Nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :

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1 Nombres complexes 1 Ensemble des nombres complexes 1.1 Forme algébrique d un nombre complexe Théorème Admis 1. Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés nombres complexes, tel que : C contient l ensemble R des nombres réels ; C contient un élément noté i tel que ; C est muni d une addition et d une multiplication qui suivent des règles de calcul analogue à celles de l addition et de la multiplication dans R ; tout nombre complexe z s écrit de sous la forme où a et b sont deux réels. Définition 1. L écriture z = a + ib, avec a R et b R, est appelée du nombre complexe z. a est la, notée et b est la, notée. Conséquences 1. Dire que le nombre complexe z est réel équivaut à dire que. Dire que le nombre complexe z est imaginaire pur équivaut à dire que. Théorème 1. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : a + ib = a + ib Remarque 1. En particulier, a + ib = 0 a = 0 et b = Calculs algébriques dans C Grâce aux propriétés de l ensemble C, on calcule dans C comme dans R, en tenant compte de i 2 = 1. Exemple 1 (2 + 3i) + (i 1) = (2 1) + (3i + i) = 1 + 4i (1 i)(1 + i) = 1 i 2 = 1 ( 1) = 2 Remarque 2. Les identités remarquables valables dansrle sont également dansc. De plus, en voici une nouvelle : (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 Exercice 1: Dans chaque cas, écrire le nombre complexe sous forme algébrique. a) z 1 = (1 + 3i)(5 i) b) z 2 = (2i + 1) 2 c) z 3 = i d) z 4 = 1 + 3i 4 + 2i -1-

2 2 Conjugué d un nombre complexe 2.1 Définition Définition 2. z est un nombres complexe de forme algébrique a + ib où a et b sont des nombres réels. Le conjugué de z, noté z, est le nombre complexe z = a ib. Exemple 2 Si z = 5 2i, alors z = 5 + 2i ; si z = 2, alors z = 2 ; si z = 7i, alors z = 7i. Conséquences 2. Si z = a + ib, alors z + z = et z z = ; d où : z + z = et z z = Conséquences 3. Le nombre complexe z est réel équivaut à : ; Le nombre complexe z est imaginaire pur équivaut à :

3 Théorème 2 (Relation fondamentale). Pour tout nombre complexe z, le produit zz est un réel positif. Si z = a + ib, alors : zz = (a + ib)(a ib) = 2.2 Opérations sur les nombres conjugués Théorème 3. Pour tout nombre complexe z et z et pour tout entier naturel n non nul : z + z = z + z zz = z z ( z z ) = z z avec z 0 (z n ) = (z) n Démonstration.. 3 Équation du second degré à coefficients réels Théorème 4. On considère l équation az 2 + bz + c = 0 dont l inconnue z est un nombre complexe et les coefficients a, b et c sont des réels, avec a 0. On note le réel b 2 4ac appelé le discriminant. Si > 0, alors l équation admet deux solutions réelles : z 1 = b et z 2 = b + Si = 0, alors l équation admet une solution double réelles : z 1 = z 2 = b Si < 0, alors l équation admet deux solutions complexes conjuguées : z 1 = b i et z 2 = b + i -3-

4 Démonstration. Lorsque > 0 et = 0, la résolution dans R a été vue en Première et, puisque R C, les solutions sont les mêmes dans[ ( C. Si < 0 : az 2 + bz + c = 0 a z + b ) ] 2 4a 2 = 0. i Dans C, est le carré de ; on peut donc factoriser : 4a2 [ ( az 2 + bz + c = 0 a z + b ) 2 ( )2 ] ( i = 0 a z + b + i ) ( z + b i ) = 0 a 0, d où les deux solutions complexes conjuguées : z 1 = b i z 2 = b + i Exercice 2: Résoudre dans C les équations suivantes. Les solutions seront données sous forme algébrique. 1. ( 1 + 2i)z = 3 + i) 2. z 2 = z z + 25 = 0 3z 2 4. z + 1 = z 4 Représentation géométrique d un nombre complexe Le plan est muni d un repère orthonormé (O ; u ; v ) 4.1 Affixe d un point À tout nombre complexe z = a + ib, on associe le point M de coordonnées (a ; b). M est l image de z. On note : M(z). Si M est un point de coordonnées (a ; b) dans un repère (O ; u ; v ), le nombre complexe z = a + ib est appelé l affixe du point M

5 Conséquences 4. «M appartient à l axe des abscisses» équivaut à «Im(z) = 0». «M appartient à l axe des ordonnées» équivaut à «Re(z) = 0». Le point M (z) est symétrique de M(z) par rapport à l axe des abscisses. 4.2 Affixe d un vecteur À tout vecteur w de coordonnées (a ; b), on associe le nombre complexe z = a + ib. Définition 3. L affixe d un vecteur w de coordonnées (a ; b) est le complexe z = a + ib. Propriété 1. Si z M et z M sont les affixes respectives des points M et M dans un même repère orthonormé, alors l affixe du vecteur MM est égale à : z = z MM M z M Propriété 2. Si z M et z M sont les affixes respectives des points M et M dans un même repère orthonormé, alors l affixe du milieu I du segment [MM ] est égale à : z I = z M + z M 2 Exercice 3: Le plan complexe est muni d un repère orthonormé (O ; u ; v ). Placer les points A, B, C et D respectivement associés aux nombres complexes suivants : z A = 3i z B = 5 z C = 2 + i z D = 2i

6 5 Module et arguments d un nombre complexe Le plan complexe est muni d un repère orthonormé (O ; u ; v ). 5.1 Module d un nombre complexe Définition 4. z est un nombre complexe de forme algébrique a + ib avec a R et b R. Le noté z et défini par : z = a 2 + b 2. de z est Interprétation géométrique 1. Dans le plan complexe, si un point M a pour affixe z, alors OM = z. Remarques 1. Si a est un nombre réel, le module de a est égal à la valeur absolue de a. z = 0 équivaut à z = 0 car OM = 0 équivaut à M = O. Propriété 3. Pour tout nombre complexe z, zz = z 2. Démonstration Arguments d un nombre complexe non nul Définition 5. Dans le plan complexe, z est un nombre complexe non nul de point image M. On appelle on note toute mesure en radians de l angle orienté. et Remarque 3. Un nombre complexe non nul z a une infinité d arguments ; si θ l un d entre eux, les autres sont de la forme θ + 2kπ, avec k Z. On note arg(z) = θ[2π] (θ[2π] se lit «θ modulo 2π». Exercice 4: 1. Déterminer le module du nombre complexe z = 3 + 3i

7 2. Déterminer un argument de ce même nombre complexe