Thème : Grandeurs et mesures : Géométrie dans l espace

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1 Thème : Grandeurs et mesures : Géométrie dans l espace Ce sujet porte sur le thème Grandeurs et Mesures. Ici il s agit de calculer des aires et des volumes. L étude de la pyramide se situe en classe de 4ème. Ce thème est étudié au collège mais aussi au lycée. En effet au collège, le thème Grandeurs et mesures est traité : En 6 ème ils étudient : -Aires : mesure, comparaison et calculs d aires Aire du triangle rectangle, Aire du disque -Volumes : Volume du parallélépipède - Connaitre et utiliser les unités de volume - Effectuer pour les volumes des changements d unité de mesure. En 5 ème : -Aires : calcul de l aire d un parallélogramme Aire du triangle connaissant un côté et la hauteur connue Calculer l aire d une surface plane ou d un solide par décomposition Volumes :- Calculer le volume d un parallélépipède rectangle -Calculer le volume d un prisme droit, d un cylindre de révolution -Changement d unités En 4 ème : Aires et Volumes : - Calculer le volume d une pyramide et d un cône de révolution avec V=1/3 B h En 3 ème : Aires et Volumes : Calculer l aire d une sphère de rayon donné Calculer le volume d une boule de rayon donné Effet d une réduction ou d une réduction de rapport k : l aire d une surface multiplié par k², le volume d un solide est multiplié par k3

2 Au lycée, on ne parle pas vraiment du thème grandeurs et mesures, on travaille tout de même bien sûr sur la géométrie dans l espace, avec des calculs de volumes et d aires comme précédemment mais de manière plus approfondi et des problèmes plus complexes, avec des sections de plans Analyse de la production de l élève : Au regard du travail réalisé par l élève, on peut voir que le résultat trouvé est le bon et que l élève a une bonne vision de la figure S engager dans une démarche : Il décompose son analyse en différentes étapes, il a compris qu il manquait la mesure d une longueur pour pouvoir résoudre le problème c est-à-dire calculer les aires des faces latérales. Il étudie donc d abord dans les deux triangles SOA et OAB. Il remonte dans son analyse. Prendre des initiatives : il décompose la figure(ce qui est vraiment quelque chose de positif) afin de faire les calculs, place le point I sans qu il ait été donné. Il prend de bonnes initiatives. Exposer un raisonnement : il a un raisonnement logique, il agit étape par étape et expose son raisonnement grâce aux figures Mener des Calculs : Au début de son raisonnement, il utilise les valeurs exactes puis il utilise les valeurs approchées dans les derniers calculs ce qui va fausser quelque peu ses résultats Ses savoirs : le théorème de Pythagore, il sait que dans un triangle isocèle les hauteurs issues du sommet principal sont aussi les médiatrices issues du même sommet. Points négatifs : Ce qui manque dans son raisonnement, c est le manque de justification, il n explique pas ce qu il fait mais il le présente sous formes de figures, ce qu il semble suffisant, il manque donc des justifications ; par exemple Il manque la justification du triangle rectangle SAO. On devine ses savoirs par la justesse de ses résultats et l utilisation des théorèmes. Il utilise aussi «Pythagore» au lieu de dire le théorème de Pythagore dans une erreur de langage.

3 Résolution du problème plus complète La résolution du problème est juste mais il faudrait ajouter des justifications : Dans ce problème, on a des faces qui sont des triangles équilatéraux, pour calculer leur aire, nous devons trouver la longueur de la hauteur de ses triangles. Les triangles étant équilatéraux, la hauteur issue du sommet principal est confondue avec la médiatrice issue du même sommet. Posons le point I milieu de [AB] pour la face SAB. On recherche SI Pour trouver SI, on doit d abord chercher les longueurs SA et SB. Tout d abord pour compléter son raisonnement : La base du triangle est un carré, or on sait que dans un carré les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu on a donc OA=OC. On peut appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle ABC ou dans le triangle OAB. 1 ère méthode : Dans le triangle ABC, d après le théorème de Pythagore AC²=AB²+BC² d où AC=sqrt(AB²+BC² ) OA= ½ AC 2 ème méthode : Dans le triangle OAB, d après le théorème de Pythagore ; OA²+OB²=AB² donc OA²=AB²/2 Méthode utilisée par l élève : Dans le triangle OAI rectangle en I AO²= AI²+IO² = 612,5 avec OI =1/2 BC d après le théorème des milieux (SO) est la hauteur du triangle elle est perpendiculaire à la base ABCD, elle est donc perpendiculaire à toutes les droites qui appartiennent à la base et donc à (AO). On utilise Le théorème de Pythagore comme l élève mais en utilisant les valeurs exactes.

4 Calcul de AS² AS²= 312,5 + 21²=1053,5 Calcul de SI² IS²=AS²-AI²=1053,5-(17,5)² = 747,25 Calcul de la superficie à retrouver (4*35*sqrt(747,25))/2 Méthode directe On aurait pu utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle SIO ce qui est plus rapide mais il est peut être plus difficile de voir ce triangle pour les élèves. (OI) appartient à la base ABCD, (OI) est perpendiculaire à (SO). Donc dans le triangle SOI rectangle en O, d après le théorème de Pythagore, on a SI²=SO²+OI² on a OI=(35/2) d après le théorème des milieux =(21)²+ (35/2)² SI =sqrt(2989/4) =7*sqrt(61)/2 = 245*sqrt(61)= 1913,51 arrondi au centième près

5 Exercices proposé : Exercice 1 : Pourquoi j ai choisi cet exercice :Utilise différents pré-requis, travailler sur geo space ou geo plan, Résolution d'un problème par une approche graphique et fonctionnelle. Présentation du problème à l aide de la figure Geospace qui permet de faire varier h. Ouvrir la figure Geoplan et la mettre en mosaïque verticale afin d'observer les variations des volumes en fonction de h. L outil Geoplan-Geospace ne permet pas (même en diminuant le pas de h) de conjecturer la valeur exacte de h ; la résolution mathématique du problème est indispensable. L approche fonctionnelle amène à une résolution par mise en équation ; après factorisation il faut résoudre une équation produit.

6 On peut mettre en évidence une autre méthode utilisant la proportionnalité du volume d'une pyramide à celui d'un pavé de même base. On peut ensuite rechercher le coefficient de réduction entre les deux pyramides (récipient et eau). Exercice 2 : Ce qui a poussé mon choix : Résoudre un problème d'optimisation En 3 ème ou en seconde : Calcul littéral utilisation de la représentation graphique d'une fonction pour conjecturer un maximum. Éventuellement un prolongement possible en utilisant un tableur pour encadrer la solution du problème. En 1 ère : Étude d une fonction polynôme de degré 3. Exercice 3 : niveau 4ème

7 Pourquoi j ai choisi cet exercice : Il reprend de nombreux objectifs : calcul d aire, calcul de volume, tracé de patron