réponse réduit en fonction du coefficient d amortissement Cours automatique continue Modèles de références - /8

12 Au vu des courbes de réponses à un échelon de la figure, on remarque que le système ayant le plus petit temps de réponse à 5% est un système pseudopériodique dont le premier dépassement relatif est égal à 5% On a donc pour ce système En résolvant cette équation on trouve πξ ξ D = e =, 5 ξ, 69 Le système d ordre le plus rapide est un système pseudopériodique avec un coefficient d amortissement de, 69 et on a t5% 3 Voir abaque, figure Remarque Le cahier des charges peut imposer un critère de non dépassement donc l obligation d avoir un système apériodique Dans ce cas le système le plus rapide est le système apériodique critique avec ξ = On a alors t5 5 % 3 Analyse harmonique Diagramme de Bode 4 gain [] ξ =, ξ =, ξ = Pulsation rad s - ξ = Pulsation - rad s phase [ ] -8 Figure : Diagramme de Bode de systèmes d ordre pour = et = rad s Au vu des courbes de la figure, on peut noter que La pente de la courbe de gain est nulle pour les faibles pulsations et de 4 par décade aux pulsations élevées Certaines courbes de gain présentent un maximum La valeur de la phase décroit de à 8 et vaut exactement 9 pour = Le passage de à 8 s effectue plus rapidement pour les systèmes à faibles coefficients d amortissement Fonction de transfert harmonique ou complexe On remplace p par i dans la fonction de transfert et on trouve : H( i) = ξ + i Cours automatique continue Modèles de références - /8

13 Gain du système en décibels Par définition G ( ) = log H( i ) On a donc : G ( ) = log ξ + ξ ou encore G ( ) = log log + Phase du système ξ Par définition ϕ ( ) = arg( H( i )) soit ϕ ( ) = arg + i La partie réelle du complexe z( ) la partie imaginaire est toujours positive On a donc z ( ) [ ; π ] On distingue alors trois cas = ξ i + peut être positive ou négative selon que plus petit ou plus grand que alors que < : les partie réelle et imaginaire de z( ) sont positives donc z ( ) ; π On peut alors écrire : = : z( ) est un imaginaire pur, on a alors ξ <, ϕ ( ) = arctan π ϕ ( ) = π > : la partie réelle de z( ) est négative, comme la partie imaginaire est toujours positive alors z ( ) ; π On a alors : > = ξ, ϕ ( ) arctan π Diagramme asymptotique de Bode L approche est la même que pour les systèmes d ordre On détermine une fonction de transfert harmonique approchée pour de faibles pulsations telles et pour des pulsations élevées telles que On note H ( i ) a la fonction de transfert harmonique approchée H ( i ) H ( i ) a a Ga ( ) Ha ( ) = valable jusqu à log i log = H ( i) log logξ a valable à partir de = log Ha ( i ) log 4 log ϕa ( ) arg( Ha ( i )) 9 arg( Ha ( i) ) 8 Pour tracer le diagramme asymptotique, on repère la pulsation propre La courbe de gain du diagramme asymptotique se compose d une demi-droite de pente nulle d ordonnée log pour d une demi-droite de pente 4 par décade pour qui passe par le point (, log ) La courbe de phase du diagramme asymptotique se compose d une demi-droite de pente nulle d ordonnée pour d une demi-droite de pente de pente nulle d ordonnée 8 pour On complète la courbe de phase ave la valeur de la phase pour la pulsation de cassure ϕ = 9 : ( ) À partir du tableau précédent, on peut tracer le diagramme asymptotique d un système d ordre, figure 3 Pulsation de cassure Comme la pulsation de cassure cas est l abscisse du point d intersection des deux asymptotes Pour un modèle du deuxième ordre, on a : log log 4 log cas = soit cas = Cours automatique continue Modèles de références - 3/8

