et z B alors le vecteur AB a pour affixe le iy B. Alors par définition les coordonnées = x B, z B, z C et z D, z C = z B

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1 Chapitre 9 Nombres complexes et géométrie Dans tout ce chapitre on se place dans un repère orthonormal direct du plan complexe O ; i ; j. 1. Affixe d un vecteur Définitions et conséquences Définition : Si M est un point de coordonnées cartésiennes (a ; b) on lui associe le nombre complexe z M =a ib, ce nombre est appelé l affixe du point M. Si w est un vecteur de coordonnées cartésiennes (a ; b) on lui associe le nombre complexe z w =a ib, ce nombre est appelé affixe du vecteur w. Soient A et B deux points d affixes respectives z A et z B alors le vecteur AB a pour affixe le nombre complexe z =z z AB B B. Notons z A = x A iy B et z B = x B iy B. Alors par définition les coordonnées cartésiennes de A sont x A ; y A et celles de B sont x B ; y B, celles du vecteur AB sont donc x B x A ; y B y A. Ainsi l affixe du vecteur AB est x B x A i y B y A =z B z A. Si w et w ' ont pour affixes respectives z et z, alors : w w ' a pour affixe z + z et pour tout réel le vecteur w a pour affixe z. De plus w= w ' z=z '. Remarque : l égalité de deux vecteurs se traduit par un système de deux égalités traduisant l égalité des abscisses et celle des ordonnées. Avec les affixes complexes, cette égalité de vecteur ne se traduira que par une seule égalité de deux nombres complexes. A partir de cette remarque, on obtient une traduction de la colinéarité de deux vecteurs. Si A, B, C et D ont pour affixes respectives z A, z B, z C et z D, alors AB et CD colinéaires R tel que z D z C = z B z A. Théorème Si w a pour affixe z alors w = z. Là encore, il suffit de repasser aux coordonnées cartésiennes. Notons z = a + ib alors w a pour coordonnées cartésiennes (a ; b) et donc w = a 2 b 2 = z. Remarque : l affixe étant un nombre complexe, elle peut être exprimée sous forme algébrique, trigonométrique ou exponentielle. Dans les deux derniers cas la détermination de la norme du vecteur est alors directe. 1 TSFB Cours Sainte Marie de Hann

2 Barycentre A 1 ; 1 ; A 2 ; 2 ;... ; A n ; n z 1 ; z 2 ;... ; z n tels que i =1 G, et G a pour affixe le nombre complexe : n sont n points pondérés du plan ; d affixes respectives i 0. Alors ce système de points pondérés admet un barycentre noté 1 z 1 2 z 2... n z n n. Distance. Soient A et B deux points d affixe respectives z A et z B alors AB= z A z B. Considérons le vecteur AB et le point M tel que AB= OM. Le point M existe et est unique, notons z M son affixe. On a z OM =z M z 0 =z M et z AB =z B z A. On a donc z M =z B z A. Or AB= AB = OM = z M = z B z A. Angles orientés Soient A, B, C et D quatre points d affixes respectives z A, z B, z C et z D tels que A B et C D. Alors u ; AB =arg z B z A [2 ] et AB ; CD =arg z D z C z B z A [2 ]. Remarque : On a ici un moyen de calculer la mesure d un angle orienté de vecteur. Ceci est beaucoup plus difficile à l aide des coordonnées cartésiennes. Il faudra faire bien attention à l écriture du quotient, l affixe du premier vecteur est au dénominateur et celle du second au numérateur. Considérons le vecteur AB et le point M tel que AB= OM. Le point M existe et est unique, notons z M son affixe. On a z OM =z M z 0 =z M et z AB =z B z A. On a donc z M =z B z A. Or u ; AB = u ; OM =arg z M =arg z B z A [2 ]. De plus AB ; CD = AB ; u u; CD = u; CD u; AB =arg z D z C arg z B z A =arg z D z C z B z A [2 ]. Remarque : on peut maintenant avoir une caractérisation de la colinéarité et de l orthogonalité de deux vecteurs à l aide de leurs affixes. 2 TSFB Cours Sainte Marie de Hann

