Cours de Terminale S /Nombres complexes. E. Dostal

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1 Cours de Terminale S /Nombres complexes E. Dostal aout 01

2 Table des matières 8 Nombres complexes 8.1 Introduction Le plan complexe Opérations sur les nombres complexes Conjugué d un nombre complexe Module et argument d un nombre complexe Forme trigonométrique d un nombre complexe Exponentielle complexe Equations du second degré Exercices

3 Chapitre 8 Nombres complexes 8.1 Introduction Histoire : D un point de vue historique, les nombres complexes sont issus de la recherche de solutions à des équations du genre : x = 1 intervenant dans la résolution des équations du troisième degré. Il n existe pas de nombre réel x dont le carré soit 1. Les premiers mathématiciens prétendaient donc que cette équation n admettait pas de solution. Cependant, vers le milieu du XVIe siècle, Jérôme Cardan ( et ses contemporains expérimentèrent des solutions d équations faisant intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Euler, quant à lui, introduisit en 1777, le symbole moderne i. Il établit la célèbre relation : e iπ = 1 8. Le plan complexe Théorème 1 Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes : C contient l ensemble des nombres réels : R C il existe un nombre complexe, noté i tel que i = 1. tout nombre complexe z s écrit de manière unique sous la forme z = x +iy, où x et y sont des nombres réels. Exemple 1. z = +i C; z = 5 R, donc z C; z = 7 6i C;... Définition 1 L écriture z = x + iy, où x R et y R s appelle la forme algébrique du nombre complexe z. x est la partie réelle de z, notée R(z, et y est la partie imaginaire de z, notée I(z,

4 E. Dostal - 01 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES D après le premier théorème, on a alors : Corollaire Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : soit z = a +ib et z = a + ib, avec a, b, a et b quatre nombres réels, alors, z = z (a = a et b = b Définition (Plan complexe Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; u, v direct. A tout nombre complexe z = x+iy, x R, y R, on associe le point M de coordonnées M(x;y. On dit que z est l affixe du point M, ou du vecteur OM ; et que le point M, ou le vecteur OM est l image de z. y M(z = x+iy v O u x Définition Les nombres réels sont les affixes des points de l axe des abscisses, que l on appelle donc axe réel. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle, z = 0 + iy = iy est appelé un nombre imaginaire pur. Les images de ces nombres sont les points de l axe des ordonnées, que l on appelle donc axe imaginaire (pur. Exemple. Placer les points A, B et C d affixe respectif : z A = 1 i, z B = 4 i et z C = + i. Déterminer les longueurs OA, OB et OC et AB v O u

5 E. Dostal - 01 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES 8. Opérations sur les nombres complexes Les règles de calcul sur les nombres réels se prolongent aux nombres complexes. Exemple. Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes : (+i+( 1+6i (5+i ( i (1+i( i (4+i( 5+i ( i (x+iy(x +iy (x+iy ( i(+i (a+ib(a ib Proposition Soit z 1 = a +ib et z = a + ib deux nombres complexes, avec a, b, a et b quatre réels, et M et N leur image respective dans le plan complexe. Alors z = z 1 +z = (a+a +i(b+b a pour image le point P tel que OP = OM + ON. De même, le vecteur MN = ON OM a pour affixe le complexe z MN = z z 1. b+b b M(z 1 P(z 1 +z b v O u a a N(z a+a Proposition 4 Soit deux points A et B d affixe z A et z B, alors l affixe du vecteur AB est z b z A. Soit u et v deux vecteurs d affixe z et z, alors le vecteur u+ v a pour affixe z +z. De plus, si k R, le vecteur k u a pour affixe kz. Exemple 4. Les points A, B et C ont pour affixe respective +i, +i, i. a Calculer les affixes des vecteurs AB et AC. b En déduire que les points A, B et C sont alignés. c Placer les points A, B et C. Exemple 5. Les points A, B et C ont pour affixe respective 1+ 1 i, +i et 1 11 i. Montrer que les points A, B et C sont alignés. Exemple 6. On considère dans le plan complexe les points A, B, C et D d affixe z A = +i, z B = i, z C = i et z D = 1+5i. a Faire une figure b Montrer de deux façons différentes que ABCD est un parallélogramme. Proposition 5 (Inverse d un nombre complexe Tout nombre complexe non nul z admet un inverse, noté 1 z. Démonstration : Soit z = x+iy un nombre complexe non nul, c est-à-dire x 0 et y 0. Alors, 1 z = 1 x+iy = x iy (x+iy(x iy = x iy x +y = x x +y i y x +y avec x +y 0 Exemple 7. Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes : 1 1+4i ( +i 1 +i ( ( 1 5 i + i +i i 1 i i 4 i 5 i 6 Exprimer en fonction de n Z, z n = i n 4

