Notion d oscillateur mécanique

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1 CHAPITRE 11 SYSTÈMES OSCILLANTS 1 Noion d oscillaeur mécanique 1. Définiion On appelle oscillaeur (ou sysème oscillan) un sysème pouvan évoluer, du fai de ses caracérisiques propres, de façon périodique e alernaive auour d une posiion d équilibre (ex : suspension de voiure, balançoire...). 2. Caracérisaion des oscillaeurs mécaniques La grandeur oscillane inervenan dans les équaions es ici l écar à l équilibre. C es une grandeur algébrique. Ce écar es en général repéré : soi par l abscisse reciligne x() dans le cas d une oscillaion reciligne (sysème solide-ressor) ; soi par l abscisse angulaire θ() dans le cas d une oscillaion circulaire (sysème pendulaire). La valeur posiive exrême (ou maximale) prise par x() e θ() défini l ampliude de l oscillaion. 3. Le pendule simple Un pendule simple es un oscillaeur élémenaire. C es un modèle idéalisé du pendule pesan dans lequel la masse suspendue peu êre considérée comme poncuelle. O + sens de O + O + roaion longueur : L posiif choisi θ() θ() Pendule pesan à l'équilibre : les forces se compensen. Pendule pesan à l'abscisse Pendule simple à l'abscisse angulaire θ () > 0 : les for- angulaire θ() < 0. ces ne se compensen plus. Fig Lorsqu on écare un pendule pesan ou un pendule simple de sa posiion d équilibre d une abscisse angulaire θ 0 e qu on l abandonne à luimême, on consae que, pour des valeurs de θ 0 n excédan pas une dizaine de degrés, celui-ci effecue des oscillaions libres don la période T es 200

2 cours savoir-faire exercices corrigés indépendane de θ 0. On di que le pendule simple e le pendule pesan vérifien la loi d isochronisme des peies oscillaions. Selon l imporance des froemens de l amorissemen, il y a plusieurs régimes libres possibles une fois que le pendule es abandonné à lui-même : θ() T=T 0 θ() T T θ() θ() 0 Sans amorissemen (cas idéal non réel) : régime périodique. Fig Dans le cas du pendule simple sans froemen, la période des oscillaions T 0 es appelée période propre. L expérience monre qu elle ne dépend que de la masse du pendule e de la longueur du fil : T L 0 = 2π g, où L es la longueur du fil (en mère) e g es l inensié de pesaneur. Avec froemens, la période T de l oscillaion es inférieure à T 0. Mais si l amorissemen es faible, on peu considérer que T T 0. Un pendule simple es consiué d une peie bille d acier de masse m = 50 g suspendue à un fil de longueur L = 2 m. On l écare de 4 de sa posiion d équilibre puis on le lâche. 1. Les froemens éan supposés faibles, calculer la période de l oscillaion. 2. Monrer que la période a bien la dimension d un emps. 3. Que vaudrai la période de l oscillaion si on avai écaré le pendule de 8? Données : g = 9,81 N.kg 1 corrigé commené Amorissemen faible : régime pseudo-périodique. Amorissemen criique : régime criique. exemple d applicaion Amorissemen for : régime apériodique. 1. Dans ce cas, la période es : T L 0 = 2 π g. AN : T 0 = 2 π s,. 981, 2. Indicaion : Pour l analyse dimensionnelle, souvenez-vous que 1 N.kg 1 = 1 m.s 2. 8T L L 0 B = g = L = 2 T = T : la période a bien la dimension d un emps. 2 T 3. La période ne changerai pas car, pour ces faibles ampliudes, il y a isochronisme des oscillaions. 201

3 CHAPITRE 11 SYSTÈMES OSCILLANTS 2 Le pendule élasique 1. Disposiif expérimenal Un solide (S) de masse m pouvan coulisser sur un rail horizonal es fixé à l exrémié d un ressor de masse négligeable à spires non joinives. L aure exrémié du ressor es accrochée à un poin fixe. On repère la posiion de (S) par l abscisse x() de son cenre de gravié, choisie nulle lorsque le sysème es au repos. Ainsi x() es direcemen l écar à l équilibre. Au repos x éq = 0 Au repos à l abscisse x() i x éq= 0 G x() x() G L écar à l équilibre es : x() x éq = x() 0 = x(). Ici le ressor es éiré donc x() > 0. Fig Le bilan des forces exérieures appliquées au sysème (S) dans le référeniel erresre supposé galiléen après l avoir écaré de sa posiion d équilibre de x 0 puis lâché sans viesse iniiale es : P = mg., le poids de (S) ; R N, la réacion normale du rail supporan (S) ; f, la force équivalene réunissan les forces de froemen avec le rail e avec l air ; F =- k xi, la force de rappel du ressor (k es la consane de r raideur du ressor exprimée en N.m 1 ). La résulane des forces es :! eforceso = ep + RNo+ f + Fr = 0 + f + Fr = f -k xi. 2. Équaion différenielle Appliquons le héorème du cenre d inerie au sysème (S) dans le référeniel erresre supposé galiléen :! F = m. a G (1). Ces forces éan colinéaires, on projee (1) selon l axe Ox uniquemen. On obien : f - kx= mxp, soi : xp + m k x- f = 0 (2). De même que pour le pendule simple e selon l inensié des froemens, on peu envisager plusieurs régimes libres : régime apériodique, régime criique, régime pseudo-périodique, régime périodique. On vérifie égalemen l isochronisme des peies oscillaions. 202

