Correction ESSEC 2007 Voie économique

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1 ESSEC III 7 Eercice Pge Correctio ESSEC 7 Voie écoomique L correctio comporte 5 pges. Eercice suites et clcul mtriciel. _ () E e ectut le produit mtriciel (licite cr M 3 (R) et X M 3; (R)) ous oteos N; X X + () Démotros pr récurrece que P "X X " est vrie pour tout etier L iitilistio est ie véri ée cr I et doc X IX Supposos que pour é ds N; l propositio soit véri ée. Motros que P soit vrie. Or ous vos X + X X + X isi ous pouvos dire que P ) P + (l propositio est trsmissile) et selo le premier pricipe de récurrece l propositio est héréditire, à svoir que. _ N; X X () est ue vleur propre de si et seulemet si I est o iversile soit si et seulemet si ue réduite de Guss de I est o iversile. Cherchos lors ue réduite de Guss de I à l ide d opértios élémetires sur les liges. 3 L $ 3 L L (3 ) L $ L L 3 L ( ) 3 I est o iversile si et seulemet si l réduite de Guss oteue est o iversile, soit si et seulemet si l u (u mois) de ses coe ciets digou est ul, c est-à-dire si et seulemet si fg Coclusio sp () fg Cocours 7 5 mi 7

2 ESSEC III 7 Eercice Pge () Il est ps utile de détermier le sous-espce propre de pour coclure que celle-ci est ps digolisle. E e et il su t de dire que du fit que est ps sclire (c est-à-dire que est ps proportioelle à I), est ps digolisle. Cepedt répodos à l questio. E () < y z 9 M 3; (R) j et y z ; Comme dim E () lors que M 3 (R) ous pouvos coclure que est ps digolisle 3. _ () _ Tout d ord ous predros de mière évidete e (; ; ) e repret l questio précédete, cr pr dé itio de T; e est u vecteur propre de vleur propre ssociée (de surcroit ous véri os l cotrite de l éocé impost que l troisième composte soit égle à ). Cherchos mitet e (; y; ) tel que f (e ) e + e ce qui se trduit mtriciellemet pr ou ecore 3 y + y y + ce qui ous rmèe à l résolutio du système suivt < y y Nous pourros predre e (; ; ) Cherchos e e 3 (; y; ) tel que f (e 3) e + e 3 ce qui se trduit mtriciellemet y 4 ou ecore 3 y + + y y + y y 4 Cocours 7 5 mi 7

3 ESSEC III 7 Eercice Pge 3 ce qui ous rmèe à l résolutio du système suivt < y y Nous pourros predre e 3 (; ; ) () D près l décompositio doée, T s écrit T I + J où ous posos Comme J est ue mtrice trigulire stricte, ous pouvos dire que J est ilpotete d ordre u plus égl à 3. Comme u clcul rpide ous doe et J 3 () ue petite récurrece, qu o lisse fire u lecteur motre que N 3 ; J Comme les mtrices I et J commutet, ous pouvos ppliquer l formule du iôme de Newto pour oteir T ; ce qui doe N; T (I + J) X (I) k J k k k X (I) k J k selo () k k (I) J + (I) J + I + ( ) J + + ( ) 3 (I) J + ( Coclusio N; ( ) 3 Ue petie véri ctio s impose et o voit que tour à tour pour et pour ous retrouvos ie respectivemet I et T 4. _ () D près l cours, c est l formule du chgemet de se ppliquée à l mtrice d u edomorphisme P T P et pr ue récurrece ultr-clssique démotros que R " P T P tout etier " est vrie pour Cocours 7 5 mi 7

4 ESSEC III 7 Prolème Prtie I Pge 4 L iitilistio est ie véri ée cr I et P T P P IP I Supposos que pour é ds N; l propositio soit véri ée. Motros que R + soit vrie. Or ous vos + P T P P T P P T T P P T + P isi ous pouvos dire que R ) R + (l propositio est trsmissile) et selo le premier pricipe de récurrece l propositio est héréditire, à svoir que vec N; P T P () près quelques clculs à préseter sur l copie comme demdé (c) Selo l questio. ( + B ( + 3) + 3 ( ) et u v w ( 5) ( + ) 3 ( + 3) ( 3 ( + 3) ( + ) 3 ( 3 ( ) ( ) ( 5) 5 + C Coclusio N; >< > u + v 3 ( + 3) w 3 ( ) Prolème proilités I Prélimiires. _ Cocours 7 5 mi 7