6 E. Dostal - 01 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES Exemple 8. Soit z 1 = 1+i et z = 4 i. Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes : Exemple 9. z 1 z z 1 z z 1 z 1 z z 1 z 1 1. Donner la forme algébrique de : i 1 ; i 01 ; i 7 ; i 1. Calculer la somme : S = 1+i+i + +i 014. On pose j = 1 +i. Calculer 1+j +j. + 1 z 8.4 Conjugué d un nombre complexe Définition 4 Soit z = x+iy, x R, y R, un nombre complexe. On appelle conjugué de z, noté z, le nombre complexe z = x iy. Proposition 6 Dans le plan complexe, si le point M a pour affixe z, alors l image M de z est le symétrique de M par rapport à l axe des abscisses. Exemple 10. z = +i, alors z = i. 1 i = + 1 i 5 = 5 i = i Proposition 7 z = z zz = x +y zz = zz z n = z n z +z = z ( +z 1 si z 0, = 1 ( z si z 0, z z z = z z z +z = R(z et donc, z imaginaire pur R(z = 0 z = z z z = ii(z, et donc, z R I(z = 0 z = z Exemple 11. Soit les nombres complexes : z 1 = i 5+7i et z = +i 5 7i. Vérifier que z 1 = z, et en déduire que z 1 +z est réel et que z 1 z est imaginaire pur. Calculer z 1 +z et z 1 z. Exemple 1. Soit P le polynôme défini sur C par : P(z = z +z 4z +6. a Montrer que pour tout complexe z, P(z = P(z. b Vérifier que 1+i est une racine de P, et en déduire une autre racine complexe de P. Exemple 1. Déterminer l ensemble des points M d affixe z du plan complexe tels que Z = z +z soit réel. Exemple 14. uation : a 5z = 4 i b (1+iz +1 i = 0 c z iz = 5 i Exemple 15. Montrer que l équation z z + = 0 admet quatre solutions dans C. 5

7 E. Dostal - 01 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES 8.5 Module et argument d un nombre complexe Définition 5 Soit dans le plan complexe un point M d affixe z = x+iy, x R, y R. Alors, OM = x +y = zz. Ce nombre, réel et positif, s appelle le module du nombre complexe z, et est noté z = OM = x +y. On appelle argument ( du nombre complexe non nul z, noté arg(z, toute mesure en radians de l angle orienté : u, OM. y v O u z = x +y M(z = x+iy x Remarque : Un nombrecomplexe non nul z a uneinfinité d arguments : si θ est un deces arguments, alors tous les autres sont de la forme θ+kπ, k Z. On note arg(z = θ (modulo π, ou arg(z = θ [π], ou encore, pour simplifier (mais alors par abus de langage, arg(z = θ. Proposition 8 Soit A(z A et B(z B, alors AB(zB z A et donc, AB = ( AB = zb z a u, AB = arg(z AB = arg(z B z A. B(z B AB(z AB =z B z A A(z A u θ = arg( z AB = arg(z B z A M(z B z A v O u θ Corollaire 9 Soit A(z A, B(z B, C(z C et D(z D alors Preuve : ( AB; CD = ( ( AB; u + u; CD ( ( zd z C AB; CD = arg z B z A ( = u; ( AB + u; CD ( zd z C = arg(z B z A +arg(z D z C = arg z B z A Exemple 16. Déterminer l ensemble des nombres complexes z tels que : arg(z = π 6 arg(z +i = π z = z +i z +1 i < 5 z + i ( ( = 4 1 z +1 arg = π arg = π iz z i Exemple 17. Dans le plan complexe, A, B et C sont les points d affixes : z A = 1+i, z B = 4+5i, z C = 5 i. ( 1. Montrer que AB = AC, puis que AB; AC = π. 6

8 E. Dostal - 01 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES. Déterminer l affixe du point K tel que le quadrilatère ABKC soit un rectangle.. (a Déterminer l affixe du point G tel que le quadrilatère AGBC soit un parallélogramme. (b Vérifier que B est le milieu du segment [GK]. 8.6 Forme trigonométrique d un nombre complexe Définition 6 Dans le plan complexe un point M peut-être repéré par ses coordonnées cartésienne (x;y, ou son affixe complexe z = x + iy, ou par ses coordonnées polaires (r;θ, avec r = OM et θ = ( u; OM. On a les relations : { r = x +y cosθ = x r, sinθ = y r { x = rcosθ y = rsinθ L affixe z du point M s écrit alors, z = r ( cosθ+isinθ Cette écriture est la forme trigonométrique de z. y=rsinθ sinθ r= z = x +y M(z = x+iy O θ=arg(z cosθ x=rcosθ Exemple 18. Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : z 1 = z = 4 z = i z 4 = 1+i z 5 = +i z 6 = 17 z 7 = 6 +6i z 8 = 5i z 9 = 6+i. Proposition 10 Pour tout nombres complexes z et z : si z = x+iy, x R et y R, zz = z = x +y z = z z = z z +z z + z (inégalité triangulaire zz = z z z n = z n z z = z z Exemple 19. Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que : z +i iz = z +5 z +1 i > 1 7

