FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

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1 FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle l'image de par f. La fonction est notée f : D IR f() L'ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction f. n appelle représentation graphique de f, ou courbe représentative de f, l'ensemble (C) des points M de coordonnées ( ; f()) avec D L'équation y = f() est appelée équation de (C). Pour D, on sait que a une image et une seule par f. La représentation graphique de f a donc un et un seul point d'abscisse. f() Si l'ensemble de définition d'une fonction n'est pas indiqué, il est convenu que cet ensemble de définition est le plus grand ensemble sur lequel f() eiste. Par eemple la fonction f définie par f() = est définie sur IR* c'est-à-dire représente une fonction ne représente pas une fonction sur ]- ; 0[ ]0 ; + [. Eercice 0 Parmi les courbes ci-dessous, indiquer celles qui peuvent représenter une fonction. courbe y y courbe 2 y courbe 3 y courbe 4 Si et y sont deu réels tels que y = f(), alors y est l'image de par la fonction f. est un antécédent de y par la fonction f. Par une fonction f, un réel ne peut pas avoir plusieurs images, mais un réel y peut avoir plusieurs antécédents. ères Fonctions page / 0

2 Eercice 02 n considère la fonction f définie par f() = 2 + ) Justifier que f est définie sur IR. 2 ) Donner les images par f de 3 ; 0 ; 2 ;-3. 3 ) Les nombres 2 ; 0 ; 2 ont-ils des antécédents par f? Si oui déterminer ces antécédents. Eercice 03 ( voir animation ) n considère la fonction f dont la courbe est donnée par le graphique ci-contre ou par l'animation. Compléter le tableau de valeurs suivant : f() f() Eercice 04 n considère la fonction f dont la courbe est donnée par le graphique ci-contre ou par l'animation de l'eercice 3. ) Donner les antécédents par f de : 0 ; 2 ; - 0 ; ) Résoudre les équations f() = ; f() = ) Quel est le minimum de f sur [-5 ; 6]? En quelle valeur ce minimum est-il atteint? Quel est le maimum de f sur [-5 ; 6]? En quelle valeur ce maimum est-il atteint? Eercice 05-8 n considère la fonction f dont la courbe est donnée par -9 le graphique ci-dessus ou par l'animation de l'eercice 3. ) Compléter : f est décroissante sur <<<<<<<<<< f est croissante sur <<<<<<<<<<< Dresser le tableau de variations de f. 2 ) Donner l'ensemble des solutions de chacune des inéquations suivantes : f() 0 ; f() ³ 3 ) Compléter les propositions suivantes : Si 5 6 alors f() Si -3 3 alors f() 4 ) Tracer sur le dessin la droite D d'équation y = Donner les solutions de l'équation f() = ; de l'inéquation f() Eercice 06 n considère la fonction f définie par f() = 3 - (f est une fonction homographique) ) Quel est l'ensemble de définition D de f? 2 ) Donner les images par f de 0 ; ; ) Les nombres ; 0 ; 3 ont-ils des antécédents par f? Si oui déterminer ces antécédents. 2 4 ) a) Justifier que pour tout D, on a : f() = b) Préciser la position de la courbe de f par rapport à la droite d'équation y = 3 2. c) Vérifier en utilisant une calculatrice ou un ordinateur. ères Fonctions page 2 / 0

3 Définition n dit qu'une fonction f est croissante sur un intervalle I, si pour tout a et pour tout b de I tels que a b on a f(a) f(b) (n dira que f est strictement croissante si on a la même propriété avec des inégalités strictes) f(b) f(a) a b fonction croissante n dit qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle I, si pour tout a et pour tout b de I tels que a b on a f(a) ³ f(b) (n dira que f est strictement décroissante si on a la même propriété avec des inégalités strictes) f(a) f(b) fonction décroissante a b Une fonction croissante est une fonction qui conserve l'ordre. Une fonction décroissante est une fonction qui inverse l'ordre. Si une fonction f est croissante sur un intervalle I ou décroissante sur I, on dit que f est monotone sur I. Eercice 07 a et b sont deu réels. ) Démontrer, en utilisant des inégalités que l'on justifiera soigneusement, que si a < b alors - 3a + 4 > - 3b + 4 Que peut-on en déduire pour la fonction f définie par f() = ? 2 ) De la même façon justifier le sens de variation de la fonction g définie par g() = 2-5. II Fonction carré - Fonction inverse - Fonctions affines Eercice 08 ) Soient a et b deu réels dans [0 ; + [ tels que a < b. En factorisant a 2 - b 2, et en étudiant le signe de chacun des facteurs, démontrer que a 2 - b 2 < 0. En déduire le sens de variation de la fonction carré sur [0 ; + [. 2 ) En utilisant la méthode du ), déterminer le sens de variation de la fonction carré sur ]- ; 0]. 3 ) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer la courbe de la fonction carré et vérifier les résultats des questions précédentes. Fonction carré La fonction carré est définie par f : IR IR f() = 2 La fonction carré est strictement décroissante sur ]- ; 0]. La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; + [. Son tableau de variations est : f() = 2 0 La fonction carré est une fonction paire c'est-à-dire que pour tout réel on a : f(-) = f(). La courbe de la fonction carré, donnée ci-contre, a pour ae de symétrie l'ae des ordonnées. La courbe de la fonction carré s'appelle une parabole. ères Fonctions page 3 / 0

