12 Outils. pour la géométrie. 1 Commentaires généraux
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- Xavier Lheureux
- il y a 7 ans
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1 1 Outils pour la géométrie 1 ommentaires généraux e chapitre rassemble les résultats géométriques vus par les élèves dans les classes précédentes et utiles pour la classe de troisième. Selon l organisation pédagogique de la classe, l enseignant et les élèves pourront l utiliser librement : pour faire le point avant d aborder une nouvelle notion ; pour faire une révision en début d année ; pour un travail autonome des élèves. On notera que l organisation de ce chapitre diffère sensiblement de celle de l ensemble des autres chapitres (hormis le chapitre 1, Outils pour le calcul : sur chaque page de gauche se trouve un rappel des notions et sur chaque page de droite des exercices mettant en œuvre ces notions. 100 hapitre 1 Outils pour la géométrie
2 orrections des exercices 1 1. est un segment. On peut la nommer «le segment []».. La ligne rouge est un segment, on peut par exemple la nommer «le segment []». La ligne noire est une droite, on peut la nommer «la droite (». La ligne violette est une droite, on peut la nommer «la droite (d». 3. a. fausse b. vraie c. vraie d. fausse e. fausse a. vraie b. fausse c. vraie d. vraie e. vraie f. fausse g. vraie 3 1. (d 1 (d 5 (d 4 5 (d est tangente au cercle de centre O, donc la distance de O à la droite est égale au rayon (ici 3 cm. La distance de O à (d est cm ( (. La droite ( est perpendiculaire au rayon qui passe par, c est donc la tangente en au cercle de diamètre [] (d 1 (d (d (d 3. a. (d 1 // (d (d // (d 3 donc (d 1 // (d 3 eux droites parallèles à une même droite sont parallèles. b. (d 1 // (d (d 1 (d 4 donc (d (d 4 Lorsque deux droites sont parallèles, chaque droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. c. (d 1 (d 4 (d 1 (d 5 donc (d 4 (d 5 eux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles (d (d. (d 1 ( (d ( 8 < G + G G < + G G < + G donc (d 1 // (d 9 a. SR + RT > ST donc 7 > ST. RS + ST > RT donc ST > RT RS donc ST > 1 donc 1 < ST < 7. ST peut valoir, 3, 4, 5 ou 6 cm. b. Échelle 1/ S5 S 4 S 3 S R S 1 T. La médiatrice d un segment est perpendiculaire à ce segment, donc (d ( et (d (. omme, et sont alignés, ( = (. onc (d et (d sont perpendiculaires à la même droite et elles sont donc parallèles. S 5 S 4 S 1 S S 3 hapitre 1 Outils pour la géométrie 101
3 10 a. oui b. non (10 > c. non (triangle aplati d. oui ans le triangle, (d // ( et milieu de []. ans un triangle, la droite qui passe par le milieu d un côté et qui est parallèle à un autre côté, coupe le troisième côté en son milieu. onc O est le milieu de []. Par un raisonnement analogue, dans le triangle, on obtient milieu de [].. ans le triangle, est le milieu de [] et est le milieu de [] donc ( // (. 8 cm. milieu de [] milieu de [] donc ( // ( et = 1. Puisque ( // (, est un trapèze. 3. Périmètre de = = 18 cm et. Échelle 1/ 1 1. L K. ans le triangle : L milieu de [] K milieu de [] donc (KL // ( 1 et KL = 1 e même dans le triangle : milieu de [] milieu de [] donc ( // ( 3 et = 1 4 e 1 et 3, on obtient (KL // (. e et 4, on obtient KL =. Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et de même longueur est un parallélogramme donc KL est un parallélogramme Échelle 1/ K O O. Par construction, O est le milieu de [K] et O le milieu de [L]. onc (OL et (KO sont deux médianes du triangle KL. Les médianes d un triangle sont concourantes, donc ( est la médiane issue de pour le triangle KL ; elle coupe donc le côté [KL] en son milieu. L 10 hapitre 1 Outils pour la géométrie