9 E. Dostal - 01 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES 8.7 Exponentielle complexe On considère la fonction f définie sur R par f(θ = cosθ+isinθ. Soit, pour tous nombres réels θ et θ, z = cosθ+isinθ et z = cosθ +isinθ. On a alors z = z = 1 et arg(z = θ et arg(z = θ. Ainsi, f(θf(θ = zz, avec, ( arg f(θf(θ = arg ( zz = θ +θ et f(θf(θ = zz = z z = 1 On en déduit que f(θf(θ = cos(θ +θ +i(sin(θ +θ = f (θ+θ. Ainsi, la fonction f vérifie une relation fonctionnelle analogue à celle de la fonction exponentielle. Comme les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R, f l est aussi, et, f (θ = sin(θ+icosθ = i(isinθ+cosθ = if(θ De plus, f(0 = cos0+isin0 = 1. On en déduit que f est définie de manière unique par l expression f(θ = e iθ. Proposition 11 Pour tout θ R, e iθ = cosθ +isinθ. Ainsi, tout complexe z s écrit sous la forme exponentielle complexe : où, r = z et θ = arg(z. z = r(cosθ+isinθ = re iθ Exemple 0. e i0 = e iπ = 1 e iπ = 1 e iπ = i e iπ = i e iπ = cos ( π +isin = 1 +i ( cos + i = = eiπ 4 ( π ( π ( π +isin 4 4 eiπ 4 e iπ i=eiπ π 4 1=e iπ 1 O 1=e i0 =e iπ i=e iπ Exemple 1. Placer dans le plan complexe et écrire sous formes trigonométrique et algébrique les nombres complexes : e iπ e iπ 4 6e iπ 5e i5π e iπ 4 e i π eiπ 6 8 e iπ

10 E. Dostal - 01 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES Exemple. Ecrire sous forme trigonométrique et exponentielle les nombres complexes : 5 4+4i i ( ( i i i 1 i Proposition 1 Pour tous réels θ et θ, et tout entier naturel n, e iθ = 1, et arg(e iθ = θ e iθ e iθ = e i(θ+θ e iθ ; = e i(θ θ ; e e iθ = e iθ iθ ( e iθ n = e inθ (Formule de Moivre, c est-à-dire, (cosθ+isinθ n = cos(nθ+isin(nθ e iθ = e iθ θ = θ [π] Corollaire 1 Pour tous nombres complexes z et z, arg(zz = arg(z+arg(z arg(z ( n = narg(z z arg z = arg(z arg(z Démonstration : Soit z = re iθ, r = z et θ = arg(z, et z = r e iθ, r = z et θ = arg(z, alors, zz = rr e i(θ+θ, et donc, zz = rr = z z, et arg(zz = θ +θ = arg(z+arg(z. De même pour la puissance : z n = ( re iθ n = r n ( e iθ n = r n e inθ, et donc, z n = r n = z n et arg(z n = nθ = narg(z Exemple. On donne z 1 = e iπ 6, z = e iπ, et z = e i5π 6. z 1 Donner sous la forme exponentielle puis algébrique les complexes : z 1 z z,, z z z, z6. ( e iθ +e iθ e Exemple 4. Simplifier l expression, où θ R, +( iθ e iθ. i Etait-ce prévisible sans calcul? Exemple 5. Ecrire le nombre complexe ( i 10 sous forme algébrique. Exemple 6. Calculer le module et un argument des complexes suivants, puis les écrire sous formes trigonométrique et exponentielle : 6 i z 1 = z = 5( 1+i (1+i +i Exemple 7. a Ecrire sous forme trigonométrique les complexes z 1 = i, z = 1 i, et Z = z 1. ( z π ( π b Déterminer la forme algébrique de Z, et en déduire les valeurs exactes de cos et sin. 1 1 Exemple 8. a Ecrire sous forme trigonométrique les complexes z 1 = 1 i, z = 1 i, et Z = z 1 z. ( ( 11π 11π b Déterminer la forme algébrique de Z. En déduire les valeurs exactes de cos et sin. 1 1 Exemple 9. (Formules trigonométriques Soit θ et θ deux réels quelconques. En exprimant de deux manières différentes le complexe e iθ e iθ, exprimer cos(θ +θ et sin(θ +θ en fonction des cosinus et sinus de θ et θ. Exprimer de la même façon sin(θ et cos(θ. Exemple 0. En utilisant la notation exponentielle complexe, retrouver en fonction de cos(x et sin(x les valeurs ( de : cos x+ π ( sin x+ π ( π ( π cos x sin x cos(x+π sin(x+π cos(π x sin(π x 9