14 4 gain [] log log 4 Pulsation rad s 4 pente 4 / décade 8-45 Pulsation rad s phase [ ] -8 Figure 3 : Diagramme de Bode asymptotique des systèmes d ordre pour = 5 et, = 5rad s Remarque Le tracé de la figure 3 est valable pour tous les systèmes du deuxième ordre Le tracé de la figure 3 peut être affiné pour les systèmes apériodiques dont la fonction de transfert s écrit comme le produit de deux fonctions de transfert d ordre En utilisant les propriétés du logarithme et de l argument des complexes, on déduit du tracé d un système d ordre le tracé du diagramme asymptotique d un ordre apériodique, figure 4 La fonction de transfert d un système apériodique s écrit H( i) = ( + it )( + it ) Par identification, on montre que = TT Donc sur l échelle logarithmique, se situe au milieu du segment T T T 4 / décade - log T 4 / décade Figure 4 : Diagramme de Bode asymptotique des systèmes d ordre apériodiques pour = 5, =, 5rad s et = ξ 3,rad s Cours automatique continue Modèles de références - 4/8

15 Résonance On voit sur les courbes de gain de la figure que certaines courbes possèdent un maximum On a alors sur une petite plage de pulsations une augmentation du gain donc une amplification de l amplitude du signal de la réponse harmonique On parle de phénomène de résonance En étudiant la fonction G, on montre qu il y a existence d un maximum pour des coefficients d amortissement plus petit que On appelle pulsation de résonance, notée R, la pulsation pour laquelle le gain atteint son maximum R = ξ Pour cette pulsation, la courbe de gain présente un maximum appelé pic de résonance Remarque Le pic de résonance n est significatif que pour de petites valeurs du coefficient d amortissement À la résonance, on a On peut définir un facteur de surtension G( R ) = ξ ξ ( R ) H( ir ) ( ) lim H( ) ξ ξ G q = = = lim G i On en déduit la hauteur du pic de résonance ( ) log H( ir ) log lim H( i) = logq = log ξ ξ Pour de petites valeurs du coefficient d amortissement, on a alors q ξ On voit alors que la valeur du facteur de surtension peut être approchée par la valeur du facteur de qualité Q vu en physique Pour des coefficients d amortissement faibles, la hauteur du pic de résonance peut s écrire Remarque La pulsation de résonance n existe que pour ( ) log H( ir ) log lim H( i ) log = logq ξ ξ < Synthèse des comportements des systèmes d ordre RÉPONSE INDICIELLE Système oscillant ou pseudo périodique dépassements Système apériodique pas de dépassements ξ : coef d'amortissement Résonance RÉPONSE HARMONIQUE COEFFICIENT D AMORTISSEMENT Système apériodique pas de dépassements / FACTEUR DE QUALITÉ RÉPONSE INDICIELLE Système oscillant ou pseudo périodique dépassements Q : facteur de qualité Résonance RÉPONSE HARMONIQUE Figure 5 : Synthèse du comportement des systèmes d ordre Cours automatique continue Modèles de références - 5/8

16 34 Système intégrateur Un système intégrateur d entrée e et de sortie s, est un système décrit par l équation différentielle suivante s( t) = e( τ ) dτ t Fonction de transfert En appliquant la transformée de Laplace à l équation régissant le fonctionnement d un système intégrateur et si on suppose s ( ) =, on obtient On détermine alors la fonction de transfert S( p) = E ( p) p S( p) H( p) = E ( p) = p On représente un système du deuxième ordre par le schéma-blocs suivant : E ( p ) S( p ) p Analyse temporelle - réponse à un échelon E Si l entrée est un échelon d amplitude E alors E( p) = p E On a alors S( p) = p Par transformation inverse, il vient s( t ) = Et On constate alors que le système intégrateur n est pas stable, la réponse indicielle n est pas un signal borné On ne peut donc pas mener d étude temporelle 3 Analyse harmonique Fonction de transfert harmonique ou complexe On remplace p par i dans la fonction de transfert et on trouve : H( i) = i Gain du système en décibels Par définition G ( ) = log H( i ) On a donc : G ( ) = log log Phase du système π Par définition ϕ ( ) = arg( H( i )) soit ϕ ( ) = Diagramme de Bode 6 4 gain [ ] log Pulsation rad s - -4 Pulsation rad s -3 L étude de l expression du gain montre que c est une droite de pente décibels par décade Cette courbe de gain passe par le point (,G ( ) ) donc par le point (, log ) phase [ ] Le complexe a pour argument i 9 La pahse est donc constamment égale à 9 Figure 6 : Diagramme de Bode d un système intégrateur Cours automatique continue Modèles de références - 6/8

