EQUATIONS ET INEQUATIONS : rappels
|
|
|
- Camille Prudhomme
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre 3 EQUATIONS ET INEQUATIONS : rappels 3.1 EQUATIONS Remarques importantes 1. Considérons l équation (x 2)x = 3(x 2) (3.1) (a) Si on divise les deux membres de l équation (3.1) par x 2, on obtient : x = 3 Or l équation (3.1) a pour solutions x = 3 et x = 2. Donc en divisant les deux membres de l équation (3.1) par une expression qui s annule pour x = 2, on n obtient pas une équation équivalente. Conclusion 3.1 Lorsqu on divise les deux membres d une équation par une quantité contenant l inconnue, on s expose à supprimer des solutions. (b) Pour résoudre l équation (3.1), on procédera comme suit : 2. Soit l équation ou (x 2)x 3(x 2) = 0 (x 2)(x 3) = 0 x 2 = 0. x 3 = 0 x = 2 ou x = 3 x 2 x x 2 x + 4 x 2 8 x 2 2x = 0 (3.2) + 4 x 2 8 x(x 2) = 0 Pour que l équation ait un sens, il faut que x soit différent de 0 et de 2. Chassons les dénominateurs en multipliant les deux membres par x(x 2), ce qui donne une équation équivalente, x étant supposé différent de 0 et de 2: (x 2) 2 + 4x 8 = 0 (x 2) 2 + 4(x 2) = 0 (x 2)(x 2 + 4) = 0 (x 2)(x + 2) = 0 x 2 = 0 ou x + 2 = 0 x = 2 ou x = 2 17
2 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 18 La première valeur est à rejeter. La racine de l équation (3.1) est 2. Conclusion 3.2 En multipliant les deux membres d une équation par une quantité contenant x, on s expose à introduire des solutions étrangères (parasites) Règle Lorsqu on chasse des dénominateurs, il faut rejeter comme solution éventuelle toute valeur de x qui annule un des dénominateurs de l équation donnée. 3. Soit l équation x = 2 élevons ses deux membres au carré, nous obtenons x 2 = 4 qui a pour solutions x = 2 et x = 2. Conclusion 3.3 En élevant les deux membres d une équation au carré, on s expose à introduire des solutions étrangères (parasites). Règle Si on élève les deux membres d une équation au carré, il faut rejeter comme solution éventuelle toute valeur de x qui donne aux deux membres de l équation donnée, des signes contraires Exercices Exercice (x + 1) 2 (x 1) 2 = x = x + 10 = 8x x x 29 = 0 21x + 1 = x x 2 + 2(1 3)x 2 3 = 0 Exercice 3.5 Résoudre les équations suivantes x+1 3 x+1 2 x+1 Exercice 3.6 Résoudre l équation Exercice 3.7 2x+3 = x 3 + 2x 3 2x+3 = 4x x 2 9 x+1 x+1 1 x+1 Déterminer le nombre a pour que les équations suivantes aient la solution indiquée x + 1 x+1 = a x(x+1) avec S = { 1 } 2. x+1 + x+1 = 2(x+a)2 x 2 1 avec S = { 0 } Exercice 3.8 Résoudre l équation Exercice 3.9 Résoudre les équations (x + 5) 2 x + 4 = 2 = x + 5 x + 4
3 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS (x 2 + 2x 4) 2 = (x 2 2x 5) 2 2. (y 2 + 3y + 4) 2 = (y 2 + 5y + 4) 2 Exercice 3.10 Résoudre l équation Exercice 3.11 (2x 2 x + 2) 2 (x 2 + x + 2) = 1 1. Transformer 2a 3 a 2 2a + 1 en un produit de facteurs du premier degré en a. 2. Résoudre l équation 2a 3 a 2 2a + 1 = 0 Exercice 3.12 Résoudre les équations 1. x x 2 = 2 2. x x 2 = 2x Exercice Calculer k pour que 4a a + k soit le carré d un binôme du premier degré en a 2. En déduire les solutions de l équation 4a a + 5 = 0 Exercice 3.14 On pose A(x) = x 2 8x Un des nombre 2, 1, 0, 1, 2 est solution de l équation A(x) = 0. Lequel? 2. Factoriser A(x) et en déduire les solutions de A(x) = 0. Exercice Déterminer p pour que l équation en a 6a 2 + ap 15 = 0 admette la solution Calculer les solutions de cette équation. Exercice 3.16 Calculer les solutions de l équation x 2 4x + 1 = 0 sachant qu elles ont la forme a + b 3, a et b étant des nombres entiers. Exercice 3.17 On donne l équation en x 24x 3 + ax 2 + bx 1 = 0 1. Calculer a et b pour que cette équation admette les solution 1 2 et Résoudre l équation donnée pour les valeurs trouvées de a et b. Exercice 3.18 Détermine k pour que l équation en u 18u 2 9u + k = 0 admette deux racines telles que l une soit le double de l autre.