4 Eercice 09 ) Soient a et b deu réels dans ]0; + [ tels que a < b. Justifier que a - b = b - a. En déduire que ab a - b > 0. Donner, en le justifiant, le sens de variation de la fonction inverse sur ]0; + [. 2 ) En raisonnant comme dans le ), déterminer le sens de variation de la fonction inverse sur ]- ; 0[. 3 ) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer la courbe de la fonction inverse et vérifier le sens de variation trouvé. Fonction inverse La fonction inverse est définie par f : IR * IR f() = La fonction inverse est strictement décroissante sur ]- ; 0[. La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; + [. Son tableau de variations est : f() = La fonction inverse est une fonction impaire c'est-à-dire que pour tout réel non nul on a : f(-) = -f(). La courbe de la fonction inverse, donnée ci-contre, a pour centre de symétrie le point, origine du repère. La courbe de la fonction inverse s'appelle une hyperbole. Eercice 0 ) n considère la fonction f définie sur IR par f() = 3-4. Soient a et b deu réels tels que a < b. Étudier le signe de f(a) - f(b) et en déduire le sens de variation de la fonction f. 2 ) Même question avec la fonction g définie sur IR par g() = ) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer les courbes représentatives des fonctions f et g et vérifier les résultats des questions précédentes. Fonctions affines - Variations ( voir animation ) n appelle fonction affine, toute fonction f définie sur IR par f() = a + b, a et b étant deu réels. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. a est appelé coefficient directeur, b est appelé ordonnée à l'origine. Si a = 0, la fonction f est une fonction constante sur IR (elle est définie par f() = b). Si a > 0, la fonction f est une fonction strictement Si a < 0, la fonction f est une fonction strictement croissante sur IR. décroissante sur IR. Son tableau de variations est : Son tableau de variations est : f() f() ères Fonctions page 4 / 0

5 Fonctions affines - Représentation graphique - Signe La représentation graphique d'une fonction affine est une droite Si a = 0, la droite est parallèle à l'ae (). Si a > 0 Représentation graphique : Si a < 0 Représentation graphique : a a a > 0 b ( voir animation ) b a < 0 - b a - b a Tableau de signes avec a > 0 Tableau de signes avec a < b a b a + signe de a + b signe de a + b s Le coefficient directeur a est la valeur dont y varie lorsque varie de. Dans le cas où b = 0, la fonction f est définie sur IR par f() = a. C'est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. Eercice Donner l'epression de la fonction affine représentée par chacune des droites ci-contre. d 5 d d 2 Eercice 2 Dans chacun des cas, tracer, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la droite passant par le point A et ayant pour coefficient directeur a. Donner l'epression de la fonction affine représentée par la droite. ) A(- 2 ; - 3) ; a = 3 2 ) A(3 ; - 5) ; a = - 2 d 4 d 3 3 ) A(2 ; - 2) ; a = 2 4 ) A(- ; 3) ; a = - 5 Eercice 3 Dans le plan muni d'un repère orthonormal, tracer les représentations graphiques des fonctions affines suivantes : f () = 3-4 ; f 2 () = ; f 3 () = ; f 4 () = 3 ; f 5 () = ères Fonctions page 5 / 0

