Calcul intégral. 1 Aire sous une courbe 2

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1 Clcul itégrl Tble des mtières Aire sous ue courbe 2 2 Défiitios 3 2. Foctio cotiue et positive sur u itervlle Foctio cotiue de sige quelcoque Itégrle d ue foctio cotiue et égtive sur [;b] Itégrle d ue foctio cotiue de sige quelcoque sur [;b] Clcul d ue itégrle 4 4 Propriétés 5 4. Liérité Ordre Applictios 5 5. Vleur moyee d ue foctio sur u itervlle Iéglité de l moyee Clcul d ire Algorithme de clculs

2 AIRE SOUS UNE COURBE Termile S-SI Aire sous ue courbe O cosidère l foctio f défiie pr f(x) = x pour tout x ds l itervlle [; 3].O souhite détermier l ire du domie sous l courbe représettive C de f.précisémet le domie délimité pr l courbe et l xe des bscisses e huteur, et les droites d équtios x = et x = 3 e lrgeur Pour pprocher l vleur de cette ire, o découpe le domie e des figures dot o coît l ire. Pr exemple,l figure suivte doe ue vleur pprochée de l ire du domie vec dix rectgles : L ire des rectgles iférieurs est : Choisissos u etier o ul et découpos le segmet [;3] e segmets de logueur égle à 3. O obtiet lors rectgles de huteur f(k 3 ) pour k. Aisi, ue pproximtio pr défut de l ire du domie est-elle doée pr l somme : A = f() 3 +f(3 ) f(( )3 ) 3 soit : A = f(k 3 ) 3 ou ecore : A = 3 f(k 3 ) cr 3 e déped ps de k. E ugmett l vleur de, o ugmete le ombre de rectgles pour se rpprocher de l vleur excte de cette ire.clculos isi l limite de A lorsque ted vers +. Scht que f(x) = x 2 +4, lors : Doc : f(k 3 ) = 9k = 9 2. L somme des premiers crrés est : f(k 3 ) = (k 3 )2 +4 = 9k k 2 + k 2 = (+)(2+) 6 4 = 9 2 ( )(2 ) 6 2/8 +4

3 2 DÉFINITIONS Termile S-SI Filemet : A = 3 f(k 3 ) = 3 ( 9 2 ( )(2 ) Avec : lim + 2 = 2, o e déduit : lim A = ) = Cette ire est à l bse de l défiitio de l itégrle de à 3 de l foctio f telle qu o l défiit e termile. 2 Défiitios 2. Foctio cotiue et positive sur u itervlle Défiitio Soit f ue foctio cotiue et positive sur u itervlle [;b] et C f s courbe représettive ds u repère orthoormé (O, i, j ). L itégrle de à b de l foctio f, otée sous l courbe. f(x)dx est l ire du domie D situé Le domie D sous l courbe est l esemble des poits M du pl de coordoées (x,y) tels que : C f Remrques : { x b y f(x) b Les ombres et b sot ppelés les bores de l itégrle. L prticule dx est importte. Elle peut être iterprétée comme ue ifime lrgeur d u rectgle de huteur f(x) pour x ds [,b]. Elle idique de plus l vrible à itégrer bie qu e termile il y it ps d mbiguïté. Le symbole est u S trophié. Ue itégrle est ue somme de vleurs distribuées cotiûmet. Exercice Clculer les itégrles suivtes : 4 xdx 2x+3dx Deux coséqueces immédites de l défiitio ci-dessus : Propositio Soit f u foctio cotiue et positive sur [;b]. Alors : f(x)dx = L propriété suivte est coue sous le om de reltio de Chsles. Propositio 2 Soit f u foctio cotiue et positive sur [;b] et c u réel ds [;b]. Alors : c f(x)dx+ f(x)dx = f(x)dx c 3/8

4 3 CALCUL D UNE INTÉGRALE Termile S-SI C f Quelque soit le réel c ds l itervlle [,b],l somme des ires des deux domies est égle à l ire du domie D. Propositio 3 Soit f u foctio cotiue et positive sur [;b]. Alors : c b f(x)dx = f(x)dx b Exercice 2 Démotrer l propositio précédete. 2.2 Foctio cotiue de sige quelcoque 2.2. Itégrle d ue foctio cotiue et égtive sur [; b] L itégrle de à b de l foctio f, est égle ds ce cs, à l opposé de l ire du domie D situé etre l xe des bscisses et l courbe Itégrle d ue foctio cotiue de sige quelcoque sur [; b] O peut lors découper à l ide de l reltio de Chsles,l itervlle [; b] e des itervlles où l foctio u sige costt. L itégrle de à b de l foctio f, est égle ds ce cs,à l somme lgébrique des ires des domies isi détermiés Exercice 3 Soit f ue foctio impire sur l itervlle [; b] (cetré e ). Démotrer que 3 Clcul d ue itégrle f(x)dx =. Théorème Si f est ue foctio cotiue sur u itervlle I cotet l vleur lors l foctio F défiie sur I pr F(x) = qui s ule e x =. x f(t)dt est l uique primitive de l foctio f Démostrtio ds le cs d ue foctio cotiue et croisste sur I : Démotros que le ombre dérivé de F e ue vleur x de I est f(x ), quelque soit cette vleur x. F(x +h) F(x ) = x +h f(t)dt x f(t)dt = x +h x f(t)dt d près l reltio de Chsles. Si h >, f étt croisste, pour tout t de [x ;x +h], o f(x ) f(t) f(x +h). x +h Doc, e itégrt l iéglité, o e déduit :f(x ) f(t)dt f(x +h), c est-à-dire : h x f(x ) F(x +h) F(x ) f(x +h). h Si h < pr le même risoemet o obtiet f(x +h) F(x +h) F(x ) f(x ). h f est cotiue sur I doc lim f(x +h) = f(x ) et d près le théorème des gedrmes : h F(x +h) F(x ) lim = f(x ). L foctio F est doc dérivble e x quelque soit x ds I. Doc F est h h 4/8

