Exo7. Intégrales. 1 Changements de coordonnées. Exercices : Jean-François Burnol Corrections : Volker Mayer Relecture : François Lescure
|
|
- Marcel Olivier
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Exercices : Jean-François Burnol orrections : Volker Mayer Relecture : François Lescure Exo7 Intégrales hangements de coordonnées Dans ces exercices on est censé connaître un peu la notion de système de coordonnées sur un ouvert du plan, donc nous aurons deux coordonnées et aussi ce que signifie une dérivée partielle par rapport à l une ou l autre des coordonnées d un système. Exercice Le Laplacien est un opérateur différentiel qui joue un rôle important en analyse complexe. Soit x 2 y 2 f z ux,y + ivx,y une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe. On sait que f, donc u et v, admettent des dérivées partielles de tous les ordres. En utilisant les équations de auchy-riemann, montrer que u et v vérifient l équation de Laplace : 2 u x u y 2 2 v x v y 2 On dit d une fonction vérifiant l équation de Laplace qu elle est harmonique. La fonction holomorphe f u+iv est aussi une fonction harmonique puisque f u + i v. [286] Exercice 2 On veut exprimer les équations de auchy-riemann avec les coordonnées polaires r et θ. Les équations de auchy-riemann peuvent s écrire sous la forme : x + i F y donc il s agit d exprimer x et y en fonction de r et de θ. Lorsque l on travaille sur un ouvert ne contenant pas l origine sur lequel une détermination continue de l argument θ est possible par exemple sur Ω \],]. Montrer : En déduire x cosθ r sinθ r r cosθ x + sinθ y θ r sinθ x + r cosθ y θ et y sinθ r + cosθ r x + i y eiθ r + i r θ e iθ r θ. Montrer alors : r r + i θ En déduire qu en coordonnées polaires les équations de auchy-riemann peuvent s écrire en particulier sous la forme : F θ ir F r
2 [287] Exercice 3 Il est intéressant que l équation de l exercice précédent F F θ ir r, peut se réécrire dans le système de coordonnées a,b logr,θ sous la forme : F b i F a, autrement dit exactement sous la même forme qu ont les équations de auchy-riemann originelles dans les coordonnées cartésiennes x,y. Or a et b sont les parties réelles et imaginaires de la combinaison a + ib qui est holomorphe comme fonction de x + iy : a + ib logx + iy. Montrer que cela est général : dans un système de coordonnées a,b telles que w a + ib est une fonction holomorphe de z x + iy les équations de auchy-riemann pour l holomorphie par rapport à x,y d une fonction F sont F b i F a ce qui équivaut à l holomorphie de F comme fonction sur le plan de w a + ib 2. Indication : prouver l identité : x + i a y x ib x a + i, b en exploitant les équations de auchy-riemann b x a y, a x + b y pour a + ib gx + iy. [288] Exercice 4 On veut exprimer le Laplacien avec les coordonnées polaires r et θ : autrement dit pour toute fonction deux fois différentiable Φ on veut calculer la fonction Φ à l aide des opérateurs de dérivées partielles r et θ, lorsque l on travaille sur un ouvert ne contenant pas l origine dans lequel une détermination continue de l argument θ est possible par exemple sur Ω \],]. Une méthode possible est d utiliser les expressions obtenues dans l exercice 2 : x cosθ r sinθ r θ y sinθ r + cosθ r θ, et de calculer ensuite x 2 et y 2 puis de faire la somme. Mais cela donne des calculs un peu longs. Voici une ruse : en reprenant une formule déjà établie dans l exercice 2 montrer x iy x + i r y r + i θ x + iy x i r y r i θ On remarquera maintenant que l opérateur différentiel x + i y appliqué à la fonction x + iy donne zéro. Donc expliquer! : x iy x + i x + iy y x i x iyx + iy y x + i y x i y Prouver alors en conclusion : 2 Φ x Φ y 2 r 2 r r θ 2 Φ 2 Φ r 2 + Φ r r + 2 Φ r 2 θ 2. [289] F. y i F x, ou, plus mnémotechnique : F iy F qui dit holomorphe iy est comme x. x 2. autrement dit pour qu une fonction soit holomorphe comme fonction de x+iy il est nécessaire et suffisant qu elle soit holomorphe comme fonction de a + ib. En particulier x + iy est une fonction holomorphe de a + ib : on a donc prouvé que la réciproque d une bijection holomorphe est aussi holomorphe. Nous reviendrons là-dessus avec d autres méthodes dont celle très concrète de l inversion d une série entière. 2