5 ESSEC III 7 Prolème Prtie I Pge 5 () Rppelos pour commecer que si X est ue vrile suivt l loi epoetielle de prmètre ; ous pouvos predre comme desité ssociée, l foctio f X dé ie pr f X () e si si < (). _ Il est de otoriété pulique que F X s foctio de réprtitio est dé ie pr e si F X () si < lors l foctio d tiréprtitio demdée, qui à tout réel ssocie le omre réel P ([X > ]) pprtet à [; ] est dé ie pr P ([X > ]) F X () e si si < () Siglos que pour tout réel strictemet positif; l proilité P ([X > ]) est o ulle, doc l proilité coditioelle demdée ie u ses. Elle vut (; y) R + ; P[X>] ([X > + y]) P ([X > + y] \ [X > ]) pr dé itio P ([X > ]) P ([X > + y]) cr [X > + y] [X > ] P ([X > ]) e (+y) e e e y e y e P ([X > y]) pr propriété de ep Cette propriété eprime qu u phéomèe "e vieillit ps" si duré plus que uité de temps, lors il durer ecore y uités de temps supplémetires vec l même proilité qu u phéomèe logue à qui viedrit d pprître. L propriété est doc ue propriété d sece de mémoire (le phéomèe e se souviet ps "d voir vieilli"). () L vrile S dmet ue espérce et ue vrice e tt que somme de vriles létoires dmettt chcue ue espérce et ue vrice. isi pr liérité de l espérce N ; E (S ) X E (X k ) k E (X ) cr toutes les vriles X k suivet l même loi D utre prt pr idépedce des vriles létoires X k Coclusio N ; V (S ) X V (X k ) k V (X ) cr toutes les vriles suivet l même loi N ; E (S ) et V (S ) Cocours 7 5 mi 7

6 ESSEC III 7 Prolème Prtie II Pge 6 7 () Prtiquos le produit de covolutio ie fmiliers à vos cmrdes d ECS, pour démotrer pr récurrece que P < si t < S dmet pour desité l foctio f t! ( )! e t t si t est vrie pour tout etier o ul II Loi de Preto. _ L iitilistio est ie véri ée pour selo () cr < si t < f (t) ( )! e t t si t si t < e t si t f X (t) Supposos que pour é ds N ; l propositio soit véri ée. Motros que P + est vrie. Or ous vos S + S + X + vec selo le théorème de covolutio doé pr l éocé, utilisle cr les vriles S et X + sot idépedtes f S+ (t) Z + f S () f X+ (t ) d L vrile S + est à vleurs ds R + isi f S+ est ulle sur R D utre prt le produit f S () f X+ (t ) est o ul si et seulemet si et t ce qui équivut à dire que t; doc t ; f S+ (t) Z t Z t f S () f X+ (t ) d ( )! e e (t ) d + ( )! + e t ( )! + e t ( )! + e t ( )! Z t Z t t t + e t t! e t d isi ous pouvos dire que P ) P + (l propositio est trsmissile) et selo le premier pricipe de récurrece l propositio est héréditire, à svoir que d < N ; S dmet pour desité l foctio f t 7! si t < ( )! e t t si t Cocours 7 5 mi 7

7 ESSEC III 7 Prolème Prtie II Pge 7 L itégrle Z + f coverge si et seulemet si Z f qui coïcide vec l foctio ulle sur l itervlle ] prt pr cotiuité de t 7! t + f et Z + sur [; +[ l itégrle f coverget. Or pr dé itio de ; [ ; l itégrle Z + Z Z + t f coverge. D utre f e présete qu ue seule impropreté, e + Mis ous pouvos dire que l itégrle dt coverge e tt + qu itégrle proportioelle à ue itégrle de Riem (de prmètre + ) si et seulemet si + > soit si et seulemet si > ; ce qui est l hypothèse de l éocé. isi coverge. Coclusio Clculos s vleur Z + f Z f + + lim!+ lim!+ lim!+ Z + Z + Z t t f coverge f pr Chsles + dt pr covergece de l itégrle + cr Z + lim puisque >!+ dt t+ Coclusio Z + f Z + t X dmet ue espérce si et seulemet si dt est covergete, pr dé itio de f qui coîcide vec l foctio ulle sur ] ; [ Cette itégrle est covergete e tt qu itégrle proportioelle à ue itégrle de Riem si et seulemet si so prmètre est strictemet supérieur à. Morlité X dmet ue espérce si et seulemet si > ; vec Coclusio E (X) Z + t dt Z lim!+ lim!+ lim!+ dt pr dé itio de l covergece t t cr lim + puisque >!+ X dmet ue espérce égle à Cocours 7 5 mi 7

