x I x a+ x>a x b x<b f(a+) = f(a), f(b ) = f(b).

Transcription

1 ½ ÆÓØ ÓÙÖ Ð³ÁËÁÅ ÔÖ Ñ Ö ÒÒ ØØÔ»»ÛÛÛ Ñ Ö» Ð ÓÖ Ò ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ø Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ÐÐ Ä ÓÖ Ò ½ Ö ÚÖ Ö ¾¼½ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ¾ ½½ ÓÒØ ÒÙ Ø ¾ ½¾ ÆÓØ Ø ÓÒ Ä Ò Ù o Ø O ½ Ö Ú Ø ÓÒ ½ Ö Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ø ÓÑÔÓ ½ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò R ½ ÈÖ Ñ Ø Ú Ø ÒØ Ö Ð ½½ ½ Ö Ú Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ½ ½ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ½ ½ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ ½ ½ ½ Ò Ø ÓÒ ½ ½ ¾ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ú Ö Ø ÒØ Ö Ð ½ ½ ÓÖÓÐÐ Ö ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ú o Ø O ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ½ ¾½ ÓÒØ ÒÙ Ø ½ ¾¾ Ö Ú Ø ÓÒ ½ ¾¾½ Ö Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ½ ¾¾¾ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ö ÒØ ÐÐ Ö ÒØ ½ ¾ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ù Ö ÒØ ¾½ ¾ ½ Ò Ø ÖÑ ÔÐÙ Ö Ò Ô ÒØ ¾½ ¾ ¾ Ò Ø ÖÑ ÒÓÖÑ Ð Ù Ö Ô ¾¾ ¾ Ê Ð Ö Ú Ø ÓÒ ¾ ¾ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ¾ ¾ Ö Ú ³ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ò Ø ÓÖ Ñ Ë Û ÖÞ ¾ ¾ Ä Ú Ö Ð Ñ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ i ¾ ¾ ½ ÈÖ Ñ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÙ Ö ¾ ¾ ¾ Ë ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÙ Ö ¾ ¾ Ä Ú Ö Ð Ñ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ i ¾ ¾ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ò R n ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ú ØÓÖ ÐÐ ¼ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙ Ø ¼ ¾ Ö Ú Ø ÓÒ Ø Ñ ØÖ Ó ÒÒ ½ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø Ö Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ó ÒÒ ¾ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò R n Ì ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü Ò Ì ÓÖ Ñ ³ ÒÚ Ö ÓÒ ÐÓ Ð Ì ÓÖ Ñ ÓÒØ ÓÒ ÑÔÐ Ø ¾ ½ ÓÒØ ÓÒ R n R R ¾ ½½ ÓÙÖ Ò Ú Ù ½¾ ÓÒØ ÓÒ R R R ½ ÓÒØ ÓÒ R n R R ¾ ÓÒØ ÓÒ R n R m R m ¾½ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ÓÒØ ÓÒ R n R m R ¾¾ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ÓÒØ ÓÒ R n R m R p ¾ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ R n R m R m

2 ¾ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ½ Ò Ø ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ø ½½ Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ½¾ ÓÓÖ ÓÒÒ ÔÓÐ Ö ¼ ½ ÓÓÖ ÓÒÒ ÝÐ Ò Ö ÕÙ ½ ½ ÓÓÖ ÓÒÒ Ô Ö ÕÙ ½ ¾ Ü ÑÔÐ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ ½ Ê ÔÔ Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ø ÙÖ ¾ Ê ÔÔ Ð Ò Ñ ÒØ ÓÓÖ ÓÒÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ½ Å ØÖ Ó ÒÒ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ¾ ËÝ Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒÒ Ð Ò ÓÓÖ ÓÒÒ Ù Ý Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒÒ Ä Ö Ú Ò Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÓÖ ÓÒÒ Ä Ö Ú ÓÒ Ò Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÓÖ ÓÒÒ Ø Ð Ð ÔÐ Ò ½ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ ½ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð Ò Ð Ù Ý Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒÒ ¾ Ä Ö ÒØ Ò Ð ÓÓÖ ÓÒÒ Ú Ö Ò Ø ÖÓØ Ø ÓÒÒ Ð Ò Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÓÖ ÓÒÒ ½¼ ÒÒ Ü Ö ÔÔ Ð ÓÖÑÙÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÕÙ ½½ ÒÒ Ü ÕÙ ÐÕÙ ÒØ Ö Ð ½¾ ÒÒ Ü ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú Ø ÔÖ Ñ Ø Ú µ Ù Ù ÐÐ ¼ ¼ ½ ½ ÒÒ Ü Ö Ò ÔÓÐÝÒÑ Ö Ø ¾ Ê Ö Ò Ð Ó Ö Ô ÕÙ ½ ½½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÓÒØ ÒÙ Ø ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ I R I гÙÒ ÓÖÑ Ù Ú ÒØ ], [(= R ],b[ ],b] ]a, [ [a, [ ]a,b[ [a,b[ ]a,b] [a,b] Ó a Ø b ÓÒØ ÙÜ Ö Ð Ø Ð ÕÙ a < b Ò Ð ÕÙ ØÖ ÖÒ Ö µ Ò Ø ÓÒ ½½ ËÓ Ø f : I R Ø x 0 I ÐÓÖ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò x 0 lim f(x = f(x 0 Ò R. x I x x 0 ½½µ ÉÙ Ò ÓÒ Ö Ø x x 0 ÓÒ ÓÙ ¹ ÒØ Ò Ò Ö ÕÙ x I ÒÓÒ f(x Ò³ ÙÖ Ø Ô Ò ÓÒ Ò ÔÖ Ö ÔÐÙ x I Ò Ð Ù Ø ÓÒ Ö Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ lim x x0 f(x = f(x 0 Ø ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ lim f(x x a+ lim f(x x b = lim x>a x b = lim x<b x b f(x ÒÓØ = f(a+, f(x ÒÓØ = f(b. Ø Ð Ò Ø ÓÒ ÓÒÒ Ô Ö ½½µ ÓÒØ ÒØ Ð Ò Ø ÓÒ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø ÖÓ Ø Ø Ù I = [a,b] f Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÓ Ø Ò a f(a+ = f(a, Ø f Ø ÓÒØ ÒÙ Ù Ò b f(b = f(b.

3 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R Ä ÓÒØ ÒÙ Ø Ò x 0 ³ Ö Ø Ù Ú Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ. Ò Rµ lim f(x f(x 0 = 0. x x 0 0 ½¾µ Ø Ò Ø ÖÑ ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ f ÓÒØ ÒÙ Ò x 0 ³ Ö Ø ε > 0, η > 0, x I : x x 0 < η = f(x f(x 0 < ε, ÕÙ ³ ÒÓÒ Ò Ö Ò Ò x 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ε > 0 ÓÙ ¹ ÒØ Ò Ù Ù Ô Ø Ø Ó Ø¹ Ð µ Ð Ü Ø η > 0 ÕÙ Ô Ò ε Ø x 0 µ Ø Ð ÕÙ ÕÙ x Ú Ö x x 0 < η ÓÒ f(x f(x 0 < ε ÓÙ ÒÓÖ Ò x 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ε > 0 ÓÙ ¹ ÒØ Ò Ù Ù Ô Ø Ø Ó Ø¹ Ð µ Ð Ü Ø η > 0 ÕÙ Ô Ò ε Ø x 0 µ Ø Ð ÕÙ ÕÙ x Ø Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ]x 0 η,x 0 +η[ ÓÒ f(x Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ]f(x 0 ε,f(x 0 +ε[ Ò Ø ÓÒ ½¾ f Ø ÓÒØ ÒÙ Òx 0 f Ò³ Ø Ô ÓÒØ ÒÙ Ò x 0 lim x x0 f(x f(x 0 ÇÙ ÒÓÖ ε > 0, η > 0, x I ØÕ x x 0 < η Ø f(x f(x 0 ε. Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ Ø ÕÙ f : I R Ø ÓÒØ ÒÙ Ò I f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x I Ð ³ Ö Ø x I, ε > 0, η > 0 : x I, x x < η = f( x f(x < ε. Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ ÔÔ ÐÐ C 0 (I;R г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ f : I R ÕÙ³ÓÒ ÒÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ C 0 ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô ÓÒ Ù ÓÒ ÔÓ Ð Ì ÓÖ Ñ ½ Ú Ð ÙÖ ÒØ ÖÑ Ö µ ËÓ Ø f : I R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ò I Ó Ø a Ø b ÙÜ ÔÓ ÒØ I Ø Ð ÕÙ a < b ÐÓÖ f(a < f(b ÓÒ y 0 ]f(a,f(b[, x 0 ]a,b[, f(x 0 = y 0, ½ µ Ø f(a > f(b Ñ Ñ Ö ÙÐØ Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ y 0 ]f(b,f(a[ Á f Ø ÓÒØ ÒÙ ÐÓÖ ØÓÙØ Ú Ð ÙÖ ÓÑÔÖ ÒØÖ f(a Ø f(b Ø ØØ ÒØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ I ÐÓÖ f(i Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÚÓ Ö Ð³ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ [m,m] ]m,m] [m,m[ ÓÙ ]m,m[ Ó m = inf x I f(x Ø M = sup x I f(x ÈÖ ÙÚ ËÙÔÔÓ ÓÒ f(a < f(b ÒÓÒ ÓÒ ØÖ Ú ÐÐ Ú Ð ÓÒØ ÓÒ fµ ËÓ Ø y 0 ]f(a,f(b[ Ó Ø S = {x ]a,b[ : f(x < y 0 } Ý ÒØ S [a,b] ÓÒ Ò Ø c [a,b] ÓÑÑ Ø ÒØ Ð ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ S x S ÐÓÖ x c Ø x > c ÐÓÖ f(x y 0 ÇÒ ÓÑÑ Ò Ô Ö Ö Ñ ÖÕÙ Ö ÕÙ c Ú Ö a<c<b Ò Ø ÑÓÒØÖÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÕÙ c a Ñ Ñ Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ c bµ ÒÓÒ c = a Ø ÐÓÖ Ô Ö Ò Ø ÓÒ c ÔÓÙÖ ØÓÙØ x ]a,b[ ÓÒ f(x y 0 > f(a Å ÐÓÖ lim x a+ f(x y 0 > f(a Ø f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò a ÓÒØÖ Ö Ð³ ÝÔÓØ f ÓÒØ ÒÙ Ò a ÓÒ c = a Ø ÑÔÓ Ð ÓÒ c > a ³Ó ØÖÓ ÔÓ Ð ½¹ ËÓ Ø f(c = y 0 Ø Ð Ø ÓÖ Ñ Ø ÑÓÒØÖ ¾¹ ËÓ Ø f(c < y 0 Ñ f Ø ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò c ÓÒ lim x c f(x = f(c Ø Ô Ö Ò Ø ÓÒ c lim x c+ f(x y 0 > f(c ³ Ø ÙÖ ³Ó f(c y 0 ¹ ËÓ Ø f(c > y 0 Å Ñ Ñ Ö ³ Ø ÑÔÓ Ð Ë ÙÐ Ð ½¹ Ø ÔÓ Ð ³Ó ½ µ ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ f(i Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ø y,y ÓÒØ ÙÜ ÔÓ ÒØ f(i Ð Ü Ø x,x I ØÕ f(x = y Ø f(x = y ÐÓÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [y,y ] Ø Ò f(i ½ µ Ø f(i ]m,m[ Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ Ø ÕÙ f : I R Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò I Ð ÓÒØ ÒÙ Ø f Ñ ÙÖ Ò Ô Ò ÑÑ ÒØ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Òµ x ε > 0, η ε > 0 : x, x I, x x < η ε = f( x f(x < ε. ÇÒ Ò Ô ÙØ Ô ÜÔÖ Ñ Ö Ð³ÙÒ ÓÖÑ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ø ÖÑ Ð Ñ Ø µ ÓÒ η Ò Ô Ò ÕÙ ε Ô x ÔÓÙÖ ØÓÙØ ε Ð Ü Ø η Ø Ð ÕÙ ÕÙ x Ø x Ú Ö ÒØ x x < η ε ÓÒ f( x f(x < ε

4 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ë f Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ I ÐÐ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x I Ä Ö ÔÖÓÕÙ Ø Ù Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ I R Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ f : I R Ø ÐÐ ÕÙ f Ò³ Ø Ô ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÈÖ ÙÚ ÇÒ ÙÔÔÓ f ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò I ËÓ Ø x I ÐÓÖ Ð³ÙÒ ÓÖÑ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ε > 0, η ε > 0 : x I, x x < η ε = f( x f(x < ε Á f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò x Ä Ö ÔÖÓÕÙ Ø Ù ÔÖ Ò Ö f : x ]0,] x ØØ ÓÒØ ÓÒ Ø Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ ]0,] Ñ ÐÐ Ò³ Ø Ô ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò ]0,] Ò Ø ε > 0 ÓÒ ÔÖ Ò ε = Ø Ð ÕÙ η > 0 x > 0 Ø y > 0 ÚÓ Öx = min(η, Ø y = x Ø ÓÒ Ð Ó x y < η Ø f(x f(y ε Ö x y = min( η, Ø f(x f(y = x x = x = max( η, =ε ÇÙ Ò ÔÖ Ò Ö f : R R Ò Ô Ö f(x = x µ Ü ÑÔÐ ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ f : x [0,] f(x = x R Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò ÖÚ Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ µ Ê ÔÓÒ Ê Ö ÓÒ ÕÙ Ô Ù ÚÓ Ò x = 0 Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Ò x = 0 ÓÒ Ú ÙØ x 0 = x < ε ÕÙ x 0 = x < η ÇÒ ÔÖ Ò η = ε Ø ÓÒ x < η ÓÒÒ Ò x < ε Ð ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÓ Ø Ò 0 Ø ÓÒ Ö Ø Ö η Ò ÓÒØ ÓÒ ε ÅÓÒØÖÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ ÕÙ x x < ε ÐÓÖ x x < ε ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ x x x x ÕÙ x x ÐÓÖ x+x xx x x x x ÐÓÖ x xx 0 ³ Ø ÑÑ Ø Ø x < x ÓÒ x x = x x Ø Ñ Ñ x xx 0 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f C 0 ([a,b],r ÓÒØ ÒÙ ÙÖ ÙÒ ÓÑÔ Øµ Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÈÖ ÙÚ ËÙÔÔÓ ÓÒ f ÒÓÒ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ε > 0, η > 0, x [a,b], x [a,b], x x < η Ø f( x f(x ε. ËÓ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ð ε ÐÓÖ ÓÒ Ü n N Ø ÓÒ ÔÓ η = n ÈÙ ÓÒ ÔÖ Ò ÙÜ Ö Ð x n Ø x n Ø Ð ÕÙ x n x n < η Ø f( x n f(x n ε ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ò ÙÜ Ù Ø (x n Ø ( x n Ò Ð ÓÑÔ Ø [a,b] ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ Ò ÜØÖ Ö ÙÜ ÓÙ ¹ Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ³ÓÒ ÒÓØ Ö ÒÓÖ ÔÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ð ÒÓØ Ø ÓÒ (x n Ø ( x n ÓÑÑ x n x n < n Ð ÙÜ ÓÙ ¹ Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÙÒ Ñ Ñ Ú Ð ÙÖ Ø Ú Ö ÒØ Ð ¹ Ñ ÒØ f( x n f(x n ε ÓÑÑ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ø ÑÔÓ Ð ÓÒ f Ø Ò ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½¼ Ë f : [a,b] R Ø ÓÒØ ÒÙ ÐÓÖ Ð³ Ñ f([a,b] Ø ÓÑÔ Ø ÓÖÒ Ø ÖÑ µ Ø f ØØ ÒØ ÓÒ Ñ Ü ÑÙÑ Ø ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ x M [a,b] : f(x M = sup f(x, x m [a,b] : f(x m = inf f(x. x [a,b] x [a,b] ÈÖ ÙÚ Ä Ø ÓÖ Ñ Ú Ð ÙÖ ÒØ ÖÑ Ö Ò ÕÙ ÕÙ f([a,b] Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ð ³ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ÓÖÒ Ø ÖÑ ÕÙ Ò f Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ú Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ µ ÅÓÒØÖÓÒ Õ٠г Ñ f([a,b] Ø ÓÖÒ Ä³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [a,b] Ø ÒØ ÓÑÔ Ø f Ý Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ ε Ü Ð Ü Ø η Ø ÓÒ Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÔÓ ÒØ x 0 <x <...<x n Ø Ð ÕÙ x i+ x i < η Ø f(x i+ f(x i < ε ÚÓ Ö x i = a+i η b a ÔÓÙÖ i =,...,n Ó n = Ô ÖØ ÒØ Ö b a b a η ÔÓ ÒØ ÕÙ ØØ ÔÖ Ò Ö η Ù ÑÑ ÒØ Ô Ø Ø Ø Ð ÕÙ η µ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x [a,b] Ð Ü Ø i [,n] Ø Ð ÕÙ x x i < η Ø f(x f(x i < ε Ø ÓÒ f(x max (f(x i +ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ x [a,b] Ø f Ø Ò ÓÖÒ ÓÒ Ñ i=,...,n sup x [a,b] Ø ÓÖÒ µ ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ f([a,b] Ø ÖÑ ÈÓ ÓÒ M = sup x [a,b] ( f(x ÙÒ Ø Ð ÙÔ Ü Ø ÒØ Ò R Ö f Ø ÓÖÒ ÁÐ ³ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø x M [a,b] Ø Ð ÕÙ M = f(x M Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ù ÙÔ Ð Ü Ø ÙÒ Ù Ø (x n Ò [a,b] Ø ÐÐ ÕÙ f(x n n M Ä Ù Ø (x n Ø ÒØ ÓÖÒ Ò Ð ÓÑÔ Ø [a,b] ÐÐ Ñ Ø ÙÒ ÓÙ Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ x nk Ò [a,b] ÆÓØÓÒ