4 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS Les équations du premier degré à coefficients paramétriques Synthèse Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler les termes en x dans l un des membres, c est-à-dire, regrouper: les termes contenant l inconnue dans un des membres; les termes ne contenant pas l inconnue dans l autre membre: indépendants. ces termes s appellent termes Nous obtenons alors un équation du type a. x = b: 1. si a n est pas nul, la solution s obtient en divisant les deux membres de cette équation par a; 2. si a est nul, l équation s écrit 0x = b. Après avoir remarqué que le produit de tout nombre réel par 0 est le nombre 0, nous déduisons que si b n est pas nul, l équation n a pas de solution (équation impossible); si b est nul, tout nombre réel est solution (équation indéterminée). Exercice 3.19 Résoudre chacune des équations en x suivantes où m est un paramètre réel. 1. mx + 1 = 0 2. mx + m = 0 3. m(m 1)x + 1 = m 2 4. m 2 (x 1) = m(x 2) (m 2 1)x = (m 1)x + m 3 3m 2 + 3m 9 6. m(m 4)x + m(2x 5) = x 2 + 2x(m 2 + 2m + 2) = (2x + 1) 2 + m (m 1)(x m) = x + m 2 Exercice 3.20 Déterminer m pour que l équation suivante en x n admette pas de solution Exercice 3.21 x m 4 mx 1 3 = 1 Déterminer a pour que l équation suivante en x n admette pas une solution unique (a 3)x + 2 = 3 2x Exercice 3.22 Déterminer les réels a et b pour que l équation en x ax + 2 = 3x + b 1. n admette pas de solution, 2. admette tout réel comme solution.
5 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS INEQUATIONS - TYPE SIMPLE - PREMIER DEGRE Remarques importantes 1. Soit l inéquation x 2 > 2x Pour résoudre cette inéquation, on ne divise pas les deux membres par x dont on ne connaît pas le signe, mais on procède comme suit : x 2 2x > 0 x(x 2) > 0 Règle : pour résoudre une inéquation d un degré supérieur à 1, on groupe les termes dans un même membre, on factorise ce membre, on étudie le signe de chaque facteur. 2. Pour résoudre une inéquation fractionnaire, on la met sous la forme : et on étudie les signes de A et de B. A B > Exercices Exercice x + 4 > 5x 2 2. x 4x x > 3(x 1) 4. 4x 5 x 10 > x x < 2x Exercice 3.24 (Inéquations paramétriques) Résoudre les inéquations paramétriques suivantes où m est un paramètre réel. 1. m(x 2) < x (x + 3) m(x + 4) 3. (m + 1)x + 2 > 0 4. (m 1)x m + 1 < 0 mx + 2 x + 3m 6. 2m + 3x (m + 1)(x + 2) 7. (m 1)x 2 2(x+2) m 3 < x (2m 1)(mx + 1) > (2m 1)x + 3 Exercice 3.25 (Equations et inéquations paramétriques) Résoudre les équations et les inéquations paramétriques suivantes où a et b sont des paramètres réels, x l inconnue. 1. ax 3a b = 0 2. ax 3a b 0 3. a 2 x > 3 x 4. a 2 x 1 = ax + 2b a(x a) + b(x + b) = 0 6. a(x 1) = x + b a(ax 1) = 4x b ax < x + b 1 9. a 2 x + 4 b 2 3ax 10. ab(x 1) + 2bx = 3(a + 2) + 2b