8 ESSEC III 7 Prolème Prtie II Pge X dmet ue vrice si et seulemet si X dmet u ordre deu. Et X dmet u momet Z + t d ordre deu si et seulemet si dt est covergete, pr dé itio de f qui coîcide vec l foctio ulle sur ] ; [ Cette itégrle est covergete e tt qu itégrle proportioelle à ue itégrle de Riem si et seulemet si so prmètre est strictemet supérieur à. Morlité X dmet u momet d ordre deu, doc ue vrice lorsque > ; vec E X Z + t dt Z t lim!+ lim!+ lim!+ + dt t cr lim!+ + puisque > Coclusio selo le théorème de Huyges-Koeig X dmet ue vrice égle à V (X) E X (E (X)). Soit F X l foctio de réprtitio de X dé ie pr Nous vos Coclusio F X () < < R; ( ) ( ) F X () P ([X ]) si < Z + Z t + dt si pr Chsles si < t si < si < + si < si < si < si < F X () si et doc l foctio d tiréprtitio, ou foctio de survie est dé ie pr < si < P ([X > ]) si Cocours 7 5 mi 7

9 ESSEC III 7 Prolème Prtie III Pge 9 3. Nous costtos pour commecer que, d près le résultt précédet, pour tout réel strictemet positif; l proilité P ([X > ]) est o ulle, doc l proilité coditioelle demdée ie u ses. Elle vut (; y) R + ; P[X>] ([X > + y]) P ([X > + y] \ [X > ]) pr dé itio P ([X > ]) P ([X > + y]) cr [X > + y] [X > ] P ([X > ]) et pour su smet grd (doc supérieur à ), et tel que + y soit ussi supérieur à ; ous vos + y P [X>] ([X > + y]) + y puis pr pssge à l limite qud ted vers l i i, cel doe lim P [X>] ([X > + y])!+ cr + y!+ et l pplictio t 7! t est cotiue e. De cel ous pouvos e déduire plus le temps de survie d u phéomèe (modélisé pr l loi de Preto) est grd, plus l proilité est grde que le phéomèe it ps l mémoire de so vieillissemet 4. Pour oteir l loi de l vrile Y l F Y dé ie pr R; X il ous fut chercher d ord s foctio de réprtitio F Y () P ([Y ]) elle ous co rmer, pr ses propriétés, si Y reste ue vrile à desité, cr elle oteue à prtir d u chgemet de vrile, et l o sit très ie qu e ectuer u chgemet de vrile sur ue vrile à desité e présge de rie qud à l ture de l ouvelle vrile oteue. Nous vos Y () R + du fit que X () [; +[ lors < si < F Y () P l X si < si < X P e si si < P ([X e ]) si si < F X (e ) si < si < e si si < e si ce iveu-là toutes les iformtios tomet e même temps Y reste ue vrile à desité et suit l loi epoetielle de prmètre Cocours 7 5 mi 7

10 ESSEC III 7 Prolème Prtie III Pge III Estimtio des prmètres d ue loi de Preto. _ () Nous vos ( ; ; ; ) ([; +[) ; L () Y k + k! + Y k k () _ vt de commecer ous devos sigler que ous pouvos clculer l L () cr L est à vleurs strictemet positives. De plus les réels et sot strictemet positifs isi que tous les réels k pour k [j; j] (il étit écessire de préciser cel pour utiliser l propriété dist que l l ( ) pour tout réel et pour tout réel strictemet positif. Cel ous doe Y > ; l L () l! Coclusio X l k + k k + k X (l + l k l + l ( + ) pr propriété de l ( + ) l k ) pr propriété de l X l k k > ; l L () l + l ( + ) X l k i. et ii. L foctio ' est cotiue et dérivle sur R + e tt que somme de telles foctios vec lors ' () () > ; ' () + l X l k X l k () X l () k k k k k k X k l pr propriété de l X e suppost tout de même que ( ; ; ) 6 (; ; ) k l k Cocours 7 5 mi 7

11 ESSEC III 7 Prolème Prtie III Pge (c) _ 3 isi ' est croisste sur 7 5 ; X 7 et décroisste sur 6 k 5 4 l k ' présete doc u uique mimum tteit e w 3 X k l k iii. E comme L ep (l L) vec ep croissste L présete ussi u uique mimum e w X ; + 6 k 4 l i. Nous vos vu ds l questio ds l questioii.4 que lorsque X suivit ue loi de X préto de prmètres et ; l vrile Y l suivit ue loi epoetielle de prmètre E s dptt u ouveu prmètres de l questio, ous pouvos dire que si pour tout k [j; j] ; X k suit ue loi de Preto de prmètres et lors, pour tout k [j; j] ; Y k suit ue loi epoetielle de prmètre Selo l questio I.. X l k Xk k est ue vrile à desité dmettt pour desité f dé ie à cette questio, mis e post ii. Pour Z; selo le théorème de trsfert, W dmet ue espérce si et seulemet si l itégrle R f () d est solumet covergete soit si et seulemet si ZR+ ( )! e d est covergete, pr dé itio de f ulle sur R Cette itégrle e présete qu ue seule impropreté, e +; pr cotiuité de l itégrde sur R + Or isi lim!+ e lim e!+ e selo les croissces comprées o + lors selo Z le théorème de égligeilité ppliqué u foctios positives, du fit que + d l itégrle coverge e tt qu itégrle de Riem de prmètre > ; l itégrle Z + Z ( )! e d coverge ussi. E ( )! e d e pose ucu prolème de covergece, du fit de l cotiuité de l itégrde sur [; ] Morlité Cocours 7 5 mi 7