5 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R x M = lim x n k Ë ÒØ f ÓÒØ ÒÙ ÓÒ f(x nk f(x M Ø ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ M = f(x M Ø k ÓÒ ÕÙ M f([a,b] Ñ Ñ ÔÓÙÖ m = inf ( f(x f([a,b] ÕÙ ÔÖÓÙÚ ÕÙ f([a,b] x [a,b] Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÖÑ Ê Ñ ÖÕÙ ½½½ Ò ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ÚÓ Ö ÔÐÙ ÐÓ Òµ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ f : I R Ø ÓÒØ ÒÙ Ö Ú Ð Ö Ú ÓÖÒ ÙÖ I ÐÓÖ f Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ I ½¾ ÆÓØ Ø ÓÒ Ä Ò Ù o Ø O Ò Ø ÓÒ ½½¾ ËÓ Ø x 0 R Ø Ó Ø I ÒØ ÖÚ ÐÐ R ØÕ x 0 I Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f Ø g F(I;R ÓÒ Ø ÕÙ f Ø Ô Ø Ø o g Ù ÚÓ Ò x 0 Ø ÓÒ ÒÓØ f = o(g Ù ÚÓ x 0 ε > 0, η > 0, x I, x x 0 < η f(x < ε g(x. ½ µ ÇÒ Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ù Ú Ñ ÒØ f(x = o(g(x Ù ÚÓ x 0 Ø ÓÒ Ø ÕÙ f Ø Ò Ð Ð Ú ÒØ g Ù ÚÓ Ò x 0 Ü ÑÔÐ ½½ Ú g = R Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ð ÒØ ÙÖ Rµ ÓÒ f = o( R = ÒÓØ o( Ù ÚÓ x 0 f(x x x0 0 ÑÑ Øµ Ò Ø ÓÒ ½½ Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f Ø g F(R;R ÓÒ Ø ÕÙ f Ø Ô Ø Ø o g Ù ÚÓ Ò + Ø ÓÒ ÒÓØ f = o(g Ù ÚÓ + ε > 0, M > 0, x > M f(x < ε g(x. ½ µ ÇÒ ÒÓÖ f = o(g Ù ÚÓ Ò + F = o(g Ù ÚÓ Ò 0 Ó ÓÒ ÔÓ F(x = f( x Ø G(x = g( x ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½ ËÓ Ø x 0 I Ø Ó Ø I ÒØ ÖÚ ÐÐ R ØÕ x 0 I Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f Ø g F(I;R ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ε : R R Ø ÐÐ ÕÙ ε(0 = 0 Ø ÕÙ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÓÒ ε(z 0µ Ø z 0 f(x = ε(x x 0 g(x, ½ µ ÐÓÖ f = o(g Ù ÚÓ Ò x 0 ÈÖ ÙÚ Ë ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ε Ú Ö ÒØ ½ µ Ü Ø ÐÓÖ f(x ε(x x 0 g(x Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ε > 0 ÓÒÒ Ó ÒØ η > 0 Ø Ð ÕÙ z < η ÑÔÐ ÕÙ ε(z < ε ÙÒ Ø Ð η Ü Ø Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø ε Ò 0µ ÓÒ Ó Ø ÒØ f(x ε g(x ÕÙ x x 0 < η ³Ó ½ µ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö g Ò ³ ÒÒÙÐ Ô Ò ÙÒ ÚÓ Ò x 0 ÓÒ f Ø Ô Ø Ø o g Ù ÚÓ Ò x 0 Ø ÓÒ ÒÓØ f = o(g Ù ÚÓ x 0 Ò ÙÒ ÚÓ Ò x 0 f(x g(x = ε(x x 0 f(x lim x x 0 g(x = 0. ÇÒ ÒÓÖ g Ò ³ ÒÒÙÐ Ô Ò ÙÒ ÚÓ Ò x 0 Ù Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ò x 0 f(x lim x x 0 x x 0 g(x = 0 f(x ÒÓØ = lim x x 0 g(x, Ð ÖÒ Ö ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ Ö Ð³ Ö ØÙÖ ÒØ ÕÙ Ð Ú ÓÒ Ô Ö ¼ Ø ÒØ Ö Ø µ ÆÓØ Ø ÓÒ ÇÒ ÒÓØ x n Ð ÓÒØ ÓÒ x x n Ò ÙÖ R Ò g(x = x n f = o(g Ù ÚÓ Ò x 0 ÓÒ ÒÓØ f = o(x n Ù ÚÓ Ò x 0 Ü ÑÔÐ ½½ ÌÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ÑÓÒÑ f(x = x n Ú n Ø o( Ù ÚÓ Ò x 0 = 0 Ó ÓÒ ÒÓØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ = ÙÖ R Ö xn 0 x 0 Ü ÑÔÐ ½½ Ä ÓÒØ ÓÒ f(x = x n ÔÓÙÖ n Ø o(x Ù ÚÓ Ò 0 Ö xn x 0 ÓÒ ÒÓØ x 0 f(x = o(x Ù ÚÓ Ò 0

6 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R Ü ÑÔÐ ½½ Ë f Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ò x 0 ÐÓÖ f(x f(x 0 0 Ø ÓÒ f(x x x 0 f(x 0 = o( f(x = f(x 0 +o( Ù ÚÓ Ò x 0 Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø f гÓÖ Ö ¼ Ù ÚÓ Ò x 0 µ Ê Ñ ÖÕÙ ½½ Ä ÒÓØ Ø ÓÒ Ä Ò Ù Ò³ Ø Ô ÓÑÔ Ø Ð Ú Ð³ Ø ÓÒ f = o(g Ø f = o(g Ð ÓÒÐÙ ÓÒ f +f = o(g +g Ø Ù È Ö Ü ÑÔÐ ÔÖ Ò Ö f (x = f (x = x Ø ÔÖ Ò Ö g (x = x = g (x ÓÒ g +g = 0 Ø (f +f (x = x o(0 = 0 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¾¼ Ä ÒÓØ Ø ÓÒ Ä Ò Ù Ø ÓÑÔ Ø Ð Ú Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ f = o(g Ù ÚÓ x 0 ÐÓÖ fh = o(gh Ù ÚÓ x 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ h Ø Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ä Ò Ù Ø ØÖ Ò Ø Ú f = o(g Ø g = o(h Ù ÚÓ x 0 ÐÓÖ f = o(h Ù ÚÓ x 0 ÈÖ ÙÚ Ë f(x = ε(x x 0 g(x ÐÓÖ h(xf(x = ε(x x 0 h(xg(x Ø f(x = ε (x x 0 g(x Ø g(x = ε (x x 0 h(x ÐÓÖ f(x = (ε ε (x x 0 h(x Ú ε ε ÕÙ Ø Ò Ú Ö ¼ ÕÙ Ò x x 0 Ò Ø ÓÒ ½¾½ ÇÒ Ò Ø Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÑÔ Ö Ð ³ ÓÙ Ö Ò O³ ÓÑÑ Ù Ø Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f Ø g ÓÒ Ø ÕÙ f = O(g Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 C > 0, η > 0, x I, x x 0 < η, f(x C g(x. Ø ÓÒ ÒÓØ Ð Ñ ÒØ f(x = O(g(x Ù ÚÓ Ò x 0 ÇÒ Ø Ù ÕÙ f Ø Ù ÔÐÙ µ Ù Ñ Ñ ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖ ÕÙ g Ù ÚÓ Ò x 0 ½ Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ½¾¾ ËÓ Ø f : I R Ø Ó Ø x 0 I ÉÙ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù Ú ÒØ Ü Ø Ò R f(x f(x 0 lim R, ½ µ x x 0 x x 0 f(x f(x ÕÙ Ò Ð Ü Ø c R Ø Ð ÕÙ c = lim 0 x x0 x x 0 ÓÒ Ø ÕÙ f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 Ø ÓÒ ÒÓØ c = f (x 0 ÓÒ f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÓÒ ÒÓØ f(x f(x 0 lim = f (x 0. x x 0 x x 0 ÉÙ Ò ÓÒ Ö Øx x 0 ÓÒ ÓÙ ¹ ÒØ Ò Ò Ö ÕÙ x I ÒÓÒf(x Ò³ ÙÖ Ø Ô Ò ØØ Ò Ø ÓÒ ÓÒØ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ø ÓÒ Ð Ö Ú ÖÓ Ø ÓÙ Ö Ú Ô Ö Ð ÖÓ Ø µ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ù Ó x 0 = a Ø ÓÒ I = [a,b[ ÓÙ [a,b] ÓÙ [a, [µ ÒÓØ f(x f(x 0 lim = f f(x 0 +h f(x (x 0 + R, ÓÙ ÒÓÖ lim = f (x 0 + ½ µ x x 0+ x x 0 h 0+ h Ú Ð ÒÓØ Ø ÓÒ ÑÑ Ø ÍÒ Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø ÓÙ ÒÓÖ ÓÙ ÒÓÖ lim = lim Ñ Ñ ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ù x x 0+ x>x 0 x x 0 f(x f(x 0 x x 0 f (x 0 = o( Ù ÚÓ x 0, ½ µ f(x f(x 0 x x 0 = f (x 0 +o( Ù ÚÓ x 0, ½½¼µ f(x = f(x 0 +f (x 0 (x x 0 +o(x x 0 Ù ÚÓ x 0, ½½½µ ÔÔ Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø f гÓÖ Ö Ù ÚÓ Ò x 0 Ä Ú Ð ÙÖ f (x 0 Ø Ù ÔÔ Ð Ð Ô ÒØ f Ò x 0 Ö ÔÔÓÖØ Ø ÓÔÔÓ»Ø Òص Ó ÓÒ ÒÓØ y = f(x f(x 0 Ø x = x x 0 ÇÒ Ð Ö ÙÐØ Ø ÑÑ Ø f y (x 0 = Ô ÒØ Ò x 0 = lim x x 0 x,