3 2. Ensembles de points. Cercle Soit r un réel strictement positif et le point du plan complexe d affixe. L ensemble des points M du plan d affixe z tels que z =r est le cercle de centre et de rayon r. z =r M =r M C ;r Remarque : Si z =r alors il existe un réel tel que z =r e i, donc z=r e i. Propriété et définition : Le cercle de centre et de rayon r est l ensemble des points M d affixe z tels que z=r e i avec R. L écriture z=r e i, R s appelle la représentation paramétrique du cercle C ;r. est appelé le paramètre. Remarque : La propriété ci dessus ne présente pas un intérêt fondamental car on peut avoir une équation cartésienne du cercle. Mais certains objets géométriques n ont pas d équation cartésienne, seulement une représentation paramétrique, c est le cas des droites de l espace par exemple. Médiatrice A et B sont deux points d affixes respectives a et b. L ensemble des points M d affixe z tel que z a = z b est la médiatrice du segment [AB]. z a = z b AM =BM M appartient à la médiatrice du segment [AB]. demi droites Soit A un point d affixe a et w un vecteur tel que u ; w = [2 ]. L ensemble des points M d affixe z tel que arg z a = [2 ] est la demi droite ouverte d origine A et dirigée par le vecteur w. Notons d cette demi droite ouverte. M z d AM et w sont colinéaires et de même sens u ; AM = u ; w = [2 ] Or u ; AM =arg z a [2 ] donc M z d arg z a = [2 ] Remarque : pour définir la droite privée du point A il suffit de travailler modulo. 3 TSFB Cours Sainte Marie de Hann

4 3. Écritures complexes des transformations. Translation Soit un vecteur w d affixe b. t est la translation de vecteur w t a pour écriture complexe z '=z b. t est la translation de vecteur w pour tout point M(z) son image est le point M (z ) tel que MM ' = w z ' z=b z '=z b t a pour écriture complexe z '=z b. z '=z 3 i est l écriture complexe de la translation de vecteur d affixe 3 + i. Homothétie est un point d affixe et k un nombre réel. h est l homothétie de centre et de rapport k R h a pour écriture complexe z ' =k z. h est l homothétie de centre et de rapport k pour tout point M(z) du plan, son image par h est le point M (z ) tel que M '=k M. pour tout point M(z) du plan, son image par h est le point M (z ) tel que z ' =k z. z '= 3 z 2 3i 2 3i est l écriture complexe de l homothétie de centre 2 3i ( 2 3i ) de rapport 3. En effet z '= 3 z 2 3i 2 3i 2 3i = 3 z 2 3i Ω + et Remarque : L écriture complexe de l homothétie de centre O et de rapport k non nul est z '=kz. Ainsi multiplier un nombre complexe z par un nombre réel k non nul, signifie géométriquement transformer le point M d affixe z par l homothétie de centre O et de rapport k. Rotation est un point d affixe et un nombre réel. r est la rotation de centre et d angle r a pour écriture complexe z ' =e i z. r est la rotation de centre et d angle Élevé pour tout point M(z) du plan M, son image par r est le point M (z ) tel que M= M ' et M ; M ' = [2 ]. pour tout point M(z) M du plan, son image par r est le point M (z ) tel que z = z ' et arg z = [2 ]. pour tout point M(z), M son image par r est le point 4 TSFB Cours Sainte Marie de Hann

5 M (z ) tel que z ' z =1 et arg z ' z = [2 ]. pour tout point M(z), M son image par r est le point M (z ) tel que z =ei pour tout point M(z), M son image par r est le point M (z ) tel que z ' =e i z. z '=e i 3 z 2 i 2 i z ' 2 i =e i 3 z 2 i 2 i et d angle 3. est l écriture complexe de la rotation de centre Remarque : L écriture complexe de la rotation de centre O et d angle est z '=e i z.ainsi multiplier un nombre complexe z par un nombre complexe de module 1 et d argument, signifie géométriquement transformer le point M d affixe z par la rotation de centre O et d angle. Multiplier un nombre complexe z par un nombre complexe z 1 =r e i où r est un réel strictement positif et un réel, signifie géométriquement transformer le point M d affixe z par la composée de l homothétie de centre O et de rapport r et de la rotation de centre O et d angle. L ordre n ayant pas d importance. M (z ) tel que z ' z =1 et arg z ' z = [2 ]. pour tout point M(z), M son image par r est le point M (z ) tel que z =ei pour tout point M(z), M son image par r est le point M (z ) tel que z ' =e i z. z '=e i 3 z 2 i 2 i z ' 2 i =e i 3 z 2 i 2 i et d angle 3. est l écriture complexe de la rotation de centre Remarque : L écriture complexe de la rotation de centre O et d angle est z '=e i z.ainsi multiplier un nombre complexe z par un nombre complexe de module 1 et d argument, signifie géométriquement transformer le point M d affixe z par la rotation de centre O et d angle. Multiplier un nombre complexe z par un nombre complexe z 1 =r e i où r est un réel strictement positif et un réel, signifie géométriquement transformer le point M d affixe z par la composée de l homothétie de centre O et de rapport r et de la rotation de centre O et d angle. L ordre n ayant pas d importance. 5 TSFB Cours Sainte Marie de Hann

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