Carnet de bord de 5M4 de Ir D. Vandenberge Athénée Royal Jean Absil 1/7

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1 Chapitre 1 : Calcul vectoriel dans l espace (2h/s) reporté en 6 ième - I-C1-1) 1. Rappels et introduction AD (1 4) 2. Représentation d un vecteur 3. Egalité de deux vecteurs 4. Translation 5. Addition des vecteurs 6. Propriétés de l'addition des vecteurs 6.1. L addition des vecteurs est interne et partout définie 6.2. L'addition des vecteurs est associative 6.3. L'addition des vecteurs admet un neutre 6.4. L addition des vecteurs est symétrisable 6.5. L'addition des vecteurs est commutative 1 e partie : Géométrie 7. Soustraction des vecteurs 8. Multiplication d'un vecteur par un nombre réel 8.1. Définition 8.2. Combinaison linéaire 8.3. Colinéarité 8.4. Propriétés géométriques 8.5. Propriétés algébriques 8.6. Conclusions 8.7. Application : Milieu d'un segment 9. Repère et coordonnées dans l espace 10. Base et composantes dans l espace 11. Utilisation des composantes Somme de vecteurs et composantes Vecteur nul, opposé d un vecteur et différence de 2 vecteurs en termes de composantes Produit d un vecteur par un nombre et composantes Application : Coordonnées du milieu d un segment 12. Distance de deux points 13. Le produit scalaire Définitions Une première propriété Produit scalaire en repère orthonormé Propriétés du produit scalaire Une dernière formulation du produit scalaire Associer les coordonnées d'un point à sa position dans l'espace muni d'un repère orthonormé. Calculer un produit scalaire en utilisant la forme adéquate. Ces notions seront abordées uniquement dans un repère orthonormé. Utiliser le produit scalaire et le calcul vectoriel dans des problèmes simples de géométrie ou de physique. CV (1 3) et CV 8 CV (4 7) et CV (9 12) + Problèmes CV (13 17) + Exercices dirigés CV (18 22) AD (1 3), CV (1 16) + Problèmes CV (17 26) + Exercices dirigés CV (27 29) Athénée Royal Jean Absil 1/7

2 Chapitre 2 : GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE (2h/s) 1 e partie : Géométrie 1. Remarque préliminaire 2. Introduction 3. Points droites plans Repérer sur une représentation plane des droites sécantes, gauches, parallèles, des plans sécants et parallèles. Consolidation des acquis du 1 ier degré afin que l'élève dispose d'un outil de représentation pour aborder l'incidence et le parallélisme. 4. Projections 5. La perspective cavalière Montrer le déplacement de l'observateur sur un cercle trigonométrique pour illustrer les différents angles de vue. Ex PC(45 et 60 ) + PC (0, 90, 135, 180, 225 et 270 ) S42 6. Positions relatives de deux droites 7. Positions relatives de deux plans 8. Positions relatives d une droite et d un plan G3D (1 4) 9. Caractérisation d une droite, d un plan 10. Le parallélisme Parallélisme de droites Par tout point, passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée 2 droites strictement parallèles à une même 3 ième sont parallèles entre elles Parallélisme de droites et de plans Si 2 droites sont strictement parallèles, tout plan qui coupe l une coupe l autre Comprendre et savoir expliquer les énoncés de propriétés d'incidence et de parallélisme. Enoncer et démontrer. Le contexte permettra de revenir sur la distinction entre condition nécessaire et condition suffisante et fournira l'occasion de pratiquer la démonstration par l'absurde. G3D (8 12) S42 S43 Si une droite est strictement parallèle à une droite d un plan, elle est parallèle au plan Si une droite est strictement parallèle à un plan, tout plan contenant cette droite et un point du plan donné coupe ce dernier suivant une droite parallèle à la droite donnée Athénée Royal Jean Absil 2/7