7 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¾ Ë f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÐÓÖ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò x 0 ÈÖ ÙÚ È Ö ÝÔÓØ f(x = f(x 0 +(x x 0 f (x 0 +o(x x 0 Ø ÓÒ x x 0 ÓÒ Ò f(x f(x 0 Ë Ð Ú Ð ÙÖ f (x 0 Ü Ø ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð x 0 I Ó I R ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ô Ö { I R f : x f (x. Ü ÑÔÐ ½¾ ij ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò f(x = ax + b Ø Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x R Ø ÔÓÙÖ Ö Ú f (x = a =ÓÒ Ø ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x R ÐÙÐ ÑÑ Øµ Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ f Ò R R = R Ô Ö ÓÒ Ö Ô {(x,f(x : x R} Ø ÙÒ ÖÓ Ø Ô ÒØ a Ô ÒØ Ô Ö Ð ÔÓ ÒØ (0, b Ü ÑÔÐ ½¾ ij ÔÔÐ Ø ÓÒ f(x = x Ø Ö Ú Ð ÙÖ R {0} Ò 0 Ð Ð Ñ Ø ÖÓ Ø Ø + Ø Ð Ð Ñ Ø Ù Ø ØØ ÓÒØ ÓÒ Ò³ Ø ÓÒ Ô Ö Ú Ð Ò 0 Ü ÑÔÐ ½¾ ij ÔÔÐ Ø ÓÒ f(x = x n ÔÓÙÖ n N Ø Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x 0 R Ø Ö Ú Ò x 0 Ø f (x 0 = nx n 0 ÔÓÙÖ n µ Ò Ø x n x n 0 = (x x 0 (x n +x n x xx n 0 +x n 0 ½½¾µ Ø ÓÒ xn x n 0 x x 0 Ø Ò Ú Ö nx n 0 ÕÙ Ò x Ø Ò Ú Ö x 0 Ø Ô Ö Ð Ò Ö Ø ÓÒ Ù Ø ÕÙ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ö Ú Ð ÙÖ R Ø Ö Ú Ø ÑÑ Ø ÐÙÐ Ö Ü ÑÔÐ ½¾ ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ x exp(x = e x Ø Ò ÓÑÑ Ø ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ø Ð Ö Ú Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x R ÔÓÙÖ ØÓÙØ x R ÓÒ exp (x = exp(x ÇÒ ÒÓØ C (I;R г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ f : I R ÕÙ ÓÒØ Ö Ú Ð ÙÖ I Ö Ú f ÓÒØ ÒÙ ÙÖ I f C 0 (I;Rµ Ø ÓÒ ÒÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ C ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô ÓÒ Ù ÓÒ ÔÓ Ð Ê Ñ ÖÕÙ ½¾ ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f Ô ÙØ ØÖ ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ R Ø Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ R Ò ÕÙ Ö Ú Ó Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ R Ô Ö Ü ÑÔÐ f Ò ÙÖ R Ô Ö f(x = x sin( x Ø Ò 0 Ô Ö f(0 = 0 Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ R ØØ ÓÒØ ÓÒ Ø Ö Ú Ð ÙÖ R Ö Ú f (x = xsin( x cos( x Ø ØØ Ö Ú Ò³ Ø Ô ÔÖÓÐÓÒ Ð Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ò 0 ÈÓÙÖØ ÒØ f (0 Ü Ø Ø Ú ÙØ 0 Ö f(x f(0 x 0 = xsin( x Ø Ò Ú Ö 0 ÕÙ Ò x 0 ØØ ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ð Ò 0 Ò ÕÙ Ö Ú f Ó Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ò 0 Ä ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ò³ÓÒØ ÓÒ Ô ÓÖ Ñ ÒØ Ð ÙÖ Ö Ú ÓÒØ ÒÙ Ä Ö Ú Ø ÓÒ Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ø ÐÙÐ Ö Ð Ö Ú Ø ÒØ ÓÒÒ ÕÙ a+b c = a c + b c Ò R ÕÙ c 0 ÓÒ ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½¾ ijÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ö f Ø g ÓÒØ ÙÜ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ö Ú Ð Ò x Ø λ R ÐÓÖ (f +λg (x = f (x+λg (x ½½ µ Ò Ø ÓÒ ½ ¼ Ë f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÐÓÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ò Ô Ö Ô Ö g x0 (x = f(x 0 +f (x 0 (x x 0, ½½ µ g x0 (x = ax+b Ú a = f (x 0 Ø b = f(x 0 f (x 0 x 0, ½½ µ Ø ÔÔ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÒØ f Ò x 0 ËÓÒ Ö Ô Ò R Ø ÙÒ ÖÓ Ø Ø Ò ÒØ Ò x 0 Ù Ö Ô f Ò Ø ÓÒ ½ ½ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f : R R Ø g : R R ÓÒØ Ø Ø Ò ÒØ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 f(x g(x lim = 0. x x 0 x x 0 Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö g Ø Ò ÐÓÖ g ³ Ö Ø g(x = a(x x 0 + b Ó g(x 0 = b Ø g (x 0 = a Ø f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÐÓÖ f(x = f(x 0 + (x x 0 f (x 0 + o(x x 0 Ù ÚÓ Ò x 0 Ø ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÕÙ g Ø Ø Ò ÒØ f ÐÓÖ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Ö g(x 0 = f(x 0 Ø g (x 0 = f (x 0 Ø Ð Ö Ô g Ø Ð ÖÓ Ø Ø Ò ÒØ Ù Ö Ô f Ò x 0

8 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ½ Ö Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ø ÓÑÔÓ ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ f Ø g ÓÒØ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÐ I ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø fg Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ I Ô Ö fg(x = f(xg(x Ë ÔÐÙ g Ò ³ ÒÒÙÐ Ô ÙÖ I ÐÓÖ f g Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ô Ö f f(x g (x = g(x Ø g Ø Ò ÙÖ f(i ÐÓÖ g f Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ I Ô Ö (g f(x = g(f(x ÎÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ð Ù Ù ÐÐ Ö Ú Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ö Ú ÓÒØ ÓÒ Ò f(x = a 0 + a x Ø g(y = b 0 + b y ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö Ð Ô ÖØ Ò f Ø g Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ Òص Ò (fg(x = f(xg(x = (a 0 +a x(b 0 +b x = a 0 b 0 +(a 0 b +a b 0 x+a b x ³Ó (fg (x = a 0 b +a b 0 +a b x = a (b 0 +b x+(a 0 +a xb 0 = (f g +fg (x Ø (g f(x = g(a 0 +a x = b 0 +b (a 0 +a x ³Ó (g f (x = b a = g (f(xf (x Ò Ö Ð Ì ÓÖ Ñ ½ ¾ ËÓ ÒØf Øg ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Òx R ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù Øfg Ø Ö Ú Ð Ò x Ø g (x 0 ÐÓÖ f g Ø Ö Ú Ð Ò x Ø (i (ii (fg (x = f (xg(x+f(xg (x, f (x = f (xg(x f(xg (x g g(x. (x Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö g = g (x g(x Ø f Ø Ö Ú Ð Ò x Ø g Ø Ö Ú Ð Ò y = f(x ÐÓÖ g f Ø Ö Ú Ð Ò x Ø ½½ µ (iii (g f (x = g (f(xf (x ½½ µ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ø ÒÚ Ö Ð Ù ÚÓ Ò x f (x 0 Ø f Ø Ö Ú Ð Ò y = f(x ÐÓÖ (iv (f (y = f (x = f (f (y. ½½ µ ÈÖ ÙÚ ËÓ Ø x 0 R ÑÓÒØÖÓÒ µ Ö ÓÒ Ð Ð Ñ Ø Ù Ú ÒØ Ü Ø f(xg(x f(x 0 g(x 0 lim x x 0 x x 0 ÇÒ f(xg(x f(x 0 g(x 0 = (f(x f(x 0 g(x+f(x 0 (g(x g(x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Å g ÓÒØ ÒÙ Ø Ö Ú Ð Ò x 0 Ø f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 Ø ÓÒ ½½ µ ½¾¼µ f(xg(x f(x 0 g(x 0 x x 0 = (f (x 0 +o((g(x 0 +o(+f(x 0 (g (x 0 +o(. ½¾½µ ijÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ð Ð Ñ Ø Ø ÒØ Ð Ò Ö Ø Ð Ð Ñ Ø ³ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ø ÒØ Ð ÙÜ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ñ Ø ÓÒ Ù Ø Ð³ Ü Ø Ò Ð Ð Ñ Ø Ø µ Ñ Ñ ÔÓÙÖ µ ÕÙ Ò f = ÓÒ g(x g(x 0 x x 0 = g(x 0 g(x x x 0 g(xg(x 0 ½¾¾µ ³Ó г Ü Ø Ò Ð Ð Ñ Ø Ø µ ÕÙ Ò f = ÈÙ µ ÓÙÐ ØØ ÖÒ Ö ÓÖÑÙÐ Ø µ ÔÙ ÕÙ f g = f g

9 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÈÓÙÖ µ Ö ÓÒ Ð³ Ü Ø Ò Ð Ð Ñ Ø ÕÙ Ò x x 0 g(f(x g(f(x 0 x x 0 = g(y g(y 0 x x 0, ½¾ µ Ó ÓÒ ÔÓ y = f(x Ø y 0 = f(x 0 ÓÑÑ g Ø Ö Ú Ð Ò y 0 Ð Ú ÒØ g(y = g(y 0 +g (y 0 (y y 0 +o(y y 0 = g(y 0 +g (y 0 (f(x f(x 0 +o(f(x f(x 0. ½¾ µ Ø Ð Ö Ú Ð Ø f Ò x 0 ³ Ö Ø f(x f(x 0 = f (x 0 (x x 0 +o(x x 0 ³Ó g(y = g(y 0 +g (y 0 [f (x 0 (x x 0 +o(x x 0 ]+o(f (x 0 (x x 0 +o(x x 0. ½¾ µ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ g(y g(y 0 = g (y 0 f (x 0 (x x 0 +o(x x 0, ½¾ µ Ð Ö Ú g f Ò x 0 Ú ÙØ g (y 0 f (x 0 Ò Ò ÔÓÙÖ Úµ f Ø Ö Ú Ð Ò y = f(x Ú f Ö Ú Ð Ò x (f f (y = y ÓÒ Ù Ø f (f (y(f (y =, ½½ µ Ê Ñ ÖÕÙ ½ Ò Ð Ö Ú Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ Ð ÐÐ Ø ÓÑÔ Ö Ö Ð³ ÖÓ Ñ ÒØ g(f(x g(f(x 0 Ú Ð³ ÖÓ Ñ ÒØ x x 0 ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÙÖ Ø ÔÙ Ö Ö g(f(x g(f(x 0 = g(f(x g(f(x 0 x x 0 f(x f(x 0 f(x f(x 0 x x 0 g (f(x 0 f (x 0 ½¾ µ ÕÙ ÙÖ Ø ÓÒÒ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ö ÙØ Ø Ô Ò ÒØ Ð Ô ÙØ ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ f Ó ÐÐ ÙÓÙÔ ÙØÓÙÖ x 0 Ø ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô ÐÓÖ Ú Ö Ô Ö f(x f(x 0 Ü ÑÔÐ f(x = xsin( x Ú f(0 = 0µ ³ Ø ÔÓÙÖÕÙÓ ÓÒ ÓÑÔÓ Ð ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ö ÔÔ Ö ØÖ f(x f(x 0 Ù ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ Ì ÓÖ Ñ ½ Ä Ò Þµ Ë f Ø g ÓÒØ n¹ Ó Ö Ú Ð Ò x ÐÓÖ fg Ø n¹ Ó Ö Ú Ð Ò x Ø n ( n (fg (n (x = f k (k (xg (n k (x ½¾ µ k=0 Ó Ð n k = n! k!(n k! = Ck n ÓÒØ Ð Ó ÒØ ÒÓÑ ÙÜ ÈÖ ÙÚ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÒØ ÕÙ È Ðµ n k + ( n k = n k Ö Ð Ù ØÖ Ò Ð ½ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò R Ì ÓÖ Ñ ½ ÖÑ Øµ Ë f : [a,b] R ÔÖ ÒØ ÙÒ ÜØÖ ÑÙÑ ÐÓ Ð Ñ Ò ÑÙÑ ÓÙ Ñ Ü ÑÙѵ Ò x 0 ]a,b[ Ø f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÐÓÖ f (x 0 = 0 ÈÖ ÙÚ ËÙÔÔÓ ÓÒ f Ñ Ü Ñ Ð Ò x 0 f(x f(x 0 ÓÒ f f(x f(x 0 (x 0 + = x>x0 lim 0 Ø x x 0 x x 0 f f(x f(x 0 (x 0 = x<x0 lim 0 ÓÑÑ f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÓÒ f (x 0 + = f (x 0 = f (x 0 x x x x 0 0 ÓÒ f (x 0 = 0 Ø f ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ò x 0 ÐÓÖ f Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ò x 0 Ø f (x 0 = 0 Ü Ö ½ ÅÓÒØÖ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ø Ö ÓÙÜ f Ø Ö Ú Ð ÙÖ [a,b] f (a < f (b Ø λ Ø Ø Ð ÕÙ f (a < λ < f (b ÐÓÖ Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ λ = f (ξ Ê ÔÓÒ Ä³ ÒÓÒÒÙ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ ξ Ø Ð ÕÙ f (ξ = λ ØÕ f (ξ λ = 0 ËÓ Ø g(x = f(x λx Ö Ú g (x = f (x λ ÇÒ Ö ÓÒ ÙÒ ÔÓ ÒØ ξ Ó g Ñ Ø ÙÒ ÜØÖ ÑÙÑg Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø ÓÒ Ý ØØ ÒØ ÓÒ Ñ Ü ÑÙÑ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ ξ g Ø ÒØ Ö Ú Ð Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÑ Ø Ò ÕÙ ÕÙ g (ξ = 0 = f (ξ λ

10 ½¼ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R Ì ÓÖ Ñ ½ ÊÓÐÐ µ Ë f Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ö Ú Ð ÙÖ ]a,b[ Ø f(a = f(b ÐÓÖ Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f (ξ = 0 ÈÖ ÙÚ f Ø ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ý Ñ Ø ÙÒ ÜØÖ ÑÙÑ ÐÓ Ð Ø f Ø ÒØ Ö Ú Ð ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÑ Ø Ì ÓÖ Ñ ½ ÖÓ Ñ ÒØ Ò µ Ë f : [a,b] R Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø Ö Ú Ð ÙÖ ]a,b[ ÐÓÖ f(b f(a c ]a,b[, = f (c. ½¾ µ b a Á Ð Ü Ø c ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f (c Ó Ø Ð Ô ÒØ ÑÓÝ ÒÒ ÇÙ ÒÓÖ θ ]0,[, f(b f(a = (b af (a+θ(b a. Ø ÓÖ Ñ Ø Ù Ô Ö Ó ÔÔ Ð Ø ÓÖ Ñ Ä Ö Ò Ø Ð ÔÓ ÒØ c = a+θ(b a ³ Ö Ø Ù c = ( θa+θb ÕÙ Ø Ð³ Ö ØÙÖ Ù Ù ÐÐ Ù ÖÝ ÒØÖ a Ø bµ ÈÖ ÙÚ Ä ÖÓ Ø Ó Ò ÒØ a Ø b ÔÓÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ y = f(a+ f(b f(a b a (x a ÇÒ ÓÒ Ö ÐÓÖ Ð ÓÒØ ÓÒ g(x = f(x f(a f(b f(a b a (x a ÕÙ Ú Ö g(b = g(a Ø ÓÒ ÐÙ ÔÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ g (ξ = 0 = f (ξ f(b f(a b a Ü Ö ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø Ö Ú Ð ÙÖ ]a,b[ Ø f (x = 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ x Ò ]a,b[ ÐÓÖ f(x Ø ÓÒ Ø ÒØ ÙÖ [a,b] Ê ÔÓÒ Ä Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò ÕÙ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ y ]a,b] Ð Ü Ø c ]a,y[ Ø Ð ÕÙ f(y f(a = f (c(y a = 0 ³Ó f(y = f(a ÔÓÙÖ ØÓÙØ y [a,b] Ü Ö ½ ¼ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ f Ø Ö Ú Ð Ò ]a,b[ Ó a < bµ Ø m f (t M ÔÓÙÖ ØÓÙØ t ]a,b[ ÐÓÖ m f(b f(a M b a Ê ÔÓÒ Ä Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò ÕÙ ÕÙ f(b f(a = f (c(b a ÔÓÙÖ ÙÒ c ]a,b[ ³Ó f(b f(a = (b a f (c ³Ó m(b a f(b f(a M(b a Ì ÓÖ Ñ ½ ½ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ð µ Ë f Ø g : [a,b] R ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø Ö Ú Ð ÙÖ ]a,b[ ÐÓÖ c ]a,b[, (f(b f(ag (c = (g(b g(af (c. Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö g(b g(a Ð Ü Ø c ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f(b f(a g(b g(a = f (c ÈÖ ÙÚ Ä³ ÒÓÒÒÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ø c ÇÒ ÔÓ F(x = (f(b f(ag(x (g(b g(af(x Ø ÓÒ Ö ³ Ð Ü Ø x Ø Ð ÕÙ F (x = 0 ÇÒ g (c = f(b f(a b a g(b g(a b a F(b F(a = (f(b f(ag(b (g(b g(af(b (f(b f(ag(a+(g(b g(af(a = 0, Ø ÓÒ ÓÒ Ô ÙØ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ c ]a,b[ ØÕ F (c = 0 Ø F (c = (f(b f(ag (c (g(b g(af (c ÓÖÓÐÐ Ö ½ ¾ Ê Ð Ð³ÀÔ Ø Ðµ Ë f Ø g : [a,b] R ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø Ö Ú Ð ÙÖ ]a,b[ ÐÓÖ f(x f(a lim x a + g(x g(a = lim f (x x a + g (x Ò Ð Ó Ð Ñ Ø Ü Ø ÒØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ø g ÓÒØ Ö Ú Ð ÖÓ Ø Ò a ÐÓÖ Ð Ñ Ø Ú Ð ÒØ f (a g (a