6 III Fonction racine carrée - Fonction valeur absolue Définition Soit un nombre réel supérieur ou égal à 0. n appelle racine carrée de et on note, l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à. Eemple 4 est un nombre réel positif. Il y a deu nombres dont le carré est 4 : ce sont 2 et - 2. La racine carrée de 4 est le nombre réel positif dont le carré est 4. Donc 4 = 2. s La touche racine carrée racine carrée d'un nombre. d'une calculatrice permet d'obtenir une valeur approchée ou eacte de la 9 donne 3 3 est la valeur eacte de 9 car 3 2 = 9 lorsqu'on fait le calcul on obtient 0 2 donne n'est pas la valeur eacte de 2 lorsqu'on fait le calcul on n'obtient pas 0 n a = ; 2,44 ; 3,732 ; 4 = 2 ; 9 = 3 ; 6 = 4 ; 25 = 5 (Ces valeurs sont à connaître). Déterminer en utilisant votre calculatrice ; ; Les résultats donnés par la calculatrice sont-ils eacts? Propriétés Si a ³ 0 a 2 = a Si a 0 a 2 = - a Si a ³ 0 et b ³ 0 a b = a b Si a ³ 0 et b > 0 a b = a b Si a et b sont des nombres positifs a + b n'est pas égal à a + b. Par eemple + = 2 alors que + = + = 2. Eercice 4 ) Écrire plus simplement : 2-3 ; ( 2-3 )( ) ; ( ) 2. 2 ) Soit A = 2-5 et B = En calculant A 2 et B 2, justifier que A 2 = B 2. Peut-on en déduire que A = B? 3 ) Justifier les égalités suivantes : = 2 ; = + 3 ; = 4( 5-3 ). 2 4 ) Justifier que est un nombre positif. Calculer ( )( 3-5 ). En déduire que 3 < 5. Définition n appelle fonction racine carrée, la fonction qui à tout réel supérieur ou égal à 0 associe le nombre. n note : [0 ; + [ [0 ; + [ ères Fonctions page 6 / 0

7 Propriété (voir démonstration 0) La fonction racine carrée est une fonction (strictement) croissante sur [0 ; + [. Son tableau de variations est : 0 + f() = 0 La représentation graphique de la fonction racine carrée est donnée ci-contre : Eercice 5 ) En utilisant la courbe de la fonction racine carrée justifier graphiquement que l'équation = 0 a une solution unique dans [0; + [. Donner avec la précision permise par le graphique une valeur approchée de cette solution α. 2 ) Justifier que α est aussi solution de l'équation = 0 3 ) Vérifier que peut aussi s'écrire sous la forme En déduire la valeur eacte 4 de α, puis donner une valeur approchée de α à 0-5 près. Propriété (voir démonstration 02) n considère les représentations graphiques : (R) représentant la fonction (D) représentant la fonction (P) représentant la fonction 2 (P) (D) Sur l'intervalle [0 ; ] (P) est au-dessous de (D) et (D) est au-dessous de (R) Sur l'intervalle [ ; + [ (R) est au-dessous de (D) et (D) est au-dessous de (P) Définition n appelle fonction valeur absolue la fonction définie par : = si ³ 0 et = - si < 0 (La valeur absolue de est le nombre lui-même si est positif, et son opposé si est négatif) Eemple n a ainsi 3 = 3 et -5 = - (-5) = 5 (R) (D) (P) (R) Propriétés (voir démonstration 03) Pour tout réel a, on a a ³ 0. Pour tout réel a, a est le plus grand des deu nombres a et -a. Pour tout réel a, a 2 = a 2 et a 2 = a 2. Pour tous réels a et b on a ab = a b et a + b a + b (inégalité triangulaire) Pour tous réels a et b on a a = b a = b ou a = -b Pour tout réel a, on a a 2 = a s b - a Dans IR l'écart entre deu nombres a et b est égal à b - a. a Avec une calculatrice la valeur absolue se note abs (on l'obtient avec math NUM sur une calculatrice TI ; optn NUM sur une calculatrice Casio) ères Fonctions page 7 / 0 b

8 Propriété (voir démonstration 04) La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ]- ; 0]. La fonction valeur absolue est strictement croissante sur [0 ; + [. Son tableau de variations est : f() = 0 La fonction valeur absolue est une fonction paire c'est-à-dire que pour tout réel on a : - =. La courbe de la fonction valeur absolue, donnée ci-contre, a pour ae de symétrie l'ae des ordonnées. La courbe de la fonction valeur absolue est formée de deu demi-droites. Eercice 6 Tracer en utilisant une calculatrice ou un ordinateur, la représentation graphique de la fonction f définie sur IR par f() = - 3. Comment cette courbe se déduit-elle de la courbe représentative de la fonction valeur absolue? (on ne demande pas de justifier) Résoudre graphiquement les équations f() = 5 ; f() =. Confirmer ces résultats par le calcul. Eercice 7 Tracer en utilisant une calculatrice ou un ordinateur, la représentation graphique de la fonction f définie sur IR par f() = + 3. Comment cette courbe se déduit-elle de la courbe représentative de la fonction valeur absolue? (on ne demande pas de justifier) Résoudre graphiquement les équations f() = -2 ; f() = ; f() = Confirmer ces résultats par le calcul. IV Sens de variation et opérations Eercice 8 Tracer avec une calculatrice ou un grapheur les courbes représentant les fonctions f ; g et h définies sur IR par f() = 2 ; g() = et h() = 2-2. Comment les courbes de g et h se déduisent-elles de la courbe de f? Conjecturer, d'après le graphique, le tableau de variations de g et le tableau de variations de h. Propriété (voir démonstration 05) Soit k un réel et u une fonction. Les fonctions u et u + k ont le même sens de variation. La représentation graphique de la fonction u + k se déduit de la représentation graphique de u en faisant une translation de vecteur v de coordonnées (0 ; k). ( voir animation ) C u+k C u v ères Fonctions page 8 / 0