12 ESSEC III 7 Prolème Prtie III Pge Z + ( )! e d coverge et W dmet ue espérce égle à Z lim!+ ( )! e d lim Coclusio!+ ( )! (pr IPP licite) lim!+ lim!+ + lim ( )! e e + ( )! e + lim!+ Z + Z Z e ( )! f R W dmet ue espérce égle à U estimteur ss iis de costruit sur W ser W + Z!+ Z e e! d ( )! d Z e! d e d pr croissce comprées ( )! d pr dé itio de l cvce de l itégrle cr cette vrile dmet ue espérce, du fit qu elle soit oteue à prtir de W pr ue trsformtio e, qui vut E (W ) (d) O pose pour tout de N W W i. Soit u etier supérieur ou égl à 3. E dmettt que W possède u momet d ordre deu égl à ( ) ; ous pouvos dire qu elle dmet ussi ue vrice égle selo le ( ) théorème de Huyges-Koeig à V (W ) ( ) ( ) Comme W possède ue espérce et ue vrice, o peut lui ppliquer l iéglité de Bieymé-Tcheychev, dist que ce qui équivut à dire que soit " > ; P ([jw E (W )j "]) V (W ) " " > ; P ([jw E (W )j < "]) V (W ) " " > ; P ([jw E (W )j < "]) V (W ) " Cocours 7 5 mi 7

13 ESSEC III 7 Prolème Prtie III Pge 3 ou ecore " > ; P ([W " < < W + "]) ( ) " ii. Cherchos u etier turel N tel que pour tout supérieur ou égl à N P W ; W + 95 Pour cel il su t de chercher l vleur seuil de tel que " et ]; [ Nous oteos les équivleces 95 vec ( ) " () ( ) ( ) 95 5 () 5 () () + Il su t de predre N cr étt icou été mioré pr (je i rie d utre à vous proposer de mieu pour l istt!).. _ () _ i. Si ous trouvos le réel c tel que E (Y ) lors l suite d estimteurs (Y ) N, ppelée usivemet estimteur, ser ss iis du prmètre L vrile Y dmet e ectivemet ue espérce e tt que comiiso liéire de vriles dot l espérce eiste, vec pr liérité de l espérce X E (Y ) c E (X k ) k X c E (X ) cr toutes les vriles suivet l même loi k c selo II. lors l cotrite E (Y ) impose que c ii. L vrile Y dmet e ectivemet ue vrice e tt que comiiso liéire de Cocours 7 5 mi 7

14 ESSEC III 7 Prolème Prtie III Pge 4 vriles dot l vrice eiste, vec pr idépedce des vriles X V (Y ) c V (X k ) k X c V (X ) cr toutes les vriles suivet l même loi k c selo II. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Coclusio et ous vos cliremet V (Y ) ( ) lim V (Y )!+ () _ i. Soit pour N ; Z mi (X ; ; X ) et F Z s foctio de réprtitio dé ie pr R; F Z () P ([Z ]) Tout d ord Z () [; +[ puisque pour tout etier k de [j; j] X k () [; +[ ; isi F Z () si < P ([Z > ]) si ><! si < \ > P [X k > ] si k >< si < Y pr idépedce des vriles X > P ([X k > ]) si k k >< si < Y > ( P ([X k ])) si k >< si < Y > ( F Xk ()) si k < si < si < si < si cr toutes les vriles suivet l même loi l vue de l foctio de réprtitio oteue, ous pouvos coclure que Z suit ue loi de Preto de et Cocours 7 5 mi 7

15 ESSEC III 7 Prolème Prtie III Pge 5 D près II. et comme lors E (Z ) soit!+!+ lim E (Z )!+ Not ee o dit ds ce cs précis que l suite d estimteurs (Z ) est symptotiquemet ss iis. ii. Pour tout etier turel strictemet positif ous posos Z d Z vec d tel que E (Z ) Cel impose à d de véri er d E (Z ) soit d ou ecore d Z dmet ue vrice cr elle est oteue pr trsformtio e à prtir de Z qui e dmet ue, vec Comme ous pouvos dire que V (Z) d V (Z ) selo II. ( ) ( ) iii. Compros les vrice de Z et de Y Coclusio!+ lim V!+ (Z ) V (Z) V (Y ) () () ( ) ( ) () ( ) () () cr 6 Quelle que soit l tille de l échtilo, l estimteur (Z ) est plus e cce que l estimteur (Y ) (suf erreur de m prt!) zzzzz Cocours 7 5 mi 7