11 ½½ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÈÖ ÙÚ ÇÒ ÔÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ ÕÙ ÓÒÒ (f(x f(ag (c x = (g(x g(af (c x Ú a < c x < x ÔÓÙÖ x ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ò ]a,b] ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø ÕÙ Ò x a ³ Ø ÙÒ ÙØÖ ÓÒ ³ Ö Ö ÕÙ f(x f(a g(x g(a = f(x f(a / g(x g(a ÕÙ Ò ÙÒ Ò x a x a ÓÙ ÒÓÖ Ö ÕÙ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ f Ø g ÓÒØ Ö Ø Ö Ô Ö Ð ÙÖ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ð³ÓÖ Ö ½µ Ì ÓÖ Ñ ½ Ì ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ Ò Ö Ð µ Ë f Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ C ([a,b] ÕÙ ³ ÒÒÙÐ Ò Ð ÔÓ ÒØ a b Ø c ]a,b[ ÐÓÖ Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f (ξ = 0 Ð Ý ÐÓÖ ÙÒ ÔÓ ÒØ ÓÙ Ð ÓÙÖ ÙÖ Ø ÒÙÐÐ µ Ø ÔÐÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ f C n ([a,b] ³ ÒÒÙÐ Ò n+ ÔÓ ÒØ Ø ÒØ [a,b] ÐÓÖ Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f (n (ξ = 0 ÈÖ ÙÚ Ä Ø Ó ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ Ò ÕÙ ÕÙ f ³ ÒÒÙÐ Ò ÙÜ ÔÓ ÒØ Ø ÒØ ÙÒ Ó ÙÖ ]a,c[ Ø ÙÒ Ó ÙÖ ]c,b[ Ø ÓÒ (f ³ ÒÒÙÐ ÙÒ Ó ÙÖ ]a,b[ È Ö Ö ÙÖÖ Ò ÓÒ Ò Ö Ð ½ ÈÖ Ñ Ø Ú Ø ÒØ Ö Ð Ò Ø ÓÒ ½ ü f : I R ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ F : I R Ø ÐÐ ÕÙ F (x = f(x ÔÓÙÖ ØÓÙØ x I ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ F ÓÒ Ø ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ F Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú f ÙÖ I ÇÒ ÒÓØ ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÕÙ F Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú f ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒ Ø ÒØ c R F +c Ø Ù ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú f Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ Ì ÓÖ Ñ ½ Ë F Ø F ÓÒØ ÙÜ ÔÖ Ñ Ø Ú f ÐÓÖ Ð Ü Ø c R Ø Ð ÕÙ F = F +c ÙÜ ÔÖ Ñ Ø Ú f Ö ÒØ Ù ÔÐÙ ³ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÈÖ ÙÚ Ä ÓÒØ ÓÒ g(x = F (x F (x Ø Ø ÐÐ ÕÙ g (x = 0 ÐÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÓ ¹ Ñ ÒØ Ò Ò ÕÙ ÕÙ g = constante³ ÚÓ Ö Ü Ö ½ ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ Ò Ö Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f Ø ÒØ Ö Ð ÙÖ I ÐÐ Ñ Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÖ I Ò Ø Ð Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ ÒØ Ö Ð f Ø ÔÐÙ Ò Ö Ð ÚÓ Ö ÙÒ ÓÙÖ ÙÖ Ð ÓÑÑ Ê Ñ ÒÒ ÔÓÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ð Ê Ñ ÒÒ ÓÙ ÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ð Ä Ù ÔÓÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ð Ä Ù Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÒØ Ö Ð Ò µ f ÙÖ I = [a,b] Ð Ö Ò F(b F(a ÐÐ Ü Ø µ Ó F Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú f ÙÖ I Ø ÓÒ ÒÓØ b a f(xdx = F(b F(a ÒÓØ = b a f. ½ ¼µ ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ð ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ò Ô Ò ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ ³ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÜ ÜØÖ Ñ Ø Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø b f Ö ÔÖ ÒØ Ð³ Ö ÓÙ Ð ÓÙÖ ÚÓ Ö Ð ÓÑÑ Ê Ñ ÒÒµ a Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ø Ö Ú Ð ÙÖ I ÐÓÖ f Ø ÒØ Ö Ð ÙÖ I Ø b a f (xdx = f(b f(a. Ø ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ð ÓÖÑÙРг ÒØ Ö Ø ÓÒ ½ ½µ Ì ÓÖ Ñ ½ ij ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ö b a (f +λg = b a f +λ b a g ÔÓÙÖ ØÓÙØ λ R Ø ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ÒØ Ö Ð f Ø g Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ c [a,b] Ö Ð Ø ÓÒ Ð b f = c f + b a a c f. ½ ¾µ

12 ½¾ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÈÖ ÙÚ Ë F ØG ÓÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú f Øg ÐÓÖ ÑÑ Ø Ñ ÒØ(F+λG (x = F (x+λg (x ÈÙ F(b F(a = F(b F(c+F(c F(a ÇÒ ÒÓØ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ F ÓÒÒ F(b F(a ÒÓØ = [F] b ÒÓØ a = [F(x] b a. Ì ÓÖ Ñ ½ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ô ÖØ µ Ë f Ø g ÓÒØ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð ÙÖ I = [a,b] Ø f g Ø fg Ñ ØØ ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÖ I ÐÓÖ Ó Ø b f (xg(xdx+ b a a b f (xg(xdx = a a f(xg (xdx = [fg] b a (= f(bg(b f(ag(a, b f(xg (xdx+[f(xg(x] b a. ½ µ ½ µ ÈÖ ÙÚ fg Ø Ö Ú Ð Ø (fg = f g +fg Ì ÓÖ Ñ ½ ¼ Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð µ Ë f Ø Ö Ú Ð ÙÖ I = [a,b] g Ø ÒØ Ö Ð ÙÖ f(i Ø (g ff Ø ÒØ Ö Ð ÙÖ I ÐÓÖ b g(f(xf (xdx = f(b x=a y=f(a g(ydy. ½ µ ÈÖ ÙÚ ËÓ Ø G ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú g ÐÓÖ Ú Ð Ö Ú Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ (G f (x = g(f(xf (x ³Ó b f(b (G f (xdx = [(G f(x] b a = G(f(b G(f(a = g(ydy. a f(a ½ µ Ì ÓÖ Ñ ½ ½ Ì ÓÖ Ñ Ð ÑÓÝ ÒÒ µ Ë f ÔÓ ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÖ [a,b] ÐÓÖ ξ [a,b], b a f(xdx = f(ξ(b a, ½ µ Ð Ü Ø ξ [a,b] Ø Ð Õ٠г Ö ÓÙ Ð Ö Ô f ÒØÖ a Ø b Ø Ð Ð³ Ö Ù Ö Ø Ò Ð [a,b] Ø ÙØ ÙÖ f(ξ ÈÖ ÙÚ ³ Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò F ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú f Ò Ø ÓÒ ½ ¾ ÇÒ ÔÔ ÐÐ Ú Ð ÙÖ ÑÓÝ ÒÒ f ÙÖ [a,b] ÓÙ ÙØ ÙÖ ÑÓÝ ÒÒ f ÒØÖ a Ø bµ Ð ÒÓÑ Ö f = b a f(xdx(= f(ξ b a ÓÖÓÐÐ Ö ½ ÇÒ ÙÔÔÓ f Ø g ÒØ Ö Ð ÙÖ [a,b] µ Ë f 0 ÙÖ [a,b] ÐÓÖ b a f(xdx 0 µ Ë f(x g(x ÐÓÖ b a f(xdx b a g(xdx µ Ë m f(x M ÙÖ [a,b] ÐÓÖ m(b a b f(xdx M(b a a Úµ b a f(xdx b a f(x dx Úµ Ë f(x 0 Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø f 0 ÐÓÖ b f(xdx > 0 a Ú µ Ë g 0 ÙÖ [a,b] f g Ø fg ÓÒØ ÒØ Ö Ð ÙÖ [a,b] Ú f ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] ÐÓÖ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð Ð ÑÓÝ ÒÒ µ ξ [a,b], b f(xg(xdx = f(ξ b a a g(xdx. ½ µ

13 ½ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ½ Ö Ú Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ò Ø ÓÒ ½ Ä ÓÒØ ÓÒ Ö Ú f Ø Ö Ú Ð Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 I Ð Ð Ñ Ø Ù Ú ÒØ Ü Ø Ò R ÒÓØ Ò f (x 0 µ f (x f (x 0 lim = f f (x 0 +h f (x 0 (x 0 R ÓÙ ÒÓÖ lim = f (x 0 R. ½ µ x x 0 x x 0 h 0 h Ø ÓÒ Ø ÐÓÖ ÕÙ f Ø ÙÜ Ó Ö Ú Ð Ò x 0 Ú Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ô Ø Ø o³ Ð ³ Ö Ø ÒÓÖ f (x f (x 0 x x 0 = f (x 0 +o(, f (x = f (x 0 +f (x 0 (x x 0 +o(x x 0. ½ ¼µ Ü Ö ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ p : R R Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ö ¾ ÓÒÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ p(h = a+bh+ch ÐÓÖ a = p(0 b = p (0 Øc = p (0 Ø ÓÒ ÕÙ p(h = p(0+hp (0+ h p (0 Ê ÔÓÒ ÇÒ p (h = b+ch Ø p (h = c ³Ó p (0 Ø p (0 Ü Ö ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ p : R R Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ö ¾ ÓÒÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ p(x = a + b(x x 0 + c(x x 0 ÐÓÖ ÓÒ a = p(x 0 b = p (x 0 Ø c = p (x 0 Ø ÓÒ ÕÙ p(x = p(x 0 +(x x 0 p (x 0 + (x x0 p (x 0 Ê ÔÓÒ ÇÒ p(x 0 = a ÈÙ ÓÒ p (x = b+c(x x 0 Ø p (x = c ³Ó p (x 0 = b Ø p (x 0 = c Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ Ò Ø Ð Ö Ú ³ÓÖ Ö n Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÓÒ ÒÓØ f (0 = f f ( = f Ø f Ø Ö Ú Ð Ð³ÓÖ Ö n Ò x 0 f (n Ø Ö Ú Ð ÙÖ ÙÒ ÚÓ Ò x 0 Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ ÒÓØ C n (I;R ÓÙ ÔÐÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ C n µ г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ f ÕÙ ÓÒØ Ö Ú Ð n¹ Ó Ò I Ø Ø ÐÐ ÕÙ f (n Ø ÓÒØ ÒÙ Ò I ½ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ËÓ Ø Ð ÑÓÒÑ Ò Ô Ö ÔÓÙÖ n N p(x = x n, x R. ÇÒ ³ ÒØ Ö ÕÙ Ô Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 R ÕÙ Ö Ú ÒØ ÓÒ Ö Ö Ð Ú Ö Ø ÓÒ p(x 0 +h ÔÓÙÖx 0 Ü Ø h Ú Ö Ð Ò Ñ ÒØ ³ÓÖ Ò µ ÇÒ Ú n k = n! k!(n k! n ( n p(x 0 +h = (x 0 +h n = x k n k 0 h k. Ø ÓÒ Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ p (x 0 = nx n 0 Ø Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÔÓÙÖ 0 k n ³Ó ÔÓÙÖ x,h R p (k (x 0 = n(n...(n k +x n k 0 = p(x 0 +h = n k=0 h k k! p(k (x 0 k=0 n! (n k! xn k 0 = k! ( n k x n k 0, = p(x 0 +hp (x 0 + h p (x hn n! p(n (x 0, ÜÔÖ ÓÒ Ù Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ p(. Ù ÚÓ Ò x 0 Ò ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ò x 0 ÔÔ Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ò x 0 Ü ÑÔÐ ½ ÈÓÙÖ p(x = x Ð Ú ÒØ p(x 0 +h = x 0 +x 0 h+h = p(x 0 +p (x 0 h+ p (x 0 h Ú Ö Ø ÓÒ ÑÑ Ø Ö p (x 0 = x 0 Ø p (x 0 = Ä ÓÖÑÙÐ ¹ Ù ³ Ö Ø Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ a,x R Ø h = x aµ n (x a k p(x = p (k (a, k! k=0 ½ ½µ Ø ³ Ø Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø p Ò a Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ø ÒØ ÙÒ ÓÑÑ ÑÓÒÑ ØØ ÓÖÑÙÐ Ø ØÖ Ú Ð Ñ ÒØ ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓÐÝÒÑ

14 ½ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ½ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ ÁÐ ³ Ø ³ ÔÔÖÓ Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f C n+ (R Ô Ö ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ p n Ö n Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ a R f(x = p n (x+r(x, ½ ¾µ Ó R(x Ø Ð Ö Ø ³ Ô Ø Ø ÐÓÖ ÕÙ x Ø ÔÖÓ ³ aµ ÇÒ Ú ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ n (x a k p n (x = f (k (a, k! k=0 Ø ÕÙ R(x = O((x a n+ ÓÙ ÒÓÖ R(x = o((x a n µ Ø ÓÒ ÐÓÖ ÑÑ Øµ ÕÙ³ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö p (k n (a = f (k (a Ä Ö ÙÐØ Ø ½ ¾µ Ø ÕÙ ÐÓÖ ÕÙ f Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ú R = 0 ½ ½µ ½ ½ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ½ ¼ ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f : [a,b] R Ñ Ø ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ð³ÓÖ Ö n Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 ]a,b[ Ð Ü Ø n+ ÓÒ Ø ÒØ c 0,...,c n Ø ÐÐ ÕÙ f(x 0 +h = c 0 +c h+...+ c n n n! hn +o(h n c k (= k! hk +o(h n, ½ µ Ù ÚÓ Ò h = 0 k= ÇÒ Ú ÚÓ Ö ÕÙ f Ø C n ÐÓÖ c k = f (k (x 0 ÔÓÙÖ k = 0,...,n ½ ¾ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ú Ö Ø ÒØ Ö Ð Ì ÓÖ Ñ ½ ½ Ë f Ø Ö Ú Ð k+¹ Ó ÙÖ I = [a,b] ÐÓÖ Ù ÚÓ Ò a f(x = f(a+...+f (k (a (x ak k! = f(a+...+f (k (a (x ak k! + x a + (x ak+ k! f (k+ (t (x tk dt k! Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö 0 [a,b] ÔÓÙÖ x [a,b] ÐÓÖ Ù ÚÓ Ò 0 f(x = f(0+...+f (k (0 xk k! + x = f(0+...+f (k (0 xk k! + xk+ k! 0 0 f (k+ ((x au+a ( u k du. f (k+ (t (x tk dt k! 0 f (k+ (xu ( u k du. ½ µ ½ µ ÈÖ ÙÚ ÇÒ Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ð f(x = f(a+ x a f (tdt Ä ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÚÖ ÔÓÙÖ k = 0 ÈÙ Ô Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ô ÖØ Ó x Ü ÓÒ ÔÓ u (t = v(t = f (t ÔÙ u(t = t x Ø v (t = f (tµ x x x f (tdt = [(t xf (t] x t=a (t xf (tdt = (x af (a+ (x tf (tdt. t=a ³Ó Ù ÓÒ ÓÖ Ö t=a f(x = f(a+(x af (a+ x a (x tf (tdt. ÈÙ Ô Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ô ÖØ Ù Ú Ó x Ü ÓÒ ÔÓ u (t = (x tk k! v(t = f (k+ (t ÔÙ u(t = (x tk+ (k+! Ø v (t = f (k+ (tµ x t=a f (k+ (t (x tk k! x dt = [ (x tk+ f (k+ (t] x a (k +! = (x ak+ f (k+ (a+ (k +! x t=a t=a t=a f (k+ (t (x tk+ (k +! f (k+ (t (x tk+ (k +! dt dt ½ µ ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÈÙ ÓÒ Ø Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð u = t a x a [0,] Ó Ø t = a+(x au Ø dt = (x adu ÈÙ x t = (x a( u ³Ó (x t k = (x a k ( u k ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø

15 ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ½ ÓÖÓÐÐ Ö ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ú o Ø O ÇÒ Ù Ø Ù Ø ÓÖ Ñ ½ ½ ÔÖ ÒØ Ì ÓÖ Ñ ½ ¾ Ë f C k+ ([a,b] ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x 0,x [a,b] Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f(x = f(x 0 +f (x 0 (x x f (k (x 0 (x x 0 k k! +f (k+ (ξ (x x 0 k+, ½ µ (k +! Ø ÓÒµ f(x = f(x 0 +f (x 0 (x x f (k+ (x 0 (x x 0 k+ +o((x x 0 k+ (k +! = f(x 0 +f (x 0 (x x f (k (x 0 (x x 0 k +O((x x 0 k+. k! ½ µ ÈÖ ÙÚ ÇÒ ÔÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ½ ½ Ð Ú Ð ÙÖ ÑÓÝ ÒÒ ³Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ø ÈÙ f (k+ Ø ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÓÒ f (k+ (ξ = f (k+ (x 0 +o( ³Ó Ð ÓÒ Ð Ø Ø Ý ÒØ f C k+ ([a,b] ÓÒ f (k+ ÓÖÒ ÙÖ [a,b] Ø ÓÒ Ù Ø Ð ØÖÓ Ñ Ð Ø Ð³ Ð ÔÖ Ñ Ö Ê Ñ ÖÕÙ ½ ÍÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ô ÙØ Ñ ØØÖ ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ù ¾Ò ÓÖ Ö Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ Ò ÕÙ Ð Ö ÒØ ÐÐ ÓÒ Ü Ø Ü ÑÔÐ f(x = x 3 sin( x Ú f(0 = 0 ÓÒØ ÒÙ Ò ¼µ ÕÙ Ú Ö f (x = 3x sin( x xcos( x Ø f (0 = 0 ÓÒØ ÒÙ Ò ¼µ Ø f (h = o(h Ù ÚÓ Ò 0 Ø ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ½¾ µ ÓÒ Ù ÚÓ Ò h = 0 f (x 0 +h = o(h = f(x 0 +h = f(x 0 +o(h, ½ µ ÔÙ ÕÙ f(x0+h f(x0 h = f (c ÔÓÙÖ ÙÒ c ÒØÖ x 0 Ø x 0 +h ÓÒ f(h = f(0 + o(h = o(h Ø f Ñ Ø ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ð³ÓÖ Ö ¾ Ù f ÚÓ Ò ¼ Å lim (x f (0 x 0 x = lim x 0 cos( x Ò³ Ü Ø Ô Ð Ú Ð ÙÖ f (0 Ò³ Ü Ø Ô µ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÇÒ ÓÒ Ö R n ÑÙÒ ÒÓÒ ÕÙ ( e,..., e n Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ Ò Ô Ö n ( x, y R n = x i y i (= x y +...+x n y n, x = n i= x i e i = x x n ÓÖÑÙÐ ÈÝØ ÓÖ µ i= Ø y = n i= y i e i = x R n = y y n Ó Ð ÒÓÖÑ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÒ Ô Ö x +...+x n. ÇÒ ÓÒÒ ÙÒ ÓÙÚ ÖØ Ω R n ÇÒ ³ ÒØ Ö ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ú Ö Ð Ú ØÓÖ ÐÐ Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÙÜ ÓÒØ ÓÒ ØÝÔ { Ω R f : x f( x R ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ Ð Ö Ô ³ÙÒ Ø ÐÐ ÓÒØ ÓÒ Ø Ð ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð R n R Ò Ô Ö G(f = {( x,z Ω R : z = f( x}. ¾½µ

16 ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ¾½ ÓÒØ ÒÙ Ø ËÓ Ø f : Ω R Ø a Ω ÐÓÖ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò a lim f( x f( a = 0 ÓÙ ÒÓÖ x a 0 lim f( x = f( a, ¾¾µ x a f( x = f( a+o( Ù ÚÓ a, Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø f гÓÖ Ö 0 Ò Ø ÖÑ ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ f ÓÒØ ÒÙ Ò a ³ Ö Ø ε > 0, η > 0, x Ω : x a < η = f( x f( a < ε. Ò Ö Ò Ò a Ω ÔÓÙÖ ØÓÙØ ε > 0 Ð Ü Ø η > 0 Ø Ð ÕÙ ÕÙ x Ú Ö x a < η ÓÒ f( x f( a < εµ Ø f ÓÒØ ÒÙ Ò a ³ ÒÓÒ ε > 0, η > 0, x Ω : x a < η Ø f( x f( a ε. Ò Ø ÓÒ ¾½ ÇÒ ÔÔ ÐÐ C 0 (Ω,R г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ f : Ω R ÕÙ ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ω Ø ÓÒ ÒÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ C 0 ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô ÓÒ Ù ÓÒ ÔÓ Ð Ê Ñ ÖÕÙ ¾¾ ÁÐ Ò³ Ø Ô Ù ÒØ ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò a ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ v Ð ÓÒØ ÓÒ g v : t g(t = f( a+t v ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò 0 Ú g v (0 ÙÒ Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ v Á Ð Ø Ò Ù ÒØ Ú Ö Ö ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ v Ú ÙÒ Ð Ñ Ø c = lim h 0 f( a+h v Ò Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø ÓÒ v ÈÖ Ò Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ f : R R Ú f(0,0 = 0 Ø ÔÓÙÖ (x,y 0 f(x,y = x y x 4 +y. ÎÓ Ö ÙÖ ¾½ ØØ ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ R { 0} Ò 0 ÓÒ g v (h = f( 0 + h v h 0 0 ÕÙ ÐÕÙ Ó Ø Ð Ú Ø ÙÖ v Ü µ Å f Ò³ Ø Ô ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÓÒ f(x,x = ÙÖ ¾½ Ö Ô Ð ÓÒØ ÓÒ f(x,y = x y x 4 +y Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ( ÕÙ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ a ÓÒ Ô ÙØ Ô Ö x = a Ò ÓÓÖ ÓÒÒ ÔÓÐ Ö +rcosθ Ø Ö ÕÙ x a ³ Ø Ö ÕÙ x a = x = a +rsinθ (x a +(x a = r 0 ¾¾ ¾¾½ Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÇÒ ³ ÒØ Ö Ð Ö Ú ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f : R n R Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ a R n Ò ÙÒ Ö Ø ÓÒ v R n Á ÓÒ Ö ØÖ ÒØ Ð³ ØÙ f Ð ÖÓ Ø ³ ÕÙ Ø ÓÒ t a+t v ÖÓ Ø Ò R n µ Ø ÓÒ Ú ÙØ ÓÒÒ ØÖ Ð Ö Ú f Ò a Ð ÐÓÒ ØØ ÖÓ Ø ÇÒ ÔÓ g(t = f( a+t v, t R, ÓÒ Ö Ñ Ò Ð³ ØÙ Ð ÓÒØ ÓÒ g : R R Ø ÓÒ Ú ÙØ Ö Ö Ö Ð Ú Ö Ø ÓÒ g (t g Ò t = 0

17 ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ø ÓÒ ¾ Ä Ö Ú f Ò a Ò Ð Ö Ø ÓÒ v Ø Ð Ö Ð ÇÒ ÓÒ g (0 ÒÓØ = v f( a ÒÓØ = v ( a. ( a = lim v t 0 f( a+t v f( a. t Ò Ø ÓÒ ¾ ÄÓÖ ÕÙ v = e i Ð i¹ Ñ Ú Ø ÙÖ µ ÓÒ ÒÓØ Ø Ö Ð ÓÒØ ÔÔ Ð Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ f Ò a ÇÒ ÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖ f : R R ¾ µ ei f( a ÒÓØ = ( a ÒÓØ = i f( a, ¾ µ x i f(a +t,a f(a,a ( a = lim, x t 0 t Ó ÓÒ ÒÓØ a = (a,a ÓÙ ÒÓÖ Ú ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x f(x +h,x f(x,x ( x = lim. x h 0 h Ø Ò ØØ ÜÔÖ ÓÒ x ÓÙ Ð ÖÐ ³ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ð ÙÐ ÕÙ ÒØ Ø Ú Ö Ð Ø ÒØ x Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ØØ ÒØ ÓÒ ØÓÙØ Ñ Ñ ÓÒ ÒÓØ (y,y Ð Ú Ö Ð ÓÒ ÓÒ Ö f(y,y Ð ÒÓØ Ø ÓÒ f ÕÙ Ò³ Ø Ô Ñ Ù µ ÒÓØ Ò Ö ÑÑ ÒØ x ÓÙ y ÕÙ Ô ÙØ Ô Ö ØÖ Ñ Ù µ ÇÒ Ú ÒØ Ò Ò Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÓÙÖ i =, ÕÙ Ò ÐÐ ÓÒØ ÙÒ Ò Ò ØÓÙØ Ω i f = : x i Ω R x i f( x = x i ( x Ò Ø ÓÒ ¾ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ø Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ø ÔÔ Ð Ö Ø Ö Ú Ð ÓÙ Ò Ö Ø Ö ÒØ Ð Ü Ö ¾ ËÓ Ø f(x,y = sin(x +y ÐÙÐ Ö f f Ø e+ e f Ò ØÓÙØ x = (x,y R Ü Ö ¾ ËÓ Ø f( x = x (= x +y ÐÙÐ Ö Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ò x 0 ع ÕÙ f Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ò 0 ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ x = x µ Ü Ö ¾½¼ ËÓ Ø f(x,y = x y x +y x 0 Ø f( 0 = 0 ÐÙÐ Ö Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ò ØÓÙØ x 0 ÔÙ Ò x = 0 ÈÙ ÔÓ ÒØ v = (v,v ÐÙÐ Ö v f( x Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x Ü Ö ¾½½ ËÓ Ø f(x,y = xy x y x +y x 0 Ø f( 0 = 0 ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÐÙÐ Ö Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ò ØÓÙØ x 0 ÔÙ Ò x = 0 Ê ÔÓÒ ÇÒ Ô Ò ÓÓÖ ÓÒÒ ÔÓÐ Ö f(rcosθ,rsinθ = r cosθsinθ(cos θ sin θ r 00 f( 0+h e ³Ó f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 Ø Ò 0 ÓÒ lim f( 0 h 0 = 0 = ( 0 h x Ü Ö ¾½¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ λ R Ø λ 0 ÓÒ Ê ÔÓÒ Ô Ö Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÔÓ ÒØ w = λ v Ó Ø ( a = λ (λ v v ( a f( a+h w f( a f( a+(hλ v f( a ( a = lim = lim w h 0 h h 0 hλ λ f( a+k v f( a = λ lim = λ k 0 k v ( a, ( a = λ( a ÓÑÑ ÒÒÓÒ ÓÒ ØØ ÒØ ÓÒ ÙÜ Ò Ñ ÒØ ³ÙÒ Ø Ü Ñ ØÖ Ý Ö µ (λ v v

18 ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ¾¾¾ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ö ÒØ ÐÐ Ö ÒØ ÈÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ð Ö ØÙÖ ÓÒ ØÖ Ø Ð Ω R Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ω R n Ò ÔÓ ÒØ Ô ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ò ÒØ Ð Ö Ú Ð Ø Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ò³ Ø Ô ÙÒ ÒÓØ ÓÒ Þ ÓÖØ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ (R Ô Ö f(x,x = x x Ø Ô Ö f( 0 = 0 Ø ÓÒ Ø ÒØ ÙÖ x +x ØÓÙØ Ð ÖÓ Ø t t v ÔÖ Ú Ù ÔÓ ÒØ 0 ÕÙ ÐÕÙ Ó Ø Ð Ö Ø ÓÒ v R 0.5 y z x 4 ÙÖ ¾¾ Ö Ô Ð ÓÒØ ÓÒ f(x,y = x y x +y Ô Ò ÒØ Ò a = (0,0 Ð ÓÒØ ÓÒ f Ò³ Ø Ñ Ñ Ô ÓÒØ ÒÙ ÚÓ Ö ÙÖ ¾¾µ ³Ó Ð Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ò Ø ÓÒ ¾½ ËÓ Ø a Ω ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f : Ω R Ú Ð ÙÖ Ð Ö µ Ø Ø Ö ÒØ Ð Ò a ÓÙ Ö Ú Ð Ù Ò Ø Ùܵ Ò a ÓÒ Ö Ô Ñ Ø ÙÒ ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ò a Ð Ü Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö l a : x R n l a ( x R Ø ÐÐ ÕÙ f( x = f( a+l a ( x a+o( x a. ¾ µ Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö l a Ø ÔÔ Ð ÓÖÑ Ö ÒØ ÐÐ f Ò a Ø ÒÓØ l a = df( a ÄÓ Ð Ñ ÒØ Ù ÚÓ Ò a f Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ô Ö Ð ÓÖÑ Ð Ò Ö l a Ø Ð³ ÜÔÖ ¹ ÓÒ ¾ µ Ø Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø f гÓÖ Ö Ù ÚÓ Ò a Ë ÓÒ ÔÐ Ò R n ÑÙÒ ÒÓÒ ÕÙ ÙÒ Ø ÐÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ³ Ö Ø l a (x,...,x n = A x +...+A n x n ³Ó Ð Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÒ ¾½ f Ø Ø Ö ÒØ Ð ÓÙ Ö Ú Ð Ù Ò Ø Ùܵ Ò a = (a,...,a n A,...,A n R Ø Ð ÕÙ Ù ÚÓ Ò x = a : ¾ µ f(x,...,x n = f(a,...,a n +A (x a +...+A n (x n a n +o( x a. Ü ÑÔÐ ¾½ ÈÓÙÖ f : R R ÓÒ Ú ÒØ ³ Ö Ö ÒÓØ ÒØ z = f(x,y ÕÙ z = αx+βy +γ + o( x a Ó α = A β = A Ø γ = f( a A x A y ÕÙ Ð Ö Ô f Ñ Ø Ò a ÙÒ ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ ÚÓ Ö Ð ÔÐ Ò ³ ÕÙ Ø ÓÒ z = αx+βy +γ ÙØÖ Ñ ÒØ Ø f Ø Ö ÒØ Ð Ò a Ð Ö Ô f Ñ Ø ÙÒ ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ò a ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾½ Ë f Ø Ö ÒØ Ð Ò a = (a,...,a n ÐÓÖ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò a Ø ÓÒ A = x ( a A n = x n ( a Ø ÓÒ f( x = f( a+(x a x ( a+...+(x n a n x n ( a+o( x a. ¾ µ ÔÔ Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø f Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö Ù ÚÓ Ò aµ