5 5 APPLICATIONS Termile S-SI dérivble sur I et F = f. Doc F est ue primitive de f sur I. De plus F() = e f(t)dt =, doc F s ule Propositio 4 Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle [; b]. Alors : où F est ue primitive de f sur [;b] f(x)dx = [F(x)] b = F(b) F() O isiste sur le fit que importe quelle primitive F de f permet le clcul de l itégrle. Quelques exemples : 3 e 4 (x 2 +4)dx = [ x3 3 +4x]3 = 2. x dx = [l(x)]e = e 2x dx = [ 2 e2x ] 4 Le clcul itégrl est doc possible pr l coissce d ue primitive de l foctio f itégrée.d utres méthodes existet ss qu elles e soiet développées ici. 4 Propriétés Les propriétés suivtes peuvet fcilemet s iterpréter e termes d ires. 4. Liérité 4.2 Ordre Propositio 5 Pour toutes foctios f et g cotiues sur u itervlle [;b], o :. (f(x)+g(x))dx = 2. Pour tout réel α, f(x)dx+ αf(x)dx = α g(x) dx f(x)dx. Propositio 6. Si f(x) pour tout x de [;b] lors 2. Si f(x) pour tout x de [;b] lors f(x)dx. f(x)dx Propositio 7 Si f(x) g(x) pour tout x de [;b] lors f(x)dx g(x) dx 5 Applictios 5. Vleur moyee d ue foctio sur u itervlle Le profil d u terri est doé pr le grphique ci-cotre. Les distces et les huteurs sot exprimées e mètres. O désire iveler ce terri, c est-à-dire fire e sorte que les remblis équilibret exctemet les déblis. L huteur s exprime e foctio de l distce d pr l foctio mthémtique : h(d) = d2 6 d /8

6 5 APPLICATIONS Termile S-SI Le problème cosiste e fit à détermier l huteur h m d u rectgle de lrgeur 6 yt l même ire que le domie D situé etre l courbe et l xe des bscisses. O doit doc voir : A D = h m 6 soit h m = A D 6 = 6 6 h(x) dx. Cette vleur de h m est ppelée vleur moyee de l foctio h sur l itervlle [;6]. Défiitio 2 Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle [, b].l vleur moyee µ de f sur [;b] est : µ = f(x)dx b O trouve près clculs :h m = 25. Cette formule est bie l moyee des vleurs possibles de f(x) lorsque x décrit l itervlle [;b]; o cosidère qu il y b vleurs de f(x) e compriso vec l formule des doées discrètes : m = x i N 5.2 Iéglité de l moyee Propositio 8 Soit m et M deux réels tels que pour tout x de [;b], m f(x) M. Alors : m f(x)dx M b 6/8

7 5 APPLICATIONS Termile S-SI Cette propriété permet de borer l ire d u domie dès que l foctio f est borée sur cet itervlle. 3 M 2 m L ire du domie est miorée pr l ire du rectgle de huteurm et mjorée pr l ire du rectgle de huteurm Clcul d ire Quelle est l ire du domie hchuré ci-dessous délimité pr l courbe représettive de deux foctios? Les prboles sot représettives des foctios f et g défiies pr : f(x) = x 2 et g(x) = x Algorithme de clculs O cosidère l foctio f défiie pour tout réel t,pr : f(t) = e t2 2 O e coît ps explicitemet ue primitive F de f. O se propose émois de détermier des vleurs pprochées de F(), R où F est l primitive de f qui s ule e. Autremet dit : F(x) = x f(x)dx O rppelle que F() est défii comme l ire du domie délimité pr l courbe,l xe des bscisses et les droites d équtio x = et x =. Pr l méthode des rectgles, o souhite obteir ue vleur pprochée pr défut et pr excès de F(). Oppelleu lsuitedessommesdesires desrectgles delrgeur etdehuteurf(k ) pour k, c est-à-dire l suite des rectgles supérieurs. O ppelle v l suite des sommes des ires des rectgles de lrgeur et de huteur f(k ) pour k, c est-à-dire l suite des rectgles iférieurs. Alors, pour tout etier : v F() u 7/8

8 5 APPLICATIONS Termile S-SI = = L ire des rectgles iférieurs est : L ire des rectgles supérieurs est : L ire des rectgles iférieurs est :.757 L ire des rectgles supérieurs est : O remrque que l covergece est très lete et qu o obtiet pr cette méthode ue précisio à 2 près pour u delà de 3. E effet, à prtir de quelle vleur de t-o u v < 2? u v = ( f(k ) f(k )) = ( f()). Doc si = 3 lors u v = 3 ( e 9 2). Aisi : u v < 2 > 3. et plus géérlemet u v < p > 3 p quelque soit p etier. O peut dès lors costruire u lgorithme d ecdremet de F(3), c est-à-dire de l ire du domie défii ci-dessus. //Clcule u ecdremet de F() pr l methode des rectgles //vec choix de rectgles. =iput( = ); =iput( = ); u=; v=; //Cretio de l foctio f fuctio y=f (x);y=exp( xˆ2/2); edfuctio for k=: do u=u+/ f(k /); v=v+/ f ((k ) /); ed disp ( U ecdremet de l ire est : ); disp( strig (u)+,pr defut et +strig (v)+,pr exces ); e=v u; disp ( vec ue precisio de : + strig (e )); 8/8