Intégrales et primitives

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1 Chpitre 3 Intégrles et primitives 3.1 Définitions Soit f(x une fonction continue définie sur l intervlle [, ]. L intégrle de f sur l intervlle [, ] est un nomre réel noté qui est défini de l fçon suivnte : f(xdx, Si f(x pour tout x [, ], lors l intégrle est égle à l ire limitée pr l xe = x, pr les droites verticles {x = } et {x = } et pr l coure {y = f(x}. Si f(x pour tout x [, ], lors l intégrle est égle à ( 1 (l ire limitée pr l xe = x, pr les droites {x = } et {x = } et pr l coure {y = f(x}. c Si f chnge de signe, on prtge l intervlle [, ] en sous-intervlles où f est de signe constnt et on fit l somme des ires correspondntes vec les signes + et. En ref : l intégrle de f sur un intervlle est l ire lgérique délimitée pr cet intervlle et l coure {y = f(x}. I y = f(x III f(xdx = Aire(I Aire(II +Aire(III II Remrques 1. Le signe représente un s llongé. Nous verrons plus s qu une intégrle est une limite de somme, ou somme générlisée. Ce qui justifie l nottion. 2. L vrile x dns l nottion f(xdx de l intégrle joue un rôle muet. On peut l remplcer pr une utre vrile sns chnger l vleur de l intégrle : f(xdx = f(sds = f(tdt 3. L intégrle f(xdx n proprement été définie que si. Si <, on dmet l convention suivnte : f(xdx = 29

2 3.2 Sommes de Riemnn Soit f(x une fonction continue définie sur un intervlle [, ]. Sudivisons cet intervlle en joutnt des points = x < x 1 < < x < x m =. On note x i = x i+1 x i, c est l ccroissement de x dns l sudivision considérée de l intervlle. On suppose que l ccroissement est petit, disons x i δ pour un petit nomre δ qu on ppelle l tille de l sudivision. Definition 3.1 L somme f(x i x i = f(x x + f(x 1 x f(x x = f(x (x 1 x + f(x 1 (x 2 x f(x (x m x s ppelle l somme de Riemnn de f sur l intervlle [, ]. On oserve que l somme de Riemnn est une pproximtion de l intégrle de l fonction. Si l on rffine l sudivion de l intervlle [, ] de fçon que s tille δ converge vers zero, lors cette pproximtion devient une églité : Théorème 3.1 L somme de Riemnn converge vers l intégrle de f lorsque δ tend vers : ( lim δ f(x i x i = Mintennt nous comprenons pourquoi l intégrle est une limite de somme. Le symole dx dns l nottion f(xdx est présent comme un rppel que nous devons multiplier f(x i pr l ccroissement x i dns l somme de Riemnn (on pense lors à dx comme un ccroissement infiniment petit (ou ccroissement infinitésiml de x Propriétés de l intégrle Voyons une liste des propriétés de l intégrle : 3

3 Propriétés de l intégrle : f(xdx =. Si f = k est constnte, lors f(xdx = k dx = k (. Si g(x f(x pour tout x [, ], lors g(xdx Si A f(x B pour tout x [, ], lors A ( Si c [, ], lors Si k est constnte, lors f(xdx = c f(xdx + c kf(xdx = k f(xdx B (. (f(x + g(xdx = f(xdx + g(xdx. Les cinq premières propriétés se démontrent à prtir de l définition de l intégrle comme ire lgérique limitée pr l coure y = f(x. Les deux dernières propriétés se démontrent en utilisnt les sommes de Riemnn. L première propriété dit que f(xdx =. C est évident cr cette intégrle représente l ire d un rectngle de lrgeur nulle, et donc cette ire est nulle. Si f = k est une constnte, lors l intégrle k dx représente l ire d un rectngle de huteur k et lrgeur (. On donc k dx = k (, ce qui prouve l seconde propriété. k 31