19 ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÈÖ ÙÚ Ä Ò Ø ÓÒ ¾ µ ÓÒÒ f( x = f( a+o( ÓÒ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò a ÈÙ Ö Ö ÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ A Ñ Ñ Ñ Ö ÔÓÙÖ Ð A i µ ÓÒ ÔÖ Ò x = a + h e = (a +h,a,... ÁÐ Ú ÒØ ³Ó f(a+h,a,... f(a,a,... h f(a +h,a,... = f(a,a,...+a h+0+o(h. = A +o(h ³Ó A = x ( a Ò Ø ÓÒ ¾½ Ú Ð ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ R n Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ Ú Ø ÙÖ ÒÓØ gradf( a ÔÔ Ð Ö ÒØ f Ò a Ø Ð ÕÙ l a ( v = ( gradf( a, v n ÔÓÙÖ ØÓÙØ v R n ÓÒÒ Ô Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ê Þµ Ø ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ µ ÓÒ x ( a x gradf( a = = ( a ÒÓØ = f( a. ¾ µ ÓÒ x n ( a x n f( a+h v f( a = h ( gradf( a, v R n +o(h. Ò Ø ÓÒ ¾½ ÇÒ ÔÔ ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒÒ f Ò a Ð Ñ ØÖ Ð Ò ¾ µ J f ( a = [ x ( a... x n ( a]. Å ØÖ ÓÑÔÓ ÒØ Ð Ö ÒØ ÐÐ df( a Ò Ð Ù Ð Ð ÒÓÒ ÕÙ ÚÓ Ö ÓÙÖ ÓÑ ØÖ Ö ÒØ ÐÐ µ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓ ÒØ Ù ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ ÓÒ J f ( a = gradf( a T. ¾½¼µ ÓÒ f Ø Ö Ú Ð Ò a ÓÒ f( x = f( a+( gradf( a, x a R n +o( x a = f( a+j f ( a.( x a+o( x a = f( a+ gradf( a T.( x a+o( x a. ¾½½µ Ä Ø ÒØ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ ÐÐ µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾½ Ë f Ø Ö ÒØ Ð Ò a ÐÓÖ f Ø Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ò a Ø ÓÒ v ( a = ( gradf( a, v R n. ¾½¾µ ÈÖ ÙÚ f( a+h v f( a = A hv +...+A n hv n +o(h = h( gradf( a, v R n +o(h È Ö ÓÒØÖ Ð Ö ÔÖÓÕÙ Ø Ù ÓÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö f Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x Ò ÕÙ f Ó Ø Ö ÒØ Ð Ò x Ü ÑÔÐ f(x,y = x Ö Ô ÙÒ ÔÐ Òµ x 0 Ø f(0,y = y Ö ÙÒ Ò ÐÓÖ f Ø Ö Ú Ð Ò 0 Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ñ Ò³ Ô ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ ÇÒ ÕÙ Ò Ñ Ñ ÙÒ Ö Ø Ö Ö Ð Ò Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù Ú ÒØ Ì ÓÖ Ñ ¾¾¼ Ë f ÔÓ Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ µ x x n Ò ÙÒ ÚÓ Ò a Ø Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò a ÐÓÖ f Ø Ö ÒØ Ð Ø C Ò a

20 ¾¼ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÈÖ ÙÚ ÇÒ ØÖ Ø Ð R n = R Ð Ò Ö Ð Ø ÒØ Ð Ù Ð Ø ÙÖ ÇÒ f(x,x f(a,a = (f(x,x f(a,x +(f(a,x f(a,a. ¾½ µ Ø Ð ÖÒ Ö Ø ÖÑ ÓÒÒ ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÓÒØ ÓÒ Ð ÙÐ Ú Ö Ð x µ f(a,x f(a,a = x (a,a (x a +o( x a. ¾½ µ Ø Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ ÓÒ Ö x Ü ³ Ö Ø f(x,x f(a,x = x (a,x (x a +o( x a, ¾½ µ ÕÙ ÙÒ Ò Ö ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ x Ü Ø Ø Ò ÙÒ ÚÓ Ò a Ø ÓÒ Ò (a,x ÔÓÙÖ x Ù ÑÑ ÒØ ÔÖÓ a Ø Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ x Ø ÒØ ÙÔÔÓ ÓÒØ ÒÙ Ò a (a,x = (a,a +o(, x x ¾½ µ Ø Ô Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ ÔÙ ÕÙ Ô Ö Ò Ø ÓÒ (x a o( = o(x a f(x,x f(a,x = x (a,a (x a +o( x a, ¾½ µ ³Ó ¾½ µ ÓÒÒ Ò ¾ µ f Ø Ö Ú Ð Ò a ÈÙ Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ø ÒØ ÓÒØ ÒÙ gradf г Ø Ð Ñ ÒØ Ø f Ø C Ò Ø ÓÒ ¾¾½ ÇÒ ÒÓØ C (Ω;R Ð ÓÙ Ò Ñ Ð C 0 (Ω;R ÓÖÑ ÓÒØ ÓÒ f ÕÙ ÓÒØ Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ω Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ x i ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ω ÔÓÙÖ ØÓÙØ i =,...,n ³ Ø Ò Ñ Ð Ø Ð Ñ ÒØ ÒÓØ ÔÐÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ C ÙÙÒ ÓÒ Ù ÓÒ Ò³ Ø ÔÓ Ð Ü Ö ¾¾¾ ËÓ Ø f Ò ÙÖ R (xy Ô Ö f(x,y = x 0 Ø f(0,0 = 0 ÅÓÒØÖ Ö (x +y 3 ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÐÙÐ Ö x ( x ÓÙ x ( x Ø Ò Ù Ö ÕÙ f Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò ¼ ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ð Ñ ÒØ ÔÓ Ö g(t = f(t,t ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ g Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò 0 Ê ÔÓÒ f Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÕÙ Ò³ ÕÙ³ÙÒ Ö Ò Ò (x,y = 0 Ø ÓÒ f Ø C (R { 0};R Ê Ö ÓÒ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Ò 0 ÇÒ Ô Ò ÓÓÖ ÓÒÒ ÔÓÐ Ö f(rcosθ,rsinθ = rcos θsin θ Ê Ö ÓÒ x Ë x ( 0 Ü Ø Ô Ö Ò Ø ÓÒ ÓÒ f(h,0 f(0,0 0 0 ( 0 = lim = lim = 0. x h 0 h h 0 h r 0 0 ÓÒ Ð ½ Ö Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ü Ø Ñ Ñ x ( 0 = 0 Å Ò Ú ÙØ Ô Ö ÕÙ f Ø Ö Ú Ð ³ ÐÐ ÙÖ f Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò Ø ÐРг Ø Ø Ð Ú Ø ÙÖ Ö ÒØ Ü Ø Ö Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ø gradf( 0 = 0 ³Ó f(x,y = f(0,0+( gradf( 0, x +o( (x,y = 0+0+o( (x,y. y Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ ÙÖ Ø f(h,h = o(h ÇÖ ÓÒ f(h,h = h4 (h 3 = h4 8 h 3 = 8 h ÕÙ Ò³ Ø Ô o(h ÓÒ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ù Ö ÒØ gradf( 0 = 0 Ø ÙÖ ÓÒ Ð Ö ÒØ Ò³ Ü Ø Ô Ò 0 Ð ÓÒØ ÓÒ Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò 0 ÇÒ Ô ÙØ Ù Ö Ñ ÖÕÙ Ö ÕÙ³ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ¾¾¼ ÓÒ ÕÙ Ò x 0 Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ( x = xy (x +y 3 3x 3 y (x +y = xy y x. x (x +y 3 (x +y 5 x (0,h = 0 ÐÓÖ ÕÙ x (h,h = 5 Ø ÓÒ ÕÙ x (0,h Ø x (h,h Ò³ÓÒØ Ô Ð Ñ Ñ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò h 0 Ø ÓÒ x Ò³ Ø Ô ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ ÚÓ Ò 0 Ø ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Á ÓÒ ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÐÙÐ x ( 0 = 0 Ñ ØØ Ú Ð ÙÖ ÔÓÒØÙ ÐÐ Ò³ Ø Ô Ð ÔÖÓÐÓÒ Ø ÓÒ

21 ¾½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø x ( x ÕÙ Ò x 0 ÓÒ ÔÓÙÚ Ø ÔÖÓÐÓÒ Ö Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ ÙÖ Ø 0 = Ð Ð Ñ Ø ÕÙ Ø ÙÖ µ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ò³ Ø Ô C (R ;R Ê Ö ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ö Ø Ñ ÒØ g(t = f(t,t = t 4 3 (t 3 = 3 5 Ô Ö ÙÒ Ø t 4 t 3 = 3 t ØØ ÓÒØ ÓÒ Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò 0 Ø ÓÒ ( e + e Ò³ Ø Ô Ò Ò 0 ÓÒ f Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò 0 ÒÓÒ ØÓÙØ Ð Ö Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ü Ø Ö ÒØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾½ Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ( e + e Ü Ø Ö Ø Ü Ö ¾¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ f = l : R n R Ø Ð Ò Ö ÐÓÖ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x R n ÓÒ dl( x = l Ö ÒØ ÐÐ Ø Ò Ô Ò ÒØ Ù ÔÓ ÒØ x Ø Ú ÙØ lµ ÉÙ Ú ÙØ Ñ ØÖ Ó ÒÒ Ñ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ dl( x Ò Ð ÒÓÒ ÕÙ µ Ê ÔÓÒ ÇÒ l( y l( x = l( y x Ô Ö Ð Ò Ö Ø Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÒ l( y l( x = dl( x( y x+o( y x Ø ØÖ Ú Ð Ñ ÒØ Ø Ø Ú dl( x = l Ð Ö Ø o( y x Ø ÒØ ÒØ ÕÙ Ñ ÒØ ÒÙÐ ÚÓ Ö ¾ µµ Ë Ñ ØÖ Ó ÒÒ Ø Ð Ñ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ dl( x ÔÖ ÚÓ Ö Ó Ð ÒÓÒ ÕÙ Ò R n Ø R p ³ Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ [l] Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö l Ò l( x = a x +...+a nx n ÓÒ J l ( x = [a... a n] Ü Ö ¾¾ ËÓ Ø Tr : A R n Tr(A R г ÔÔÐ Ø ÓÒ ÕÙ ØÓÙØ Ñ ØÖ A = [a ij ] Ó ØÖ Tr(A = i a ii ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ò ÕÙ A Ð Ö ÒØ ÐÐ dtr(a = Tr ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ñ ØÖ Ó ÒÒ Ø Ð Ñ ØÖ ÒØ Ø ÔÖ ÚÓ Ö Ó Ð ÒÓÒ ÕÙ Ò R n µ Ê ÔÓÒ ÔÔÖÓ ÖÚ ÒØ Ð³ Ü Ö ÔÖ ÒØ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ Tr Ø Ð Ò Ö ÓÒ dtr(a = Tr ÇÒ Ú Ö Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ Tr(B = Tr(A+Tr(B A ÓÒÒ ØÖ Ú Ð Ñ ÒØdTr(A = Tr ÓÒØ ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ A Ä ÒÓÒ ÕÙ R n Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ñ ØÖ E ij Ò Ô Ö ØÓÙ Ð Ø ÖÑ ÓÒØ ÒÙÐ Ù Ð Ø ÖÑ (i,j ÕÙ Ú ÙØ Ø Tr Ø ÓÒÒÙ ÕÙ³ÓÒ ÓÒÒ Ø Tr(E ij ÔÓÙÖ ØÓÙØ i,j =,...,n ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ø ÓÒÒÙ ÕÙ³ÓÒ ÓÒÒ Ø Ð³ Ñ ÙÒ Ú Ø ÙÖ µ Á Tr(E ij = δ ij ÇÒ Tr E ij (A = dtr(a(e ij = Tr(E ij = δ ij Ú ÙØ ½ i=j Ø ¼ ÒÓÒµ Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ó ÒÒ Ñ ØÖ Ö Òص Tr Ø Ð Ñ ØÖ [ Tr E ij (A] = [δ ij] = I г ÒØ Ø Ê Ñ ÖÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ ØÖ A = [a ij] i,j n = ij aijeij ÓÒ Tr(A = n i,j= aijtr(eij = n i,j= δijaij = I : A (= i aii ÔÙ ÕÙ I = [δ ij] i,j n Ó : Ø Ð ÓÙ Ð ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ô Ö A : B = n i,j= aijbij = Tr(ABt ³Ó Tr : R n R Ø Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö Ð Ñ ØÖ I Ò Ð (E ij ³Ó dtr(a = Tr = I Ü Ö ¾¾ ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ det : A R n deta R Ò ÙÖ Ð Ñ ØÖ n nµ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ det Ø Ö ÒØ Ð Ø ÕÙ d(deta.b = deta Tr(A B Ø ÓÑÑ Ð Ñ ØÖ Ó Ø ÙÖ Ø Ò Ô Ö cof(a T = (detaa ÓÒ ÓÒ Ð Ñ ÒØ d(deta.b = cof(a : B = Tr(cof(A T.B Ú Ð Ò Ø ÓÒ Ð ÓÙ Ð ÓÒØÖ Ø ÓÒ ¹ Ù µ Ê ÔÓÒ Ë H Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ò ÙÒ ÚÓ Ò Ð Ñ ØÖ ÒÙÐÐ ÓÒ det(i +hm = +htr(m+ ÑÓÒÓÑ Ö Ò h Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ ÇÖ ÓÒ det(a+hb = det(adet(i+ha B ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ det(a+hb = det(a(+htr(a B+o(h Ü ÑÔÐ ¾¾ Ò Ñ Ò ÓÒ Ò Ò ËÓ Ø Z(ϕ = f( xϕ( xdω Ó f Ø ϕ Ú Ð ÙÖ Ö ÐÐ ÓÒØ Ω ÓÒØ ÒÙ Ò Ω ÓÙÚ ÖØ R n ÇÒ ÐÓÖ Z Ö Ú Ð ÙÖC 0 (Ω;R Ö Ú dz(ϕ = Z Ò Ø Z Ø Ð Ò Ö Ø ÓÒ Z(ϕ+hψ = Z(ϕ+hZ(ψ = Z(ϕ+hdZ(ϕ.ψ+o(ψ Ó dz(ϕ.ψ = Z(ψ ¾ ¾ ½ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ù Ö ÒØ Ò Ø ÖÑ ÔÐÙ Ö Ò Ô ÒØ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾¾ ÈÓÙÖf ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ð Ö Ø ÓÒ ÓÒÒ Ô Ö Ð Ö ÒØ gradf( x Ù ÔÓ ÒØ x Ø ÐÐ ³ ÖÓ Ñ ÒØ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÓÒØ ÓÒ f Ô ÖØ Ö Ù ÔÓ ÒØ x Á ÒÓØ ÒØ gradf( x n = Ð Ú Ø ÙÖ Ö ÒØ ÒÓÖÑ Ð Ò x ÓÒ gradf( x v ØÕ v =, Ò Ø ÖÑ Ð Ñ Ø µ Ø ÙÜ ³ ÖÓ Ñ ÒØ ( x v n ( x, v ØÕ v =, f( x+h v f( x lim lim h 0+ h h 0+ f( x+h n f( x. h