4 et.. O est le centre d un cercle circonscrit au triangle donc O est un point de de la médiatrice de []. e même, O est le centre d un cercle circonscrit au triangle donc O est un point de de la médiatrice de []. (OO est donc la médiatrice de []. (OO est donc perpendiculaire à ( et. O O 3. ( // ( car milieu de [] et milieu de []. Les angles correspondants et sont égaux. 1 = et 1 =, donc =. 4. Les angles correspondants et sont égaux donc ( // (. et sont alignés car ( est la bissectrice de et. ans le triangle, milieu de [] et ( // (, donc milieu de []. H 3. (, (H et (. L orthocentre de H est N. a. Puisque et sont des rectangles, ( (N et ( (N, donc ( et ( représentent deux hauteurs du triangle N. b. (N passe par un sommet et par le point d intersection de deux hauteurs du triangle N : c est donc la 3 e hauteur de ce triangle. 3. n faisant un raisonnement analogue dans le triangle M, on trouve que (M est la hauteur issue de M et qu elle est donc perpendiculaire à (. 4. (M ( (N ( donc (M // (N M 0 Le cercle rouge est le cercle inscrit au triangle dans son centre est le point de concours des bissectrices. ( est donc la bissectrice de. ig. 1 : 60 = = 30. ig : 90 = = La somme des angles d un triangle est égale à 180. est un triangle isocèle de sommet principal donc : = = 54 ; = = 7.. = = = hapitre 1 Outils pour la géométrie 103
5 = 90 = = et. Nature Mesure Mesure Mesure Nombre du triangle de de de d axes isocèle en rectangle en isocèle en équilatéral rectangle isocèle en quelconque a. = 7 b. = 16 c. = 54 d. = 79 e. = 101 f. = 7. = = 7, donc est isocèle en. 5, et sont trois triangles équilatéraux, donc : = = = 60 et = 180., et sont donc alignés. 6 (GO et (O sont les bissectrices de G et de G. G est isocèle en donc G = G et GO GO = = = 3. onc G = G = 3 = 64 et G = = 5. 7 = 35. = 180 ( = 95. x = = = 95 = 47,5. H. est un triangle isocèle en donc : = = 71. Soit K le point d intersection de la hauteur (H avec []. Le triangle K est rectangle en K et on a : K = = 5. H = K = 71 5 = 19. La hauteur issue du sommet principal d un triangle isocèle est aussi un axe de symétrie, donc : H = a. R est un triangle équilatéral donc : R = 60. R = = 30. b. R R = = = 75 et R = 360 ( = 150. c. S = + S = = ans le triangle S isocèle en, on a : S = = 15. S = R = 15, donc, R et S sont alignés M est un triangle rectangle en M donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse : le point.. N est un triangle rectangle en N donc il a aussi pour centre de son cercle circonscrit. 3. M =ΙΝ= (M et N sont deux points du cercle de centre et de diamètre donc MN est isocèle en. K 104 hapitre 1 Outils pour la géométrie
6 31 ans le triangle H rectangle en H, H = 90 0 = 70. ans le triangle rectangle en, = = T est un point du cercle de diamètre [] donc le triangle T est rectangle en T. On en déduit que (T est perpendiculaire à (T. (T est la droite perpendiculaire en T au rayon [T], c est donc la tangente au en T. 3 Échelle 1/ M N 36 1.,. et 3. Échelle 1/ 1 M P P MNOP est un carré, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle MNP : NP = 18 NP = 18 (cm NP 11,3 cm On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en : = 61 ; = 61 7,8 cm.. ans le triangle rectangle en, on utilise le théorème de Pythagore : = +, donc : = ; = 61 9 = 5 ; = 5 7, cm. 3. et sont deux triangles rectangles de même hypoténuse [] donc le cercle circonscrit au triangle est aussi le cercle circonscrit au triangle. 34 Échelle 1/ L K M KLM est équilatéral donc la médiane (L est aussi une hauteur. On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle KL rectangle en : L = KL K ; L = 6 3 = 7 ; L = 7 5, cm. O N 4. a. M est un point du cercle de diamètre [P], donc PM est rectangle en M. b. n utilisant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on a : P = M + MP donc : M = P MP = 3,75 ; M 4,9 cm. 5. a. N est un point du cercle de diamètre [P], donc PN est rectangle en N. b. (N (NP (M (MP donc (N // (M M, P, N sont alignés donc MP = NP. 37 Triangle : = = [] est le plus long côté donc ne peut être rectangle qu en. omme +, d après le théorème de Pythagore, ce triangle n est pas rectangle en, donc il n est pas rectangle. Triangle G : G = 34,5 + G donc G = + G. = 34,5 après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle G est rectangle en. Triangle RST : RT RS + ST, RT = 144 RS + ST = 145 donc RST n est pas un triangle rectangle (même raisonnement que pour. hapitre 1 Outils pour la géométrie 105