17 4 Identification Modèles de comportementt À partir des réponses indicielles on ne peut proposer que des modèles d ordre ou d ordre Pour pouvoir proposé un modèle d ordre supérieur, il faut disposer d une réponse harmonique 4 Identification temporelle Détermination du gain statique Les systèmes d ordre ou d ordre on Si on connaît l amplitude de l échelon alors on détermine la valeur du gain statique Détermination de l ordre Si la pente à l origine de la réponse indicielle est nulle alors on a un modèle d ordre dans le cas contraire on peut adopter un modèle d ordre Il reste à déterminer les caractéristiques de chacun de ces modèles 3 Détermination de la constante de temps T On utilise la valeur du temps de réponse à 5% qui vaut3t On confirme la valeur obtenue en utilisant le temps mis pour atteindre 63% de la valeur finale qui vaut T On peut éventuellement utiliser la valeur de la tangente à l origine mais les signaux expérimentaux sont souvent bruités donc difficile d exploiter cette valeur de tangente à l origine 4 Détermination du coefficient d amortissement ξ et de la pulsation propre non amortie Comme on détermine la valeur du coefficient d amortissement en exploitant les dépassements de la réponse indicielle, on ne peut identifier que les systèmes d ordre pseudopériodiques On sait que l expression du premier dépassement relatif est En exploitant la valeur du dépassement relatif, on détermine le coefficient d amortissement ξ En utilisant le temps de pic qui vaut nt la même expression de valeur finale pour leur réponse indicielle On détermine la pulsation propre non amortie puisqu on connaît la valeur du coefficient d amortissement πξ ξ D = e t pic = π ξ : E On peut affiner la détermination du coefficient d amortissement en utilisant l expression du coefficient d amortissement obtenue à partir de l expression du k ème dépassement Cette expression permet de tracer l abaque de la figure 7 ξ = k ( ln( Dk )) π + ( ln( Dk )) Dépassement relatif D k Coefficient d amortissement ξ Figure 7 : Abaque des trois premiers dépassements relatifs Cours automatique continue Modèles de références - 7/8

18 4 Identification harmonique On sait que, dans le cas général, la fonction de transfert d un système s écrit k S( p) cp cp ckp H( p) = E ( p) = α p d p + d p + + d p Tout polynôme peut s écrire sous la forme d un produit de polynômes d ordre ou d ordre irréductibles dans R On connaît les caractéristiques des diagrammes de Bode des système d ordre et À partir des propriétés du logarithme et des complexes, on sait qu on peut en déduire le tracé de tous les systèmes On a remarqué sur les diagrammes asymptotiques que lorsque La pente valait 4/ dec alors la phase valait 8 La pente valait / dec alors la phase valait 9 La pente valait /dec alors la phase valait La pente valait /dec alors la phase valait 9 Si on connait la pente et/ou la phase pour les faibles pulsations, on connait alors la classe α de la fonction Si on trouve la pente et/ou la phase pour les hautes pulsations, on détermine la valeur de m m α + m k où α + m représente l ordre du système Ensuite, en parcourant la courbe de phase depuis les faibles pulsations, on regarde si la phase est continûment décroissante ou non Toute hausse de phase correspond à une augmentation du degré du polynôme situé au numérateur, augmentation de k On peut alors proposer un modèle dans lequel on connaît la classe, l ordre Pour trouver les constantes de temps et/ou les pulsations propres, il faut trouver les pulsations de cassures en superposant au diagramme réel, un diagramme asymptotique Enfin la valeur du coefficient d amortissement se détermine aisément s il y a un pic de résonance, en utilisant le facteur de surtension En l absence de résonance, il faut regarder la différence entre diagramme asymptotique et diagramme réel pour la valeur de la pulsation propre non amortie La valeur du gain statique se détermine aux basses pulsations dans le cas de fonction de classe, dans ce cas le gain aux basses pulsations vaut 3 log Dans le cas contraire il faut effectuer le calcul pour une petite valeur de pulsation du genre rads ou rads Exemple Pulsation rad s gain [ ] Pulsation rad s phase [ ] Cours automatique continue Modèles de références - 8/8