22 ¾¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÈÖ ÙÚ Ú ¾ µ Ð Ú ÒØ f( x+h v f( x h = ( gradf( x, v R +o(. Ú Ð³ Ò Ð Ø Ù Ý Ë Û ÖÞ ÓÒ ( gradf( x, v R n gradf( x v Ø ÓÒ Ð Ø ÐÓÖ ÕÙ v = αgradf( x ÔÓÙÖ ÙÒ α R ÓÒ ÔÓÙÖ v Ú Ø ÙÖ ÙÒ Ø Ö Ð Ñ Ü Ù ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ( gradf( x, v gradf( x R n Ø ØØ ÒØ ÔÓÙÖ v = gradf( x = n z (grad f, x (grad f,0 y ÙÖ ¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ù Ö ÒØ ÙÖ Ð Ö Ô ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ¾ ¾ Ò Ø ÖÑ ÒÓÖÑ Ð Ù Ö Ô Ò Ø ÓÒ ¾¾ ÍÒ ÙÖ R 3 Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð R 3 Ð ÓÖÑ F(x,y,z = 0 Ó F Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ R 3 Ò R Ö Ð Ø ÓÒ ÑÔÐ Ø ÒØÖ x y Ø zµ Ü ÑÔÐ ¾¾ Ä Ô Ö ³ ÕÙ Ø ÓÒ x +y +z = Ü ÑÔÐ ¾ ¼ Ë F(x,y,z = z f(x,y ÐÓÖ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð ÙÖ z = f(x,y ÙÖ ÜÔÐ Ø Ò z ÈÓÙÖ f : R R ÓÒ Ú Ù Ð f г ÓÒ Ö Ô G(f = {(x,y,z R 3 : z = f(x,y}. Ø G(f Ø ÙÒ ÙÖ Ò R 3 ÔÓ ÒØ F(x,y,z = z f(x,y Ð Ö Ô G(f Ø Ð ÙÖ F(x,y,z = 0 Ü ÑÔÐ ¾ ½ ÇÒ Ô ÙØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ô Ö ÓÑÑ Ð³ÙÒ ÓÒ Ö Ô ÙÜ ÓÒØ ÓÒ z = f(x,y = ± (x +y ÔÓÙÖ Ð x,y Ø Ð ÕÙ x +y ÓÑÑ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÒØ Ð Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ a ÓÒ Ö Ô Ø Ò ÒØ ÙÒ ÔÐ Ò ÔÓÙÖ ÓÒÒ ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ð Ò a G(f Ð Ù Ø ÓÒÒ ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ð ÙÒ ÔÐ Ò ³ÙÒ ÔÐ Ò ÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ë³ Ð Ò³ Ø Ô Ú ÖØ Ð ÙÒ ÔÐ Ò P Ò R 3 Ø Ð Ö Ô G(f ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f Ù ØÝÔ z = f(x,y = ax+by+c, x,y R. ¾½ µ ÇÒ F(x,y,z = z (ax+by+c

23 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÍÒ ÔÓ ÒØ Ù ÔÐ Ò Ò z = ax + by + c Ú Ö x y. a b = 0 Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ù z c ÔÐ Ò Ú ØÓÖ Ð z = ax + by Ó Ú Ö z ax by = 0 x y. a b = 0 ÓÒ ØÓÙØ z ÔÓ ÒØ x = (x,y,z Ù ÔÐ Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ù Ú Ø ÙÖ ( a, b, Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÙÜ Ú Ø ÙÖ ÙÒ Ø Ö n( x = ± a b. a +b + ÓÑÑ f( x = f(x,y = ax+by c Ú a = x Ù ÔÐ Ò x ( x n( x // x ( x = ( x Ø b = y ( x ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x ( ( gradf( x. ¾½ µ Ú F(x,y,z = z ax by c Ð Ö Ô Ö ÔÖ ÒØ Ð ÙÖ ³ ÕÙ Ø ÓÒ F(x,y,z = 0 Ø ÙÒ ÐÙÐ ÑÑ Ø ÓÒÒ Ð Ñ ÒØ ( gradf( x n( x // = gradf( x, ¾¾¼µ n Ø Ô Ö ÐÐ Ð gradf ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÒØ Ð Ò a ÙÒ ÒÓÖÑ Ð n( a ÈÓÙÖ f(x,y ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ò (a,a ÓÒ ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ò (a,a ÔÓÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ g(x,y = f( a+ gradf( a T x a. = A y a 0 +A x+a y, ¾¾½µ Ó A = x ( a A = x ( a Ø A 0 = f( a gradf( a T. a ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö Ð Ö Ô z = A 0 +A x+a y. ¾¾¾µ ³Ó ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ò a ÓÒÒ Ô Ö n( a // A A = Ø ÓÒ ÔÓ x ( a x ( a. F(x,y,z = z (A 0 +A x+a y, ¾¾ µ Ð ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ø Ð ÙÖ ÔÐ Ò ³ ÕÙ Ø ÓÒ F(x,y,z = 0 Ø ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÔÐ Ò Ò a = (a,a Ø ÓÒÒ Ô Ö (( gradf( a n( a = = gradf( a,f( a. ¾¾ µ x Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ¾ ÍÒ ÔÓ ÒØ Ù ÔÐ Ò ÔÓÙÖ ÓÓÖ ÓÒÒ r(x,y = y R 3 ÔÓÙÖ z = ax+by +c ØÓÙØ x = (x,y R Ø ÙÜ Ú Ø ÙÖ Ø Ò ÒØ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ a R ÓÒØ ÓÒÒ Ô Ö r x ( a = r, y ( a =. ¾¾ µ 0 x ( a 0 x ( a ÇÒ Ú Ö Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÓ ÒØ r P ÐÓÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ ØÝÔ ÔÓÙÖ α,β R X = X = x+α r+α r r x +β y = Y = y+β Ø Ò P Ö ÓÒ Ú Ö Ò ÕÙ Z = ax+by+c Z = ax+by+c+αa+βb

24 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ø ÙÒ ÐÙÐ ÑÑ Ø Ö ÓÒÒ n // r x r y. ¾¾ µ ¾ Ê Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ¾ ½¹ Ë f Ø g ÓÒØ ÓÒ R n R ÓÒØ Ö Ú Ð Ò Ð Ö Ø ÓÒ e i Ò a ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø fg Ø Ö Ú Ð Ò Ð Ö Ø ÓÒ e i Ò a Ø i =,...,n, (fg x i ( a = x i ( ag( a+f( a g x i ( a R. ¾¾ µ n ÕÙ Ø ÓÒ ³ Ö Ú ÒØ ÒÓÖ Ñ Ò Ö ÓÒ Ò Ý Ø Ñ n ÕÙ Ø ÓÒ µ grad(fg = ( gradfg+f( gradg F(R n ;R n. ¾¾ µ ¾¹ Ø f : R n R Ø Ö Ú Ð Ò a R n Ø g : R R Ø Ö Ú Ð Ò f( a R ÐÓÖ g f : R n R Ø Ö Ú Ð Ò a R n Ø i =,...,n, (g f ( a = g (f( a ( a R, x i x i ¾¾ µ Ó Ø Ñ Ò Ö ÓÒ Ò Ý Ø Ñ n ÕÙ Ø ÓÒ µ grad(g f = (g f gradf F(R n ;R n. ¾ ¼µ ØØ ÒØ ÓÒ (g f( a Ø ÙÒ Ö Ð Ú Ð ÒØ g (f( a R Ø ÓÒ (g f( a gradf( a Ø Ð Ú Ø ÙÖ Ö ÙÐØ Ø Ù ÔÖÓ Ù Ø Ù Ö Ð (g f( a R Ô Ö Ð Ú Ø ÙÖ gradf( a R n ÈÖ ÙÚ ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö Ð Ö Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ø Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ÓÒ Ô¹ ÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ½ ¾ Ò Ö Ñ Ò ÒØ Ù ÓÒØ ÓÒ ³ÙÒ ÙÐ Ú Ö Ð ÓÒ ÔÓ f i (x = f(x,...,x i,x,x i,...,x n ÓÒØ ÓÒ Ð ÙÐ Ú Ö Ð x Ð x j ÔÓÙÖ j =,...,i Ø j = i+,...,n Ø ÒØ Ü Å Ñ ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ g i (x Ø (fg x i = (f i g i ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø ÈÙ ÔÓÙÖ Ð ÓÑÔÓ Ú g : R R ÓÒ (g f x i = (g f i ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø ¾ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò Ò Ð Å Ò Î ÐÙ Ì ÓÖ Ñµ Ì ÓÖ Ñ ¾ ËÓ Ø f : Ω R n R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ö ÒØ Ð Ò Ω ÓÙÚ ÖØ R n ËÓ ÒØ x, y R n Ø Ð ÕÙ Ð Ñ ÒØ [ x, y] = { z = t( y x+ x : t [0,]} Ó Ø Ò Ω ÐÓÖ Ð Ü Ø c [ x, y] Ø Ð ÕÙ f( y f( x = gradf( c.( y x. ¾ ½µ ÈÖ ÙÚ ËÓ Ø g(t = f(t( y x+ x ÇÒ g : [0,] R Ú g Ö ÒØ Ð ³Ó Ð Ü Ø t 0 ]0,[ Ø Ð ÕÙ g( g(0 = g (t 0 ( 0 = g (t 0 Ú g (t = gradf(t( y x+ x. y x Ø g( = f( y Ø g(0 = f( x ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø Ú c = t 0 ( y x+ x ¾ Ö Ú ³ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ò Ø ÓÖ Ñ Ë Û ÖÞ ËÓ Ø f : Ω R n R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÇÒ Ò ÕÙ Ò Ð Ú Ø ÙÒ Ò µ Ð ÓÒØ ÓÒ f,i = x i : Ω R ÓÑÑ Ø ÒØ Ð Ö Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ò Ð Ö Ø ÓÒ e i ÈÓÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f,i ÓÒ Ô ÙØ Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ö Ð Ö Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ a,i f,i ( a+h v f,i ( a ( a = lim v h 0 h ÕÙ ÙÒ Ò ÕÙ Ð Ð Ñ Ø Ü Ø

25 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÙÖ Ð v = e j ÓÒ Ô ÙØ Ò Ö Ò n Ú Ð ÙÖ,i e j ( a ÔÓÙÖ i,j n ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ Ð n Ð Ñ Ø Ü Ø Òص ÇÒ ÒÓØ,i ( a =,i ( a = x i ( a = f ( a. e j x j x j x j x i ÆÓØ Ø ÓÒ ÇÒ ÒÓØ C (Ω;R г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ C (Ω;R = {f C (Ω;R : i,j n, f x j x i C 0 (Ω;R}. Ì ÓÖ Ñ ¾ Ì ÓÖ Ñ Ë Û ÖÞµ Ø Ò Ø ÓÒ Ë f Ð x i ÔÓÙÖ i n Ø Ð f x ix j ÔÓÙÖ i,j n Ü Ø ÒØ Ø ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò a Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ò f Ø C Ò ÙÒ ÚÓ Ò aµ ÐÓÖ f ( a = f ( a, i,j n. x i x j x j x i ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ñ ØÖ ÒÒ Ò a Ò Ô Ö H( a = [H ij ( a] i,j n = [ f ( a] i,j n = x i x j f x x ( a... f x n x ( a... Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ Ò a Ð Ò Ø Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð Ñ ØÖ ÒÒ µ f x x n ( a f x n x n ( a ÈÖ ÙÚ ÁÐ Ù Ø Ö Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ò R Ø ÔÖ Ò Ö x i =x Ø x j =x Ð ÙØÖ ÓÓÖ¹ ÓÒÒ Ö Ø ÒØ Ü Ø ÓÙ ÒØ Ð ÖÐ Ô Ö Ñ ØÖ µ ÆÓØÓÒ ÓÒ f : (x,y R f(x,y R f ÇÒ ÓÙ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ x y (x,y = f (x,y ÙÜ ÔÓ ÒØ (x,y Ó y x ÓÒØ ÒÙ ÍÒ ÐÙÐ Ö Ø ÓÒÒ f (x,y x y x (x,y = ( (x+h,y h y y (x,y +o( = ( f(x+h,y+k f(x+h,y +o( h k k = y f x y Ø f y x ÓÒØ ( f(x,y+k f(x,y +o( +o( Å ÓÒ Ø Ó Ò Ò Ú ÐÓÔÔ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ø ÖÑ Ò o( ÕÙ Ò³ Ø Ô ÓÒØÖÐ ÕÙ Ò h 0 ÁÐ h ÙØ ÓÒ ÑÓ Ö ØØ ÔÔÖÓ Ñ Ò Ö Ò Ô ÚÓ Ö Ø ÖÑ Ò o( Ö Ð Ø k ij Ø Ô ÖØ Ö Ð³ ÒÚ Ö (x,y Ü ÓÒ Ö Ö Ú Ö ÕÙÓ Ø Ò Ð³ ÖÓ Ñ ÒØ Q(h,k = ( f(x+h,y+k f(x+h,y f(x,y+k f(x,y h k k ÓÒ Ò Ð Ø ÖÑ Ò o(µ ÕÙ Ò h,k 0 ÓÒ Ú ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Q : (h,k Q(h,k Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 Ø ÕÙ Q(0,0 = f x y (x,y = f y x (x,y ÇÒ ÔÓ g y,k (u = f(u,y+k f(u,y ³Ó Q(h,k = hk (g y,k(x+h g y,k (x = k Ø Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ÓÒÒ g y,k (x+h g y,k (x, h θ ]0,[, Q(h,k = k g y,k (x+θh = k ( (x+θh,y+k x x (x+θh,y. ÇÒ ÔÔÐ ÕÙ ÒÓÖ ÙÒ Ó Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ä Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ f y x Q(0,0 = f y x (x,y θ ]0,[, η ]0,[, Q(h,k = f y x (x+θh,y+ηk Ø ÒØ ÙÔÔÓ ÓÒØ ÒÙ Ò x ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ Q Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 Ø