7 38 1. Échelle 1/ 4 1. et. H 1 cm PG = 100 HG + H = 100 G G = HG + H après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HG est rectangle en H. 3. ans le triangle rectangle, la médiane issue de l angle droit mesure la moitié de l hypoténuse, donc H = G = 5 cm. 39 ans le triangle rectangle, la médiane issue de l angle droit mesure la moitié de la longueur de l hypoténuse, donc O =. n utilisant le théorème de Pythagore, on obtient = 136. onc O = 136 5,8 cm. 40 est un parallélogramme, donc [] et [] ont le même milieu. est un parallélogramme, donc [] et [] ont le même milieu. après ce qui précède, [] et [] ont le même milieu, donc est un parallélogramme On se sert du quadrillage pour déterminer les longueurs des côtés en utilisant le théorème de Pythagore. Le quadrilatère a les côtés opposés de même longueur, c est donc un parallèlogramme Le quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et qui sont de même longueur, c est donc un rectangle G G cm. Le quadrilatère G G a ses diagonales qui ont le même milieu et qui sont perpendiculaires, c est donc un losange. 4 cm. = =. est un rectangle, donc ( // ( et ( // (. ( // ( et =. Un quadrilatère qui a deux côtés à la fois parallèles et de même longueur est un parallélogramme donc est un parallélogramme a. est un parallélogramme donc ( // ( et les angles alternes-internes et sont égaux. onc = 50 et = 180 ( = 90. b. Les diagonales du parallélogramme sont perpendiculaires donc est un losange.. est un losange, donc ses diagonales sont des axes de symétrie ; on obtient : = 50 = 100 = et = 40 = 80 =. 106 hapitre 1 Outils pour la géométrie
8 a. M H. GH est un rectangle donc ses diagonales sont de même longueur. On en déduit que = G. Le parallélogramme G a deux côtés consécutifs de même longueur donc c est un losange. 3. ans le losange G, les diagonales sont perpendiculaires donc ( (G. omme GH est un rectangle, ( (G. eux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc ( // ( G S R O b. Les diagonales du losange sont perpendiculaires donc le parallélogramme OM a un angle droit ; c est donc un rectangle.. M O Le raisonnement précédent reste valable, mais de plus les diagonales du carré sont de même longueur donc O = O et le rectangle OM a deux côtés consécutifs de même longueur : c est donc un carré. R. Une symétrie orthogonale conserve les angles et les longueurs donc RST = TSR = 45. e même RTS = STR = 45. RS = RT = SR = R T donc RSR T a quatre angles droits et les 4 côtés de même longueur. est à la fois un rectangle et un losange : c est donc un carré a. G a ses diagonales qui ont le même milieu et qui sont perpendiculaires, donc c est un losange. b. a ses diagonales qui ont le même milieu, qui sont perpendiculaires et de même longueur, donc c est un carré. c. Soit O le centre des cercles, le milieu de [O] et le milieu de [O]. onc ( // ( et est un trapèze.. ( est la médiatrice de [H], donc H est un cerf-volant. T 50 Le carreau mesure 0,5 cm de côté ire du triangle jaune :,, = 1,875 cm. ire du trapèze rose : ( , 5 = 3 cm ire : 1 6 π = 3 π cm. Périmètre : π = 10 3 π + 4 cm.. ire : π = 7 9 π cm. Périmètre : 90 9 π + = π + 4 cm h doit vérifier 5h =,. où 5h = 16,8, h = 16, 8 = 3,36 cm = 5 9,5 10,3 = 489,5 cm 3.. = 10,3 9,5 + 5 ( 9,5 + 10,3, = 393,7 cm. hapitre 1 Outils pour la géométrie 107
9 54 1. h O. = = h. O = O O = O donc O = O 55 = 3 3, 4, , = 56,7 cm 3. ; 57 Rayon = 6 = 3. = 3 π π 45, 3 ; = 60π cm 3 ; 188,496 cm = π 1,5 3 = 6,75π (m 3. = π 1,5 + 1,5 π 3 ; = 13,5π (m.. 1,06 m 3. 4,41 m. 59 = ; 3 = = 300 m G H 3, 5 = 4, 5 3 3, 3, = 3,4 cm hapitre 1 Outils pour la géométrie
10 3 ocuments à photocopier xercice 18, p. 05 xercice 3, p. 07 Nature du triangle Mesure de isocèle en 0 équilatéral Mesure de Mesure de Les Éditions idier hapitre 1 Outils pour la géométrie 109
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