11 E. Dostal - 01 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES 8.8 Equations du second degré Proposition 14 Soit a un nombre réel. Les solutions de l équation z = a sont appelées racines carrées de a dans C, avec si a 0, alors z = a ou z = a (deux racines réelles si a < 0, alors z = i a ou z = i a (deux racines complexes, imaginaires pures Démonstration : Si a 0, alors z = a (z a(z+ a = 0, d où les racines de l équation. Si a < 0, z = a z i ( a = z i ( a = 0 (z i a(z +i a = 0, d où les racines complexes. Ex : Les racines carrées de dans C sont et, qui sont réelles; les racines carrées de 4 dans C sont i 4 = i et i 4 = i. Proposition 15 L équation az +bz+c = 0, où a 0, b et c sont trois réels, de discriminant = b 4ac admet : si = 0, une solution réelle double z = b a si > 0, deux solutions réelles distinctes z 1 = b et z = b+. a a si < 0, deux solutions complexes conjuguées : z 1 = b i a et, z = b+i a Dans tous les cas, le trinôme du second degré se factorise selon (avec éventuellement z 1 = z : az +bz +c = a(z z 1 (z z. Exemple 1. Résoudre dans C les équations suivantes : z +z +1 = 0 z z +18 = 0 z +9z 4 = 0 z +(1+ z = 0 Exemple. Soit le polynôme : P(z = z +z 4z Montrer que z 0 = 1+i est une racine de P.. En déduire une factorisation de P.. Déterminer alors toutes les racines de P. Exemple. On considère l équation z cos(θz +1 = 0, où θ est un réel donné dans [0;π[. 1. Vérifier que le discriminant de cette équation est = 4sin (θ.. Résoudre alors dans C l équation proposée, en discutant suivant les valeurs de θ, en donnant les solutions sous formes exponentielle. Exemple 4. Ecrire sous forme exponentielle les solutions de : z zsin α+sin α = 0. Exemple 5. Résoudre dans C l équation z 4 +4z 1 = 0. Exemple Donner sous forme exponentielle les solutions de l équation : z +z +1 = 0.. Soit α un réel donné. Factoriser l expression : z e iα.. En déduire les solutions de l équation : z 4 +z +1 = 0. Exemple 7. Résoudre dans C l équation z z = 0. Exemple 8. Résoudre dans C l équation z z + = 0. Exemple 9. Résoudre dans C l équation : z 4 +4z 1 = 0. Exemple 40. On considère le polynôme P défini sur C par P(z = z 4 4z +4z 4z +. 10

12 E. Dostal - 01 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES a Montrer qu il existe un polynôme Q à coefficients réels tel que, pour tout nombre complexe z, P(z = (z +1Q(z. b En déduire toutes les racines dans C du polynôme P. Exemple 41. Soit P le polynôme défini par : P(z = z (+iz +(1+iz i. 1. Calculer P(i.. Trouver deux nombres réels p et q tels que P(z = (z i(z +pz +q.. Montrer que les solutions de P(z = 0 sont les affixes des sommets d un triangle rectangle isocèle. Exemple 4. Soit le polynôme P défini sur C par : P(z = z +(1+6iz +(8+iz +i. 1. Vérifier que z 0 = i est une racine de P.. En déduire une factorisation de P, et déterminer alors toutes les racines de P. Exemple x est un nombre réel. Ecrire la forme algébrique et la forme exponentielle de ( i e ix.. Utiliser la question précédente pour résoudre dans ] π;π[ l équation cos(x+sin(x =. Proposition 16 (Equations d un cercle Soit C 0 le cercle trigonométrique et C R le cercle de rayon R centré à l origine, et C R,Ω le cercle de rayon R centré en Ω d affixe ω, alors : M(z C OM = 1 z = 1 z = e iθ M(z C R OM = R z = R z = Re iθ M(z C R,Ω ΩM = R z ω = R z ω = Re iθ z = ω +Re iθ Remarque : En écrivant z = x+iy et ω = ω x +iω y, on retrouve l équation cartésienne d un cercle M(x;y C R,Ω z ω = R (x ω x +i(y ω y = R (x ω x +(y ω y = R Exemple 44. a Déterminer l équation complexe et cartésienne du cercle de rayon et de centre Ω(+i. b Quel est l ensemble des point M(x;y tels que x +y 6x+4y 1 = 0. c Quel est l ensemble des point M(x;y tels que x +y +4x y +11 = 0. Exemple 45. Soit p et q deux nombres réels. a Factoriser e ip+q dans la somme e ip +e iq. b En déduire une factorisation de cos(p+cos(q et de sin(p+sin(q. c Résoudre dans l intervalle ] π;π] l équation : cos(x+cos(x = 0. 11

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