26 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÈÙ ÓÒ Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ Q(h,k = k ( h f(x+h,y+k f(x,y+k f(x+h,y f(x,y, h ÜÔÖ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ð ÔÖ ÒØ ³Ó ÙÒ ÐÙÐ Ñ Ð Ö Ù ÔÖ ÒØ ÓÒÒ Q(0,0 = (x,y ³Ó Ð Ø ÓÖ Ñ f x y Ü ÑÔÐ ¾ ËÓ Øf(x,y = cos(xy Î Ö Þ ÕÙ f x y ( a= a a cos(a a sin(a a = f y x ( a Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ a = (a,a R Ü ÑÔÐ ¾ ËÓ Ø f(x,y = xy x y x (x,y Ø y Ø x f(0,0 = 0 Î Ö Ö ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÐÙÐ Ö +y (x,y Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ ÓÒع ÐÐ ÓÒØ ÒÙ Ò (0,0 ÈÙ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ f x y (x,0= Ø f y x (0,y= Ò Ù Ö ÕÙ f Ò³ Ø Ô Ò C (R ;R Ê ÔÓÒ Ä ÓÒØ ÒÙ Ø f Ò ÔÓ Ô ÔÖÓ Ð Ñ È Ö Ü ÑÔÐ x y x + y ³Ó 0 f(x,y xy ÕÙ Ø Ò Ò Ú Ö 0 Ú (x,y Ê Ö ÓÒ Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ò 0 ÓÒØ ÙÒ Ò ÇÒ f(h,0 f(0,0 h = 0, f(0,h f(0,0 h ³Ó ( 0 = 0 Ø ( 0 = 0 ÓÒØ Ò Ò Ð Ð Ñ Ø ÕÙ Ò h 0 Ü Ø ÒØ Ø Ú Ð ÒØ 0µ x y ÈÙ ÔÓÙÖ (x,y 0 Ý ÒØ f(x,y = x3 y xy 3 x +y Ø ÓÒ ³Ó Ð ÓÒØ ÒÙ Ø x Ò R Á Ñ ÔÓÙÖ y = 0, x (x,y = (3x y y 3 (x +y x 4 y +x y 3, (x +y ÈÙ ÓÒ x (0,y = y ÔÓÙÖ y 0 ³Ó lim k 0 ÔÖÓÐÓÒ Ø Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ò 0 ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ø ÔÓÙÖ x 0 Ø f (0,0 = ³Ó x y (rcosθ,rsinθ = O(r x 0. r 0 f y x x (0,k x (0,0 k = = f y x (0,0 = Ñ Ñ y (0,y ÔÓÙÖ y 0 Ø ÓÒ (x,0 = x ÔÙ f (0,0 f (0,0 x y y x Ø f Ò³ Ø Ô C Ò (0,0 f x y (x,0= Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ØØ ÒØ ÓÒ Ð Ò³ Ø Ô Ù ÒØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ h Ü Q h : k Q(h,k Ø k Ü Q k : h Q(h,k ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÔÓÙÖ ÚÓ Ö Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Q Ò 0 ÎÓ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÙÒ Ñ ÙÚ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÖ Ñ Ä Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ÒÓÙ Ò ÕÙ ÕÙ k Ü Ð Ü Ø β k ]0,[ Ø α k ]0,[ Ø Ð ÕÙ f(x+h,y+k f(x+h,y = k y (x+h,y+β kk, Ø ÇÒ Ò Ù Ø Å y k ( f(x,y+k f(x,y = y (x,y+α kk. Q(h,k = h ( y (x+h,y+β kk y (x,y+α kk. Ø ÙÔÔÓ ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ ÚÓ Ò (x,y ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ ÕÙ ØØ ÔÖ Ò Ö h Þ Ô Ø Øµ h 0 Ü Ð ÓÒØ ÓÒ k Q(h,k Ø ÓÒØ ÒÙ Ù ÚÓ Ò k = 0 Ý ÒØ β k k 0 Ø α k k 0 ÕÙ Ò k 0 ÓÒ Ó Ø ÒØ Q(h,k Q(h,0 = ( (x+h,y k 0 h y y (x,y Ø Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ò x Ð Ú ÒØ Q(h,0 = y (x,y+o( Ù ÚÓ Ò h = 0 Ú x h 0µ

27 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ³Ó Ð ÓÒØ ÓÒ h Q(h,0 Ø ÔÖÓÐÓÒ Ð ÓÒØ ÒÙ Ù ÚÓ Ò h = 0 Ô Ö Q(0,0 = y x (x,y. Å Ñ Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ð Ò Ú ÙØ Ô Ö ÕÙ Q Ø ÓÒØ ÒÙ Ù ÚÓ Ò (0,0 Ñ ÙÐ Ñ ÒØ ÕÙ Ò Ð Ö Ø ÓÒ v = (,0 Ð ÓÒØ ÓÒ g(t = Q(t v Ø ÔÖÓÐÓÒ Ð Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø ³ ÐÐ ÙÖ Ð ÙØ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÓÒ ÔÖÓÐÓÒ k Q(0,k ÔÓÙÖ k = 0 ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð Ñ Ñ Ð Ñ Ø Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ÇÒ Ô ÙØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ù Ø ÙÔÔÓ Ö ÕÙ f y x Ó Ø ÓÒØ ÒÙ Ò (x,y ÔÓÙÖ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ Ë Û ÖÞ Ó Ø ÚÖ ÓÒ Ò ÚÓ Ö ÙÔÔÓ Ö ÕÙ f x y Ø ÓÒØ ÒÙ µ Ò Ø Ð³ ÝÔÓØ y ÓÒØ ÒÙ Ô ÖÑ Ø ³ ÚÓ Ö ( Q(h,k (x+h,y k 0 h y y (x,y Ø Ð³ ÝÔÓØ ³ Ü Ø Ò f y x Ô ÖÑ Ø ³ ÚÓ Ö θ ]0,[, η ]0,[, Q(h,k = f y x (x+θh,y+ηk Ø f y x Ø ÒØ ÓÒØ ÒÙ ε Ü ÕÙ h Ø k ÓÒØ Þ Ô Ø Ø ÓÒ ³Ó Ú ¾ ¾µ f y x (x,y ε < f y x (x+θh,y+ηk = Q(h,k < f y x (x,y+ε ¾ ¾µ f y x (x,y ε ( (x+h,y h y y (x,y f y x (x,y+ε. Ø ÕÙ Ò h 0 ÓÒ h y (x+h,y y (x,y f x y (x,y ³Ó г Ð Ø Ö Ú Ô Ö¹ Ø ÐÐ ¾ ¾ ½ Ä Ú Ö Ð Ñ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ i ÇÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö Ú ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ ÈÖ Ñ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÙ Ö ËÓ Ø f : (x,y f(x,y R Ø g(x,y g(x,y R ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ò C (R ;R Ø ÐÐ ÕÙ f(x,y = g( x+y, x y. ¾ µ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ ÓÖØ ÓÒÓÖÑ ( e, e ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ( e + e + ( e e µ ÉÙ Ø ÓÒ ÐÙÐ Ö g g x Ò ÓÒØ ÓÒ x Ø y Ê ÔÓÒ ½ ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ g g x Ö Ô y µ Ò Ð Ö Ú Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö Ð g Ö Ô Ð ÓÒ Ú Ö Ð gµ Ò g (x,y = x x (x+y, x y x+y x g (x,y+ y (x+y, x y = g x (x+y, x y + g y (x+y, x y. x y x (x,y ¾ µ Ê Ñ ÖÕÙ Ù ÚÙ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ð ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ g x Ø Ø Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö Ð g Å Ù Ú ÒØ Ð ÓÒØ ÜØ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ØØ ÙÔÔÓ Ø ÓÒ Ò³ Ø Ô Ò Ö Ñ ÒØ Ô ÖØ Ò ÒØ

28 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ê ÔÓÒ ¾ ËÓÙÚ ÒØ ÙØ Ð Ò Ô Ý ÕÙ µ ÇÒ ÔÓ X(x,y = x+y Ø Y(x,y = x y ÓÒ f(x,y = g(x(x,y,y(x,y Ø Ò Ö Ô Ø ÒØ Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð ¾ ¾ g (x,y = x X (X(x,y,Y(x,y X x Ê ÔÓÒ È Ö Ö Ô Ù Ú ÒØ (x,y+ g y (X(x,y,Y(x,y Y x (x,y = g X (x+y, x y + g Y (x+y, x y. Ë ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÙ Ö Ü Ö ¾ ¼ ËÓ Ø f : (x,y f(x,y R Ø h(x,y h(x,y R ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ò C (R ;R Ø ÐÐ ÕÙ h(x,y = f(y,x ¾ µ ÜÔÖ Ñ Ö h x y г f x y Ø Ú Ö Ö Ð Ö ÙÐØ Ø ÕÙ Ò f(x,y = x 3 y, Ø ÓÒ h(x,y = y 3 x = x y 3. ¾ µ Ê ÔÓÒ ½ ÐÙÐ Ò Ö ÕÙ h (x,y = (y,x ÓÒ h (x,y = f x x y x y x (y,x Î Ö Ø ÓÒ h(x,y = x y 3 ÓÒÒ h (x,y = x xy3 ³Ó h (x,y = y x 6xy ÈÙ f(y,x = y 3 x = x y 3 ÓÒÒ (y,x = x y3 x ³Ó f (y,x = y x 6y x ÁÐ ÙØ ÓÒ Ö ØØ ÒØ ÓÒ Ù ÒÓÑ Ú Ö Ð Ø Ø Ü ÑÔÐ Ø ÑÔÐ Ê ÔÓÒ ¾ ËÓÙÚ ÒØ ÙØ Ð Ò Ô Ý ÕÙ µ ËÓ Ø X(x,y = y Ø Y(x,y = x Ð ÓÒØ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð ÇÒ f(x,y = h(x(x,y,y(x,y Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ø ÓÒ x ³ Ö Ø h (x,y = x ³Ó Ò Ö Ú ÒØ Ò Ð Ö Ø ÓÒ y X (X(x,y,Y(x,y X x = 0+ h h (X(x,y,Y(x,y = Y Y (y,x, (x,y+ h Y (X(x,y,Y(x,y Y x (x,y f y x (x,y = h X Y (X(x,y,Y(x,y X y (x,y+ h Y Y (X(x,y,Y(x,y Y y (x,y Ê ÔÓÒ ÎÓ Ö Ô Ö Ö Ô Ù Ú ÒØ = h X Y (X(x,y,Y(x,y+0 = h X Y (y,x. ¾ Ä Ú Ö Ð Ñ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ i ÈÓÙÖ Ð Ú Ö Ð Ñ Ù Ø ÓÒ Ò Ô ÙØ Ð Ö Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ Ò³ÙØ Ð Ô x Ñ Ð Ö Ú Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö Ð Ò Ó Ø f : R n R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÒØ Ð Ò x Ä Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ¾ µ ³ Ö Ø ϕ( x = ϕ( x 0 + f( x(x x f( x(x n x 0n +o( x x 0, ¾ µ Ñ Ñ ÕÙ ϕ( y = ϕ( y 0 + f( y(x x f( y(x n x 0n +o( y y 0. ¾ µ Ä ÒÓØ Ø ÓÒ Ò³ Ø Ô ØØ Ù ÒÓÑ Ð Ú Ö Ð x ÓÙ y ÓÒØÖ Ö Ñ ÒØ = ÒÓØ Ô Ö Ü ÑÔÐ µ Ê ÔÓÒ Ù Ô Ö Ö Ô ¾ ½ ÇÒ Ö ÓÖÑÙÐ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑÑ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ¾ µ ÐÙÐ Ö f Ò ÓÒØ ÓÒ g Ø g È Ö Ö Ú Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ ÓÒ f(x,y = g(x(x,y,y(x,y X(x,y+ g(x(x,y,y(x,y Y(x,y = g( x+y, x y + g( x+y, x y. x

29 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ü Ö ¾ ½ ËÙ Ø Ù Ô Ö Ö Ô ¾ ½ Ü Ö ¾ ¼µ Ê ÔÓÒ Ë Ò ÙØ Ð Ö Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ø ÓÒ ³ Ö Ø Ú X(x,y = y Ø Y(x,y = x f(x,y = h(x(x,y,y(x,y X(x,y+ h(x(x,y,y(x,y Y(x,y ³Ó Ò Ö Ú ÒØ Ò Ð Ö Ø ÓÒ = 0+ h(x(x,y,y(x,y = h(y,x. f(x,y = h(x(x,y,y(x,y X(x,y+ h(x(x,y,y(x,y Y(x,y = h(x(x,y,y(x,y = h(y,x. ¾ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ò R n ÇÒ ³ ÒØ Ö ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f : R n R ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ Ð Ö µ Ä Ñ Ö Ø Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ò R ÇÒ ÓÙ Ø Ô Ö Ü ÑÔÐ ÕÙ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ p(x,y = a+bx+cy +dx +exy +fy +... Ó Ø ÓÒÒ Ô Ö ÓÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ x = (x,y ij ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒØ ÓÒÒ ÑÑ Ø Ñ ÒØ p( x = p( 0+ p x ( 0x+ p y ( 0y + ( p! x ( 0x + p x y ( 0xy + p y ( 0y + ( 3 p 3! x 3( 0x p x y ( 0x y + 3 p x y ( 0xy + 3 p y 3( 0y = p( 0+ i + 3! 3 k=0 p x i ( 0x i +! C k 3x k x 3 k k=0 3 p x k x3 k C k xk x k ( p x k x k ÇÒ Ð ÑÓÒØÖ Ö Ø Ñ ÒØ p( 0 = a ÔÙ p x ( 0 = b ÔÙ p x ( 0 = d Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ¾ ÆÓØ Ø ÓÒ Ö ( 0 p( x = p( 0+! dp( 0. x+! d p( 0( x, x+ 3! d3 p( 0( x, x, x+... ¾ µ ÇÒ Ð Ñ Ø Ö Ò ÓÙÖ Ù Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ù ÓÒ ÓÖ Ö ÕÙ ³ Ö Ø ÐÓÖ Ú H p Ð Ñ ØÖ À ÒÒ p p( x = p( 0+ gradp( 0 t. x+ xt.h p ( 0. x+o( x Ø ÓÒ ÓÙ Ø ÕÙ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ó Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ô Ö ÙÒ Ø Ð ÔÓÐÝÒÑ ÇÒ Ì ÓÖ Ñ ¾ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖµ Ë f : R n R Ø Ö Ú Ð k+¹ Ó Ù ÚÓ Ò 0 ÐÓÖ Ú H f Ð Ñ ØÖ ÒÒ fµ Ó f( x = f( 0+ gradf( 0 t. x+ xt.h f ( 0. x R k ( x, 0 = k! Ó ÓÒ ÔÓ g(t = f(t x i,...,in N i +...+in=k 0 x i...xin n i!...i n! k f ( 0 +R k ( x, 0 x i i... x in i n g k+ (t( t k dt = O( x k+ = o( x k, ¾ ¼µ ¾ ½µ