4 cours savoir-faire exercices corrigés 3. Soluion analyique de l équaion différenielle pour f = 0 Dans le cas où les froemens son négligeables, l équaion (2) se rédui à xp + m k x = 0 (3) : c es une équaion différenielle du second ordre. La soluion de cee équaion es l équaion horaire d un mouvemen libre non amori. Elle es de la forme : x() = x. cos ( 2π m. + φ ) T 0 (4), 0 où T m 0 = 2π es la période propre de l oscillaeur, où x m es l ampliude de l oscillaion e où φ 0 la phase à l origine des daes (déerminables k par les condiions iniiales). La condiion iniiale ν(0) = 0 x x impose ici φ 0 = 0 radian. x m La condiion iniiale x(0) = x 0 impose ici x m = x 0. T 0 x m On écare le pendule élasique défini précédemmen de x 0 = 10 cm vers la droie avan de le lâcher sans viesse iniiale. Les froemens son négligés. Données : m = 100 g ; k = 50 N.m Déerminer complèemen l expression de x(). 2. Monrer que la période propre T 0 a bien la même dimension qu un emps. corrigé commené Fig exemple d applicaion 1. Conseil : exprimez clairemen les condiions iniiales x(0) e ν(0). Rappel : la viesse es la dérivée de la posiion par rappor au emps. On a : x() = x m cos 2π d + φ T 0n, avec T 0 = 2 π m. AN : T 0 = 0,28 s. 0 k La première condiion iniiale es ν(0) = 0 = ẋ(0). En dérivan x() e en enan compe de cee condiion, on obien : φ 0 = 0. La deuxième condiion iniale es x(0) = x 0 = 0,10 m, soi x m = 0,1 m ous calculs fais. On déermine donc : x() = 0,1.cos(22,4 ). 2. T m M 8 0 B = < F = k 8kB. Or, comme F = k.x, on a [k] =... x F - 2 m a M L T - 2 < F = < F = = MT.. L L On a donc : 8T M 0B = = T : T es bien homogène à un emps. M. T 203

5 CHAPITRE 11 SYSTÈMES OSCILLANTS 3 Le phénomène de résonance 1. Exciaion d un sysème «solide-ressor» Considérons à nouveau le disposiif de la parie 2 en accrochan cee fois le poin A du ressor à la périphérie d un disque don la fréquence de roaion es conrôlable. Ceci consiue un disposiif d exciaion. Le mouvemen de G n es plus libre : on parle d oscillaions forcées. sens de roaion On s arrange en général pour que OA soi négligeable devan AG afin de pouvoir considérer, dans l éude, que le ressor rese horizonal. Ainsi, le disque ournan à la fréquence N (période T) impose un mouvemen horizonal de G à la même fréquence (e donc de même période T). o A Le disposiif exciaeur es un disque en roaion. i x éq = o x() x() G Le résonaeur subi des oscillaions forcées. Fig Exciaion d un pendule simple Considérons à nouveau le pendule simple de la parie 1. Il es enu cee fois en O par un opéraeur pouvan imposer un pei mouvemen de balancier de période T au pendule. Dans cee siuaion, on di que le pendule es excié. C es l opéraeur qui consiue l exciaeur. 3. Résonance Fig Dans le cas «solide-ressor» comme dans celui du pendule simple, le disposiif excié reprodui un mouvemen plus ou moins amplifié de l exciaeur en foncion de la fréquence d exciaion. Lorsqu il n y a pas de froemens, le mouvemen de (S) es le plus ample pour une période d exciaion égale à la période propre du sysème. On di alors qu il y a résonance. 204 Pendule simple à l abscisse angulaire θ () < 0 Sans froemen, il y a résonance pour T = T 0. Avec des froemens faibles, la résonance a lieu pour T T 0. O () +

6 cours savoir-faire exercices corrigés Si les froemens son faibles, l ampliude à la résonance es imporane mais uniquemen pour des exciaions de période T rès proches de T 0 : on parle de résonance aiguë. Exemple : un microphone rès sensible à une zone éroie de fréquence de son consiue un résonaeur à résonance aiguë ; un micro de chaneur par exemple es relaivemen sélecif. Si au conraire l amorissemen es for, l ampliude à la résonance n es pas rès grande. La résonance s observe aussi pour des exciaions don les périodes T fon parie d un voisinage plus large de T 0 : on parle de résonance floue. Exemple : un hau-parleur de chaîne Hi-Fi doi êre capable de resiuer des sons de fréquences diverses ; il consiue un résonaeur à résonance floue. exemple d applicaion On considère un pendule simple de masse m e de longueur L, excié avec une période T comme l indique la figure L ampliude des oscillaions es noée θ m. Les froemens son faibles. Comparer les ampliudes du pendule θ m1, θ m2 e θ m3 pour des périodes d exciaion de valeurs respecives T 1 = 1,9 s, T 2 = 2,0 s e T 3 = 10 s. Données : m = 50 g ; L = 1,0 m ; g = 9,81 N.kg 1. corrigé commené Indicaion : calculez la période propre de l oscillaeur. La période propre T 0 de ce oscillaeur es définie par : T.. L 0 = 2 π g. On calcule : T 2. π. 1 0 = = 2, 0 s. 981, Une exciaion de période T 2 es elle que T 2 = T 0. C es pour cee période d exciaion qu il y a résonance : θ m2 es donc la plus grande. Une exciaion de période T 1 ne correspond pas à la résonance car T 1 T 0, d où θ m1 < θ m2. Cependan, comme T 1 n es que rès légèremen inférieure à la période propre, on peu dire que θ m1 a sensiblemen la même valeur que θ m2. Pour l exciaion de période T 3, on es rès loin de la résonance car T 3 es cinq fois supérieur à T 0. θ m3 es la plus peie des rois. Au final, on a : θ m3 < θ m1 < θ m2. 205