Electricité et magnétisme - TD n 10 Induction

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1 Electricité et magnétisme - TD n 1 Induction 1. Inductance mutuelle - transformateur On considère un solénoïde de section circulaire, de rayon R 1, de longueur, et constitué de N 1 spires. A l intérieur de celui-ci, on place un deuxième solénoïde de rayon R, de longueur l, et constitué de N spires. R 1 R l Figure 1 Inductance mutuelle de deux solénoïdes. (a) Calculer l inductance mutuelle, M, entre les deux solénoides en utilisant l approximation de solénoïdes infinis. Dans l approximation de solénoïdes infinis, on obtient les champs B 1 et B respectivement B1 = ẑµ n 1 I 1 = ẑµ N 1 I 1 (1) B = ẑµ n I = ẑµ N l I () En écrivant le flux à travers le circuit Φ 1, l inductance propre du circuit et l inductance mutuelle relie les courants dans les deux circuits au flux : De même, le flux dans le circuit s écrit : Φ 1 = L 1 I 1 +M 1 I (3) Φ = L I +M 1 I 1 (4) Afin de déterminer l inductance propre, on traite chacune des Bobine d abord de façon indépendante. Traitons d abord la bobine 1 toute seule en prenant I =. En utilisant la valeur du champ magnétique trouvé en l éq.(1), nous obtenons que le flux magnétique à travers chacune des N 1 spires de cette bobine est égale à : Φ 1,spire = Le flux total à travers la bobine est donc : S B1 nds = µ N 1 πr 1 I 1 Φ 1 = N 1 Φ 1,spire = µ N 1 πr 1I 1 En comparant ceci avec l expression de l éq.(3) (avec I = ), on déduit l expression de l inductance propre de la bobine 1 : L 1 = µ πr1 N1 1

2 Reprenant les mêmes considérations avec maintenant I 1 =, on obtient de même l inductance propre de la bobine : L = µ πr N l Il n est loin évident au premier regard, mais on peut démontrer que les inductances mutuelles sont toujours égales : M 1 = M 1 M Les équations d inductance de (3) et (4) s écrivent donc : Φ 1 = L 1 I 1 +MI Φ = L 1 I +MI 1 Maintenant on peut s attaquer à l inductance mutuelle. Il n est pas évident comment déterminer le flux à travers le circuit 1 à produit par un courant dans le circuit. Par contre, on peut facilement déterminer le flux à travers circuit créé par un courant I 1 dans le circuit, Φ 1 : Φ 1 = πn R B 1 = µ πr donc on peut conclure que l inductance mutuelle est : M 1 = M = µ πr N 1 N N 1 N I 1 M 1 I 1 On n aurait pas pu facilement déterminer le flux à travers le circuit 1 créé par un courant I dans le circuit, mais peu importe puisque nous savons de manière générale que M 1 = M 1 = M. (b) Exprimer M dans le cas où l et R R 1, mais avec N 1 N. M µ πr1 N 1 N (c) On se rappelle que dans la mesure où les résistances des fils sont négligeables, les tensions aux bornes des solénoïdes s expriment (dans la convention récepteur) : U 1 (t) = L 1 di (t) U (t) = L +M di (t) +M di 1(t) En prenant le cas étudié en b), calculer le rapport U (t)/u 1 (t) en fonction de N 1 et N. Voyez-vous une application intéressante? U 1 (t) = µ πr1 N1 = µ πr 1 = N 1 µ πr 1 U (t) = µ πr1 N = µ πr 1 = N µ πr 1 N1 +µ πr1 N 1 N di (t) di (t) +N 1 N di (t) N 1 +N di (t) N di (t) +µ πr1 N 1 N +N 1 N di (t) N 1 +N (5)

3 On obtient donc : U (t) U 1 (t) = N N 1. Considérer un champ magnétique B uniforme et constant (dans le temps). Trouver un potentiel vecteur A dont le champ magnétique dérive, B = rot A. Votre solution, est-elle unique? On prend les axes telle que B = Bẑ rot A = û x û y û z ( A = x y z A x A y A = x Az y A ) ( y Ax +ŷ z z A ) ( z Ay +ẑ x x A ) x y z = Bẑ A z y = A y z A cause de l invariance en z, on a A x z = A z x A y x A x y = B A y z = A z y = et que A x z = A z x = impliquant que A z est constant Si on prend une solution possible est donc A z = C 1 A y x = B et A x y = A y (x) = Bx+C A x (x) = C 3 avec C et C 3 comme constants d intégration. Puisque C 1, C et C 3 sont tous arbitraire, il est claire que le potentiel vecteur n est pas unique. On a donc le droit de simplfier notre solution en prenant C 1 = C = C 3 = afin que notre choix pour A, désormais noté A 1 s écrit : A1 = (,Bx,) (6) La nature arbitraire de A ne s arrète pas la. On peut également vérifier que A = ( By,,) (7) est une toute aussi bonne choix pour le potentiel vecteur. Même la condition imposée par la gauge de Coulomb ne suffit pas afin d imposer un choix par rapport à l autre puisque pour les deux choix. Encore une autre choix est A 3 = 1 div A 1 = div A = (8) ( A1 + A ), donc A3 = B ( y,x,) = Bρ ( sinφ,cosφ,) = Bρ φ (9) où nous sommes passé en coordonnées cylindriques. Cette dernière choix de A 3 (ρ) = Bρ φ est plus symétrique que A 1 et A, et on le préfère en générale, mais ils sont tous les trois des formes pour A acceptables. 3