9 Eercice 9 Tracer avec une calculatrice ou un grapheur les courbes représentant les fonctions f ; g et h définies sur IR par f() = 2 ; g() = 3 2 ; h() = et l() = 5 2 Conjecturer, d'après le graphique, les tableau de variations de g ; h et l. Propriété (voir démonstration 06) Soit λ un réel et u une fonction. Si λ > 0, les fonctions u et λu ont le même sens de variation. Si λ < 0, les fonctions u et λu ont des sens de variation contraires. ( voir animation ) Si λ = 0, la fonction λu est la fonction constante nulle. Eercice 20 Soit f définie sur IR par : f() = n pose g() = f() ) Le tableau de variations de f est donné ci-dessous (on ne demande pas de le justifier) : f 3 2 a) Quel est le minimum de f sur IR? b) En déduire que la fonction g est définie sur IR. c) Déterminer les valeurs eactes de g(- ) ; g(0) et g(2) et en donner des valeurs approchées à 0-3 près 2 ) a) Tracer avec une calculatrice ou un grapheur la courbe représentative de f et vérifier qu'elle correspond au tableau de variations donné. b) Tracer sur le même graphique la courbe représentative de g. c) Conjecturer, d'après le graphique, le tableau de variations de g. 3 Propriété (voir démonstration 07) Soit u une fonction positive. Les fonctions u et u ont le même sens de variation. Eercice 2 Soit f définie sur IR par : f() = n pose g() = 2 f() ) Donner le sens de variation de f. Justifier que g est définie sur IR. 2 ) a) Tracer avec une calculatrice ou un grapheur les courbes représentatives de f et de g. b) Conjecturer, d'après le graphique, le sens de variation de g. Propriété (voir démonstration 08) Soit u une fonction strictement positive. Les fonctions u et ont des sens de variation contraires. u Soit u une fonction strictement négative. Les fonctions u et ont des sens de variation contraires. u ères Fonctions page 9 / 0

10 Eercice 22 n considère les fonctions f, g et h définies sur IR par : f() = ; g() = ; h() = ) Donner les sens de variation des fonctions f ; g et h. 2 ) n considère les fonctions s et t définies sur IR par : s() = f() + g() et t() = f() + h(). Donner le sens de variation de s et de t. Peut-on espérer trouver une règle générale donnant le sens de variation de la somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante? 3 ) a) n considère la fonction p définie sur IR par : p() = f() g(). Donner, en le justifiant le sens de variation de p. b) n considère la fonction q définie sur IR par : q() = f() h(). En observant la courbe de q obtenue en utilisant une calculatrice ou un grapheur, peut-on penser que la fonction q a le même sens de variation que la fonction p? c) Peut-on espérer trouver une règle générale donnant le sens de variation du produit d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante? Eercice 23 Donner, en le justifiant, le sens de variation des fonctions f ; g et h définie sur IR par : f() = ; g() = ; h() = 2 + Tracer les courbes représentatives de f, g et h et vérifier que ces courbes sont compatibles avec les résultats trouvés. Eercice 24 n considère la fonction f définie par f() = ) Soit D l'ensemble de définition de f. Déterminer D. 2 ) a) Justifier que pour tout réel dans D, on a f() = b) En déduire le sens de variation de f sur chacun des intervalles de D. c) Vérifier en traçant la courbe représentative de f avec une calculatrice ou un grapheur. Eercice 25 La fonction f est donnée par le tableau de variation ci-dessous : f 2 3 ) Déterminer le tableau de variations de la fonction g définie par g() = - 3f() ) Déterminer le tableau de variations de la fonction h définie par h() = f() - 2 Eercice 26 La fonction f est donnée par le tableau de variation ci-dessous : Soit g définie par g() = f() - 2. ) Donner l'ensemble de définition de g. 2 ) Donner le tableau de variations de g f ères Fonctions page 0 / 0