3 2 Intégrales le long d un chemin Exercice 5 Soit [A,B] + [B,] + [,D] + [D,A] le bord parcouru dans le sens direct du carré de sommets A i, B + i, + i, D i. Déterminer les intégrales suivantes :. dx, xdx, x2 dx, ydx, y2 dx, y3 dx, 2. xdx + ydy, xdy + ydx, xdy ydx, 3. dz, zdz, xdz, zdx, 4. z dz, z 2 dz, zn dz, pour n Z. [28] Exercice 6 Avec les mêmes notations on veut évaluer zn dz, n Z. Justifier les étapes suivantes : z n dz z n dz z n dz [B,] z n dz z n dz + z n dz z n dz, [,D] [D,A] [A,B] et compléter le calcul, pour tout n Z. [28] Exercice 7 On note le cercle de rayon parcouru dans le sens direct. alculer zn dz et zn dz pour tout n Z, et vérifier qu il y a toujours égalité ici R est à nouveau le bord du carré qui a été utilisé dans les exercices précédents. alculer zn dz et zn dz et trouver les cas d égalités et d inégalités. [282] Exercice 8 Soit un cercle de centre quelconque, parcouru dans le sens direct, et ne passant pas par l origine. alculer zn dz pour tout n Z dans le cas où encercle l origine, et dans le cas où n encercle pas l origine. Indication pour n : soit w l affixe du centre du cercle, et R son rayon. Paramétrer le cercle par z w + R w eiθ, π < θ +π, puis utiliser un développement en série en distinguant les cas R > w et R < w. Ou encore invoquer la fonction Logz/w. [283] Exercice 9 Soit < a < b sur l axe réel positif et soit { z r} le cercle de rayon r centré en l origine, parcouru dans le sens direct. Montrer : z az b r < a dz 2πi a b a < r < b r > b On pourra réduire la fraction en élément simples, puis se ramener au résultat de l exercice précédent. Ou encore, on pourra envisager des développements en séries, pour se ramener par étapes aux intégrales zn dz, n Z. [284] 3
4 3 Intégrales de Wallis Exercice Soit le cercle unité parcouru dans le sens direct. alculer z + n dz z z n N en développant par la formule du binôme et en utilisant les valeurs connues de zk dz, k Z. En déduire +π π cosn t dt. En déduire la valeur de π/2 cos n t dt pour n pair : π 2 I m cos 2m t dt.3..2m π m 2 [285] Exercice On pose J m π/2 cos 2m+ t dt, pour m N. En intégrant par parties J m+ obtenir la relation de récurrence J m+ 2m+2 2m+3 J m et prouver : m J m m + [286] Exercice 2 En utilisant I m+ J m I m, obtenir : 2m m m + 2m m 2 2 π En déduire la formule de Wallis : 2 π lim m m.2m + 2m.2m.3..2m m m 2 m 4m 2 [287] Exercice 3 Justifier le réarrangement suivant qui découle aussi du terme de gauche dans l inégalité de l exercice précédent : 2 π , m 2m+ soit encore : 2 π 4 m 2m + 2. [288] Exercice 4 Justifier également sur la base des formules précédentes les équivalents asymptotiques : 2m 2 2m m m πm m m m 2 π 3. par convention lorsque qu un produit porte sur un ensemble vide il vaut. Donc la formule est bien compatible avec J. 4
5 2 m m! πm [289] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 5
6 orrection de l exercice On a les équations de auchy-riemann u x v u y et y v x. D où : u u x x + u y y x v y v y x par le théorème de Schwarz. On procède de la même façon pour v pour en déduire qu une fonction holomorphe est harmonique. orrection de l exercice 2 et exercice et les suivants concernent des changements de variables. Rappelons que, si Φ : U V est un difféomorphisme entre ouverts U,V de R n et si on note y Φx, x x,...,x n U et y y,...,y n V, alors x i n Φ j j x i pour tout i, j {,...,n}. On a x r cosθ et y r sinθ. Donc y j et θ On peut réécrire ceci en : r r M θ r cosθ r r cosθ θ x y x x Pour retrouver les x, y en fonction de r, θ + r sinθ r + r sinθ θ avec M Jac f t y cosθ x + sinθ y y r sinθ x + r cosθ y. r cosθ r r cosθ θ r sinθ r r sinθ θ il suffit d inverser cette matrice M. Le reste est clair.. orrection de l exercice 3 On a w gz avec gz az + ibz une fonction holomorphe et avec z x + iy. Utilisons de nouveau le changement de coordonnées : x az x a + bz x b y az y a + bz y b. En utilisant les équations de auchy-riemann on en déduit x + i az bz y x + iaz y a + x az bz x ibz x a + x az x ibz x a + i b. + ibz y b + iaz x b orrection de l exercice 5 Soit Q le carré dont le bord est où t A + 2it, 2 t B 2t, 3 t 2it, et 4 t D + 2t, t [,]. 6
