Comme son lien avec la Physique le laisse supposer, les vecteurs permettent d'introduire la notion de mouvement dans la Géométrie.

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1 Les vecteurs Introduction : Les vecteurs sont fondamentaux : En Mathématiques : Le calcul vectoriel est un outil très puissant apparu à la fin du 19 ième siècle pour effectuer des démonstrations en Géométrie ( alignement, parallélisme...) En Physique : Galilée «La Nature est écrite en langage mathématique». Les vecteurs permettent de décrire des grandeurs cinématiques comme la vitesse et l'accélération et les forces ( Gravitationnelles et électromagnétiques). La deuxième loi de Newton traduit une relation entre grandeurs vectorielles : f =m a Comme son lien avec la Physique le laisse supposer, les vecteurs permettent d'introduire la notion de mouvement dans la Géométrie. I-Définition des vecteurs 1-La translation Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C l'unique point D tel que [BC] et [AD] aient le même milieu. Important : Pour construire D, on peut tracer le parallélogramme ABDC Vocabulaire : D est appelé l'image de C par la translation qui transforme A en B. 1/8

2 Cas particulier : A,B, et C sont alignés ( parallélogramme aplati) La translation est une transformation du plan, comme la symétrie centrale, la symétrie axiale. Elle conserve les milieux, l'alignement, les distances, les angles. C'est une isométrie (distances) et même un déplacement (distances et angles) 2-Les vecteurs Soient deux points A et B donnés, D l'image de C par la translation qui transforme A en B. Les points A et B pris dans cet ordre, et les points C et D, pris dans cet ordre, représentent le même vecteur u : u= AB= CD Remarque : Il existe une infinité de façon de représenter le vecteur u, car on peut le tracer en chaque point du plan. 2/8

3 Exemple : force gravitationnelle qui existe en plusieurs points. Cas de la surface terrestre. Vocabulaire : La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur AB A savoir : Pour dessiner un vecteur AB on trace le segment [AB] puis on dessine une flèche en B Cas particulier : AA= 0 Propriétés : Égalité de deux vecteurs (1) AB= CD [AD] et [BC] ont le même milieu (2) AB= CD ABDC est un parallélogramme (3) AB= CD (AB) est parallèle à (CD), AB=CD, et AB et CD sont dans le même ordre. Remarque : Si les points ABCD sont tels que AB CD e AB=CD et AB et CD n'ont pas le même sens, les vecteurs AB et CD sont opposés. Deux vecteurs opposés ont même direction, même longueur, et sont des sens opposés. Exemple : 3/8

4 BA= AB Soit I milieu du segment [AB], on a : IA= IB Théorème: AB= CD AC= BD Démonstration: AB= CD ABDC parallélogramme ACDB parallélogramme AC= BD 4/8

5 II-Coordonnées d'un vecteur Le plan est muni d'un repère (O;I,J) Les coordonnées d'un vecteur u dans un repère (O;I;J) sont les coordonnées du point M tel que : OM= u Notation : Soit M(x;y) le point du plan tel que : OM= u, on note : u x ; y Exemple : OI 1;0, OJ 0 ;1 et u 1;4 Propriété 1: u x ; y = v x' y ' x=x ' et y= y' Propriété 2: Soit A ' x A ' ; y A ' l'image de A x A ; y A par la translation de vecteur u x ; y On a : x A '=x A x y A '=y A y Démonstration : On considère M tel que OM= u et on considère que les segments [AM] et [OA'] ont même milieu. x A x M = x O x A ' Or x M =x d'après la définition des coordonnées d'un vecteur et x O =0 car O 2 2 est l'origine du repère. x A x 2 = 0 x A ' x 2 A '=x A x Pour mémoire : Effectuer la translation de vecteur u, c'est «se déplacer de x» sur l'axe des abscisses puis «de y» sur l'axe des ordonnées. Propriété 3: Soient deux points du plan A x A ; y A et B x B ; y B, alors on a : AB x B x A ; y B y A 5/8

6 Démonstration : On peut utiliser directement le résultat précédent, ou utiliser la même méthode que dans la démonstration précédente. [AM] et [OB] ont même milieu donc : x A x 2 = x 0 B x 2 A x=x B x=x B x A Retenir : coordonnées du deuxième point coordonnées du premier point. Cas particuliers : Soit M(x;y) et O l'origine du repère alors les coordonnées du vecteur OM sont (x;y) Les coordonnées du vecteur nul sont (0;0) Soit u a ;0 avec a un réel non nul, alors u est parallèle à l'axe des abscisses Soit u 0; a avec a un réel non nul, alors u est parallèle à l'axe des ordonnées On dit que deux vecteurs qui ont même direction sont colinéaires 6/8

7 III-Somme de vecteurs La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur s translations t de vecteur u et t' de vecteur v. résultant de l'enchaînement des On écrit : s= u v Conséquence : Si t envoie A en B et si t' envoie B en C, alors l'enchaînement de t et de t' envoie A en C, d'où la première des propriétés suivantes: Propriétés Relation de Chasles. Du nom du mathématicien français Michel Chasles ( ) (1) AB BC= AC (2) Soit AB= u et AC= v Le point D tel que parallélogramme AD= u v est l'unique point du plan qui vérifie : ABDC est un Démonstration : On construit le point D tel que AC= BD Figure. Somme des forces appliquées à une boule sur une pente. Gravité et Réaction. Propriétés : (1) Soit u x ; y et v x' ; y ' alors u v a pour coordonnées (x + x'; y + y') Démonstration : On considère le point M tel que OM= u et le point M' tel que MM '= v. Les coordonnées de M sont (x;y) par définition des coordonnées d'un vecteur. Et les coordonnées de M' sont (x+x';y+y') car M' est l'image de M par la translation de vecteur v. Par définition des coordonnées d'un vecteur les coordonnées de u v sont celles du point M' (2) u v= v u Démonstration : on peut utiliser les coordonnées 7/8

8 La différence des vecteurs u et v est : u v= u v Exemple : Calculer AB AC IV-Colinéarité 1-Multiplication d'un vecteur par un réel. 2-Vecteurs colinéaires. 3-Propriétés importantes. Points alignés Droites parallèles. 8/8