6 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS INEQUATIONS - TYPE GENERAL Rappels - Etudes du signe Le binôme du premier degré La forme générale d un binôme du premier degré est ax + b où { a ( 0) est le coefficient de x; b est le terme indépendant. La racine 1 de ax + b est b a. L étude du signe de la fonction f(x) = ax + b se résume par x b a ax + b SIGNE CONTRAIRE DE a 0 SIGNE DE a Le trinôme du second degré La forme générale d un trinôme du second degré est a ( 0) est le coefficient de x 2 ; ax 2 + bx + c où b est le coefficient de x; c est le terme indépendant. On a = ρ = b 2 4ac. 1. Si > 0, alors le trinôme du second degré admet deux racines réelles distinctes : x 1 = b + 2a et x 2 = b 2a Connaissant les racines d un trinôme du second degré 2, il est alors facile de faire l étude du signe de la fonction f(x) = ax 2 + bx + c : x x 1 x 2 ax 2 + bx + c SIGNE DE a 0 SIGNE CONTRAIRE DE a 0 SIGNE DE a. Autrement dit, un trinôme du second degré du type ax 2 + bx + c est toujours du signe de a sauf entre ses racines. 2. Si = 0, alors le trinôme du second degré admet une racine double : x 1 = x 2 = b 2a. Dans ce cas l étude du signe de la fonction f(x) = ax 2 + bx + c se résume par x b 2a ax 2 + bx + c SIGNE DE a 0 SIGNE DE a 1 Pour rappel, on appelle racine d un polynôme P (x) tout réel qui annule ce polynôme, c est-à-dire toute valeur de x qui vérifie l équation P (x) = 0. 2 En supposant que x 1 < x 2.
7 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS Si < 0, alors le trinôme du second degré n admet pas de racine. Dans ce cas, l étude du signe se simplifie et devient x + ax 2 + bx + c SIGNE DE a PARTOUT! Etude du signe d un produit ou d un quotient Pour étudier le signe de f(x).g(x).h(x) ou f(x).g(x), h(x) on doit étudier le signe des fonctions f(x), g(x) et h(x). Ensuite on fait le PRODUIT des signes. Pour le QUOTIENT, il ne faut pas oublier de REJETER les valeurs de x qui ANNULENT (éventuellement) h(x). Soulignons également les deux propriétés suivantes : Si n est pair, f(x) n 0 x Dom f. Si n est impair, f(x) n a le même signe 3 que f(x) ( x Dom f) Exercices Exercice (x 2)(x + 3) < 0 3. x 2 > 4 3x 3 x+1 > 0 7. x+2 2x x 2 5x 0 4. x(x 2 9) > 0 6. x+2 x < x+3 > 2 Exercice x+1 x() 1 x (3x + 1)(x 1)(2 5x) 0 7. x(x 2 9) 9 x 2 8. (x + 3)(25 16x 2 ) > 25 16x (1 x 2 )(x+2) x(2x+1) < 0 (x+1) 2 () 1 9x 2 > 0 (2 3x)(2+3x) x(16 9x 2 ) < 0 x()(x 2) (x 3)(x 4) 0 9. (x + 4)(4x 2 25) < (x + 3)(4x 2 25) 10. x+3 > x+1 x x 3 2x x x+2 2 x 3 Exercice x 4 13x < 0 3. x 2 2x 4x 2 4x (x 1)(x 2 3x) 4x 2 16x x+1 x 3 < 2x(1 x) 6x x Mathématiquement, on pourrait écrire : x Dom f : f(x) n. f(x) 0.