7 Notons aussi j,x Re j et j,y Im j, j,...,4. Alors : dx 4 4 dx j j j,xtdt j et 4 4 xdx xdx j j j,x t j,xtdt j 2t 2dt + + 2t2dt. Passons à la correction de la question 3. Alors dz zdz puisque dans les deux cas on intègre une fonction holomorphe f z et f z z dans le carré Q. On a : xdz 4 j 2idt + j,x td j t 2i + 2i 4i. 4 j,x t jtdt j 2t 2dt + 2idt + + 2t2dt En ce qui concerne la question 4., on y intègre la fonction f n z z n le long du chemin fermé. Mais attention, cette fonction admet une primitive seulement si n. D où z n dz pour n. Dans le cas restant n on trouve : D ailleurs, et là on rejoint l exercice 7, on a : f zdz 2iπ. f n zdz f n zdz où { z }. e cercle se paramétrise par σθ e 2iπθ. D où : { f n zdz e 2iπnθ 2iπe 2iπθ dθ 2iπ e 2iπn+θ 2iπ si n dθ sinon. De manière analogue on a z n dz e 2iπnθ 2iπe 2iπθ dθ 2iπ e 2iπ nθ dθ { 2iπ si n sinon. orrection de l exercice 6 Pour toute fonction f u + iv à valeurs dans, on a : Voir la correction de l exercice 5. f zdz u iv + i 2dt u + iv i 2 dt f zdz. 7
8 orrection de l exercice 7 Voir la correction de l exercice 5. orrection de l exercice 8 Dans le cas où n encercle pas l origine la fonction z z n est holomorphe au voisinage du disque bordé par et ceci pour tout n Z. Par conséquent, zn dz. Sinon on retrouve les valeurs obtenues précédemment. On rappelle également que : 2iπ z dz est l indice Ind, de la courbe par rapport à l origine. et indice est lorsque encercle l origine et sinon. orrection de l exercice 9 On a z az b a b z a z b dz 2iπInd,a. z a Or, Ind,a si r < a et Ind,a si r > a. Le même raisonnement s applique à z bdz, d où le résultat annoncé. orrection de l exercice omme z + z n n k on a z + n n z z k n z k z k n k n z 2k n. k Or z j dz si et seulement si j. Le seul terme de la somme précédente qui donne une contribution non nulle à l intégrale est lorsque k vérifie 2k n. Notons que ceci est possible seulement si n est un nombre pair! D où : Sinon, si n 2k est pair, on a : omme cos t 2 eit + e it, π cos n t dt π 2 n π D où π π cos ntdt si n est impair et π Par périodicité du cosinus ceci donne : I k π/2 z + n dz z z si n est impair. z + 2k dz 2k z z 2iπ. k π e it + e it n ieit dt ie it cos 2k t dt π cos 2k t dt 4 π 2 2k π 2 2k i 2 n z + n dz z z. 2k. k 2k π k k k 8
Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailFonctions holomorphes
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions holomorphes Christine Laurent-Thiébaut Ceci est le second volet de l étude des fonctions d une variable complexe, faisant suite au chapitre
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailFonctions Analytiques
5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCours de mathématiques Première année. Exo7
Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détail4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailChafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1
Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes
Plus en détailMATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés
MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés Département GPI 1ère année Avril 2005 INPT-ENSIACET 118 route de Narbonne 31077 Toulouse cedex 4 Mail : Xuan.Meyer@ensiacet.fr
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailIntégration sur des espaces produits
Chapitre 5 Intégration sur des espaces produits 5.1 Produit de deux mesures Étant donnés deux espaces mesurés (Ω 1, F 1, µ 1 ) et (Ω 2, F 1, µ 2 ), le but de cette section est de construire une mesure
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailCalcul des intégrales multiples. Abdesselam BOUARICH Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences de Beni Mellal
Calcul des intégrales multiples Abdesselam BOUARICH Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences de Beni Mellal 1 8 6 4 2 2 4 6 8 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 Table des matières 1 Intégrales doubles
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailCHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détail