3 10.3. Parallélisme de plans Chapitre 2 : GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE (2h/s) Si deux plans sont strictement parallèles, toute droite de l un est parallèle à l autre Par tout point extérieur à un plan, on peut faire passer un et un seul plan parallèle à un plan donné Deux plans sont parallèles si et seulement si l un d eux contient deux droites parallèles à deux droites sécantes de l autre 1 e partie : Géométrie Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l un, coupe l autre Les intersections de deux plans strictement parallèles par un troisième sont strictement parallèles Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l un coupe l autre ; toute droite parallèle à l un est parallèle à l autre S Théorème de Thalès dans l espace. S Sections planes Définition Exemples Construire de façon raisonnée une section plane d'un cube, d'un tétraèdre ou d'un parallélipipède rectangle par un plan défini par 3 points en justifiant les différentes étapes. G3D (6 7) + DVD 13. Point de percée d une droite dans un plan Définition Propriété Exemples Déterminer le point de percée d'une droite dans un plan. La construction du modèle géométrique fera clairement apparaître les propriétés admises à partir de l'observation et celles qui seront démontrées. Une attention particulière sera portée aux règles de la logique : contraposition d'implications ou d'équivalences, réciproques, démonstration par l'absurde, citères faisant intervenir des conditions nécessaires et suffisantes. 2 e partie : Trigonometrie (2h/s) G3D (5) + DVD S45 S47 1. Formules d addition Le maniement des formules et leur AD (1 4) + T (1 6) + T (8) Utiliser les formules d'addition et de démonstration n'est pas un but en soi. Les 2. Formules du double d un angle duplication pour transformer des T (9 10) exercices doivent uniquement viser ce qui est expressions qui serviront dans d'autres α nécessaire à l'étude des fonctions et de la 3. Formules en tg contextes. physique. DVD + Problèmes (14 21) 2 S19 S21 Athénée Royal Jean Absil 3/7

4 s a s i n a i c x n = = o r s α α x t g 2 + = b s s i n i n x β β + c = 0 Chapitre 1 : GRAPHIQUES ET FONCTIONS (4h/s) 1. Révision : Fonctions réelles d une variable réelle GDF (1 60) 1.1. Définitions AD Domaine de définition d'une fonction Réactiver le vocabulaire et les notations vues GDF (5 7) + DVD 1.3. Graphique d'une fonction en 4ième. GDF (1 4) et GDF (20 23) 1.4. Zéros et signe Rappeler les fonctions de référence DVD 1.5. Croissance, maximum et minimum Décrire les caractéristiques générales Introduire des graphiques plus variés Parité d'une fonction à partir de son graphique Utiliser une calculatrice graphique ou un GDF (41) en utilisant un vocabulaire précis Périodicité logiciel Représenter un problème, une situation à 2. Egalité de deux fonctions l'aide du graphique d'une fonction. Faire le liens avec des sujets relevant des GDF (27) 3. Somme et différence de fonctions sciences, des sciences humaines ou encore avec des phénomènes numériques ou GDF (9 10) + DVD 4. Produit et quotient de deux fonctions géométriques. DVD 5. Fonctions composées Outils d'évaluation (le jet -2 ième degré, les GDF (14 16) + DVD 6. Comparaison de deux fonctions marées et Ottawa - fonction sinusoïdale) GDF (8, 32, 33) + DVD 7. Problèmes Préparation aux exercices d'optimisation GDF (42, 43, 46, 48, 52, 53) Chapitre 2 : LES SUITES (2h/s) S37 S38 S39 S41 S42 S43 1. Suites numériques 1.1. Application 1.2. Définition 1.3. Exemples 1.4. Croissance et décroissance 1.5. Suite alternée 1.6. Détermination d une suite 2. Les suites arithmétiques (SA) 2.1. Définitions 2.2. Exemple 2.3. Expression du terme général 2.4. Propriétés 2.5. Somme de n termes consécutifs d une SA 3. Les suites géométriques (SG) 3.1. Définitions 3.2. Exemple 3.3. Expression du terme général 3.4. Propriétés 3.5. Somme de n termes consécutifs d une SG 3.6. Produit de n termes consécutifs d une SG Reconnaître dans une situation ou un problème la présence d'une suite arithmétique ou géométrique. Calculer la somme des termes d'une SA ou d'une SG. Les SA et SG seront rencontrées dans les calculs de longueur, d'aire, de volume, de mathématiques financières, etc. SA (5 11) + DVD (1 20) SG (12 19) + DVD (1 8) Problèmes SG (40 59) Vues d'ensemble SG (20 39) S43 S47 S1 S3 Athénée Royal Jean Absil 4/7