4 L figure suivnte explique l troisième propriété : x [, ] : g(xdx f(xdx si g(x f(x pour tout f g L qutrième propriété dit que si A f(x B pour tout x [, ], lors A ( B (. C est clirement une conséquence des seconde et troisième propriétés. L figure suivnte explique l cinquième propriété : f(xdx = c f(xdx + c f(xdx c L sixième propriété se démontre vec les sommes de Riemnn. Si {x j } est une sudivision de l intervlle [, ], lors on c est-à-dire (k f(x x + + (k f(x x = k (f(x x + + f(x x, (k f(x i x i = k f(x i x i. En pssnt à l limite lorsque δ = mx{ x i } tend vers, on otient k f(xdx = lim δ (k f(x i x i = lim δ k f(x i x i = k f(xdx L preuve de l septième propriété est semlle : on (f + g(x i x i = f(x i x i + g(x i x i. 32

5 donc (f(x + g(xdx = lim δ = lim δ = lim δ = (f + g(x i x i ( ( Le théorème de l moyenne f(xdx + f(x i x i + f(x i x i + lim δ g(x i x i. ( g(x i x i. Definition 3.2 L moyenne d une fonction continue f sur l intervlle [, ] est définie pr Oserver que Moyenne de f = 1 i. Si f = k est constnte, lors l moyenne de f est àgle à k. ii. Si A f(x B pour tout x [, ], lors A Moyenne def B. Théorème 3.2 (Théorème de l moyenne Si f est une fonction continue sur l intervlle [, ], lors il existe un point x [, ] tel que f(x = Moyenne de f. Remrque ce point n est ps forcément unique! Moyenne f x 3.3 L formule de Newton-Leiniz Primitive d une fonction Définition. Soit f(x une fonction continue sur un intervlle [, ]. Une primitive de f est une nouvelle fonction F : [, ] R telle que F = f. L recherche d une primitive est donc l opértion inverse de l dérivtion. 33

6 Exemple. L fonction F(x = 1 2 x2 + 5 est une primitive de f(x = x. En effet, il suffit de dériver F pour le vérifier : ( 1 F (x = 2 x2 + 5 = x. On remrque que rien n urit été chngé si on vit choisit F(x = 1 2 x2 + 3 ou 1 2 x2 2. Ce fit est tout-à-fit générl : Lemme 3.3 Une primitive d une fonction n est définie qu à une constnte dditive près. Si F 1 : [, ] R est une primitive de f et c est une constnte, lors F 2 (x = F 1 (x + c est une utre primitive de l même fonction f. Preuve. L preuve est très fcile, on cr l dérivée c d une constnte c est nulle. F 2 (x = (F 1(x + c = F 1 (x + c = f(x L réciproque de cette proposition est ussi vrie, lorsqu on connît une primitive F d une fonction f, on otient toutes les utres primitives en joutnt simplement une constnte ritrire à F. Pour friquer une tle de primitive, il suffit de prendre nos fonctions fmilières et de les dériver. Une tle de primitives n est donc rien d utre qu une tle de dérivtion lue à l envers. Quelques primitives : Fonction Primitive Remrque f(x = k F(x = k x + C k et C sont constntes. f(x = x F(x = x C R et 1. f(x = 1 x F(x = ln(x + C x >. f(x = e x F(x = e x + C f(x = cos(x F(x = sin(x + C x en rdins. f(x = sin(x F(x = cos(x + C x en rdins. (f(x + g(x (F(x + G(x + C F = f et G = g. λ f(x λ F(x + C F = f. f(g(x g (x F(g(x + C F = f. Remrque. Une primitive d une fonction f s ppelle ussi une intégrle indéfinie de f, mis cette terminologie présente plus d inconvénient que d vntges. 34

