des nombres complexes

Transcription

1 Esmbl ds ombrs complxs I. Form algébriqu d u ombr complx. Théorèm Il xist u smbl, oté,d ombrs applés ombrs complxs, tl qu : cotit ; st mui d u additio t d u multiplicatio pour lsqulls ls règls d calcul sot ls mêms qu das ; Il xist das u ombr o rél, oté i, vérifiat i = - 1 ; Tout ombr complx s écrit d faço uiqu sous la form ( dit algébriqu ) : = a + i b où a t b sot ds réls. s Pour l complx = a + i b L rél a st applé parti réll d t st oté R(). L rél b st applé parti imagiair d t st oté Im(). Si b = 0 alors = a + 0i st oté = a t st u rél. Si a = 0 alors = 0 + ib st oté = ib t st applé imagiair pur. L complx 0 + 0i oté 0 st à la fois rél t imagiair pur. Prmièrs coséqucs Pour a, b, a, b réls, a + i b = a + i b ( a = a t b =b ) ( c qui traduit l uicité d l écritur algébriqu ) a + i b = 0 ( a = 0 t b = 0) Opposé d u complx Si = a + i b avc a t b réls alors o appll opposé d l complx oté ( ) tl qu : - = - a + i ( - b ) II. Rpréstatio géométriqu d u ombr complx L pla st rapporté au rpèr orthoormal dirct (O ; u, v ) s Soit l complx = a + i b, (a t b réls.) - L poit M(a;b) st applé l poit imag d. b M() O l ot souvt M(). a - L vctur V st l vctur imag d. b O l ot souvt v V() V. O u a - L complx st l affix du poit M t l affix du vctur V. O l ot souvt M ou. V Propriété : Affix d u vctur AB B( B ) O a B A AB A( A ) 1

2 Propriétés Pour tous vcturs U t V t tout rél U V U V t U U particulir : U U Affix du miliu d u sgmt Si I st l miliu du sgmt [AB] alors I A B III. Cojugué d u ombr complx : O appll cojugué du complx = a + i b, a t b réls, l complx oté t défii par : a ib. b M(a + i b) Itrprétatio géométriqu Ls imags d dux complxs cojugués O a sot symétriqus par rapport à l ax ds abscisss (applé souvt ax ds réls). - b M (a i b) Rmarqu: a R( ) t ib i Im( ). Théorèms Soit u ombr complx. st rél si t sulmt si. st imagiair pur si t sulmt si Propriétés Pour tous complxs t :, ' ',. '. ' Si 0, 1 1 t ' t ' Si = a + i b avc a t b réls alors. a b pour tout tir.. IV. Modul t argumts d u ombr complx o ul. Soit u ombr complx o ul d imag M das l pla mui d u rpèr orthoormal dirct (O ; u ; v ), t soit (r, ) u coupl d coordoés polairs du poit M das (O; u ).

3 - l rél r st applé modul d t oté ; - l rél st applé argumt d t oté arg(). O a doc : r OM t u OM arg( ), Rmarqus L complx 0 a pour modul 0 mais a pas d argumt. Tout complx o ul a u ifiité d argumts. Si st l u d ux, tout autr argumt d st d la form + K, K. O écrit alors : arg() = [mod ] ( ou simplmt [ ] ). Coséqucs Si = a + i b avc a t b réls alors a b. L modul d tout rél x st la valur absolu d x. rél o ul équivaut à arg() = 0 [ ]. imagiair pur o ul équivaut à arg() = [ ]. Soit u complx o ul : V. Forms trigoométriqus d u ombr complx o ul. Théorèm Soit = a + i b, avc a t b réls, u complx o ul. Si = r t si arg() = [mod ] alors a = r cos t b = r si Soit u ombr complx o ul d modul r t dot u argumt st. L écritur = r ( cos + i si ) st applé form trigoométriqu d. Rlatios d passag tr form algébriqu t forms trigoométriqus. Form algébriqu = a + i b a t b réls r = a b ; a b cos t si r r a rcos t b rsi Forms trigoométriqus r cos isi 3

4 Propriété : Egalité d dux complxs Dux complxs o uls sot égaux si t sulmt si ils ot l mêm modul t ds argumts égaux modulo. Théorèm : r cos isi avc r 0, alors r Si VI. Propriétés ds moduls t argumts. Propriétés ds moduls : Pour tous complxs t : = 0 = 0. ou ' ' ( iégalité triagulair ) ' ' t arg( ) 1 1 ' ' t si 0. L modul d u produit d ombrs complxs st égal au produit ds moduls d cs complxs. E particulir : pour tout tir aturl,. Propriétés ds argumts : Pour tous complxs o uls t arg( ) = arg() + arg( ) [ ] 1 arg = arg() [ ] rg ' = arg( ) arg() [ ] La prmièr propriété s étd au produit d ombrs complxs o uls. E particulir : pour tout tir aturl, arg arg() [ ] Propriété : Formul d Moivr Pour tout rél t tout tir aturl, cos isi cos isi VII. Forms xpotills d u ombr complx o ul. : i Pour tout rél o pos : cos isi. Alors, si st u ombr complx o ul d modul r t dot u argumt i st, o appll form xpotill d l écritur : r. Propriétés : Règls d calcul sur ls forms xpotills ' t sot ds réls qulcoqus, r t r sot ds réls strictmt positifs. i i ' r r' 1 1 (r r' t ' [mod ] ) i i r r r' i ' r' i i r r i( ' ) i i( ) (r ) r r i r i i ' i( ') r r rr' r i r i, pour tout d 4

5 Propriétés : Pour tout rél : Formuls d Eulr cos i i t si i i i VIII. Equatio du scod dgré : Equatio du scod dgré à cofficits réls das : a b c 0, a rél 0, b t c réls. L rél = b 4 a c st l discrimiat d l équatio. b b Si > 0 alors l équatio admt dux solutios rélls 1 t a a b Si = 0 alors l équatio admt u solutio réll doubl a Si < 0 alors l équatio admt dux solutios complxs cojugués b i b i 1 t a a Rmarqu : das tous ls cas a b c a( )( ) IX. Distacs t agls orités Loguur d u sgmt [AB] AB = B A Msur d l agl u,ab A t B état dux poits disticts u,ab arg (mod ) B A Msur d l agl CA, CB 1 Coséqucs Ls poits A, B t C état trois poits disticts, ls poits A, b t C sot aligés si, t sulmt si, arg B - C 0 - A C [ ] ls droits (CA) t (CB) sot prpdiculairs si, t sulmt si, - B C arg - A C [ ]. 5