8 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 24 (x 2) 2 (x 2) (x 3) 3 (x 3) 0 8. (3x 2 +2x 2) 2 x 2 +x+1 x 2 + x x 4 +3x 3 +2x 2 6x (x 2 3x) > 0 7. x 3 x (1 x 2 )(3 x) 9. x 3 x 2 x 2 6x+4 > x 3 +x 2 x+6 2 3x 3 x 2 8 Exercice (2x 2 3x + 3) 2 (2x 2 + 3x 2) 2 2. (x + 1)(2x 2 9x + 7) > 2x 2 5x (14 3x) 2(x 2) (x 2) x2 2x x 2 +2x + x2 +2x x 2 2x (x 2 3)(2+x) (x 2 3) (2+x) x 4 +x (x+2) 4 < x 2 3x + 1 x 2 +3x < 6 x 3 9x 8. 2x 4 +x 2 6x+8 3x 2 +x x 2 10x+4 x 3 +5x 6 < x 2 x > x+2 6x 3 11x 2 3x+2 x+1 6x 3 13x 2 +x+2 Exercice 3.30 (Inéquations paramétriques) Quelle(s) valeur(s) faut-il donner au paramètre réel m pour que les inéquations soient vérifiées pour tout valeur réelle de x? 1. x 2 + 2mx + m > 6 2. (m 1)x 2 + 8x 8(m + 2) < 0 3. (1 m)x 2 + 2(2m 1)x 5m (m + 1)x 2 + 2mx + m2 m+1 0
Etude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Du Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Mathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré FORMAV
Mathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré Méthode et exercices corrigés générés aléatoirement Pour un meilleur rendu ouvrir ce document avec TeXworks FORMAV
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Fonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
I. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Développements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
avec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Complément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
La fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R
2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications
Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Introduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Fonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode
Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en
Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Continuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Développements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.
Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de
DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul
DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.
Représentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Mais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
= constante et cette constante est a.
Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc
De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
III- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Résolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Mathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Taux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Commun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Correction du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Correction de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Développements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010
Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.
1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Simulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Structures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
I. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Quelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Capes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Présentation du langage et premières fonctions
1 Présentation de l interface logicielle Si les langages de haut niveau sont nombreux, nous allons travaillé cette année avec le langage Python, un langage de programmation très en vue sur internet en
Image d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Chapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Quelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Polynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Séquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire
Séquence 3 Expressions algébriques Équations et inéquations Sommaire 1. Prérequis. Expressions algébriques 3. Équations : résolution graphique et algébrique 4. Inéquations : résolution graphique et algébrique
Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Les devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Exercices sur le chapitre «Probabilités»
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de
Maple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Les équations différentielles
Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre
CORRECTION EXERCICES ALGORITHME 1
CORRECTION 1 Mr KHATORY (GIM 1 A) 1 Ecrire un algorithme permettant de résoudre une équation du second degré. Afficher les solutions! 2 2 b b 4ac ax bx c 0; solution: x 2a Solution: ALGORITHME seconddegré
Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie reposant sur les réseaux
Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie reposant sur les réseaux Damien Stehlé LIP CNRS/ENSL/INRIA/UCBL/U. Lyon Perpignan, Février 2011 Damien Stehlé Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie
La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES. EXEMPLE DE SUJET n 2
Exemple de sujet n 2 Page 1/7 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES EXEMPLE DE SUJET n 2 Ce document comprend : Pour l examinateur : - une fiche descriptive du sujet page 2/7 - une fiche
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
a)390 + 520 + 150 b)702 + 159 +100
Ex 1 : Calcule un ordre de grandeur du résultat et indique s il sera supérieur à 1 000 L addition est une opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres. On peut changer l ordre de ses
Représentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Problème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Programmation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?