5 s i n a x = = r t g 2 Chapitre 3 : LES LIMITES (4h/s) 1. Définitions 1.1. Introduction à la notion de limites 1.2. Limite finie 1.3. Limite infinie 1.4. Limite finie d une fonction lorsque la variable tend vers une valeur finie 1.5. Limite infinie d une fonction lorsque la variable tend vers une valeur finie 1.6. Limite infinie d une fonction lorsque la variable tend vers l infini 1.7. Limite finie d une fonction lorsque la variable tend vers l infini Calculer une limite de fonction. Lever une indétermination, y compris dans le cas de fonctions trigonométriques. On abordera les ensembles de nombres, la notion d'infiniment grands et petits, le concept de grandeurs négatives, la notion de zéro, les hyperréels, la notion de pluralité de d'unité et les paradoxes de l'infini. La notion de limite sera interprétée à partir des graphiques et des suites. Quelques exemples de fonctions discontinues en un point seront envisagés. Les exemples de limites qui seront privilégiés sont ceux qui donnent lieu à une asymptote. SG t 1 =1 et q=1/2 S n =2 LIM (2 4)+ DVD 1 LIM (5)+ DVD 2 LIM (10 11)+ DVD 3 LIM (12)+ DVD Conclusion Vue d'ensemble : LIM (27 29) 2. Règles de calcul 0/0 : LIM (6 7)+ DVD5 S3 S4 3. Détermination du signe de l infini. 4. Indéterminations 5. Exemples de calculs de limites 5.1. x tend vers une valeur finie 5.2. x tend vers l infini - : LIM (8,14) / : LIM (13) S5 S10 6. Limites de fonctions trigonométriques LIM (16 17) sin x 7. La fonction LIM (18) x S10 Chapitre 6 : LES ASYMPTOTES (4h/s) 1. Observations Déterminer les équations des asymptotes d'un graphique d'une fonction, Prévoir Vue d'ensemble AVHO (30)+ DVD 2. Définitions 3. Asymptotes verticales l'existence d'asymptotes en observant un graphique et la forme analytique d'une fonction. Contrôler la plausibilité du AV (19 21)+ DVD 4. Asymptotes horizontales résultat d'un calcul en utilisant AH (15)+ DVD éventuellement une calculatrice ou un 5. Asymptotes obliques logiciel. DVD S18 Athénée Royal Jean Absil 5/7

6 s a s i n a i c x n = = o r s α α x t g 2 + = b s s i n i n x β β + c = 0 x Chapitre 4 : LES DERIVEES (4h/s) 1. Introduction Vues d'ensemble DERIV ( ) 2. Rappels 2.1. Accroissements et taux d accroissement 2.2. Coefficient angulaire d une droite 2.3. Sécante à une courbe 2.4. Tangente à une courbe 3. Nombre dérivé et fonction dérivée Interpréter géométriquement et physiquement la dérivée d'une fonction en un point. AD (2 4) DERIV (1 6) + DVD II et IV 4. Formules de dérivation 4.1. Dérivée d une constante 4.2. Fonction identité 4.3. Puissances entières de x 4.4. Racine carrée de x 4.5. Puissance quelconque de x 5. Dérivée d une somme et d un produit de fonctions 5.1. Dérivée d une somme de fonctions 5.2. Dérivée d un produit de fonctions 5.3. Dérivée d un produit d une fonction par une const. Calculer la dérivée d'une fonction. Lors du calcul d'une dérivée, vérifier la plausibilité du résultat en utilisant les aspects numérique, algébrique et graphique. Démontrer au moins les formules donnant l'une ou l'autre fonction usuelle ainsi que celle de la somme, du produit et du quotient de 2 fonctions dérivables. On aura recours aux graphiques pour illustrer la dérivabilité d'une fonction. DERIV (7 9) + DVD I S11 S16 6. Dérivée d un quotient de fonctions 7. Dérivée de la composée de deux fonctions 8. Fonctions trigonométriques 8.1. Dérivée de la fonction sinus 8.2. Dérivée de la fonction cosinus 8.3. Dérivée des fonctions "tangente" et "cotangente" DERIV (10 14) + DVD III et V 9. Dérivées successives 10. Théorème du Marquis de L Hospital Chapitre 5 : APPLICATIONS DES DERIVEES (4h/s) 1. Modélisation de problèmes 1.1. Vitesse d un mobile 1.2. Régime d un fleuve 1.3. Coût marginal 2. Approximation locale d une fonction par une fonction du premier degré 3. Recherche d une valeur approchée d une racine d une équation Utiliser les propriétés des dérivées dans des applications diverses. Diverses méthodes peuvent être rencontrées : par exemple la méthode de dichotomie, celle des tangentes ou celle de Newton. Les calculatrices ou les logiciels apportent une aide sérieuse dans ce chapitre. + 3 exemples p Problèmes AD (62 70) AD (47 49) AD (50 52) S17 S18 4. Problèmes d optimalisation Problèmes AD (7,8,71 84) Athénée Royal Jean Absil 6/7

7 s a s i n a i c x n = = o r s α α x t g 2 + = b s s i n i n x β β + c = 0 Chapitre 7 : ETUDES DE FONCTIONS (2h/s) 1. Dérivée première et croissance 1.1. Croissance et décroissance EF ( ) 1.2. Extremum 2. Dérivée seconde et concavité 2.1. Concavité 2.2. Point d inflexion Outil d'évaluation : Analyse du graphique d'une fonction et de la dérivée d'une fonction. EF ( ) S19 S21 3. Représentation graphique de quelques fonctions 3.1. La fonction homographique EF (85) + DVD 3.2. Etude de fonctions diverses Athénée Royal Jean Absil 7/7