7 3.3.2 Théorème fondmentl du clcul intégrl. Le théorème suivnt nous dit que pour clculer l intégrle d une fonction f, il suffit de trouver une primitive. Théorème 3.4 (Théorème fondmentl du clcul intégrl. Soit F une primitive quelconque de l fonction continue f(x sur l intervlle [, ]. Alors l intégrle de f sur [, ] est donnée pr f(xdx = F( F(. Remrque. L formule énoncée dns ce théorème s ppelle l formule de Leiniz-Newton. Il y un lien étroit entre cette formule et l formule de sommtion pour les suites. Pour comprendre ce lien il fut risonner vec les sommes de Riemnn. Donnons-nous une fonction dérivle F : [, ] R et choisissons une sudivision = x < x 1 < < x < x m =. de l intervlle [, ]. Notons y k = F(x k et écrivons l formule de sommtion pour l suite des y k : F( F( = y m y = Or l formule de l pproximtion linéire nous dit que Donc k= y k, y k = y k+1 y k = F(x k+1 F(x k = F (x k+1 (x k+1 x k = f(x k+1 x k F( F( = k= y k = k= f(x k+1 x k Il s git d une somme de Riemnn qui v converger vers l intégrle de f lorsque l tille δ de l sudivision tend vers. On otient donc u finl une églité et non ps une pproximtion : F( F( = lim f(x k+1 x k = δ k= Il fut considérer que l rgument précédent est un rgument heuristique. Il explique l formule de Newton-Leiniz, mis ç n est ps une preuve rigoureuse cr il y trop d pproximtions dns cet rgument et le pssge à l limite serit difficile (ps impossile, mis techniquement difficile à justifier. Nous llons donc voir une utre preuve de l formule de Newton-Leiniz en fisnt un détour pr l construction d une primitive prticulière d une fonction donnée à prtir de son intégrle. Soit f une fonction continue sur un intervlle [, ]. Alors pour tout x [, ], on peut considérer l intégrle de f sur le sous-intervlle [, x]. Cel nous définit une nouvelle fonction que nous notons Φ(x = x f(tdt, L proposition suivnte nous dit que cette l dérivée de cette fonction n est utre que l fonction f. Proposition 3.5 L fonction Φ(x est une primitive de f : Démonstrtion. Rppelons que pr définition : Φ (x = f(x. Φ Φ(x + h Φ(x (x = lim. h h 35

8 Nous vons pr définition Φ(x = x f(tdt, et en utilisnt l une des propriétés de l intégrle, on et donc Φ(x + h = f(tdt = x f(tdt + Φ(x + h Φ(x = x f(tdtx = Φ(x + f(tdtx. x f(tdtx Nous fisons mintennt ppel u théorème de l moyenne. Il nous dit dns l sitution présente qu il existe un nomre x entre x et x + h tel que Or f(x = Moyenne de f sur [x, x + h] Moyenne de f sur [x, x + h] = x f(tdtx (x + h x = 1 h Nous vons donc montré qu il existe x entre x et x + h tel que f(x = 1 h x f(tdtx = x Φ(x + h Φ(x. h f(tdtx Si l on fit tendre h vers, lors x v tendre vers x et comme f est continue, nous trouvons que Φ(x + h Φ(x f(x = lim = Φ (x. h h Voici une conséquence importnte du théorème fondmentl. Corollire 3.6 (A Soit g une fonction dérivle sur l intervlle [, ]. Alors g est constnte si et seulement si s dérivée est nulle. (B Soient F 1 et F 2 deux primitives d une même fonction continue g. Alors il existe une constnte c telle que F 2 (x = F 1 (x + c pour tout x dns l intervlle [, ]. Preuve. (A On sit déjà que si g est constnte, lors g (x = pour tout x. Réciproquement, Démonstrtion rigoureuse de l formule de Newton-Leiniz Soit F une primitive quelconque de f. Comme Φ(x = x f(tdt est ussi une primitive, les deux fonctions diffèrent d une constnte : F(x = Φ(x + c. Nous vons donc F( F( = (Φ( + c (Φ( + c = Φ( Φ( = Or f(tdt =, donc F( F( = f(tdt. f(tdt f(tdt. 3.4 Méthodes d intégrtion Pour dériver une fonction, même compliquée, il suffit d ppliquer les règles du clcul différentiel. Pour clculer une intégrle, il n y ps de recette universelle et il fut quelquefois un peu d hileté. Il y tout de même quelques méthodes : 36