4 ω Figure Bobine rectangulaire dans un champ magnétique 3. Générateur - Cadre tournant Une bobine plate, rectangulaire, et indéformable, de côtés a = cm, b = 1cm, est constituée d un conducteur cylindrique de diamètre d = 1mm, et de résistivité ρ = 1,6.1 8 Ω.m. Elle tourne avec une fréquence de 6 tours par minute autour d un axe vertical situé dans le plan de la bobine. La bobine est placée dans un champ magnétique d intensité B = 1 T, perpendiculaire à l axe de rotation (figure ). (a) Quelle est l expression du courant circulant dans la bobine? On calculera sa valeur efficace. On définit l axe z comme l axe de rotation de la bobine. On défini un temps t = tel que la direction n normale au circuit tourne comme n(t) = xcosωt+ŷsinωt d = xωsinωt+ŷωcosωt n(t) L axe de B = cte doit être perpendiculaire à celle de z. On choisit l orientation de l axe x tel que B = B x. Le flux de du cadre soit donné par Φ(t) = B n(t)s = B n(t)ab = B x n(t)ab Le rayon de la bobine est R = 5cm =,5m. La fréquence est de 6 tours/minute = 1tours/seconde donc une fréquence angulaire de ω = 1 π radians s 1. Pour une bobine en mouvement dans un champ B constant les forces de Laplace sur les charges libre induit un champ électrique à l intérieur du conducteur dites force électromotrice E dont la valeur est donné par le règle du flux i.e. que la force électromotrice du circuit est égale à Φ t où Φ est le flux à travers le circuit : E dφ E dl = L application de cette règle nous donne La résistance totale du circuit est : E = Φ d = Bab x t n(t) = Bab x ( xωsinωt+ŷωcosωt) = Babωsinωt R = ρ (a+b) π ( ) d = ρ 61 1 ) = ρ41 1 π1 π 6 = 4 ρ 15 π = 4 1,6.1 3 π ( 1 3 1,.1 3 Ω 4

5 Le courant dans le circuit est Sa valeur efficace est : I(t) = E R = Babω R sinωt = I sinωt I = Babω R = BSω R = 1 1 π = π 1. 13A I eff 1 T = I T = I I (t) = I T sin ωt (1 cosωt) = I T T (1 cosωt) où nous avons utilisé le fait que T = 1 ν = π ω et le résultat La valeur efficace du courant est : cosωt = cos ωt sin ωt = 1 sin ωt sin ωt = 1 (1 cosωt) I eff = I = 73A (b) Décrivez l action mécanique de B sur la spire. Le théorème de Maxwell donne dt = I (t) Φ t = IE = I R Le travail fourni est identique à celle dissipée par l effet joule dans la bobine. Si on n utilise pas le théorème de Maxwell, on doit revenir aux forces de Laplace et le problème est bien plus difficile. On pourrait procéder comme suit : On place le cadre tel que OM = ON = b NQ = PM = aẑ Le couple exercée sur la bobine est : Γ = OM FPM + ON F NQ Les forces F PM et F NQ sont les forces de Laplace : FPM = I dl B = IaBẑ x = IaBŷ PM FNQ = I dl B = IaBẑ x = IaBŷ NQ 5

6 On remarque que OM = ON et que OM ON = NM donc OM = a ẑ+ b ( xsinωt+ŷcosωt) ON = a ẑ b ( xsinωt+ŷcosωt) On remarque que OM = ON et que OM ON = NM donc ( Γ = IaB OM ON ) ŷ = b (sinωt x) ŷ ( ) = IaB NM ŷ = bsinωt( x ŷ) Le vecteur NM est dans le plan xoy et est à n. Avec la condition qu à t = NM(t = ) = ŷ NM(t) = ( xsinωt+ŷcosωt)b n(t) = xcosωt+ŷsinωt et on obtient Γ = IabB( x ŷ)sinωt = ISBẑsinωt Le vecteur de rotation est donné par θ (t) = ωtẑ et la vitesse angulaire de la rotation par ω d θ (t) = ωẑ La puissance fourni au circuit par les forces mécanique sont : P op dt op = Γ ω = I(t)SBωsinωt = I SBωẑsin ωt = B S ω Rsin ωt = RI (t) R 6

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