9 A. Méthode directe Lorsqu on trouve une primitive d une fonction f dns une tle, ou qu elle se déduit des tles à prtir de quelques clculs lgériques, il n y rien d utre à fire : L intégrle est donnée pr l Formule de Newton-Leiniz. Exemple Soit à clculer l intégrle π/2 (e 2x + sin(xdx. On sit qu une primitive de e x est e x, donc une primitive de e 2x est 1 2 e2x. On sit qu une primitive de sin(x est cos(x. Et on sit qu une primitive d une somme est donnée pr l somme des primitives. Donc l fonction (e 2x + sin(x dmet ( 1 2 e2x cos(x comme primitive et π/2 (e 2x + sin(xdx = B. Intégrtion pr sustitution Cette méthode est sée sur l formule x= où F est une primitive de f. f(g(x g (xdx = ( ( 1 2 e2 π π 1 2 cos( 2 e2 cos( = (eπ e + 1. f( y=g( f(ydy = F(g( F(g( Preuve. Choisissons une primitive F(y de l fonction f(y. Puis posons H(x = F g(x = F(g(x. Alors l règle de dérivtion des fonctions composées nous dit que L formule de Leiniz-Newton entrîne lors que H (x = (F(g(x = f(g(x g (x f(g(x g (xdx = H( H( = F(g( F(g(. Remrque. Cette méthode s ppelle intégrtion pr sustitution, cr pour clculer l intégrle f(g(x g (xdx, on sustitue (i.e. on remplce l vrile x pr une vrile y = g(x. Notons qu il fut lors sustituer les ornes d intégrtion x = et x = pr y = g( et y = g( et remplcer g (xdx pr dy. 1 Exemple 1. Clculer l intégrle x + dx. Solution : On intègre pr sustitution. On doit trouver une primitive de h(x = x +, on pose pour cel g(x = x + et f(y = y = y 1/2. Alors g (x = et une primitive de f(y est En résumé F(y = y = 2 3 y = y3. 3 g(x = x +, g (x =, f(y = y, F(y = 2 3 y 3 2. Donc une primitive de h(x = f(g(x g (x = x + est donnée pr H(x = F(g(x = 2 3 (x On peut mintennt clculer notre intégrle, on 1 2 ( x + dx = H(1 H( = 3 37 (

10 π Exemple 2. Clculer l intégrle 2 2xcos(x 2 dx. Solution : On voit que l fonction à intégrer h(x = cos(x 2 (2x est de l forme h(x = f(g(x g (x où g(x = x 2 (donc g (x = 2x et f(y = cos(y. L formule de sustitution nous dit lors que π/2 g( π/2 2xcos(x 2 dx = F(ydy = F(g( π/2 F(g( où F est une primitive de f(y = cos(y. On prend F(y = sin(y, et on otient donc g( π/2 2xcos(x 2 dx = sin(g( π/2 sin(g( = sin(π/2 sin( = 1. Voici une ppliction importnte de l intégrtion pr sustitution u cs où on dilte l vrile d intégrtion : Proposition 3.7 (Formule de dilttion Pour tout nomre λ, on λ λ f(xdx = λ f(λxdx Preuve. Posons g(x = λx, lors g (x = λ et nous vons donc f(g(xg (xdx = f(λx λdx = λ Mis d utre prt, l formule d intégrtion pr sustitution dit que f(g(xg (xdx = g( f(ydy = λ g( λ f(λxdx. f(ydy, donc λ f(ydy = λ λ f(λxdx. Un cs prticulièrement importnt de cette formule est l identité suivnte : λu u x n dx = λ n+1 x n dx. λ 1 En posnt n = 1, nous voyons en prticulier que l intégrle de l fonction 1 x dilte l intervlle d intégrtion. ne chnge ps si on λu λ dx u x = dx 1 x. C. Intégrtion pr prties Cette méthode est sée sur l formule f(x g (xdx = (f( g( f( g( f (x g(xdx 38

11 Preuve On utilise l règle de Leiniz qui dit que (f g = f g + f g. Cette règle entrîne que (f( g( f( g( = = = (f(x g(x dx (f (x g(x + f(x g (x dx (f (x g(x dx + (f(x g (x dx. Exemple Clculer π/2 xcos(xdx. Solution : Pr prties : On pose f(x = x et g (x = cos(x. Alors f (x = 1 et g(x = sin(x. On donc π/2 π/2 f(x g (xdx = f(x g(x f (x g(xdx, c est à dire π/2 x cos(xdx = (x sin(x π/2 x cos(xdx = (x sin(x π/2 x= π/2 π/2 x= π/2 π/2 x= sin(xdx sin(xdx = π π/2 2 sin(xdx = π 2 ( cos(x π/2 = π ( x= 2 cos( π 2 + cos( = π